Chuyên đề Phương pháp luyện tập thể tích khối đa diện27130

CHUYÊN PH NG PHÁP LUY N T P TH TÍCH KH I A DI N : I Ôn t p ki n th c c b n: ÔN T P KI N TH C C 10 B N HÌNH H C L P - 2 A b = c tanB = c.cot C 2.H th c l ng tam giác th * nh lý hàm s Côsin: b c B g) b = a sinB = a.cosC, c = a sinC = a.cosB, a = * A ta có : DABC vng H c llý Pitago ng tam=giác AB vuông + AC : cho a) th nh : BC b) BA2 = BH BC; CA2 = CH CB c) AB AC = BC AH 1 = + d) 2 AH AB AC e) BC = 2AM b c b c f) sin B = , cosB = , tan B = , cot B = a a c b M H C a b b = , sin B cos C ng: a2 = b2 + c2 - 2bc.cosA a b c = = = 2R sin A sin B sin C nh lý hàm s Sin: Các cơng th c tính di n tích a/ Cơng th c tính di n tích tam giác: a b.c a +b+c = p.r = p.( p - a )( p - b)( p - c) v i p = S = a.ha = a b sin C = 4R 2 a S = S = AB AC c bi t :* DABC vuông A : ,* DABC đ u c nh a: b/ Di n tích hình vng : S = c nh x c nh c/ Di n tích hình ch nh t : S = dài x r ng d/ Diên tích hình thoi : S = (chéo dài x chéo ng n) d/ Di n tích hình thang : S = (đáy l n + đáy nh ) x chi u cao e/ Di n tích hình bình hành : S = đáy x chi u cao f/ Di n tích hình trịn : S = p R ÔN T P KI N TH C C B N HÌNH H C L P 11 ThuVienDeThi.com http://megabook.vn/ A.QUAN H SONG SONG §1 NG TH NG VÀ M T PH NG SONG SONG I nh ngh a: a ng th ng m t ph ng g i song song a/ /(P) aầ(P) =ặ v i n u chỳng (P) khơng có m chung II.Các đ nh lý: L1:N u đ ng th ng d không n m mp(P) song song v i đ ng th ng a n m mp(P) đ ng th ng d song song v i mp(P) L2: N u đ ng th ng a song song v i mp(P) m i mp(Q) ch a a mà c t mp(P) c t theo giao n song song v i a L3: N u hai m t ph ng c t song song v i m t đ ng th ng giao n c a chúng song song v i đ ng th ng d ìd Ë (P) ï íd / /a Þ d / /(P) ïa Ì (P) ỵ ìa/ /(P) ï Þ d / /a ía Ì (Q) ï(P) Ç (Q) = d ỵ a (P) (Q) a d (P) ì(P) Ç (Q) = d ï Þ d / /a í(P)/ /a ù(Q)/ /a ợ d a Q P Đ2.HAI M T PH NG SONG SONG I nh ngh a: Hai m t ph ng đ c g i song song v i n u chúng khơng có m chung II.Các đ nh lý: L1: N u mp(P) ch a hai đ ng th ng a, b c t song song v i m t ph ng (Q) (P) (Q) song song v i (P)/ /(Q) (P) ầ(Q) =ặ P Q ỡa,b è (P) ù ị (P)/ /(Q) ớa ầ b = I ïa/ /(Q),b / /(Q) ỵ a P b I Q ThuVienDeThi.com http://megabook.vn/ L2: N u m t đ ng th ng n m m t hai m t ph ng song song song song v i m t ph ng L3: N u hai m t ph ng (P) (Q) song song m i m t ph ng (R) c t (P) ph i c t (Q) giao n c a chúng song song ì(P) / /(Q) Þ a / /(Q) í ỵa Ì (P) a P Q R ì(P) / /(Q) ï í(R) Ç (P) = a ị a / / b ù(R) ầ (Q) = b ỵ a P b Q B.QUAN H VNG GĨC §1 NG TH NG VNG GĨC V I M T PH NG I nh ngh a: M t đ ng th ng đ c a g i vng góc v i m t a ^ mp(P) Û a ^ c,"c Ì (P) m t ph ng n u vng góc v i m i đ ng th ng c P n m m t ph ng II Các đ nh lý: L1: N u đ ng th ng d vng góc v i hai đ ng th ng c t a b n m mp(P) đ ng th ng d vng góc v i mp(P) L2: (Ba đ ng vng góc) Cho đ ng th ng a khơng vng góc v i mp(P) đ ng th ng b n m (P) Khi đó, u ki n c n đ đ b vng góc v i a b vng góc v i hình chi u a’ c a a (P) I nh ngh a: Hai m t ph ng đ ìd ^ a ,d ^ b ï ía ,b Ì mp(P) Þd ^ mp(P) ïa,b cắt ỵ d b P a a a ^ mp(P),b Ì mp(P) b ^ a Ûb ^ a' P a' b §2.HAI M T PH NG VNG GĨC c g