Toán học Bài tập thể tích khối đa diện tổng hợp23700

I MỤC TIÊU: Kiến thức:  Nắm khái niệm thể tích khối đa diện  Nắm cơng thức tính thể tích số khối đa diện cụ thể Kĩ năng:  Tính thể tích khối lăng trụ, khối chóp  Tính tỉ số thể tích khối đa diện tách từ khối đa diện Thái độ:  Liên hệ với nhiều vấn đề thực tế với khối đa diện  Phát huy tính độc lập, sáng tạo học tập II LÝ THUYẾT 1.HệthứclượngtrongtamgiácvuôngABCvuôngtạiA: 1   ; AB  BH HC ; AC  HC.BC 2 AH AB AC 2.Cáccôngthứctrong tam giác thường: - A Định lý cô sin: BC  AB  AC  AB AC.cos µ - Cơng thức đường trung tuyến: AM  AB  AC BC  Cơng thức diện tích: abc S  AB AC sin µ A  pr   p ( p  a )( p  b)( p  c) 4R Cơng thức thể tích: * Thể tích khối chóp, nón: V = Bh *Thể tích khối lăng trụ : V  B.h Góc hai đường thẳng, góc hai mặt phẳng : - Góc đường thẳng mặt phẳng (P) : góc đường thẳng hình chiếu lên mặt phẳng (P) - Góc hai mặt phẳng góc hai đường thẳng nằm hai mặt phẳng vng góc với giao tuyến Khoảng cách - Khoảng cách hai đường thẳng chéo khoảng cách điểm thuộc đường thẳng tới mặt phẳng chứa đường thẳng song song với - Có thể tính khoảng cách thơng qua diện tích đáy thể tích khối đa diện - ThuVienDeThi.com BÀI TẬP CƠ BẢN TÍNH THỂ TÍCH TRỰC TIẾP BẰNG CƠNG THỨC Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, cạnh SA =a SA vng góc với đáy a) Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a b) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) a3 3V  a ; AH  S SBC Bài Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có tất cạnh a a) Tính thể tích lăng trụ V  a3 / ; b) Tính khoảng cách từ A’ đến mặt phẳng 3/2 Bài Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông cân đỉnh B AC  a 2, SB  a Đường thẳng SA vng góc với (ABC) a) Tính thể tích S.ABC V  a3 / b) Tính khoảng cách từ A đến (SBC) Bài Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng A AB  a, AC  a Mặt bên SBC cân S, SB = SC = 2a vng góc với mặt phẳng đáy a) Tính theo a thể tích chóp SABC b) Tính khoảng cách từ A đến (SBC) ĐS: V = a3/2 , kẻ AK vng góc với BC, d(A, (SBC)) = AK Bài Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a, SA vng góc với đáy Biết thể tích S.ABC a3 Tính khoảng cách từ S đến (ABC) Tính khoảng cách từ A đến (SBC) ĐS: khoảng cách từ S đến (ABC) SA  4a ; 4a 65 Bài Cho hình lăng trụ ABC A’B’C’ có đáy tam giác cạnh a, AA’ = 2a Cạnh bên tạo với đáy góc 600 a) Tính thể tích lăng trụ b) Tính thể tích tứ diện C.A’B’ C’ 3a a3 VC A'B'C'  VABC A'B'C'  ĐS: a) Khoảng cách từ A’ đến (ABC) a , VABC A'B'C'  4 Bài Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác vng, AB = BC = a, SA = a SA vng góc với đáy a) Tính thể tích khối chóp S.ABC a a3 d ( A, ( SBC ))  VS.ABC  b) Tính khoảng cách từ A đến (SBC) Bài Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ với sáu mặt hình thoi cạnh a có góc 60 a) Tính thể tích khối tứ diện A’.ABC a3 a3 b) Tính thể tích khối hộp ABCD.A’B’C’D’ ; VA’.ABC = 12 Bài Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông cân B, hai mặt bên (SAB) (SAC) vng góc với đáy, biết AB = a, SA = 2a a) Tính thể tích khối chóp S.ABC b) Tính khoảng cách từ A đến (SBC) 2a ĐS: thể tích khối chóp S.ABC = a3/3; d ( A, ( SBC ))  Bài 10 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cân A, SA vng góc với (ABC), SB tạo với đáy góc 450, SBC tam giác