CÁC CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM MỞ RỘNG x d (tan ) dx dx dx 1 = ln tan x + C I = = = = x x x x x sin x sin cos tan cos 2 tan 2 2 1 sin xdx d (cos x) d (cos x) dx )d (cos x) Cách 2: = = = - = - ( 2 sin x cos x cos x (1 cos x)(1 cos x) sin x cos x 1 cos x = - (-ln|1-cosx| + ln|1+cosx|) + C = ln +C 2 cos x x cos x = tan x = tan x nên hai kết trên, đúng! Rõ ràng = x cos x 2 cos 2 x x 2dt 2t 1 t2 2t Cách 3: Đặt t = tan dt = (1 tan ) dx dx = ; thay sinx (cosx = ; tanx = ) 2 2 2 1 t 1 t 1 t 1 t2 2dt dt x dx I= = 1 t = = ln|t| + C = ln|tan | + C 2t sin x t 2 1 t x Phương pháp biểu thị sinx, cosx, tanx theo t = tan , chuyển từ biểu thức lượng giác sang biểu thức đại số dx dx dx dx = = = cos x sin( x ) cos( x ) tan( x ) cos ( x ) sin( x ) 2 4 4 x d (tan ) =ln tan( x ) + C = x tan( ) dx 1 cos xdx d (sin x) d (sin x) )d (sin x) Cách 2: = = = = ( 2 cos x (1 sin x)(1 sin x) sin x sin x cos x sin x 1 sin x = (-ln|1-sinx| + ln|1+sinx|) + C = ln +C 2 sin x sin x x x x x cos ) sin cos sin( ) sin x x 2 = 2 = Rõ ràng = = tan( ) x x x x x sin x (sin cos ) sin cos cos( ) 2 2 x x 2dt 1 t2 Cách 3: Đặt t = tan dt = (1 tan ) dx dx = ; thay cosx = 2 1 t2 1 t2 2dt dx 1 2dt 2dt 1 t )dt = -ln|1-t| + ln|1+t| + C = ln I= = 1 t2 = = =( +C cos x 1 t 1 t (1 t )(1 t ) 1 t 1 t 1 t 1 t2 x = ln tan( ) + C dx sin x dx I = Đặt u = du = dx; dv = v = tanx cos x cos x cos x cos x tan x sin x tan xdx tan x sin xdx tan x AD CT NH TP : I = - = = - I1 cos x cos x cos x cos x cos x (sin HCT-GV THPT Hồi Ân, Bình Định ThuVienDeThi.com sin xdx dx dx cos xdx x = cos3 x cos3 x = cos3 x - cos x = I - ln tan( ) tan x tan x x Từ I = - I1 = - (I - ln tan( ) ) cos x cos x tan x tan x x x 2I = + ln tan( ) + C I= ( + ln tan( ) ) + C cos x cos x 4 cos x u dx du dx sin x I Đặt sin x sin x dv dx v cot x sin x cos x sin x dx dx x cot x cot x.cos x cot x I dx dx I ln tan C Tính I dx I 1 3 sin x sin x sin x sin x sin x sin x sin x cot x cot x x x cot x x cot x I I1 I ln tan C I ln tan C I ln tan C sin x sin x 2 sin x 2 2sin x 1 dx dx 1 xa ( )dx = ln = = +C x a ( x a)( x a) 2a x a x a 2a x a a adt dx I = Đặt x = atant dx = ; x a = a tan t a = a (1 tan t ) = 2 cos t cos t x a Với I1 = dx = x2 a2 adt (cos t ) a cos t = dt t x = ln tan( ) + C , với t = arctan cos t a Cách 2: Đặt t = x+ x a dt = (1+ Từ I = I = dx x a 2 dx = x a dt t x a Đặt x = x2 a2 a sin t dt dx t cos = = sin t x2 a2 a cos t = x2 a2 dt t 10 11 xdx x2 a2 = xdx x a 2 xdx x a 2 = = x2 a2 d (x a ) (x2 a ) = x2 a2 x2 a2 = x2 a2 dx dx = x2 a2 dt t a2 a = a.tant cos t x x2 a2 dx x2 a2 = )dx = x x2 a2 x2 a2 x a dt t x2 a2 dx = = x2 a2 dx d ( x a) x a = ln|x2 - a| + C xdx x2 a2 = 1 (x a ) (x2 a ) d (x2 a ) = 2 t dt = ln|t| + C = ln x x a + C t 2 d (x a ) 1 (x a ) = (x2 a ) d (x2 a ) = 1 2 (x2 a ) 2 t dx = t a = ln tan( ) + C, với t = arccos x dt cos t d ( x a) x a = ln|x2 + a| + C x x2 a2 a a sin t dx = dt ; cos t cos t Từ I = )dx = dt = ln|t| + C = ln x x a + C t Cách 2: Đặt t = x + x a dt = (1+ dx = x 2 +C= x2 a2 + C +C= x2 a2 + C HCT-GV THPT Hồi Ân, Bình Định ThuVienDeThi.com 12 a adt ; x a = a tan t a = a (1 tan t ) = cos t cos t a.adt dt t x tan t x a dx = = a2 = a2 ( + ln tan( ) ) + C, với t = arctan cos t a cos t cos t cos t Cách 2: I = x a dx = x a x 2 a2 Với I1 = I2 = Đặt x = atant dx = x a dx x a x2 a2 dx = a2 x2 a2 Đặt u = x du = dx; dv = dx = ADCT NHTP I2 = x x a - dx + x dx v = x a x2 a2 dx = I1 + I2 x a dx = x2 a2 x a dx = = x x a - I I = I1 + I2 = a2 ln x x a + x x a - I I = 13 I = x2 dx = a2 ln x x a (chọn C = 0) 2 a2 x2 ( x x a + a2 ln x x a ) + C ( x x a - a2 ln x x a ) + C a a sin t a2 2 dx = dt ; x a = a = a.tant 2 cos t cos t cos t 2 a sin t sin t dt = a2 cos t dt = a2( dt dt I = x a dx = a tan t = a 3 cos t cos t cos t cos t 1 t t tan t dt = ( dt = ln tan( ) + C Với + ln tan( ) ) + C; cos t cos t 4 cos t Đặt x = Cách 2: I = Với I1 = I2 = x a dx = x a 2 x2 a2 x2 a2 dx = x2 x2 a2 dx - a2 x2 a2 dx = I2 - I1 dx = a2 ln x x a (chọn C = 0) x a 2 a2 x cos t dt ) dx = x Đặt u = x du = dx; dv = ADCT NHTP I2 = x x a - x a 2 dx v = x2 a2 x a dx = = x x a - I I = I2 - I1 = x x a - I - a2 ln x x a I = ( x x a - a2 ln x x a ) + C Good luck HCT-GV THPT Hoài Ân, Bình Định ThuVienDeThi.com ... = dx = x2 a2 adt (cos t ) a cos t = dt t x = ln tan( ) + C , với t = arctan cos t a Cách 2: Đặt t = x+ x a dt = (1+ Từ I = I = dx x a 2 dx = x a dt t x a Đặt x = x2... x x2 a2 a a sin t dx = dt ; cos t cos t Từ I = )dx = dt = ln|t| + C = ln x x a + C t Cách 2: Đặt t = x + x a dt = (1+ dx = x 2 +C= x2 a2 + C +C= x2 a2 + C HCT-GV THPT Hồi... tan t x a dx = = a2 = a2 ( + ln tan( ) ) + C, với t = arctan cos t a cos t cos t cos t Cách 2: I = x a dx = x a x 2 a2 Với I1 = I2 = Đặt x = atant dx = x a dx x a x2 a2