i vng góc v i n u góc gi a chúng b ng 900 ThuVienDeThi.com http://megabook.vn/ Th tích kh i đa di n – www.mathvn.com II Các đ nh lý: m t m t L1:N u ph ng ch a m t đ ng th ng vuông góc v i m t ìa ^ mp(P) Þ mp(Q) ^ mp(P) m t ph ng khác hai í a mp(Q) Ì m t ph ng vng góc î v i L2:N u hai m t ph ng (P) (Q) vng góc ì(P) ^ (Q) v i b t c ï í(P) Ç(Q) = d Þa ^ (Q) đ ng th ng a n m ï (P), vng góc v i ỵa Ì (P),a ^ d giao n c a (P) (Q) đ u vng góc v i m t ph ng (Q) L3: N u hai m t ph ng (P) (Q) vng ì(P) ^ (Q) góc v i A ï ïA Ỵ (P) m t m (P) Þ a Ì (P) í đ ng th ng a qua A a Ỵ ï m A vng góc ïỵa ^ (Q) v i (Q) s n m (P) L4: N u hai m t ph ng c t ì(P) Ç (Q) = a vng góc v i m t ï Þ a ^ (R) ph ng th ba giao í(P) ^ (R) n c a chúng vng ï(Q) ^ (R) ỵ góc v i m t ph ng th ba Q a P P a Q d P a A Q Q P a R §3.KHO NG CÁCH Kho ng cách t m t i đ ng th ng , đ n m t ph ng: Kho ng cách t m M đ n đ ng th ng a (ho c đ n m t ph ng (P)) kho ng cách gi a hai m M H, H hình chi u c a m M đ ng th ng a ( ho c mp(P)) O O a H P H d(O; a) = OH; d(O; (P)) = OH ThuVienDeThi.com http://megabook.vn/ Kho ng cách gi a đ ng th ng m t ph ng song song: Kho ng cách gi a đ ng th ng a mp(P) song song v i a kho ng cách t m t m c a a đ n mp(P) d(a;(P)) = OH Kho ng cách gi a hai m t ph ng song song: kho ng cách t m t m b t k m t ph ng đ n m t ph ng d((P);(Q)) = OH 4.Kho ng cách gi a hai đ ng th ng chéo nhau: đ dài đo n vng góc chung c a hai đ ng th ng d(a;b) = AB O a H P O P H Q A a b B §4.GĨC Góc gi a hai đ ng th ng a b góc gi a hai đ ng th ng a’ b’ qua m t m l n l t ph ng v i a b Góc gi a đ ng th ng a khơng vng góc v i m t ph ng (P) góc gi a a hình chi u a’ c a mp(P) c bi t: N u a vng góc v i m t ph ng (P) ta nói r ng góc gi a đ ng th ng a mp(P) 900 Góc gi a hai m t ph ng góc gi a hai đ ng th ng l n l t vng góc v i hai m t ph ng Ho c góc gi a đ ng th ng n m m t ph ng vng góc v i giao n t i m a a' b' b a a' P a P b a Q P b Q ThuVienDeThi.com http://megabook.vn/ Th tích kh i đa di n – www.mathvn.com Di n tích hình chi u: G i S di n tích c a đa giác (H) mp(P) S’ di n tích hình chi u (H’) c a (H) mp(P’) S S' = Scos j j góc gi a hai m t ph ng (P),(P’) C j A B ÔN T P KI N TH C C 12 B N HÌNH H C L P A TH TÍCH KH I A DI N I/ Các cơng th c th tích c a kh i đa di n: TH TÍCH KH I L NG TR : V= ì B : d ie än B.h tíc h đ a ùy h í v i ỵ h : c h ie àu c a o a) Th tích kh i h p ch nh t: V = a.b.c v i a,b,c ba kích th c b) Th tích kh i l p ph V = a3 v i a đ dài c nh B a ng: c b a a a TH TÍCH KH I CHĨP: V= Bh h ìB : diện tích đáy v i í ỵ h : chiều cao T S TH TÍCH T DI N: Cho kh i t di n SABC A’, B’, C’ m tùy ý l n l t thu c SA, SB, SC ta có: VSABC VSA ' B ' C ' SA SB SC = SA ' SB ' SC ' B S C' A' A B' C B ThuVienDeThi.com http://megabook.vn/ Th tích kh i đa di n – www.mathvn.com TH TÍCH KH I CHĨP C T: A' h B + B'+ BB' ìB, B' : diện tích hai đáy v i í ỵ h : chiều cao V= ( ) B' C' A B C Chú ý: 1/ ng chéo c a hình vng c nh a d = a , ng chéo c a hình l p ph ng c nh a d = a , ng chéo c a hình h p ch nh t có kích th c a, b, c d = a + b2 + c , 2/ ng cao c a tam giác đ u c nh a h = a 3/ Hình chóp đ u hình chóp có