cạnh a a) Tính AB, AM với M trung điểm BC b) Tính thể tích khối chóp S.ABC a a3 VS ABC  ĐS: AB = AC = a, AM = AM  ; 24 Bài 11 Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác vuông B, BAC = 300 ,SA = AC = a SA vng góc ThuVienDeThi.com với mặt phẳng (ABC).Tính thể tích S.ABC khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) 3a 21a V ;d  24 Bài 12 Cho hình chóp S.ABCD có SC  ( ABCD) , đáy hình thoi cạnh a Góc (SAB) (ABCD) 450 Tính theo a thể tích khối chóp SABCD khoảng cách từ C đến mặt phẳng 3a 3a ;d  (SBD) V  4 Bài 13 Cho hình chóp S.ABCD có ABCD hình chữ nhật, AB = a, AD = a , SA = a, SA vuông góc với ABCD) M, N trung điểm AD SC I = BM ∩ AC Tính thể tích hình chóp 2a V  ANIB 36 Bài 14 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng tâm O, SA ⊥ (ABCD); AB = a; SA = a Gọi H, K hình chiếu vng góc A SB, SD CMR: SC ⊥ (AHK) tính thể tích 2a hình chóp OAHK V  27 Bài 15 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật AB=a, AD=2a cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy Góc SC mặt phẳng (ABCD) 450 Gọi E trung điểm 5a V  BC Tính thể tích khối chóp S.BDE theo a Bài 16 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh 2a Gọi E trung điểm AB Hình chiếu vng góc đỉnh S lên mặt đáy trùng với trung điểm DE Biết góc SA mặt 15a đáy (ABCD) 60o Tính theo a thể tích khối chóp V  Bài 17 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông cân A SC  2a Hình chiếu vng góc S mặt phẳng (ABC) trung điểm M cạnh AB Góc SC đáy (ABC) 15a 60o Tính thể tích khối chóp theo a V  Bài 18 Cho hình chóp S.ABC, SA = a, SA vng góc với đáy, đáy tam giác vng cân có AB = BC = a Gọi B’ trung điểm SB, C’ chân đường cao hạ từ A tam giác SAC a Tính thể tích S.ABC b Chứng minh SC vng góc với mp(AB’C’) c Tính thể tích S AB’C’ Bài 19 Cho khối chóp S.ABC có ABC SBC tam giác có cạnh 2, SA= a Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a V  3a Bài 20 Cho hình chóp S.ABCD có cạnh đáy 2a, góc cạnh bên mặt đáy 600 Tính thể tích 6a hình chóp V  Bài 21 Cho hình chóp S.ABCD có cạnh đáy 2a, góc mặt bên mặt đáy 600 Tính thể tích 3a 3 Bài 22 Cho khối tứ diện ABCD cạnh a, M trung điểm DC a Tính thể tích khối tứ diện ABCD b Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng ABC Tính thể tích khối chóp MABC hình chóp V  ThuVienDeThi.com 2a 2a V ; b V  12 24 Bài 23 Cho hình chóp S.ABC có SA = 6a, AB = 3a Gọi M điểm thuộc cạnh SC cho 2MS = MC Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a cosin góc hai đường thẳng SB AM 11a 19 V cos( SB, AM )  38 Bài 24 Cho hình chóp S ABCD có độ dài cạnh đáy a , mặt bên hình chóp tạo với mặt đáy góc 600 Mặt phẳng (P ) chứa AB qua trọng tâm tam giác SAC cắt SC, SD M, N Tính thể tích khối chóp S ABMN theo a Tính khoảng cách đường thẳng SD BC theo a 3a V  16 Bài 25 Cho khối chóp S.ABC có ABC SBC tam giác có cạnh 2, SA  a Tính thể tích 3a Bài 26.Cho hình chóp S.ABCD có AB=5a, BC=6a, CA=7a Các mặt bên SAB, SBC, SCA tạo với đáy o V  3a góc 60 Tính thể tích khối chóp Bài 27.Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a, tam giác SAB tam giác (SAB) ⊥ (ABCD).Gọi K trung điểm AD Chứng minh AC ⊥ SK tính thể tích tứ diện 3a V  SBCK 12 Bài 28.Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a, mặt bên SAD tam giác nằm a mặt phẳng vng góc với đáy, SC = Tính thể tích khối chóp S.ABCD khoảng cách khối chóp S.ABC theo a a Bài 29 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông cân A, mặt bên SBC tam giác đểu cạnh a mặt phẳng (SBC) vng góc với mặt đáy Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC khoảng cách hai đường thẳng SA, BC Bài 30.Cho hình chóp S.ABCD có ABCD hình chữ nhật với AB = 2a; BC = a Mặt phẳng (SAB) vng góc với mặt đáy (ABCD) SA = a , SB = a Gọi K trung điểm CB Hãy tính thể tích khối chóp S.ABCD tính khoảng cách hai đường chéo SC DK Bài 31 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh 2a, cạnh bên SA = a, SB = a mặt phẳng (SAB) ⊥ (ABCD) Gọi M, N theo thứ tự trung điểm cạnh AB, BC Tính thể tích khối chóp S.ABCD tính khoảng cách đường thẳng SM DN theo a Bài 32.Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật có AB = a, BC = 2a Hai mặt bên (SAB) (SAD) vng góc với đáy, cạnh SC hợp với đáy góc 600 Tính thể tích khối chóp S.ABCD 15a V Bài 33.Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác vng B, cạnh SA vng góc với đáy Gọi D, E hình chiếu vng góc A lên SB, SC Biết AB = 3, BC = SA = Tính thể 864 tíchkhối chóp S.ADE 245 Bài 34 Cho khối chóp S.ABC có SA vng góc với mặt đáy (ABC), tam giác ABC vng cân a3 B, SA= a, SB hợp với đáy góc 300 Tính thể tích khối chóp S.ABC V  Bài 35 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông B, cạnh SA vng góc với mặt đáy hai đường thẳng AD, SB theo a d ( SB, AD)  ThuVienDeThi.com ·  600 , BC = a, SA= a Gọi M trung điểm SB Góc SBC 1) Chứng minh (SAB) vng góc (SBC) a3 V 2) Tính thể tích khối chóp MABC 12 Bài 36 Hình chóp S.ABC có BC = 2a, đáy ABC tam giác vuông C, SAB tam giác vuông cân S nằm mặt phẳng vng góc với mặt đáy Gọi I trung điểm cạnh AB 1) Chứng minh rằng, đường thẳng SI vng góc với mặt đáy (ABC ) 2) Biết mặt bên (SAC) hợp với đáy (ABC) góc 600 Tính thể tích khối chóp S.ABC 6a 3 Bài 37.Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng B, BA = 3a, BC = 4a; Mặt phẳng (SBC) vuông góc với mặt phẳng (ABC) Biết SB  2a 3;·SBC  300 Tính thể tích khối V chóp S.ABC (Trích đề thi ĐH khối D – 2011) V  2a 3 Bài 38.Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thang vng A B AB = SD = 3a, AD = SB = 4a, a > 15 V  a3 Đường chéo AC  ( SBD) Tính thể tích khối chóp S.ABCD · Bài 39 Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác vuông A, ; ABC  30 SBC tam giác cạnh a mặt bên SBC vng góc với đáy Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC (Trích đề thi ĐH khối A – 2013) Bài 40 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a, mặt bên SAB tam giác nằm mặt phẳng vng góc với mặt phẳng đáy Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD ·  600 , Bài 41 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thoi cạnh 2a, SA=a, SB  a , BAD (SAB) vng góc với đáy (ABCD) Tính thể tích khối chóp S.ABCD Bài 42 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật ABCD có AB = a, AD  a góc (SAC) mặt phẳng (ABCD) 600 , tam giác SAB cân S thuộc mặt phẳng vng góc với mặt phẳng đáy (ABCD) gọi H, M trung điểm AB BC Tính thể tích khối chóp S.DHM Bài 43 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang vng A D, AB  AD  2a; CD  a góc hai mặt phẳng (SBC) đáy (ABCD) 600 Gọi I trung điểm cạnh AB Biết (SBI) (SCI) vng góc với mặt phẳng (ABCD) Tính thể tích khối chóp 3a 15 