Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh Bắc Ninh năm học: 20122013 môn thi: Toán – lớp 12 – thpt22997

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH NĂM HỌC 2012 – 2013 MƠN THI: TỐN – LỚP 12 – THPT Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi 29 tháng năm 2013 UBND TỈNH BẮC NINH SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ CHÍNH THỨC ================ Câu (5,0 điểm) Cho hàm số y  x  x  1 Lập phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số 1 biết tiếp tuyến vng góc với đường thẳng d có phương trình x  y   Tìm m để đường thẳng  có phương trình y  m  1 x  cắt đồ thị hàm số 1 ba điểm phân biệt A 0;1, B, C , biết hai điểm B, C có hồnh độ x1 ; x2 thỏa mãn: x13  m   x1 x23  m   x2   1 x22  x12  Câu (5,0 điểm) sin x  cos x  1  2sin x    tan x sin x  sin x Giải phương trình:  x  log x  log 2 x  y.2 x  Giải hệ phương trình:  2log x  6log  y  1  x log x  y   Câu (2,0 điểm) Tính tổng: S  C 2013 x, y  ฀  22  23  2 22014  2013 2013  2.C2013  C2013   C2013 2014 Câu (4,0 điểm) 1.Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho ba điểm A 1;1, B 3;2 , C 7;10  Lập phương trình đường thẳng  qua A cho tổng khoảng cách từ B C đến đường thẳng  lớn Trong không gian tọa độ Oxyz cho hai mặt cầu S1  : x  y  z  1  S2  : x  3   y  1  z  1 2  25 Chứng minh hai mặt cầu cắt theo giao tuyến đường trịn Tính bán kính đường trịn Câu (3,0 điểm) Cho hình chóp tam giác S ABC có cạnh đáy Gọi M , N hai điểm thay đổi thuộc cạnh AB, CD cho mặt phẳng SMN  vuông góc với mặt phẳng ( ABC ) Đặt AM  x, AN  y Chứng minh x  y  3xy , từ tìm x, y để tam giác SMN có diện tích bé nhất, lớn Câu (1,0 điểm) Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn a  b  c  a  b3  c3 Chứng minh 8a   8b   8c   Hết -(Đề thi gồm có 01 trang) ThuVienDeThi.com HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH NĂM HỌC 2012 - 2013 MƠN THI : TỐN – LỚP 12 – THPT Ngày thi 29 tháng năm 2013 ============== UBND TỈNH BẮC NINH SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Lời giải sơ lược Thang điểm Lập phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số 1 biết tiếp tuyến vng góc 3.0 Cho hàm số y  x3  x  1 Câu 1.1 với đường thẳng d có phương trình x  y   TXĐ: ฀ , y '  x  x 1.0 Hệ số góc d   Hệ số góc tiếp tuyến k  5 Gọi M x0 ; y0  tiếp điểm  x0   y0  3  Khi x0  x0    5 23  x    y0     3 27  1.0 Từ tìm phương trình hai tiếp tuyến: y  5x  ; y  5x  202 27 1.0 Tìm m để đường thẳng  có phương trình y  m  1 x  cắt đồ thị hàm số 1 1.2 ba điểm phân biệt A 0;1, B, C , biết điểm B, C có hồnh độ x1 ; x2 thỏa mãn: x13  m   x1 x23  m   x2   12  x22  x12  2.0 Phương trình hồnh độ giao điểm: x  x3  x   m  1 x   x  x  x  m  1     x  x  m  1  * 0.5  cắt đồ thị hàm số 1 ba điểm phân