đáy đa giác đ u c nh bên đ u b ng ( ho c có đáy đa giác đ u, hình chi u c a đ nh trùng v i tâm c a đáy) 4/ L ng tr đ u l ng tr đ ng có đáy đa giác đ u II/ Bài t p: N i dung LO I 1: 1) D ng 1: TH TÍCH L NG TR Kh i l ng tr đ ng có chi u cao hay c nh đáy Ví d 1: áy c a l ng tr đ ng tam giác ABC.A’B’C’ tam giác ABC vng cân t i A có c nh BC = a bi t A'B = 3a Tính th tích kh i l ng tr a L i gi i: Ta có VABC vng cân t i A nên AB = AC = a ABC A'B'C' l ng tr đ ng Þ AA' ^ AB VAA 'B Þ AA '2 = A'B2 - AB2 = 8a2 Þ AA ' = 2a V y V = B.h = SABC AA' = a3 Ví d 2: Cho l ng tr t giác đ u ABCD.A’B’C’D' có c nh bên b ng 4a đ ng chéo 5a Tính th tích kh i l ng tr ThuVienDeThi.com http://megabook.vn/ L i gi i: ABCD A'B'C'D' l ng tr đ ng nên BD2 = BD'2 - DD'2 = 9a2 Þ BD = 3a 3a ABCD hình vng Þ AB = 2 9a Suy B = SABCD = V y V = B.h = SABCD.AA' = 9a3 C' D' A' B' 4a 5a C D A B Ví d 3: áy c a l ng tr đ ng tam giác ABC.A’B’C’ tam giác đ u c nh a = bi t di n tích tam giác A’BC b ng Tính th tích kh i l ng tr L i gi i: G i I trung m BC Ta có V ABC đ u nên C' A' B' AI = A AB = & AI ^ BC Þ A 'I ^ BC(dl3 ^) 2S SA'BC = BC.A 'I Þ A 'I = A'BC = BC AA ' ^ (ABC) Þ AA ' ^ AI C VA 'AI Þ AA ' = A 'I2 - AI2 = V y : VABC.A’B’C’ = SABC AA'= I B Ví d 4: M t t m bìa hình vng có c nh 44 cm, ng i ta c t b m i góc t m bìa m t hình vng c nh 12 cm r i g p l i thành m t h p ch nh t khơng có n p Tính th tích h p C' D' D' D' D A' B' D C A' A B A A' Gi i C' Theo đ bài, ta có C C' AA' = BB' = CC' = DD' = 12 cm nên ABCD hình vng có AB = 44 cm - 24 cm = 20 cm chi u cao h p h = 12 cm B B' V y th tích h p V = SABCD.h = 4800cm3 B' Ví d 5: Cho hình h p đ ng có đáy hình thoi c nh a có góc nh n b ng ThuVienDeThi.com http://megabook.vn/ 600 ng chéo l n c a đáy b ng đ Tính th tích hình h p C' D' ng chéo nh c a l ng tr L i gi i: Ta có tam giác ABD đ u nên : BD = a SABCD = 2SABD = B' A' C D A 60 B a2 a =a VDD'B Þ DD' = BD'2 - BD2 = a a3 V y V = SABCD.DD' = Theo đ BD' = AC = Bài t p t ng t : Bài 1: Cho l ng tr đ ng có đáy tam giác đ u bi t r ng t t c c nh c a l ng tr b ng a Tính th tích t ng di n tích m t bên c a l ng tr a3 ; S = 3a2 S: V = Bài 2: Cho l ng tr đ ng ABCD.A'B'C'D' có đáy t giác đ u c nh a bi t r ng BD' = a Tính th tích c a l ng tr s: V = 2a3 Bài 3: Cho l ng tr đ ng t giác có đáy hình thoi mà đ ng chéo 6cm 8cm bi t r ng chu vi đáy b ng l n chi u cao l ng tr Tính th tích t ng di n tích m t c a l ng tr s: V = 240cm3 S = 248cm2 Bài 4: Cho l ng tr đ ng tam giác có đ dài c nh đáy 37cm ; 13cm ;30cm bi t t ng di n tích m t bên 480 cm2 Tính th tích l ng tr s: V = 1080 cm3 Bài 5: Cho l ng tr đ ng tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC tam giác vuông cân t i A ,bi t r ng chi u cao l ng tr 3a m t bên AA'B'B có đ ng chéo 5a Tính th tích l ng tr s: V = 24a3 Bài 6: Cho l ng tr đ ng t giác đ u có t t c c nh b ng bi t t ng di n tích m t c a l ng tr b ng 96 cm2 Tính th tích l ng tr s: V = 64 cm3 Bài 7: Cho l ng tr đ ng tam giác có c nh đáy 19,20,37 chi u cao c a kh i l ng tr b ng trung bình c ng c nh đáy Tính th tích c a l ng tr s: V = 2888 Bài 8: Cho kh i l p ph ng có t ng di n tích m