ĐỀ THI THỬ HỌC SINH GIỎI LẦN 12 NĂM HỌC 2013-2014 Mơn TỐN Thời gian làm bài: 150 phút, khơng kể thời gian giao đề, khơng sử dụng máy tính bỏ túi SỞ GD&ĐT HỒ BÌNH TRƯỜNG THPT 19-5 Câu I ( 5,0 điểm) Cho hàm số y x x 1 có đồ thị (C) 1) Viết phương trình tiếp tuyến (C) biết tiếp tuyến qua A(0; 20) 2) Tìm đồ thị (C) hai điểm đối xứng qua đường thẳng MN biết M(-3;0) N(-1;-1) Câu II (6 điểm) 1) Giải phương trình: 2x x2 x 1 x cos x cos x 1 1 sin x 2) Giải phương trình: sin x cos x x y xy 2 x y 3) Giải hệ phương trình: (1) (2) Câu III (4,0 điểm) Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có tất cạnh a Gọi M trung điểm AA’ Tính thể tích khối tứ diện BMB’C’ theo a chứng minh BM vng góc với B’C Câu IV (3,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm A(2; –1) đường thẳng d có phương trình 2x – y + = 1) Tìm điểm A' đối xứng với A qua d 2) Lập phương trình đường thẳng () qua A tạo với d góc α có cosα 10 Câu V (2,0 điểm) 1) Tìm m để phương trình sin x cos x cos x 2sin x m có nghiệm 0; 2) Cho a, b, c ba số dương thoả mÃn : a + b + c = P a 3b 3 b 3c 3 Tìm giá trị nhỏ biểu thức c 3a HẾT ThuVienDeThi.com HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ 12 Câu I Gọi điểm cần tìm A, B có A a; ; B b; ; a, b 1 a 1 b 1 ab a2 b2 ; Trung điểm I AB: I a 1 b 1 Pt đường thẳng MN: x + 2y +3= AB.MN Có : I MN a A(0; 4) => b B(2;0) Câu II 1/ TXĐ: x 1;3 Đặt t= x x , t > => 2x x2 đc pt: t3 - 2t - = t=2 t2 x 1 Với t = x x =2 (t / m) x 2/ cos x cos x 1 1 sin x sin x cos x Giải phương trình ĐK: sin x cos x Khi PT 1 sin x cos x 1 1 sin x sin x cos x 1 sin x 1 cos x sin x sin x.cos x 1 sin x 1 cos x 1 sin x sin x 1 cos x 1 (thoả mãn điều kiện) k 2 x x m2 k , m Z Vậy phương trình cho có nghiệm là: x k 2 x m2 k , m Z (2) x y ( x 1).( y 1) 14 xy ( xy ) xy 11 (c) p 3 p 11 Đặt xy = p (c) p p 11 p p 35 3 p 26 p 105 (1) x y 3xy p = xy = 35 (loại) p = xy = x y 2 ThuVienDeThi.com xy x y x y 1/ Với Vậy hệ có hai nghiệm là: xy x y x y 2 2/ Với 3; , 3; Câu III A C H B M C' A' Gọi H trung điểm BC d M ; BB ' C AH a B' a2 a3 1 SBB ' C BB '.BC VMBB ' C AH SBB ' C 2 12 Gọi I tâm hình vng BCC’B’ (Học sinh tự vẽ hình) Ta có B ' C MI ; B ' C BC ' B ' C MB Câu IV PT đường thẳng () có dạng: a(x – 2) + b(y +1) = ax + by – 2a + b = Ta có: cos 2a b 5(a b ) 2 7a2 – 8ab + b2 = Chon a = b = 1; b = 10 (1): x + y – = (2): x + 7y + = Câu V 1) Ta có sin x cos x sin 2 x cos4 x 2sin 2 x Do 1 3sin 2 x 2sin x m Đặt t sin x Ta có x 0; x 0; t 0;1 2 Suy f t 3t 2t m, t 0;1 Ta có bảng bin thiờn 2) áp dụng Bất đẳng thức Côsi cho ba sè d¬ng ta cã 1 1 1 (x y z ) 33 xyz (*) 9 xyz x y z xyz x y z 1 ¸p dơng (*) ta cã P 3 3 3 a 3b b 3c c 3a a 3b b 3c c 3a ThuVienDeThi.com ¸p dơng Bất đẳng thức Côsi cho ba số dương ta có a 3b 1 a 3b 3 b 3c 1 b 3c 1.1 b 3c 3 c 3a 1 c 3a 1.1 c 3a 3 a 3b 1.1 1 a 3b b 3c c 3a a b c 3 3 Do ®ã P Suy 3 DÊu = x¶y a b c abc a 3b b 3c c 3a Vậy P đạt giá trị nhỏ a b c / Mọi cách giải khác cho kết điểm tuyệt đối ThuVienDeThi.com ... BB ' C AH a B' a2 a3 1 SBB ' C BB '.BC VMBB ' C AH SBB ' C 2 12 Gọi I tâm hình vng BCC’B’ (Học sinh tự vẽ hình) Ta có B ' C MI ; B ' C BC ' B ' C MB Câu IV PT đường thẳng...HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ 12 Câu I Gọi điểm cần tìm A, B có A a; ; B b; ; a, b 1 a 1 b 1 ... 26 p 105 (1) x y 3xy p = xy = 35 (loại) p = xy = x y 2 ThuVienDeThi.com xy x y x y 1/ Với Vậy hệ có hai nghiệm là: xy x y x y