ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH NĂM HỌC 2011 – 2012 MƠN THI: TỐN – LỚP 12 CHUN UBND TỈNH BẮC NINH SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 180 phút( Khơng kể thời gian giao đề) Ngày thi 20 tháng năm 2012 Câu (4 điểm) Giải phương trình sau: x 3 3x x Câu (4 điểm) x x 1 Cho dãy số thực xn thoả mãn: x x x n N sin sin ; n n n Chứng minh dãy số xn hội tụ tính giới hạn dãy số Câu (3 điểm) Cho hàm số f(x) có đạo hàm đồng thời thoả mãn: f (1) 1, f (e) e Chứng minh tồn số thực a cho: f (a) a f '(a) Câu (6 điểm) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (S): ( x 3) ( y 4) hai điểm A(1;1), B(3;3) a) Tìm toạ độ điểm M thuộc (S) cho góc AMB vng b) Tìm toạ độ điểm N thuộc (S) cho góc ANB lớn Câu (3 điểm) Cho tập hợp A 1;2; ;51;52 Tìm số tập A có tính chất: tập ấy, có hai số a, b thoả mãn a = 17b -HẾT (Đề thi gồm có 01 trang) ThuVienDeThi.com HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH NĂM HỌC 2011 - 2012 MƠN THI : TỐN – LỚP 12 CHUYÊN Ngày thi 20 tháng năm 2012 UBND TỈNH BẮC NINH SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ============== Câu (4 điểm) Giải phương trình sau: x 3 3x Giải: x y Đặt z 3x ; y 3z , ta có hệ: y 3z z 3x Giả sử x Maxx; y; z Vì x, y, z > nên dẫn đến x = y = z x 1 x Suy ra: x 3x Dễ thấy hai giá trị thoả mãn phương trình Vậy phương trình có nghiệm x = 1, x = Câu (4 điểm) x x 1 Cho dãy số xn thoả mãn: 2 xn sin xn 1 sin xn ; n N Chứng minh dãy số xn hội tụ tính giới hạn dãy số Giải: - Nhận xét: x1 x x3 - Dùng phương pháp quy nạp, chứng minh: xn xn 1 0; n , n Suy tồn lim x n a -Từ giả thiết suy a nghiệm pt: x = sinx Dùng đạo hàm, nghiệm pt x = Kết luận lim x n ThuVienDeThi.com Câu (3 điểm) Cho hàm số f(x) có đạo hàm đồng thời thoả mãn: f (1) 1, f (e) e Chứng minh tồn số thực a cho: f (a) a f '(a) Giải: Xét hàm số: g ( x) e x f (e x ) g (0) f (1) 1 Từ giả thiết suy g(x) có đạo hàm g (1) e f (e) Dẫn đến b 0;1: g (a) Mà g '( x) e x f (e x ) f '(e x ) Suy b (0;1) : f (eb ) eb f '(eb ) Đặt eb a ta có đpcm Câu (6 điểm) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (S): ( x 3) ( y 4) hai điểm A(1;1), B(3;3) , a) Tìm toạ độ điểm M thuộc (S) cho góc AMB vng b) Tìm toạ độ điểm N thuộc (S) cho góc ANB lớn Giải: a)Giả sử M ( x; y ) điểm thỏa mãn AMB vng Ta có: AM BM ( x 1)(( x 3) ( y 1)( y 3) M (1;3) 2 M ( S ) x y x y 20 b) Gọi J (1;2) trung điểm AB, I (3;4) tâm (S), M(1;3) Ta thấy: MJ MI , AMB vng, suy đường trịn (C) đường kính AB tiếp xúc ngồi với (S) Do với N thuộc (S) N khơng nằm (C), dẫn đến ANB AMB ; đẳng thức xảy M trùng N Vậy N(1;3) góc ANB lớn Câu 5(3 điểm) Cho tập hợp A 1; 2; ;51;52 Tìm số tập A có tính chất: tập ấy, có hai số a, b thoả mãn a = 17b Giải: - Để a = 17b (a;b) số cặp: (1;17), (2;34), (3;51) - Ký hiệu: Ak tập tập A có chứa cặp (k;17k) A1 A2 A3 250 Dễ thấy A1 A2 A2 A3 A3 A1 248 A1 A2 A3 246 Từ kết là: A1 A2 A3 3.250 3.248 246 37.246 ThuVienDeThi.com ThuVienDeThi.com ...HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH NĂM HỌC 2011 - 2 012 MƠN THI : TỐN – LỚP 12 CHUYÊN Ngày thi 20 tháng năm 2 012 UBND TỈNH BẮC NINH SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ==============... xn 1 0; n , n Suy tồn lim x n a -Từ giả thi? ??t suy a nghiệm pt: x = sinx Dùng đạo hàm, nghiệm pt x = Kết luận lim x n ThuVienDeThi.com Câu (3 điểm) Cho hàm số f(x) có đạo hàm đồng... 248 A1 A2 A3 246 Từ kết là: A1 A2 A3 3.250 3.248 246 37.246 ThuVienDeThi.com ThuVienDeThi.com