t b ng 24 m2 Tính th tích kh i l p ph ng s: V = m3 Bài 9: Cho hình h p ch nh t có kích th c t l thu n v i 3,4,5 bi t r ng đ dài m t đ ng chéo c a hình h p m.Tính th tích kh i h p ch nh t s: V = 0,4 m3 ThuVienDeThi.com http://megabook.vn/ Bài 10: Cho hình h p ch nh t bi t r ng đ 5; 10; 13 Tính th tích kh i h p D ng : L ng tr đ ng có góc gi a đ ng chéo c a m t l n l t s: V = ng th ng m t ph ng Ví d 1: Cho l ng tr đ ng tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC tam giác vng cân t i B v i BA = BC = a ,bi t A'B h p v i đáy ABC m t góc 600 Tính th tích l ng tr C' A' B' C A 60o B L i gi i: Ta có A 'A ^ (ABC) Þ A 'A ^ AB& AB hình chi u c a A'B đáy ABC ABA ' = 60o V y gúc[A 'B,(ABC)] = ẳ VABA ' ị AA ' = AB.tan 600 = a a2 SABC = BA.BC = 2 a3 V y V = SABC.AA' = Ví d 2: Cho l ng tr đ ng tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC tam giác ¼ = 60 o bi t BC' h p v i (AA'C'C) m t góc 300 vng t i A v i AC = a , ACB Tính AC' th tích l ng tr A' C' B' A 30o a o 60 B C L i gi i: VABC Þ AB = AC.tan60o = a Ta có: AB ^ AC;AB ^ AA' Þ AB ^ (AA'C'C) nên AC' hình chi u c a BC' (AA'C'C) V y góc[BC';(AA"C"C)] = ¼ BC'A = 30o AB VAC'B Þ AC' = = 3a t an30o V =B.h = SABC.AA' VAA 'C' Þ AA' = AC'2 - A 'C'2 = 2a a2 VABC n a tam giác đ u nên SABC = V y V = a3 Ví d 3: Cho l ng tr đ ng ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD hình vng c nh a đ ng chéo BD' c a l ng tr h p v i đáy ABCD m t góc 300 Tính th tích t ng diên tích c a m t bên c a l ng tr ThuVienDeThi.com http://megabook.vn/ 10 Gi i: Ta có ABCD A'B'C'D' l ng tr đ ng nên ta có: DD' ^ (ABCD) Þ DD' ^ BD BD hình chi u c a BD' ABCD V y góc [BD';(ABCD)] = ¼ DBD' = 300 a VBDD' Þ DD' = BD.tan 300 = 3 a 4a S = 4SADD'A' = V y V = SABCD.DD' = 3 B' C' A' D' o 30 C D B A a Ví d 4: Cho hình h p đ ng ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD hình thoi c nh a ¼ BAD = 60o bi t AB' h p v i đáy (ABCD) m t góc 30o Tính th tích c a hình h p VABD đ u c nh a Þ SABD = A' D' o 30 A Gi i C' B' C B 60 o D a a2 a2 Þ SABCD = 2SABD = VABB' vng t iB Þ BB' = ABt an30o = a 3a3 V y V = B.h = SABCD BB' = Bài t p t ng t : Bài 1: Cho l ng tr đ ng ABC A'B'C' có đáy ABC vng cân t i B bi t A'C = a A'C h p v i m t bên (AA'B'B) m t góc 30o Tính th tích l ng tr a3 S: V = 16 Bài 2: Cho l ng tr đ ng ABC A'B'C' có đáy ABC vng t i B bi t BB' = AB = a B'C h p v i đáy (ABC) m t góc 30o Tính th tích l ng tr a3 S: V = Bài 3: Cho l ng tr đ ng ABC A'B'C' có đáy ABC tam giác đ u c nh a bi t AB' h p v i m t bên (BCC'B') m t góc 30o Tính đ dài AB' th tích l ng tr S: AB' = a ; V = a Bài 4: Cho l ng tr đ ng ABC A'B'C' có đáy ABC vng t i A bi t AC = a ¼ ACB = 60o bi t BC' h p v i m t bên (AA'C'C) m t góc 30o 3a Tính th tích l ng tr di n tích tam giác ABC' S: V = a , S = 11 ThuVienDeThi.com http://megabook.vn/ Bài 5: Cho l ng tr tam giác đ u ABC A'B'C' có kho ng cách t A đ n m t ph ng (A'BC) b ng a AA' h p v i m t ph ng (A'BC) m t góc 300 32a Tính th tích l ng tr S: V = Bài 6: Cho hình h p ch nh t ABCD A'B'C'D' có đ ng chéo A'C = a bi t r ng A'C h p v i (ABCD) m t góc 30o h p v i (ABB'A') m t góc 45o a3 Tính th tích c