ĐỀ THI THỬ HỌC SINH GIỎI LẦN 11 NĂM HỌC 2013-2014 Mơn TỐN Thời gian làm bài: 150 phút, khơng kể thời gian giao đề, khơng sử dụng máy tính bỏ túi SỞ GD&ĐT HỒ BÌNH TRƯỜNG THPT 19-5 Câu I (4 điểm) Cho hàm số y x x (C) 1) Viết phương trình tiếp tuyến (C) biết tiếp tuyến vng góc với đường thẳng d : x y 18 2) Tìm đường thẳng (d): y = điểm mà từ kẻ ba tiếp tuyến đến đồ thị (C) Câu II (6 điểm) Giải phương trình hệ phương trình sau: 1) tan( 2) 5 s inx -x) + =2 + cosx 3 log1 ( x + 2) - = log1 ( - x ) + log1 ( x + 6) 4 8 x3 y 27 18 y 3) 2 4 x y x y Câu III (4 điểm) Cho hình hộp đứng ABCD.A'B'C'D' có cạnh AB = AD = a, AA' = a vµ gãc BAD = 600 Gọi M N trung điểm cạnh A'D' A'B' 1) Chứng minh AC' vuông góc với mặt phẳng (BDMN) 2) Tính thÓ tÝch khèi chãp A.BDMN Câu IV (3 điểm) Cho đường tròn (C) có phương trình : x y x y đường thẳng (d) có phương trình : x + y – = Chøng minh r»ng (d) cắt (C) hai điểm phân biệt A,B Tìm toạ độ điểm C đường tròn (C) cho diƯn tÝch tam gi¸c ABC lín nhÊt Câu V (3 điểm) 1) Tìm a để phương trình sau có nghiệm: 91 1 x a 31 1 x 2a ( Dự bị KA-02) 2) Cho tam gi¸c nhän ABC , tìm giá trị bé biểu thức: S cos A cos A cos B cos 2C HẾT ThuVienDeThi.com HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ 11 Câu I 2/ Gọi M(m; 2) d Phương trình đường thẳng qua M có dạng: y k ( x m) Từ M kẻ tiếp tuyến với (C) Hệ phương trình sau có nghiệm phân biệt: x x k ( x m) (1) m 1 hoaëc m (2) 3 x x k m Câu II cosx+1 cosx+1 1) (1) ( cosx+1)(1- 2sinx) = 5 sin x= x= k 2 x= k 2 5 Vậy x= k 2 x= k 2 (k Z) nghiệm 6 2) x 2; x 33 (2 x )3 18 y 3) (2) Đặt a = 2x; b = (2) a b y ab 3 3 2 x y x y 3 3 ; ; , Hệ cho có nghiệm: Câu III Chứng tỏ AC’ BD C/m AC’ PQ, với P,Q trung điểm BD, MN Suy AC’ (BDMN) Tính chiều cao AH , với H giao PQ AC’ Nếu dùng cách hiệu thể tích 3a phải cách tính Tính diện tích hình thang BDMN Suy thể tích cần tìm là: 16 Câu IV (C) có tâm I(2;2), bán kính R=2 Tọa độ giao điểm (C) (d) nghiệm hệ: y x C x y M y Hay A(2;0), B(0;2) 2 x x y 4x y I B y H A Hay (d) cắt (C ) hai điểm phân biệt A,B O x Ta có S ABC CH AB (H hình chiếu C AB) C (C ) ( ) S ABC max CH max Dễ dàng thấy CH max xC d Hay : y = x với : C (2 2; 2) Vậy C (2 2; 2) S ABC max I (2; 2) Câu V 1) Đk x Đặt t= 31 1 x 1 1 x Ta thấy x2 x2 Nên 3 3t 9 Bài tốn quy về: Tìm a để phương trình t2- (a+2)t +2a +1 =0 (1) có nghiệm t thoả 3t 9 ThuVienDeThi.com t 2t a (1) f(t)= t2 số nghiệm phương trình (1) 3t 9 t 2t t2 số giao điểm đường thẳng y=a đồ thị hàm số f(t) = Lập bảng biến thiên ta kết quả: 4a 64 2) S cos A cos A cos B cos 2C = cos A cos A cos( B C ) cos( B C ) cos A cos A1 cos( B C ) V× cos A , cos( B C ) nªn S cos A , dÊu b»ng xÈy cos( B C ) hay 1800 A Nhng cos A 1 , dÊu b»ng xÈy A 1800 hay A = 600 Tóm lại : S có giá trị bé -1 ABC tam giác BC ThuVienDeThi.com ...HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ 11 Câu I 2/ Gọi M(m; 2) d Phương trình đường thẳng qua M có dạng: y k ( x m) Từ M kẻ... thấy x2 x2 Nên 3 3t 9 Bài toán quy về: Tìm a để phương trình t2- (a+2)t +2a +1 =0 (1) có nghiệm t thoả 3t 9 ThuVienDeThi.com t 2t a (1) f(t)= t2 số nghiệm phương... phương trình (1) 3t 9 t 2t t2 số giao điểm đường thẳng y=a đồ thị hàm số f(t) = Lập bảng biến thi? ?n ta kết quả: 4a 64 2) S cos A cos A cos B cos 2C = cos A cos A cos( B C ) cos(