Biết rằng tổng số ván cờ đã đấu bằng 4 lần tổng số đấu thủ của 2 dội và biết rằng số đấu thủ của ít nhất trong 2 đội là số lẻ.. ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM..[r]
(1)Trường THCS Dân Hòa ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN: (Thời gian 150 phút) Năm học 2015 – 2016 Câu 1: (6 điểm) Cho A= ( √ x3−1 + √xx−1− ) :( x +x√+2x −2 − √√x +2x ) a Rút gọn A b Tìm giá trị x A= √ x −1 c Tính giá trị A x= 3+ 9+ 125 − −3+ 9+ 125 Cho n ∈ N √√ 27 √ √ 27 chứng minh n 2n 2n chia hết cho 14 A=2 +11 − − Câu 2: (4 điểm) Giải phương trình x − x −1000 √ 1+ 8000 x=1000 Cho x> , y > , Z >0 và x+ y +3 z ≥ 20 Tìm giá trị nhỏ biểu thức ❑ n P=x + y + z + + + x 2y z Câu 3: (4 điểm) Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn 2 2 y + x + y +1=x +2 y + xy Cho a, b, c > chứng minh a b c a b c + + < + + a+b b+c c + a b+c c +a a+b √ √ √ Câu 4: (5 điểm) Cho BC là dây cung (o) bán kính R ( (BC ≠ R) Một điểm A di động trên cung lớn BC cho tâm O luôn nằm Δ ABC Các đường cao AD, BE, CF cắt H a, Chứng minh Δ AEF đồng dạng với Δ ABC ? b, Gọi A’ là trung điểm BC Chứng minh AH = A’O? c, A1 là trung điểm EF Chứng minh RAA1 = AA’ OA’? d, Tìm vị trí điểm A để chu vi Δ DEF có giá trị lớn nhất? Câu 5: (1 điểm) Hai đội cờ thi đấu với đấu thủ đội này phải đấu ván với đấu thủ đội Biết tổng số ván cờ đã đấu lần tổng số đấu thủ dội và biết số đấu thủ ít đội là số lẻ Hỏi đội có bao nhiêu đấu thủ? …………… Hết……………… ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM Nội dung Điểm (2) a, Rút gọn A: điểm 4√x √ x+ √ x −1 A= b, Tìm x / A = x ⇔ √ =√ x − 1⇒ x −1=4 ❑√ x ⇒ x=9+ √5 √ x +1 c, Tính x=1 điểm A= =2 6đ điểm A=2n+11 n − 22 n − 32 n ¿ 2n − n +11n −9 n ¿ 11n − 4n −(9n −2n ) (11 − 4) B−(9− 2) C (7 B− C ):7 ⇒ A⋮2 A là số chẵn ⇒ A ⋮ 14 điểm điểm 1.Giải phương trình x − x −1000 √ 1+ 8000 x=1000 Đặt √ 1+ 8000 x +1=2 y ⇒ √ 1+ 8000 x =2 y −1 ⇒1+8000 x=4 y − y +1 y − y=8000 x ⇒ y − y=2000 x x − x=2000 y Ta có y − y=2000 x ⇒ ( x − y )( x + y −1+2000 ) =0 ( x − y )( x + y +1999 )=0 Từ hệ phương trình suy 2 (x+ y) ¿ x + y − ( x + y )=2000 2 2001 ( x + y )=x + y ⇒ x + y >0 ⇒ x + y +1999>0 ⇒ x − y=0 ⇒ x= y Ta x − x=2000 x ⇒ x ( x −2001 )=0 x=0 (Loại) x=2001 Vậy phương trình có nghiệm x=2001 P=x + y + z + + + x 2y z 3 x y 3z ¿ + x + y+ + z+ + + + x 2y z 4 ( )( Áp dụng BĐT cô si )( )( ) điểm (3) 3x + ≥3 x y+ ≥3 2y z + ≥2 z x y 3z + + = ( x +2 y+ z ) ≥ 4 ⇒ P ≥ 13 Min P = 13 x=0 y=3 z=4 1.Tìm nghiệm nguyên y x + x+ y+ 1+= x 2+2 y +xy ⇔ x +2 y + xy − y x − x − y=1 ( x − ) ( − y + y + x )=1 ⇔ x −1=1 −2 y + y+ x=1 ⇒ ( x ; y )=( 2; ) ; ( ; ) điểm x −1=−1 −2 y + x+ y =−1 2.Áp dụng BĐT cô si a+ ( b +c ) ≥ √ a ( b+c ) >0 2 a 2a ⇒ ≤ ⇒ ≥ a+b+ c √ a ( b+ c ) √a ( b +c ) a+ b+c a 2a ⇒ ≥ b +c a+b+c b 2b ≥ c +a a+ b+c c 2c Tương tự ≥ a+ b a+b+ c a b c ⇒ + + ≥ ( 1) b+c c +a a+ b a a+c − bc − = <0 a+b a+b+ c ( a+ b ) ( a+b+ c ) Có a a+c ⇒ < a+b a+ b+c b a+b Tương tự b+c < a+ b+c c b+c < a+b a+ b+c a b c ⇒ + + <2 a+b b+c a+b Từ (1)(2) ⇒ a + b + c < a + b + c a+b b+c a+b b +c c +a a+ b √ √ √ √ √ √ √ √ √ 1điểm (4) 1điểm Câu (5 đ) A E C’ A1 F B’ 0.5điểm O H B D C K AE AF AE AF ⇒ = Cos A= AB , cos A= AC AB AC A chung ⇒ Δ AEF Δ ABC (cgc) điểm 2.Kẻ đường kính AOK ⇒ AC⊥ KC BH ⊥ AC BH // KC BHCK là hình bình hành 0.5 điểm BK AB BK // CH CH AB Nên BC HK trung điểm đường Có A’ là trung điểm BC A’ là trung điểm HK Vậy điểm H, A’, K thẳng hàng Xét Δ AHK có O là trung điểm AK A’ là trung điểm HK OA’ là đường trung bình => AH=ZOA’ 1điểm điểm A, E, H, F 1điểm đường tròn đường kính AH => Bán kính là AH = OA’ = r Δ AEF Δ ABC r AA => R = AA ' => R.AA1 = AA’ r R AA1 = AA’ OA’ Δ ABC Δ AEF 1điểm (5) => r R = EF BC => R EF = BC OA’ = SBOC Chứng minh tương tự Δ BDF OB ' =¿ R Δ CDE OC ' =¿ R Δ BAC DF => R DF = AC OB’ = 2SOAC AC Δ CAB DE => R DE = OC’ AB = 2SBOA AB SABC = SBOC + SAOB + SAOC SABC = REF + R OF + R DE => SABC = R ( EF + DF DE) SABC = R Chu vi Δ DEF AD BC = R Chu vi DEF Chu vi Δ DEF có giá trị lớn AD lớn ( BC, R cố định) AD lớn A là trung điểm cung lớn AB 1đ Gọi x, y là số đấu thủ Có xy = ( x+ y) ( x - 4) (y – ) = 16 = 1.16 = = 4.4 x–4=1 x=5 y – = 16 y = 20 x – = 16 x = 20 y–4=1 y=5 Người đề XÁC NHẬN CỦA BGH 1điểm (6)