a kh i h p ch nh t s: V = Bài 7: Cho hình h p đ ng ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD hình vng G i O tâm c a ABCD OA' = a Tính th tích c a kh i h p khi: 1) ABCD A'B'C'D' kh i l p ph ng 2) OA' h p v i đáy ABCD m t góc 60o 3) A'B h p v i (AA'CC') m t góc 30o 2a a3 4a 3 ;2) V = ;3) V = s:1) V = 9 Bài 8: Cho l ng tr đ ng ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD hình vng BD' = a Tính th tích l ng tr tr ng h p sau đây: 1) BD' h p v i đáy ABCD m t góc 60o a3 a3 2) BD' h p v i m t bên (AA'D'D) m t góc 30o s: 1)V = 2)V = 16 Bài 9: Chi u cao c a l ng tr t giác đ u b ng a góc c a đ ng chéo phát xu t t m t đ nh c a m t bên k 60o.Tính th tích l ng tr t ng di n tích m t c a l ng tr s: V = a3 S = 6a2 Bài 10 : Cho hình h p ch nh t ABCD A'B'C'D' có AB = a ; AD = b ; AA' = c BD' = AC' = CA' = a + b2 + c2 1) Chúng minh ABCD A'B'C'D' h p ch nh t 2) G i x,y,z góc h p b i m t đ ng chéo m t qua m t đ ng thu c đ ng chéo Ch ng minh r ng sin x + sin y + sin z = 3) D ng 3: L ng tr đ ng có góc gi a m t ph ng Ví d 1: Cho l ng tr đ ng tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC tam giác vng cân t i B v i BA = BC = a ,bi t (A'BC) h p v i đáy (ABC) m t góc 600 Tính th tích l ng tr 12 ThuVienDeThi.com http://megabook.vn/ A' C' B' A C 60o B L i gi i: Ta có A 'A ^ (ABC)& BC ^ AB Þ BC ^ A 'B V y góc[(A 'BC),(ABC)] = ẳ ABA ' = 60o VABA ' ị AA ' = AB.tan 600 = a a2 SABC = BA.BC = 2 a3 V y V = SABC.AA' = Ví d 2: áy c a l ng tr đ ng tam giác ABC.A’B’C’ tam giác đ u M t (A’BC) t o v i đáy m t góc 300 di n tích tam giác A’BC b ng Tính th tích kh i l ng tr Gi i: VABC đ u Þ AI ^ BC mà AA' ^ (ABC) nên A'I ^ BC (đl ^ ) ¼ V y góc[(A'BC);)ABC)] = A 'IA = 30o C' A' 2x = x Ta có 2 AI x = = 2x DA' AI : A' I = AI : cos 30 = 3 Gi s BI = x Þ AI = B' A 30o C B xI =x V y VABC.A’B’C’ = CI.AI.A’A = x3 Mà SA’BC = BI.A’I = x.2x = Þ x = Do VABC.A’B’C’ = A’A = AI.tan 300 = x Ví d 3: Cho l ng tr t giác đ u ABCD A'B'C'D' có c nh đáy a m t ph ng (BDC') h p v i đáy (ABCD) m t góc 60o.Tính th tích kh i h p ch nh t 13 ThuVienDeThi.com http://megabook.vn/ D' C' A' B' C D 60 O A B a G i O tâm c a ABCD Ta có ABCD hình vuông nên OC ^ BD CC' ^ (ABCD) nên OC' ^ BD (đl ^ ) V y ¼ = 60o góc[(BDC');(ABCD)] = COC' Ta có V = B.h = SABCD.CC' ABCD hình vng nên SABCD = a2 a VOCC' vuông nên CC' = OC.tan60o = a V yV= Ví d 4: Cho hình h p ch nh t ABCD A'B'C'D' có AA' = 2a ; m t ph ng (A'BC) h p v i đáy (ABCD) m t góc 60o A'C h p v i đáy (ABCD) m t góc 30o Tính th tích kh i h p ch nh t D' A' C' B' 2a D A o 60 B o 30 C Ta có AA' ^ (ABCD) Þ AC hình chi u c a A'C (ABCD) V y góc[A'C,(ABCD)] = ¼ A 'CA = 30o BC ^ AB Þ BC ^ A'B (đl ^ ) V y góc[(A'BC),(ABCD)] = ¼ A 'BA = 60o VA 'AC Þ AC = AA'.cot30o = 2a 2a VA 'AB Þ AB = AA'.cot60o = 4a VABC Þ BC = AC2 - AB2 = 3 16a V y V = AB.BC.AA' = Bài t p t ng t : Bài 1: Cho h p ch nh t ABCD A'B'C'D' có AA' = a bi t đ ng chéo A'C h p v i đáy ABCD m t góc 30o m t (A'BC) h p v i đáy ABCD m t góc 600 2a Tính th tích h p ch nh t s: V = Bài 2: Cho l ng tr đ ng ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD hình vng c nh bên b ng a bi t