biệt A, B, C  phương trình (*) có     4m   m   hai nghiệm phân biệt khác    (**) m   m  1 ThuVienDeThi.com 0.5 Gọi x1 , x2 hai nghiệm (*), ta có: x13  m   x1  x1  1 x12  x1  m  1  m  1   m  1 x23  m   x2  x2  1 x2  x2  m  1  m  1   m  1 Khi 2   0.5 m  1  m  1  x22  x12  x  x   x1 x2   x  x22   m  1   m  1 2  2 x1 x2  x1  x2   x1 x2  x2  1x1  1 Kết hợp với hệ thức Viet ta biến đổi (3) trở thành 0.5 m  1  m  1 m   Từ tìm  m  1  m  1   m  3 2 Kết hợp điều kiện (**) ta có m  thỏa mãn yêu cầu toán Câu 2.1 sin x  cos x  1  2sin x    tan x 1 sin x  sin x 1.Giải phương trình: sin x  sin x  ĐK:   sin x  * cos x  2.5 0.5 Biến đổi 1  sin x  cos x  1  2sin x   sin x cos x  sin x  sin x  cos x  2   cos x  sin x 1  2sin x   sin x 3 2   x   0.5  k k  ฀  (Loại) 0.5 3  cos x  sin x  sin 3x  sin x  cos3x  cos x  sin x   x   k 2     sin  x    sin x   k  ฀  4   x  3  k 2  28 Kết hợp với điều kiện (*) ta có nghiệm phương trình 3 k 2  x k  7m  3, k , m  ฀  28 ThuVienDeThi.com 0.5 0.5 2.2  x  log x  log 2 x  y.2 x  1 Giải hệ phương trình:  x, y  ฀  2log x  6log  y  1  x log x  y   2  ĐK: x  0; y  1 Phương trình 1  x  log x  log  x  y  1  x  log x  x  log  y  1  x  y  2.5 0.5 Thế vào (2) ta có 2log 22 x  6log x  x log x  x  log x   3 log x  32log x  x      2log x  x  4  0.5 3  x  0.5 Giải (4), xét f x   2log x  x x    f ' x   1 x ln 2 Lập BBT, từ suy phương trình (4) có nhiều hai ln nghiệm Mà f 2   f 4    4  có hai nghiệm x  2; x  f ' x    x  1.0 Vậy hệ phương trình cho có ba nghiệm x; y  : 8;7 ; 2;1; 4;3 Câu Tính tổng: S  C2013  Xét 1  x  2013 2013  C2013  C2013 2 x   C2013 2 x    C2013 2 x  I   1  x  2013 22  23  2 22014  2013 2013 2.C2013  C2013   C2013 2014 2013 1  x  2013 dx   1  x  d 1  x   21 4028 2014 2 52014  32014  4028 2.0 0.5 0.5 2 2013 2013 C2013 dx  C x  C x   C x       2013 2013 2013    x2 x3 x 2014 2013 2013  2 C2013   C2013 x  C2013  C2013   2014  1 C2013  0.5 22  23  2 22014  2013 2013 2.C2013  C2013   C2013 2014 Vậy S  52014  32014 4028 0.5 ThuVienDeThi.com 1.Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho ba điểm A 1;1, B 3;2 , C 7;10  Lập Câu 4.1 phương trình đường thẳng  qua A cho tổng khoảng cách từ B C đến đường thẳng  lớn TH1:  cắt đoạn thẳng BC M 2.0 ∆ ∆  d B;    d C ;    BM  CM  BC B M C 0.5 A TH2:  không cắt đoạn thẳng BC , gọi I 5;6  trung điểm BC  d B;    d C ;    2d I ;    AI ∆ A 0.5 B I C Vì BC  80  41  AI nên d B;    d C ;   lớn AI  41 0.5  vng góc với AI    qua A 1;1 nhận AI  4;5  véc tơ pháp tuyến Vậy phương trình đường thẳng  : x  1   y  1    : x  y   0.5 Trong không gian tọa độ Oxyz cho hai mặt cầu S1  : x  y  z  1  4.2 S2  : x  3   y  1  z  1 2  25 Chứng minh hai mặt cầu cắt 2.0 theo giao tuyến đường trịn Tính bán kính đường trịn S1  có tâm I1 (0;0;1) , bán kính R1  S2  có tâm I (3;1; 1) , bán kính R2  5 I1I  14  R2  R1  I1I  R2  R1  hai mặt cầu cắt 0.5 Khi tọa độ giao điểm hai mặt cầu thỏa mãn hệ phương trình 0.5 ThuVienDeThi.com 2  x  y  z  12   x  y  z  1    2 x  3   y  1  z  1  25 6 x  y  z  11  Do hai mặt cầu cắt theo giao tuyến đường trịn Đường trịn giao tuyến măt cầu S1  mặt phẳng ( P ) : x  y  z  11   bán kính đường trịn cần tìm 56 d I1 ;( P )   0.5 r  R  d I1 ; P   2 Cho hình chóp tam giác S ABC có cạnh đáy Gọi M , N hai điểm Câu thay đổi thuộc cạnh AB, CD cho mặt phẳng SMN  ln vng góc với mặt phẳng ( ABC ) Đặt AM  x, AN  y Chứng minh x  y  xy , từ 3.0 tìm x, y để tam giác SMN có diện tích bé nhất, lớn Kẻ SO  MN O  SO   ABC  ( Vì SMN    ABC ) S  O trọng tâm tam giác ABC ( Vì S ABC hình chóp ) N A C O M B 1 Ta có S AMN  S AMO  S ANO  xy.sin 600  x AO.sin 300  y AO.sin 300 2 0.5 1 1 1  xy  x  y 2 2 S SMN   x  y  xy 1 SO.MN  S SMN nhỏ MN nhỏ ( Vì SO khơng đổi) 0.5 Ta có MN  x  y  xy cos 600  x  y  xy  x  y   xy  xy   xy Từ giả thiết   x; y  Từ 1 xy  x  y  xy  xy  0.5 x  1 y  1   xy   x  y  xy   3xy  xy  ThuVienDeThi.com 4 1 Đặt t  xy, t   ;   MN  9t  3t 9 2 4 1 Lập bảng biến thiên hàm số f t   9t  3t , t   ;  ta 9 2 1.0 MN nhỏ t  , x  y  x    x  MN lớn t  ,    y   y  Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn a  b  c  a  b3  c3 Chứng minh Câu 8a  1  8b   8c  1.0  Ta có a  a   3a ; b3  b3   3b ; c3  c3   3c  a  b  c   a  b  c  a  b  c   Đặt x  Ta có Mà: 3a 3b 3c  a; y   b; z  c  x yz 3 abc abc abc 1 a 8x    1 b  1 c  (2 x  1)(4 x  x  1) 1 x   1 y  8z  2  2 x 1   Tương tự suy VP(2)   x  y  z  4 2 2 2 0.5 Ta chứng minh 1 1    (3) 4x  y  4z  2 Biến đổi 3  x  y  z  12 ( Bất đẳng thức cách sử dụng bất đẳng thức Côsi, với ý x  y  z  )  đpcm Hướng dẫn chấm trình bày sơ lược cách giải Bài làm học sinh tiết, lập luận chặt chẽ, tính tốn xác tính điểm tối đa Với cách giải khác đáp án, tổ chấm trao đổi thống điểm chi tiết không vượt số điểm dành cho phần Mọi vấn đề phát sinh trình chấm phải trao đổi tổ chấm cho điểm theo thống tổ Điểm toàn tổng số điểm phần chấm, khơng làm trịn điểm ThuVienDeThi.com ThuVienDeThi.com ...HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH NĂM HỌC 2 012 - 2013 MƠN THI : TỐN – LỚP 12 – THPT Ngày thi 29 tháng năm 2013 ============== UBND TỈNH BẮC NINH SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO... dành cho phần Mọi vấn đề phát sinh trình chấm phải trao đổi tổ chấm cho điểm theo thống tổ Điểm toàn tổng số điểm phần chấm, khơng làm trịn điểm ThuVienDeThi.com ThuVienDeThi.com ... 2 Biến đổi 3  x  y  z  12 ( Bất đẳng thức cách sử dụng bất đẳng thức Côsi, với ý x  y  z  )  đpcm Hướng dẫn chấm trình bày sơ lược cách giải Bài làm học sinh tiết, lập luận chặt chẽ,