S.ABCD theo a V  (Trích đề thi ĐH khối A – 2009) Bài 44 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang cân, AB//CD, AB=2CD=4a, BC  a 10 , biết mặt phẳng (SAC) mặt phẳng (SBD) vng góc với mặt phẳng đáy, mặt bên (SAB) tam giác Tính thể tích khối chóp S.ABCD ĐS: 6a Bài 45 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi tâm O, cạnh a, BD=a Trên cạnh AB lấy điểm M cho BM=2AM Biết hai mặt phẳng (SAC) (SDM) vng góc với mặt o phẳng (ABCD) mặt bên (SAB) tạo với mặt đáy góc 60 Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a a3 V 16 Bài 46 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh 2a Mặt bên (SAB) (SAC) vng góc với mặt đáy (ABC); mặt bên (SBC) tạo với đáy (ABC) góc 300 Tính thể tích khối chóp S.ABC Bài 47 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật tâm O, SD vng góc với mặt phẳng ThuVienDeThi.com (ABCD), AD = a, ·AOB  1200 góc hai mặt phẳng (SBC) (ABCD) 450 a) Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD b) Tính khoảng cách hai đường thẳng AC, SB a ·  450 , SD  a , VS.ABCD = a3, d ( AC , SB)  ĐS: tam giác OAD đều, AB  a , SCD Bài 48 Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác cạnh a, góc cạnh bên mặt phẳng đáy 450, hình chiếu A lên mặt phẳng (A’B’C’) trung điểm A’B’ Gọi M trung điểm B’C’ a) Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ b) Tính cơsin góc hai đường thẳng A'M AB' a a3 ĐS: AH  VABC.A'B'C'  Gọi N trung điểm BC, A’M // AN, góc hai đường thẳng A'M AB' góc hai đường thẳng AB’ AN Xét tam giác AB’N, tính độ dài cạnh có AB’ = a Tìm cách dựng hình để gắn B’N vào tam giác vuông, gọi K trung điểm AB’, KB’N tam giác vng, tính a ·  B’N = ; cosinNAB' Bài 49 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a, SD = 3a/2 Hình chiếu vng góc H đỉnh S lên mặt phẳng (ABCD) trung điểm đoạn AB Gọi K trung điểm đoạn AD a) Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD b) Tính khoảng cách hai đường thẳng HKvà SD ĐS: SH = a, Thể tích S.ABCD = a3/3 khoảng cách hai đường thẳng HK SD a/3 Bài 50 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a Gọi I trung điểm cạnh AB Hình chiếu vng góc đỉnh S mặt phẳng đáy trung điểm H CI góc đường thẳng SA mặt đáy 600 a) Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC b) Tính khoảng cách từ điểm H đến mặt phẳng (SBC) a 21 a a 21 a3 d ( H , ( SBC ))  ; SH  ;VS ABC  a) AH  4 16 29 Bài 51 Cho hình lăng trụ ABC.A’ B‘C ‘ có đáy ABC tam giác cạnh a Hình chiếu vng góc A’ xuống mặt phẳng (ABC) trung điểm AB Mặt bên (AA’ C ‘C ) 450 Tính thể tích khối lăng trụ Bài 52 Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC tam giác vuông A AC = a, µ  600 Đường chéo BC' mặt bên BB'C'C tạo với mặt phẳng ((AA'C'C) góc 300 Tính C thể tích khối lăng trụ theo a V  a Bài 53 Cho hình lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ cạnh đáy a Góc đường chéo A’C đáy 60o Tính thể tích khối lăng trụ diện tích xung quanh khối lăng trụ cho V  6a Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có cạnh đáy a Khoảng cách từ trọng tâm O tam giác ABC đến Bài 54 2a mặt phẳng (A’BC) a/6 Tính thể tích khối lăng trụ V  16 Bài 54 Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC tam giác cạnh a A’ cách A,B,C AA’ tạo đáy góc 600 Tính thể tích khối lăng trụ, chứng minh BCC’B’ hình chữ nhật Bài 55 Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC tam giác cạnh a Gọi M trung điểm AA’, mặt phẳng MB’C’ chia khối lăng trụ thành phần Tính tỉ số thể tích hai phần PHƯƠNG PHÁP TÍNH THỂ TÍCH GIÁN TIẾP ThuVienDeThi.com Bài Cho khối chóp SABC, ABC tam giác vng cân B, AC  2a, SA  ( ABC ), SA  a Gọi I điểm thuộc SB cho 3SI  SB Tính thể tích khối tứ diện SAIC V  a / Bài Cho hình chóp SABCD có đáy hình vng cạnh a, SA  a Hình chiếu vng góc S đáy điểm H thuộc AC cho AC = 4AH Gọi CM đường cao tam giác SAC, chứng minh 14a M trung điểm SA tính thể tích SMBC V  48 Bài Cho hình chóp SABCD có đáy hình chữ nhật AB  SA  a, AD  a , SA vng góc với đáy, M, N trung điểm AD SC I giao điểm BM AC Tính thể tích 2a V ANIM 72 Bài Cho hình chóp SABCD có đáy hình chữ nhật AB  2a, BC  a , SA = SB = SC = SD = a E thuộc SC cho SE = 2EC, F thuộc SD cho FD = 3SF Tính thể tích SABEF 5a V 12 ·  ·ABC  900 , AB  BC  a, AD  SA  2a, Bài Hình chóp SABCD có đáy hình thang BAD SA  ( ABCD) M, N trung điểm SA SD Tính thể tích SBCMN Bài Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA vng góc với mặt phẳng ABCD, SA  a Gọi H, K hình chiếu vng góc điểm A cạnh SB, SD Mặt phẳng (AHK) cắt SC I Tính thể tích khối chóp S.AHIK Bài Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông cân B, AB = BC = 2a; Hai mặt phẳng (SAB) (SAC) vng góc với mặt phẳng (ABC) Gọi M trung điểm AB, mặt phẳng qua SM song song với BC cắt AC N Biết góc hai mặt phẳng (SBC) (ABC) 60o Tính VSBCNM (Trích đề khối A - 2011) Bài Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác vng cân B, cạnh SA vng góc với đáy, AB  a 2, SB  2a Gọi M trung điểm SC a) Tính thể tích khối chóp S.AMB b) Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng (AMB) 3V 4a 2a V  V  a) S.AMB b) d ( S , ( ABM ))  S.AMB  S ABC S ABM 3 Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, cạnh bên SA vng góc với đáy, cạnh bên SC tạo với đáy góc 60 a) Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a b) Gọi M trung điểm SA, mặt phẳng (MBC) cắt SD N Mặt phẳng (MBCN) chia khối chóp S.ABCD thành hai phần Tính tỉ số thể tích hai phần 1 a3 ĐS: a V  SABCD SA  a a  (đvtt) 3 VS.MBC SM VS.MCN SM SN 1    VS.MBC  VS.ABCD    VS.MCN  VS.ABCD b) VS.ABC SA VS.ACD SA SD V 3 VS.MBCN  VS.MBC  VS.MCN  VS.ABCD  S.MBCN  VABCDMN (2) ThuVienDeThi.com Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, cạnh bên SA = a, hình chiếu AC vng góc đỉnh S mặt phẳng (ABCD) điểm H thuộc đoạn thẳng AC cho AH = Gọi CM đường cao tam giác SAC a) Chứng minh M trung điểm SA b) Tính thể tích khối tứ diện SMBC theo a Bài 10 ĐS: VS MBC SM 1    VS MBC  VS ABC VS ABC SA 1 a a 14 a 14 VS ABC  SH S ABC   48 (đvtt) ThuVienDeThi.com ThuVienDeThi.com ... thể tích 6a hình chóp V  Bài 21 Cho hình chóp S.ABCD có cạnh đáy 2a, góc mặt bên mặt đáy 600 Tính thể tích 3a 3 Bài 22 Cho khối tứ diện ABCD cạnh a, M trung điểm DC a Tính thể tích khối tứ diện. .. ABCD.A’B’C’D’ với sáu mặt hình thoi cạnh a có góc 60 a) Tính thể tích khối tứ diện A’.ABC a3 a3 b) Tính thể tích khối hộp ABCD.A’B’C’D’ ; VA’.ABC = 12 Bài Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông cân... SC vng góc với mp(AB’C’) c Tính thể tích S AB’C’ Bài 19 Cho khối chóp S.ABC có ABC SBC tam giác có cạnh 2, SA= a Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a V  3a Bài 20 Cho hình chóp S.ABCD có cạnh