r ng m t (ABC'D') h p v i đáy m t góc 30o.Tính th tích kh i l ng tr s: V = 3a3 Bài 3: Cho l ng tr đ ng ABCA'B'C' có đáy ABC tam giác vuông cân t i B AC = 2a bi t r ng (A'BC) h p v i đáy ABC m t góc 45o Tính th tích l ng tr s: V = a Bài 4: Cho l ng tr đ ng ABCA'B'C' có đáy ABC tam giác cân t i A v i AB = AC = a ¼ BAC = 120o bi t r ng (A'BC) h p v i đáy ABC m t góc 45o a3 Tính th tích l ng tr s: V = 14 ThuVienDeThi.com http://megabook.vn/ Bài 5: : Cho l ng tr đ ng ABCA'B'C' có đáy ABC tam giác vng t i B BB' = AB = h bi t r ng (B'AC) h p v i đáy ABC m t góc 60o Tính th tích h3 l ng tr s: V = Bài 6: Cho l ng tr đ ng ABC A'B'C' có đáy ABC đ u bi t c nh bên AA' = a Tính th tích l ng tr tr ng h p sau đây: 1) M t ph ng (A'BC) h p v i đáy ABC m t góc 60o 2) A'B h p v i đáy ABC m t góc 45o 3) Chi u cao k t A' c a tam giác A'BC b ng đ dài c nh đáy c a l ng tr a3 s: 1) V = a 3 ; 2) V = ; V = a3 Bài 7: Cho l ng tr t giác đ u ABCD A'B'C'D' có c nh bên AA' = 2a Tính th tích l ng tr tr ng h p sau đây: 1) M t (ACD') h p v i đáy ABCD m t góc 45o 2) BD' h p v i đáy ABCD m t góc 600 3) Kho ng cách t D đ n m t (ACD') b ng a 16a s: 1) V = 16a3 2) V = 12a3 3) V = Bài 8: Cho l ng tr đ ng ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD hình vng c nh a Tính th tích l ng tr tr ng h p sau đây: 1)M t ph ng (BDC') h p v i đáy ABCD m t góc 60o 2)Tam giác BDC' tam giác đ u 3)AC' h p v i đáy ABCD m t góc 450 a3 s: 1) V = ; 2) V = a ; V = a 2 Bài 9: Cho l ng tr đ ng ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD hình thoi c nh a góc nh n A = 60o Tính th tích l ng tr tr ng h p sau đây: 1)M t ph ng (BDC') h p v i đáy ABCD m t góc 60o a 2)Kho ng cách t C đ n (BDC') b ng 3)AC' h p v i đáy ABCD m t góc 45 3a 3 3a 3a V = s: 1) ; 2) V = ;V= Bài 10: Cho hình h p ch nh t ABCD A'B'C'D' có BD' = 5a ,BD = 3a Tính th tích kh i h p tr ng h p sau đây: 1) AB = a 2) BD' h p v i AA'D'D m t góc 30o 3) (ABD') h p v i đáy ABCD m t góc 300 s: 1) V = 8a ; 2) V = 5a 11 ; V = 16a 4) D ng 4: Kh i l ng tr xiên Ví d 1: Cho l ng tr xiên tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC tam giác đ u c nh a , bi t c nh bên a h p v i đáy ABC m t góc 60o Tính th tích l ng tr ThuVienDeThi.com http://megabook.vn/ 15 A' L i gi i: Ta có C'H ^ (ABC) Þ CH hình chi u c a CC' (ABC) V y gúc[CC',(ABC)] = ẳ C'CH = 60o 3a VCHC' ị C'H = CC'.sin 600 = 2 a 3a 3 SABC = = V y V = SABC.C'H = C' B' o 60 C A H B a Ví d 2: Cho l ng tr xiên tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC tam giác đ u c nh a Hình chi u c a A' xu ng (ABC) tâm O đ ng tròn ngo i ti p tam giác ABC bi t AA' h p v i đáy ABC m t góc 60 1) Ch ng minh r ng BB'C'C hình ch nh t 2) Tính th tích l ng tr A' C' B' A 60o C a O H B L i gi i: 1) Ta có A 'O ^ (ABC) Þ OA hình chi u c a AA' (ABC) ¼' = 60o V y góc[AA ',(ABC)] = OAA Ta có BB'CC' hình bình hành ( m t bên c a l ng tr ) AO ^ BC t i trung m H c a BC nên BC ^ A 'H (đl ^ ) Þ BC ^ (AA 'H) Þ BC ^ AA ' mà AA'//BB' nên BC ^ BB' V y BB'CC' hình ch nh t 2a a = 2) VABC đ u nên AO = AH = 3 VAOA ' Þ A 'O = AO t an60o = a a3 V y V = SABC.A'O = Ví d 3: Cho hình h p ABCD.A’B’C’D’ có đáy hình ch nh t v i AB = AD = Hai m t bên (ABB’A’) (ADD’A’) l n l t t o v i đáy nh ng góc 450 600 Tính th tích kh i h p n u bi t c nh bên b ng 16 ThuVienDeThi.com http://megabook.vn/ D' C' ẳ = 60o ịẳ A'MH = 45o ,A'NH A' t A’H = x Khi 2x A’N = x : sin 600 = B' D C N A H M L i gi i: K A’H ^ ( ABCD ) ,HM ^ AB, HN ^ AD Þ A' M ^ AB, A' N ^ AD (đl ^ ) B AN = AA' - A' N = - x2 = HM Mà HM = x.cot 450 = x - x2 Þ x= Ngh a x = V y VABCD.A’B’C’D’ = AB.AD.x =3 = 7 Bài t p t ng t : Bài 1: Cho l ng tr ABC A'B'C'có c nh đáy 13;14;15và bi t c nh bên b ng 2a h p v i đáy ABCD m t góc 45o Tính th tích l ng tr s: V = a Bài 2: Cho l ng tr ABCD A'B'C'D'có đáy ABCD hình vng c nh a bi t c nh bên b ng h p v i đáy ABC m t góc 30o.Tính th tích l ng tr s: V =336 Bài 3: Cho hình h p ABCD A'B'C'D'có AB =a;AD =b;AA' = c ¼ BAD = 30o o bi t c nh bên AA' h p v i đáy ABC m t góc 60 Tính th tích l ng tr Bài : Cho l ng tr tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC tam giác đ u c nh a 2a a3 Tính th tích l ng tr s: V = m A' cách đ u A,B,C bi t AA' = Bài 5: Cho l ng tr ABC A'B'C' có đáy ABC tam giác đ u c nh a , đ nh A' có hình chi u (ABC) n m đ ng cao AH c a tam giác ABC bi t m t bêb BB'C'C h p v io đáy ABC m t góc 60o 1) Ch ng minh r ng BB'C'C hình ch nh t 3a 3 2) Tính th tích l ng tr ABC A'B'C' s: V = Bài 6: Cho l ng tr ABC A'B'C' có đáy ABC tam giác đ u v i tâm O C nh b CC' = a h p v i đáy ABC góc 60o C' có hình chi u ABC trùng v i O 1) Ch ng minh r ng AA'B'B hình ch nh t Tính di n tích AA'B'B a2 3a 3 2) Tính th tích l ng tr ABCA'B'C' s: 1) S = 2) V = 17 ThuVienDeThi.com http://megabook.vn/ Bài 7: Cho l ng tr ABC A'B'C' có đáy ABC tam giác đ u c nh a bi t chân đ ng vng góc h t A' ABC trùng v i trung m c a BC AA' = a 1) Tìm góc h p b i c nh bên v i đáy l ng tr a3 2) Tính th tích l ng tr s: 1) 30o 2) V = Bài 8: Cho l ng tr xiên ABC A'B'C' có đáy ABC tam giác đ u v i tâm O Hình chi u c a C' (ABC) O.Tính th tích c a l ng tr bi t r ng kho ng cách t O đ n CC' a m t bên AA'C'Cvà BB'C'C h p v i m t góc 90o 27a s: V = Bài 9: Cho hình h p ABCD A'B'C'D' có m t hình thoi c nh a,hình chi u vng góc c a A' trên(ABCD) n m hình thoi,các c nh xu t phát t A c a h p đôi m t t o v i m t góc 60o 1) Ch ng minh r ng H n m đ ng chéo AC c a ABCD 2) Tính di n tích m t chéo ACC'A' BDD'B' a3 3) Tính th tích c a h p s: 2) SACC'A' = a 2;SBDD'B' = a 3) V = Bài 10: Cho hình h p ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD hình thoi c nh a góc A = 60o chân đ ng vng góc h t B' xuông ABCD trùng v i giao m đ ng chéo đáy bi t BB' = a 1)Tìm góc h p b i c nh bên đáy 2)Tính th tích t ng di n tích m t bên c a hình h p 3a o &S = a 15 s: 1) 60 2) V = TH TÍCH KH I CHĨP LO I 2: 1) D ng 1: Kh i chóp có c nh bên vng góc v i đáy Ví d 1: Cho hình chóp SABC có SB = SC = BC = CA = a Hai m t (ABC) (ASC) vng góc v i (SBC) Tính th tích hình chóp A a_ B C / / \ S L i gi i: Ta có ìï(ABC) ^ (SBC) Þ AC ^ (SBC) í ïỵ (ASC) ^ (SBC) 1 a2 a3 Do V = SSBC AC = a= 3 12 18 ThuVienDeThi.com http://megabook.vn/ Ví d 2: Cho hình chóp SABC có đáy ABC tam giác vuông cân t i B v i AC = a bi t SA vng góc v i đáy ABC SB h p v i đáy m t góc 60o 1) Ch ng minh m t bên tam giác vng 2)Tính th tích hình chóp S C a A 60o B L i gi i: 1) SA ^ (ABC) Þ SA ^ AB &SA ^ AC mà BC ^ AB Þ BC ^ SB ( đl ^ ) V y m t bên chóp tam giác vng 2) Ta có SA ^ (ABC) Þ AB hình chi u c a SB (ABC) SAB = 60o V y góc[SB,(ABC)] = ¼ a VABC vng cân nên BA = BC = 2 a SABC = BA.BC = a VSAB Þ SA = AB.t an60o = 2 1 a a a3 V y V = SABC SA = = 34 24 Ví d 3: Cho hình chóp SABC có đáy ABC tam giác đ u c nh a bi t SA vng góc v i đáy ABC (SBC) h p v i đáy (ABC) m t góc 60o Tính th tích hình chóp S C A 60 o a M B L i gi i: Mlà trung m c a BC,vì tam giác ABC đ u nên AM ^ BC Þ SA ^ BC (đl3 ^ ) SMA = 60o V y góc[(SBC);(ABC)] = ¼ 1 Ta có V = B.h = SABC SA 3 3a VSAM Þ SA = AM tan 60o = 1 a3 V y V = B.h = SABC SA = 3 Ví d 4: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình vng có c nh a SA vng góc đáy ABCD m t bên (SCD) h p v i đáy m t góc 60o 1) Tính th tích hình chóp SABCD 2) Tính kho ng cách t A đ n m t ph ng (SCD) 19 ThuVienDeThi.com http://megabook.vn/ S H 60 A B a C o D L i gi i: 1)Ta có SA ^ (ABC) CD ^ AD Þ CD ^ SD ( đl ^ ).(1) ¼ = 60o V y góc[(SCD),(ABCD)] = SDA VSAD vuông nên SA = AD.tan60o = a 1 a3 V y V = SABCD SA = a2a = 3 2) Ta d ng AH ^ SD ,vì CD ^ (SAD) (do (1) ) nên CD ^ AH Þ AH ^ (SCD) V y AH kho ng cách t A đ n (SCD) 1 1 VSAD Þ = + = 2+ 2= 2 2 AH SA AD 3a a 3a a V y AH = Bài t p t ng t : Bài 1: Cho hình chóp SABC có đáy ABC tam giác vng cân t i B v i BA=BC=a bi t SA vng góc v i đáy ABC SB h p v i (SAB) m t góc 30o a3 Tính th tích hình chóp s: V = Bài 2: Cho hình chóp SABC có SA vng góc v i đáy (ABC) SA = h ,bi t r ng tam giác ABC đ u m t (SBC) h p v i đáy ABC m t góc 30o Tính th h3 tích kh i chóp SABC s: V = Bài 3: Cho hình chóp SABC có đáy ABC vng t i A SB vng góc v i đáy ABC bi t SB = a,SC h p v i (SAB) m t góc 30o (SAC) h p v i (ABC) m t góc 60o Ch ng minh r ng SC2 = SB2 + AB2 + AC2 Tính th tích hình chóp a3 s: V = 27 Bài 4: Cho t di n ABCD có AD ^ (ABC) bi t AC = AD = cm,AB = cm, BC = cm 1) Tính th tích ABCD s: V = cm3 12 2) Tính kho ng cách t A đ n m t ph ng (BCD) s: d = 34 Bài 5: Cho kh i chóp SABC có đáy ABC tam giác cân t i A v i BC = 2a , BAC = 120o , bi t SA ^ (ABC) m t (SBC) h p v i đáy m t góc 45o góc ¼ a3 Tính th tích kh i chóp SABC s: V = Bài 6: Cho kh i chóp SABCD có đáy ABCD hình vuông bi t SA ^ (ABCD),SC = a SC h p v i đáy m t góc 60o Tính th tích kh i chóp a3 s: V = 48 Bài 7: Cho kh i chóp SABCD có đáy ABCD hình ch nh t bi t r ng 20 ThuVienDeThi.com http://megabook.vn/ ... b Q ThuVienDeThi.com http://megabook.vn/ Th tích kh i đa di n – www.mathvn.com Di n tích hình chi u: G i S di n tích c a đa giác (H) mp(P) S’ di n tích hình chi u (H’) c a (H) mp(P’) S S' = Scos... N HÌNH H C L P A TH TÍCH KH I A DI N I/ Các cơng th c th tích c a kh i đa di n: TH TÍCH KH I L NG TR : V= ì B : d ie än B.h tíc h đ a ùy h í v i î h : c h ie àu c a o a) Th tích kh i h p ch nh... v i a,b,c ba kích th c b) Th tích kh i l p ph V = a3 v i a đ dài c nh B a ng: c b a a a TH TÍCH KH I CHĨP: V= Bh h ìB : diện tích đáy v i í ỵ h : chiều cao T S TH TÍCH T DI N: Cho kh i t di n