Đề thi thử học sinh giỏi lần 9 năm học 20132014 môn Toán Trường THPT 19526729

SỞ GD&ĐT HỒ BÌNH TRƯỜNG THPT 19-5 ĐỀ THI THỬ HỌC SINH GIỎI LẦN NĂM HỌC 2013-2014 Mơn TỐN Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề, khơng sử dụng máy tính bỏ túi 3x  có đồ thị (C) 3x  Tìm giá trị tham số m để đường thẳng d : y  x  m cắt đồ thị C  hai điểm phân biệt A B cho tam giác OAB ( với O gốc tọa độ ) Câu I: (3,0 điểm) Cho hàm số y  Câu II: (6,0 điểm) Cho phương trình  2x   2x  x  m  Tìm giá trị tham số m để phương trình có nghiệm thực  xy  x  y  x  2y 2 Giải hệ phương trình  x, y  ฀   x   2y   3 Tìm nghiệm khoảng    0;   2 phương trình:     3  x 4sin      sin   x    cos2  x   2   2   Câu III: (4,0 điểm) Cho lăng trụ ABC.A 'B'C' có đáy tam giác cạnh a Hình chiếu vng góc điểm A ' lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm tam giác ABC Biết khoảng cách hai đường thẳng AA ' BC theo a thể tích khối lăng trụ ABC.A 'B'C' a Tính Câu IV: (4,0 điểm) a) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy , cho tam giác ABC cân A, cạnh BC nằm đường thẳng có phương trình: x  y   Đường cao kẻ từ B có phương trình: x  y   , điểm M 1;1 thuộc đường cao kẻ từ đỉnh C Xác định toạ độ đỉnh tam giác ABC b) Trong mặt phẳng cho bốn điểm phân biệt A,B,C,D cho bốn điểm khơng nằm đường thẳng Chứng minh rằng: AC  BD  AB  CD  AD  BC Câu V: (3,0 điểm) Cho ba số dương a, b c thỏa mãn abc = 1.Chứng minh rằng: a) a  b  c  a  b  c 1 b)   1 a  b 1 b  c 1 c  a 1 HẾT -ThuVienDeThi.com HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ SỐ Câu + Phương trình hồnh độ giao điểm: 3x  3mx  3m   1 với x  1 + Đường thẳng d cắt đồ thị (C) hai điểm phân biệt phương 9m  36m  48  trình 1 có hai nghiệm phân biệt khác 1   (đúng m )   0.m   x1  x  m *  + Gọi x1 , x nghiệm phương trình (1), ta có:  3m   x1x   Giả sử A x1; x1  m  , B x ; x  m  Khi ta có OA  x12  x1  m  ,OB  x 22  x  m  2 Kết hợp * ta OA  OB  x12  x 22 Suy OAB cân O Ta có AB  x1  x  Tam giác OAB  OA  AB2  x12  x 22  x1  x   x1  x   6x1x  2 m  Vậy giá trị cần tìm m  2, m   m  6m     m  Câu 1 1/ ĐKXĐ:   x  Đặt t   2x   2x * 2 1 t'   , t'   x    t   2x  2x  t  4t Ta có: *  x  16 Khi phương trình cho trở thành: t  4t  16t  16m Xét hàm số f t   t  4t  16t với t   2;2  Ta có hàm số f t  liên tục đoạn  2;2  f ' t   4t  8t  16, f ' t    t  Suy Min f t   32 ,  ; 2   Max f t   4  16  ; 2   Vậy phương trình có nghiệm khi: 32  16m  4  16 1  Suy giá trị cần tìm m là: 2  m  x   2/ ĐKXĐ:   y  ThuVienDeThi.com (xy  x )  x  y  2x  2y Hệ phương trình tương đương:   x   2y     x  y  ( loại ) x  y 1  x  2y       1  x  2y   x   2y     x   2y   2y  x    x   x   *  x  PT *   2x   x  5x    x  4  x    2  x  5x    x  x  5x   7  x  4  x    x  TM   x  Với x   y  Vậy nghiệm hệ phương trình là: x; y   5;  3/ (2)      sin  x    sin   x  3 2      2 Vì x   0;  nên x= 5 18   5 2 (k  Z ) (a) k x  18   x  5  l2 (l  Z ) (b)  Câu a2 + Diện tích đáy SABC  Gọi G trọng tâm tam giác ABC B' A' C' Gọi E trung điểm BC Ta có D BC  AE B  BC  AA'E   BC  A 'G E Gọi D hình chiếu vng góc E lên A G đường thẳng AA ' C Do BC  DE, AA'  DE Suy DE khoảng cách hai đường thẳng AA ' BC DE ฀ ฀    DAE  300 Tam giác ADE vuông D suy sin DAE AE a Xét tam giác A 'AG vng G ta có A 'G  AG.tan 300  3 a Vậy VABC.A 'B'C '  A 'G.SABC  (đvtt) 12 ThuVienDeThi.com Câu Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy , cho tam giác ABC cân A, cạnh BC nằm đường thẳng có phương trình x  y   Đường cao kẻ từ B có phương trình x  y   , điểm M 1;1 thuộc đường cao kẻ từ đỉnh C Xác định toạ độ đỉnh tam giác ABC A M B I N E  x  y 1  Toạ độ B nghiệm hệ  2 x  y   Suy B 3; 4  C Gọi d đường thẳng qua M song song với BC  d : x  y   Gọi N giao điểm d với đường cao kẻ từ B Toạ độ N nghiệm hệ 2 x  y   Suy N 4; 5    x  y 1  5  Gọi I trung điểm MN  I  ; 2  2  Gọi E trung điểm BC Do tam giác ABC cân nên IE đường trung trực BC, IE qua I 13 vng góc với BC  IE : x  y   13  x  y    21 11  6 2 Toạ độ E nghiệm hệ   E  ,   C  ;   10  5 5  x  y   CA qua C vng góc với BN suy CA : x  y   13   x  y    33 49  Toạ đô A nghiệm hệ   A  ;    10 10   x y8 0  Trong mặt phẳng cho bốn điệm phân biệt A,B,C,D không nằm đường thẳng Chứng minh rằng: AC  BD  AB  CD  AD  BC Chọn hệ trục Oxy cho A, C  Ox , B  Oy Giả sử hệ trục ta có: A( a,0), C (c,0), B (0, b), D ( m, n) AB  CD  AD  BC 2  a  b  c  m   n  a  m   n  c  b  2m(a  c)  (*) Do A( a,0)  C (c,0)  a  c Vậy từ (*) suy m = , hay D nằm trục tung Vậy (*)  AC  BD ThuVienDeThi.com Câu a   2a , b   2b , c   2c 1/  a  b  c  a  b  c   a  b  c   Mà a  b  c  3 abc  Vậy: a  b  c  a  b  c , đẳng thức xảy a  b  c  2/ 2  a  b  a ab  a  b  ab  3 3  ab  b   a  b   ab   a  b    a  b  ab 3 ab  a 3  b3c  a  b   3 ab abc  ab abc  a 3 b3c   a  b3c  c a3b3c Tương tự:  b  c  bc  c  a  ca  a 3 b3c  a 3 b3c     3 bc  a 3 ca abc b3c abc  a 3 b3c  1 a3b3c Vậy:    1 a  b 1 b  c 1 c  a 1 a  b  c Đẳng thức xảy a = b = c = ThuVienDeThi.com    3 a a b3c 3 b a3b3c ...HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ SỐ Câu + Phương trình hồnh độ giao điểm: 3x  3mx  3m   1 với x  1 + Đường thẳng d cắt đồ thị (C) hai điểm phân biệt phương 9m  36m  48  trình 1 có... khi: 32  16m  4  16 1  Suy giá trị cần tìm m là: 2  m  x   2/ ĐKXĐ:   y  ThuVienDeThi.com (xy  x )  x  y  2x  2y Hệ phương trình tương đương:   x   2y     x  y ... giác A 'AG vng G ta có A 'G  AG.tan 300  3 a Vậy VABC.A 'B'C '  A 'G.SABC  (đvtt) 12 ThuVienDeThi.com Câu Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy , cho tam giác ABC cân A, cạnh BC nằm đường thẳng