ĐỀ THI THỬ HỌC SINH GIỎI LẦN 15 NĂM HỌC 2013-2014 Mơn TỐN Thời gian làm bài: 150 phút, khơng kể thời gian giao đề, khơng sử dụng máy tính bỏ túi SỞ GD&ĐT HỒ BÌNH TRƯỜNG THPT 19-5 Câu I (5,0 điểm) 1) Cho hàm số y f ( x) x3 mx 2m (1) ( m tham số) Tìm tất giá trị m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành điểm 2) Cho hàm số y (2m 1) x m x 1 Tìm m để đồ thị hàm số tiếp xúc với đường thẳng y x Câu II.(6,0 điểm) Giải phương trình sau: 1) 2.27 x 18 x 4.12 x 3.8 x 2) x x x 3) 5cos x 5 x –9 4sin 3 Câu III (4,0 điểm): Cho khối chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a, cạnh bên 2a 1) Tính thể tích khối chóp 2) Xác định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp 3) Tính diện tích mặt cầu thể tích khối cầu ngoại tiếp khối chóp Câu IV (3,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy Cho đường tròn (C) : x y x y điểm A(4;5) 2 Chứng minh A nằm ngồi đường trịn (C) Các tiếp tuyến qua A tiếp xúc với (C) T1, T2, viết phương trình đường thẳng T1T2 Câu V (3,0 điểm): 1) Tìm m để phương trình sau có nghiệm x m x x 2) số dương thoả mãn x y z2 Chứng minh: P= x y z y z x z x y 3 HẾT ThuVienDeThi.com HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ 15 Câu I 1) Cách y x 2mx x(3 x 2m) Khi m = y x (1) đồng biến R thoả yêu cầu tốn 2m Khi m (1) có cực trị x1 , x2 Do đồ thị cắt Ox điểm khi: m 4m3 2m f ( x1 ) f x2 2m(2m ) 4m (1 )0 6 27 27 m 6 Kết luận: m ; đồ thị (1) cắt Ox điểm 2 Cách Hoành độ giao điểm đồ thị hàm số với Ox nghiệm phương trình: x3 x3 mx 2m m ;x x 2 x x3 x ( x 2) x.x3 x x ; f '( x) Xét hàm số f ( x) x 2 ( x 2) ( x 2) x Bảng biến thiên x f'(x) + 0 f(x) + 6 6 ; Từ suy Kết luận: m đồ thị (1) cắt Ox điểm 2 Câu II ThuVienDeThi.com 3x 3 3 1) 1) PT 2.33 x x.32 x 4.22 x 3x 3.23 x 2 2 2) Điều kiện x 2x PT x x x (2 x 1)(2 x 1) x 3 4 x 1 2 2x 1 0 3x x 1 (2 x 1) x 2x 1 x 3x x 3) PT 10sin2 x 4sin x 14 sin x x k2 6 6 6 Câu III S M I C B O A D Gọi O giao điểm AC BD Ta có : SO (ABCD) V SO.S ABCD ; SO = SC2 Vậy : V = S ABCD a 2a a2 7a a 14 = 4a = SO = 2 a 14 Dựng trục đường trịn ngoại tiếp hình vng ABCD SO (ABCD) Dựng trung trực SA d SA trung điểm M Xét (SAO) có d cắt SO I, ta có : SI = IA IA = IB = IC = ID IS = IA = IB = IC = ID Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD có tâm I bán kính r = SI SIM SAO SI = SI SM SM.SA = SI = SA SO SO 2a 14 2a 14 Vậy : r = SI = 7 S = 4 r = 224 a 448 a 14 ;V = r = 49 1029 ThuVienDeThi.com Câu IV * Đường trịn (C) có tâm I(2;1), bán kính R = Ta có IA = > R A nằm ngồi đường trịn (C) * Xét đường thẳng 1 : x = qua A có d(I; 1 ) = 1 tiếp tuyến (C) * 1 tiếp xúc với (C ) T1(4;1) * T1T2 IA đường thẳng T1T2 có vtpt n = IA =(1;2) phương trình đường thẳng T1T2 : 1(x - 4) + 2(y - 1) x + 2y - = Câu V 1) HD: Đk x (1) x 1 x2 1 x 1 x 1 m 24 3 m 24 x 1 ( x 1) x 1 x 1 x 1 x 1 0, 1 t [0;1) x 1 x 1 x 1 Bài toán trở thành tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm f (t ) 3t 2t m Lập bảng biến thiên f(t) ta kết 1 m 0 t Đặt t= 2) Từ giả thiết x y z2 x , y, z Áp dụng BĐT Cô–si cho số dương: x ,1 x x ta được: x (1 x ) (1 x ) x (1 x )2 x (1 x ) Tương tự ta có: y z2 x Từ (1), (2), (3) x y z2 3 3 y y z2 x x x2 (2), z x y2 x (1 x )2 3 x 3 x x 2 y z2 z x y2 3 z (1) (3) 3 3 ( x y z2 ) 2 Mọi cách giải khác cho kết điểm tuyệt đối Dấu "=" xảy x y z ThuVienDeThi.com ...HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ 15 Câu I 1) Cách y x 2mx x(3 x 2m) Khi m = y x (1) đồng biến R thoả yêu cầu toán 2m Khi m (1) có cực trị x1 , x2 Do... x 2) ( x 2) x Bảng biến thi? ?n x f'(x) + 0 f(x) + 6 6 ; Từ suy Kết luận: m đồ thị (1) cắt Ox điểm 2 Câu II ThuVienDeThi.com 3x 3 3 1) 1) PT 2.33... hệ phương trình sau có nghiệm f (t ) 3t 2t m Lập bảng biến thi? ?n f(t) ta kết 1 m 0 t Đặt t= 2) Từ giả thi? ??t x y z2 x , y, z Áp dụng BĐT Cô–si cho số dương: