Giáo trình Đại số tuyến tính và Ứng dụng

233 10 0
Giáo trình Đại số tuyến tính và Ứng dụng

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

Thông tin tài liệu

❱■➏◆ ❍⑨◆ ▲❹▼ ❑❍❖❆ ❍➴❈ ❱⑨ ❈➷◆● ◆●❍➏ ❱■➏❚ ◆❆▼ ❱■➏◆ ❚❖⑩◆ ❍➴❈ ❚→❝ ❣✐↔✿ ◆❣✉②➵♥ ❇➼❝❤ ❱➙♥✱ ✣é ❚❤→✐ ❉÷ì♥❣ ✣❸■ ❙➮ ❚❯❨➌◆ ❚➑◆❍ ❱⑨ ▼❐❚ ❙➮ ❇⑨■ ❚❖⑩◆ ❚❍Ü❈ ❚■➍◆ ●✐→♦ tr➻♥❤ ❜➟❝ ✤↕✐ ❤å❝ ◆➠♠ 2022 ◆●❯❨➍◆ ❇➑❈❍ ❱❹◆✱✣➱ ❚❍⑩■ ❉×❒◆● ✣❸■ ❙➮ ❚❯❨➌◆ ❚➑◆❍ ❱⑨ ▼❐❚ ❙➮ ❇⑨■ ❚❖⑩◆ ❚❍Ü❈ ❚■➍◆ ◆➠♠ 2022 ▲í✐ ♥â✐ ✤➛✉ ✣↕✐ sè t✉②➳♥ t➼♥❤ ❧➔ ♠ët ❝❤✉②➯♥ ♥❣➔♥❤ ❝ì ❜↔♥ tr t ợ ố tữủ ự ❝→❝ ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t✉②➳♥ t➼♥❤✱ ❝→❝ ♠❛ tr➟♥✱ ❝→❝ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ✈❡❝t♦r✱ ❝→❝ →♥❤ ①↕ t✉②➳♥ t➼♥❤✳✳✳ ❚❤✉➟t t♦→♥ ✤➸ ❣✐↔✐ ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t✉②➳♥ t➼♥❤ ♠➔ ♥❣➔② ♥❛② ♥❣÷í✐ t❛ ❣å✐ ❧➔ ♣❤➨♣ ❦❤û ●❛✉ss ✭①❡♠ ♣❤➛♥ ✷✳✷✳ t tứ rt sợ ữủ tr ❜➔② tr♦♥❣ ❝❤÷ì♥❣ ✽ ✧P❤÷ì♥❣ tr➟♥✧ ❝õ❛ ❝✉è♥ s→❝❤ ✧❈û✉ ❝❤÷ì♥❣ t♦→♥ t❤✉➟t✧ ❝õ❛ ♥❣÷í✐ ❚r✉♥❣ ◗✉è❝ ✤÷đ❝ ❜✐➯♥ s♦↕♥ ✈➔♦ t❤í✐ ✣ỉ♥❣ ❍→♥ ✭❝â t➔✐ ❧✐➺✉ ❝❤♦ r➡♥❣✱ ♥â ữủ t trữợ ổ ❚r➛♥ ❙❛♥❤✱ s❛✉ ✤â ✤÷đ❝ ✈✐➳t ❜ê s✉♥❣ ❜ð✐ ♥❤✐➲✉ ♥❤➔ t♦→♥ ❤å❝ ❚r✉♥❣ ◗✉è❝✱ tr♦♥❣ ✤â ❝â ▲÷✉ ❍✉② ✈➔ ❚ê ❳✉♥❣ ❈❤✐✮✳ ❚r♦♥❣ ❝❤÷ì♥❣ ✽ ❝õ❛ ❝✉è♥ s→❝❤ ♥➔②✱ ❤å ✤➣ tr➻♥❤ ❜➔② 18 ❜➔✐ t♦→♥ ❧✐➯♥ q✉❛♥ ✤➳♥ s↔♥ ❧÷đ♥❣ ♥ỉ♥❣ ♥❣❤✐➺♣ ✈➔ ✈✐➺❝ ♠✉❛ ❜→♥ ❣✐❛ só❝✱ ❞➝♥ ✤➳♥ ✈✐➺❝ ❣✐↔✐ ❝→❝ ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t✉②➳♥ t➼♥❤✳ Ð ❝❤➙✉ ❹✉✱ ❝→❝ ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t✉②➳♥ t➼♥❤ ①✉➜t ❤✐➺♥ ❧➛♥ ✤➛✉ t✐➯♥ ✈➔♦ ♥➠♠ ✶✻✸✼ ❦❤✐ ❘➨♥❡ ❉❡s❝❛rt❡s ✤÷❛ ✈➔♦ ❦❤→✐ ♥✐➺♠ tå❛ ✤ë tr♦♥❣ ❤➻♥❤ ❤å❝✳ ❚r♦♥❣ ❤➻♥❤ ❤å❝ ❉❡s❝❛rt❡s✱ ❝→❝ ✤÷í♥❣ t❤➥♥❣ ✈➔ ❝→❝ ♠➦t ♣❤➥♥❣ ✤÷đ❝ ♠ỉ t↔ ❜➡♥❣ ❝→❝ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t✉②➳♥ t➼♥❤ ✈➔ ✈✐➺❝ t➻♠ ❣✐❛♦ ❝õ❛ ❝❤ó♥❣ ❞➝♥ ✤➳♥ ✈✐➺❝ ❣✐↔✐ ❝→❝ ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t✉②➳♥ t➼♥❤ ✭①❡♠ ❝→❝ ❱➼ ❞ư ✷✳✹✱ ✷✳✼✱✷✳✽✮✳ P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ sû ❞ư♥❣ ✤à♥❤ t❤ù❝ ✤➸ ❣✐↔✐ ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t✉②➳♥ t➼♥❤ ✤÷đ❝ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ✤➛✉ t✐➯♥ ❜ð✐ ●♦tt❢r✐❡❞ ❲✐❧❤❡❧♠ ▲❡✐❜♥✐③ ✈➔♦ ♥➠♠ ✶✻✾✸✳ ❙❛✉ ✤â✱ ✈➔♦ ♥➠♠ ✶✼✺✵ ●❛❜r✐❡❧ ❈r❛♠❡r ✤➣ ✤÷❛ r❛ ❝→❝ ❝ỉ♥❣ t❤ù❝ ữỡ tr t t ợ ♥❤➜t✱ ♥❣➔② ♥❛② ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ❝ỉ♥❣ t❤ù❝ ❈r❛♠❡r ✭①❡♠ ỵ õ r rr ss ữ r ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❦❤û ✤➸ ❣✐↔✐ ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t✉②➳♥ t➼♥❤✱ ữỡ õ ữủ ởt ữợ t✐➳♥ ♠ỵ✐ tr♦♥❣ tr➢❝ ✤à❛✳ ❱➔♦ ♥➠♠ ✶✽✹✽✱ ❏❛♠❡s ❏♦s❡♣❤ ❙②❧✈❡st❡r ✤➣ ✤÷❛ ✈➔♦ ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ♠❛ tr➟♥ ✭✧♠❛tr✐①✧ tr♦♥❣ t✐➳♥❣ ▲❛t✐♥✱ ①✉➜t ①ù tø t✐➳♥❣ ✧♠❛t❡r✧ ❝â ♥❣❤➽❛ ❧➔ ✧♠➭✧✮✳ ➷♥❣ ①❡♠ ♠❛ tr➟♥ ♥❤÷ ❧➔ ✤è✐ t÷đ♥❣ s✐♥❤ r❛ ❝→❝ ✤à♥❤ t❤ù❝ ♠➔ ♥❣➔② ♥❛② t❛ ❣å✐ ❧➔ ♠✐♥♦r ✭①❡♠ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✺✮✳ ❙❛✉ ✤â✱ ✈➔♦ ♥➠♠ ✶✽✺✻✱ ❆rt❤✉r ❈❛②❧❡② ✤➣ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ❝→❝ ♣❤➨♣ t♦→♥ ❝ë♥❣✱ trø✱ ♥❤➙♥ ♠❛ tr➟♥✱ ♠❛ tr➟♥ ♥❣❤à❝❤ ✤↔♦ ✈➔ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❝→❝ t➼♥❤ ❝❤➜t ❝õ❛ ❝→❝ ♣❤➨♣ t♦→♥ ♥➔② ✭①❡♠ ♣❤➛♥ ✶✳✷✳✱ ✶✳✸✳✱ ✶✳✻✳✮✳ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ✈❡❝t♦r ✤÷đ❝ P❡❛♥♦ ✤÷❛ r❛ ✈➔♦ ♥➠♠ ✶✽✽✽ ✭①❡♠ ❈❤÷ì♥❣ ✸✮✱ s❛✉ ✤â ỵ tt t t ỳ ❝→❝ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ✈❡❝t♦r ❤ú✉ ❤↕♥ ❝❤✐➲✉ ✤➣ r❛ ✤í✐ ✭①❡♠ ❈❤÷ì♥❣ ✺✮✳ ◆❣➔② ♥❛②✱ ✤↕✐ sè t✉②➳♥ t➼♥❤ ♥❣➔② ❝➔♥❣ ✤â♥❣ ✈❛✐ trá q✉❛♥ trå♥❣ tr♦♥❣ ♥❤✐➲✉ ❧➽♥❤ ✈ü❝ ❝õ❛ ❦❤♦❛ ❤å❝ ❦ÿ t❤✉➟t ✈➔ ❝æ♥❣ ♥❣❤➺✱ ❝❤➥♥❣ ❤↕♥ ữ t õ t ự t ợ tr tr tt t ỷ ỵ t ❣è❝✱ ❞ị♥❣ ♠❛ tr➟♥ ✤➸ ♠ỉ t↔ ❝→❝ ♠ỉ ❤➻♥❤ t❤í✐ t✐➳t✱ ♠ỉ ❤➻♥❤ ❞✐ ❝÷✱♠➟t ♠➣✳✳✳✭①❡♠ ♣❤➛♥ ✶✳✼✳✮✱ ❞ị♥❣ ❝→❝ ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t✉②➳♥ t➼♥❤ ✤➸ ♣❤➙♥ t➼❝❤ ❣✐❛♦ t❤æ♥❣✱ ♣❤➙♥ t➼❝❤ ♠↕❝❤ ✤✐➺♥ ✭①❡♠ ♣❤➛♥ ✷✳✻✳✷✳✮✱ ❞ü ❜→♦ t➠♥❣ tr÷ð♥❣ ❞➙♥ sè✱ ①➙② ❞ü♥❣ ♠ỉ ❤➻♥❤ tr♦♥❣ t❤✐➯♥ ✈➠♥ ❤å❝ ✭①❡♠ ♣❤➛♥ ✹✳✸✳✹✳✮✱ ❞ò♥❣ →♥❤ ①↕ t✉②➳♥ t➼♥❤ tr ỗ t ũ trà r✐➯♥❣ ✈➔ ✈❡❝t♦r r✐➯♥❣ ✤➸ ❣✐↔✐ ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✈✐ ♣❤➙♥ t✉②➳♥ t➼♥❤✱ ①➙② ❞ü♥❣ t❤✉➟t t♦→♥ ❙❱❉ ✤➸ ❣✐↔♠ ❝❤✐➲✉ ❞ú ❧✐➺✉ ✭①❡♠ ♣❤➛♥ ✺✳✺✳✮✳✳✳ ●✐→♦ tr➻♥❤ ♥➔② ✤÷đ❝ ❝❤ó♥❣ tỉ✐ ❜✐➯♥ s♦↕♥ ❞ü❛ tr➯♥ ❝→❝ t➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦ ❬✶❪✱ ❬✷❪ ✈➔ ❝→❝ ❜➔✐ ❣✐↔♥❣ ❝õ❛ ❝❤ó♥❣ tỉ✐ t↕✐ tr÷í♥❣ ✣↕✐ ❤å❝ ❈ỉ♥❣ ♥❣❤➺✲✣❍ ◗✉è❝ ❣✐❛ ❍➔ ◆ë✐ ✈➔ ✣↕✐ ❤å❝ ❱✐➺t✲P❤→♣✳ ▼ö❝ ✤➼❝❤ ❝õ❛ ❣✐→♦ tr➻♥❤ ❧➔ ❣✐ỵ✐ t❤✐➺✉ ✤➳♥ ❝→❝ s✐♥❤ ✈✐➯♥✱ ❝→❝ ❤å❝ ✈✐➯♥ ❝→❝ ❦✐➳♥ t❤ù❝ ❝ì ❜↔♥ ❝õ❛ ✤↕✐ sè t✉②➳♥ t➼♥❤ ✈➔ ❝→❝ ù♥❣ ❞ư♥❣ t❤ü❝ t✐➵♥ ❝õ❛ ❝❤ó♥❣ tr♦♥❣ ❦❤♦❛ ❤å❝ ✈➔ ✤í✐ sè♥❣✳ ◆❤â♠ t→❝ ❣✐↔ tr➙♥ trå♥❣ ❣û✐ ❧í✐ ❝↔♠ ì♥ ✤➳♥ ❱✐➺♥ ❚♦→♥ ❤å❝✲❱✐➺♥ ❍➔♥ ❧➙♠ ❑❤♦❛ ❤å❝ ✈➔ ❈ỉ♥❣ ♥❣❤➺ ❱✐➺t ◆❛♠✱ ◗✉ÿ ✣ê✐ ♠ỵ✐ s→♥❣ t↕♦ ❱■◆■❋ ✤➣ t↕♦ ♠å✐ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❣✐ó♣ ✤ï ✤➸ ❣✐→♦ tr➻♥❤ ✤÷đ❝ ①✉➜t ❜↔♥✳ ▼➦❝ ❞ị ✤➣ r➜t ❝è ❣➢♥❣✱ ♥❤÷♥❣ tr♦♥❣ q✉→ tr➻♥❤ ❜✐➯♥ s♦↕♥✱ ❝❤ó♥❣ tỉ✐ ❦❤ỉ♥❣ t❤➸ tr→♥❤ ❦❤ä✐ ♥❤ú♥❣ t❤✐➳✉ sât✳ ❈❤ó♥❣ tỉ✐ r➜t ♠♦♥❣ ố ữủ ỳ ỵ õ õ tự ỗ ỵ õ õ ỷ ❝❤➾✿ ♥❜✈❛♥❅♠❛t❤✳❛❝✳✈♥✱ ❞t❞✉♦♥❣❅♠❛t❤✳❛❝✳✈♥✳ ❳✐♥ tr➙♥ trå♥❣ ❝↔♠ ì♥✳ ❍➔ ◆ë✐✱ ♥❣➔② ✷✵ t❤→♥❣ ✷ ♥➠♠ ✷✵✷✶ ◆❤â♠ t→❝ ❣✐↔✿ ◆❣✉②➵♥ ❇➼❝❤ ❱➙♥ ✈➔ ✣é ❚❤→✐ ❉÷ì♥❣ ✹ ◆❤ú♥❣ ❦➼ ❤✐➺✉ ❚r♦♥❣ ❣✐→♦ tr➻♥❤ ♥➔②✱ t❛ ❞ị♥❣ ♥❤ú♥❣ ❦➼ ❤✐➺✉ ✈ỵ✐ ỵ tr ữợ N N∗ Z R ∅ A∩B A∪B t➟♣ ❤ñ♣ sè tü ♥❤✐➯♥ t➟♣ ❤ñ♣ sè tü ♥❤✐➯♥ ❦❤→❝ t➟♣ ❤ñ♣ sè ♥❣✉②➯♥ t➟♣ ❤ñ♣ sè t❤ü❝ t➟♣ ❤ñ♣ ré♥❣ ❣✐❛♦ ❝õ❛ t➟♣ ❤ñ♣ A ✈➔ B ❤ñ♣ ❝õ❛ t➟♣ ❤ñ♣ A ✈➔ B ▼ư❝ ❧ư❝ ▲í✐ ♥â✐ ✤➛✉ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ◆❤ú♥❣ ❦➼ ❤✐➺✉ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ▼ö❝ ❧ö❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ❈❤÷ì♥❣ ✶✳ ▼❛ tr➟♥ ✈➔ ✤à♥❤ t❤ù❝ ✸ ✺ ✻ ✶✵ ✶✳✶✳ ●✐ỵ✐ t❤✐➺✉ ✈➲ ♠❛ tr➟♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✶ ✶✳✷✳ ❈→❝ ♣❤➨♣ t♦→♥ ✈ỵ✐ ♠❛ tr➟♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✸ ✶✳✷✳✶✳ P❤➨♣ ❝ë♥❣ ♠❛ tr➟♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✹ ✶✳✷✳✷✳ P❤➨♣ ♥❤➙♥ ♠❛ tr➟♥ ✈ỵ✐ ởt số ợ ổ ữợ ✳ ✶✹ ✶✳✷✳✸✳ P❤➨♣ ♥❤➙♥ ❤❛✐ ♠❛ tr➟♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✺ ✶✳✸✳ ❈→❝ t➼♥❤ ❝❤➜t ❝õ❛ ❝→❝ ♣❤➨♣ t♦→♥ ✈ỵ✐ ♠❛ tr➟♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✼ ✶✳✹✳ P❤➨♣ ❝❤✉②➸♥ ✈à ♠❛ tr➟♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✷ ✶✳✺✳ ▼❛ tr➟♥ ❞↕♥❣ ❜➟❝ t❤❛♥❣ t❤❡♦ ❞á♥❣ ✈➔ ♣❤➨♣ ❦❤û ●❛✉ss ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✹ ✶✳✻✳ ▼❛ tr➟♥ ♥❣❤à❝❤ ✤↔♦ ❝õ❛ ♠ët ♠❛ tr➟♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✻ ✶✳✻✳✶✳ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✻ ✶✳✻✳✷✳ P❤➨♣ ❦❤û ●❛✉ss✲❏♦r❞❛♥ ✤➸ t➻♠ ♠❛ tr➟♥ ♥❣❤à❝❤ ✤↔♦ ❝õ❛ ♠ët ♠❛ tr➟♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✼ ✶✳✻✳✸✳ ❈→❝ t➼♥❤ ❝❤➜t ❝õ❛ ♠❛ tr➟♥ ♥❣❤à❝❤ ✤↔♦ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✾ ✶✳✼✳ ▼ët sè ù♥❣ ❞ö♥❣ ❝õ❛ ♠❛ tr➟♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✷ ✶✳✼✳✶✳ ▼❛ tr➟♥ tr♦♥❣ t❤✉➟t t♦→♥ ❧➔♠ ❣✐↔♠ ❝❤➜t ❧÷đ♥❣ ❤➻♥❤ ↔♥❤ ✸✷ ✶✳✼✳✷✳ ▼❛ tr➟♥ tr♦♥❣ t❤✉➟t t♦→♥ ❧➔♠ ♠í ↔♥❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✺ ✶✳✼✳✸✳ ▼❛ tr➟♥ tr♦♥❣ t➻♠ ❦✐➳♠ ✤♦↕♥ ♥❤↕❝ ❣è❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✼ ✶✳✼✳✹✳ ❈❤✉é✐ ▼❛r❦♦✈✱ ♠❛ tr➟♥ ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥ ✈➔ ❝→❝ ♠æ ❤➻♥❤ ♣❤ê ❜✐➳♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹✵ ✶✳✼✳✺✳ ▼❛ tr➟♥ tr♦♥❣ ♠➟t ♠➣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ tr tr t ỗ q ❜➻♥❤ ♣❤÷ì♥❣ ♥❤ä ♥❤➜t ✳ ✹✸ ✶✳✽✳ ✣à♥❤ t❤ù❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹✹ ✶✳✽✳✶✳ ✣à♥❤ t❤ù❝ ❝õ❛ ♠ët ♠❛ tr➟♥ ✈✉æ♥❣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹✹ ✶✳✽✳✷✳ ❉ị♥❣ ❝→❝ ♣❤➨♣ ❜✐➳♥ ✤ê✐ ❝➜♣ t❤❡♦ ❞á♥❣ ❤♦➦❝ t❤❡♦ ❝ët ✤➸ t➼♥❤ ✤à♥❤ t❤ù❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹✽ ✶✳✽✳✸✳ ❈→❝ t➼♥❤ ❝❤➜t ❝õ❛ ✤à♥❤ t❤ù❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✺✷ ✶✳✽✳✹✳ ▼ët sè ù♥❣ ❞ö♥❣ ❝õ❛ ✤à♥❤ t❤ù❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✺✼ ❈❤÷ì♥❣ ✷✳ ữỡ tr t t ợ t ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✈➔ ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t✉②➳♥ t➼♥❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✼✷ ✷✳✶✳✶✳ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✈➔ ❝→❝ ✈➼ ❞ö ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✼✷ ✷✳✶✳✷✳ ❍➺ ❞↕♥❣ ❜➟❝ t❤❛♥❣ ✈➔ ❝→❝❤ ❣✐↔✐ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✼✼ ✷✳✷✳ ✣÷❛ ✶ ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❜➜t ❦ý t tữỡ ữỡ ợ õ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✼✽ ✷✳✸✳ P❤➨♣ ❦❤û ●❛✉ss ✈➔ ♣❤➨♣ ❦❤û ●❛✉ss✲❏♦r❞❛♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✽✶ ✷✳✹✳ ❍➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t✉②➳♥ t➼♥❤ t❤✉➛♥ ♥❤➜t ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✽✼ ✷✳✺✳ ❱✐➳t ❧↕✐ ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr t t ữợ tr ✳ ✳ ✽✽ ✷✳✻✳ ❈→❝ ù♥❣ ❞ư♥❣ ❝õ❛ ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t✉②➳♥ t➼♥❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✾✺ ✷✳✻✳✶✳ ❚➻♠ ✤÷í♥❣ ❝♦♥❣ ✤❛ t❤ù❝ ũ ủ q trữợ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✾✺ ✷✳✻✳✷✳ P❤➙♥ t➼❝❤ ♠↕♥❣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✾✻ ❈❤÷ì♥❣ ✸✳ ❑❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ✈❡❝t♦r ✶✵✸ ✸✳✶✳ ❑❤æ♥❣ ❣✐❛♥ Rn ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✵✸ ✸✳✶✳✶✳ ❱❡❝t♦r tr♦♥❣ ♠➦t ♣❤➥♥❣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✵✸ ✸✳✶✳✷✳ ❱❡❝t♦r tr♦♥❣ Rn ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✵✺ ✸✳✶✳✸✳ ❈→❝ ♣❤➨♣ t♦→♥ tr♦♥❣ Rn ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✵✼ ✸✳✷✳ ❑❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ✈❡❝t♦r ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✶✵ ✸✳✸✳ ❑❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❝♦♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✶✷ ✸✳✹✳ ❚➟♣ s✐♥❤ ✈➔ sü ✤ë❝ ❧➟♣ t✉②➳♥ t➼♥❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✶✽ ✸✳✺✳ ❈ì sð ✈➔ sè ❝❤✐➲✉ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✷✹ ✸✳✻✳ ❚å❛ ✤ë ✈➔ ❝❤✉②➸♥ ❝ì sð ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✸✵ ✸✳✼✳ ❍↕♥❣ ❝õ❛ ♠❛ tr➟♥ ✈➔ ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t✉②➳♥ t➼♥❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✸✸ ✸✳✼✳✶✳ ❍↕♥❣ ❝õ❛ ♠❛ tr➟♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✸✸ ✼ ✸✳✼✳✷✳ ❑❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❤↕❝❤ ❝õ❛ ♠❛ tr➟♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✸✼ ✸✳✽✳ Ù♥❣ ❞ö♥❣ ❝õ❛ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ✈❡❝t♦r tr♦♥❣ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✈✐ ♣❤➙♥ ✳ ✳ ✶✹✶ ❈❤÷ì♥❣ ✹✳ ❑❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ t➼❝❤ tr♦♥❣ ✹✳✶✳ ❚➼❝❤ ❝❤➜♠ tr♦♥❣ R n ✶✹✾ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✹✾ ✹✳✷✳ ❑❤æ♥❣ ❣✐❛♥ t➼❝❤ tr♦♥❣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✺✷ ✹✳✷✳✶✳ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✈➔ ❝→❝ ✈➼ ❞ö ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✺✷ ✹✳✷✳✷✳ ❈→❝ t➼♥❤ ❝❤➜t ❝õ❛ t➼❝❤ tr♦♥❣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✺✹ ✹✳✷✳✸✳ ❍➻♥❤ ❝❤✐➳✉ ✈✉æ♥❣ ❣â❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✺✻ ✹✳✸✳ ❈ì sð trü❝ ❝❤✉➞♥ ❝õ❛ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ t➼❝❤ tr♦♥❣ ✈➔ q✉→ tr➻♥❤ trü❝ ❝❤✉➞♥ ❤â❛ ●r❛♠✲❙❝❤♠✐❞t ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✺✾ ✹✳✸✳✶✳ ❈ì sð trü❝ ❝❤✉➞♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✺✾ ✹✳✸✳✷✳ ◗✉→ tr➻♥❤ trü❝ ❝❤✉➞♥ ❤â❛ ●r❛♠✲❙❝❤♠✐❞t ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✻✸ ✹✳✸✳✸✳ ❑❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❝♦♥ trü❝ ❣✐❛♦ ✈➔ ❜➔✐ t♦→♥ ❜➻♥❤ ♣❤÷ì♥❣ ♥❤ä ♥❤➜t ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✻✻ ✹✳✸✳✹✳ ❈→❝ ù♥❣ ❞ư♥❣ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ ❜➻♥❤ ♣❤÷ì♥❣ ♥❤ä ♥❤➜t ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✼✺ ❈❤÷ì♥❣ ✺✳ ⑩♥❤ ①↕ t✉②➳♥ t➼♥❤ ✶✼✾ ✺✳✶✳ ●✐ỵ✐ t❤✐➺✉ ✈➲ →♥❤ ①↕ t✉②➳♥ t➼♥❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✼✾ ✺✳✶✳✶✳ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✈➔ ❝→❝ ✈➼ ❞ö ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✼✾ ✺✳✶✳✷✳ ❈→❝ t➼♥❤ ❝❤➜t ❝õ❛ →♥❤ ①↕ t✉②➳♥ t➼♥❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✽✵ ✺✳✶✳✸✳ ⑩♥❤ ①↕ t✉②➳♥ t➼♥❤ ❝❤♦ ❜ð✐ ♠❛ tr➟♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✽✶ ✺✳✷✳ ❷♥❤ ✈➔ ❤↕t ♥❤➙♥ ❝õ❛ →♥❤ ①↕ t✉②➳♥ t➼♥❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✽✶ ✺✳✷✳✶✳ ❍↕t ♥❤➙♥ ❝õ❛ →♥❤ ①↕ t✉②➳♥ t➼♥❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✽✶ ✺✳✷✳✷✳ ❷♥❤ ❝õ❛ →♥❤ ①↕ t✉②➳♥ t➼♥❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✽✸ ✺✳✷✳✸✳ ❍↕♥❣ ✈➔ sè ❦❤✉②➳t ❝õ❛ →♥❤ ①↕ t✉②➳♥ t➼♥❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✽✸ ✺✳✷✳✹✳ ✣ì♥ ❝➜✉✱ t♦➔♥ ❝➜✉ ✈➔ ✤➥♥❣ ❝➜✉ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✽✹ ✺✳✸✳ ▼❛ tr➟♥ ❝õ❛ →♥❤ ①↕ t✉②➳♥ t➼♥❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✽✻ ✺✳✸✳✶✳ ▼❛ tr➟♥ ❝❤✉➞♥ t➢❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✽✻ ✺✳✸✳✷✳ ❍ñ♣ t❤➔♥❤ ❝õ❛ →♥❤ ①↕ t✉②➳♥ t➼♥❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✽✼ ✺✳✸✳✸✳ ⑩♥❤ ①↕ t✉②➳♥ t➼♥❤ ❦❤↔ ♥❣❤à❝❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✽✽ ✺✳✸✳✹✳ ▼❛ tr➟♥ ❝õ❛ →♥❤ ①↕ t✉②➳♥ t➼♥❤ ✤è✐ ✈ỵ✐ ❝➦♣ ❝ì sð ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✽✾ ✽ ✺✳✹✳ ▼❛ tr➟♥ ❝❤✉②➸♥ ❝ì s tr ỗ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✾✵ ✺✳✺✳ Ù♥❣ t t tr ỗ t➼♥❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✾✷ ❈❤÷ì♥❣ ✻✳ ❈❤➨♦ ❤â❛ ♠❛ tr➟♥ ✷✵✵ ✻✳✶✳ ●✐→ trà r✐➯♥❣ ✈➔ ✈❡❝t♦r r✐➯♥❣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✵✵ ✻✳✶✳✶✳ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✈➔ ✈➼ ❞ö ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✵✵ ✻✳✶✳✷✳ ❈→❝❤ t➻♠ ❣✐→ trà r✐➯♥❣✱ ❝→❝ ✈❡❝t♦r r✐➯♥❣ ✈➔ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ r✐➯♥❣ t÷ì♥❣ ù♥❣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✵✶ ✻✳✶✳✸✳ ❈→❝ ❣✐→ trà r✐➯♥❣ ❝õ❛ ✶ ♠❛ tr➟♥ t❛♠ ❣✐→❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✵✷ ✻✳✶✳✹✳ ●✐→ trà r✐➯♥❣ ✈➔ ✈❡❝t♦r r✐➯♥❣ ❝õ❛ →♥❤ ①↕ t✉②➳♥ t➼♥❤ ✳ ✳ ✳ ✷✵✸ ✻✳✷✳ ❈❤➨♦ ❤â❛ ♠❛ tr➟♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✵✺ ✻✳✸✳ ❈❤➨♦ ❤â❛ trü❝ ❣✐❛♦ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✶✵ ✻✳✹✳ Ù♥❣ ❞ö♥❣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✶✹ ✻✳✹✳✶✳ ❉ü ❜→♦ t➠♥❣ tr÷ð♥❣ ❞➙♥ sè ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✶✹ ✻✳✹✳✷✳ ●✐↔✐ ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✈✐ ♣❤➙♥ t✉②➳♥ t➼♥❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✶✼ ✻✳✹✳✸✳ ❚❤✉➟t t♦→♥ ❙❱❉ ✈➔ ù♥❣ ❞ö♥❣ tr♦♥❣ ❣✐↔♠ ❝❤✐➲✉ ❞ú ❧✐➺✉ ✳ ✷✷✵ ❚➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✸✸ ✾ ❈❤÷ì♥❣ ✶ ▼❛ tr➟♥ ✈➔ ✤à♥❤ t❤ù❝ ✶✳✶✳ ●✐ỵ✐ t❤✐➺✉ ✈➲ ♠❛ tr➟♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✶ ✶✳✷✳ ❈→❝ ♣❤➨♣ t♦→♥ ✈ỵ✐ ♠❛ tr➟♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✸ ✶✳✸✳ ✶✳✹✳ ✶✳✺✳ ✶✳✻✳ ✶✳✷✳✶✳ P❤➨♣ ❝ë♥❣ ♠❛ tr➟♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✹ ✶✳✷✳✷✳ P❤➨♣ ♥❤➙♥ ♠❛ tr ợ ởt số ợ ổ ữợ ✳ ✶✹ ✶✳✷✳✸✳ P❤➨♣ ♥❤➙♥ ❤❛✐ ♠❛ tr➟♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✺ ❈→❝ t➼♥❤ ❝❤➜t ❝õ❛ ❝→❝ ♣❤➨♣ t♦→♥ ✈ỵ✐ ♠❛ tr➟♥ ