Đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh Quảng Ninh Năm 2011 - 2012 - Môn toán pdf

Đề thi Học sinh giỏi tỉnh Quảng Ninh 2011-2012 Môn: TOÁN www.vnmath.com Câu I 1. Tìm trên đồ thị (C) của hàm số: y = 1−x x−2 hai điểm A và B sao cho độ dài đoạn thẳng AB = 2 √ 6 và đường thẳng AB vuông góc với đường thẳng y = x. 2. Tìm các nghiệm thực của hệ phương trình:    √ 3x + y + √ x + y = 2 √ x + y + x − y = 1. Câu II Tam giác ABC vuông ở A, có  ABC = α. Tính tỉ số của bán kính đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp tam giác ABC theo α. Xác định α để tỉ số đó đạt giá trị nhỏ nhất. Câu III Cho hình vuông ABCD cạnh a, các nửa đường thẳng Bm, Dn vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và ở cùng một phía với mặt phẳng ấy. Lấy điểm M thuộc Bm và điểm N thuộc Dn. Đặt BM = x, DN = y. 1. Tìm hệ thức giữa x, y để hai mặt phẳng (ACM) và (ACN) vuông góc với nhau. 2. Chứng minh rằng khi x, y thay đổi nhưng luôn thỏa mãn điều kiện nêu ở phần a, đoạn vuông góc chung của ACvà MN có độ dài không đổi. Câu IV Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất sao cho trong khai triển của nhị thức Newton (1 + x) n có hai số hạng liên tiếp mà tỉ số các hệ số của nó bằng 7 15 . Câu V Cho ba số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện 2 √ xy + √ xz = 1. Chứng minh rằng: 3yz x + 4zx y + 5xy z ≥ 4. Khi nào dấu bằng xảy ra? 1 www.VNMATH.com . Đề thi Học sinh giỏi tỉnh Quảng Ninh 201 1- 2012 Môn: TOÁN www.vnmath.com Câu I 1. Tìm trên đồ thị (C) của hàm số: y = 1−x x−2 hai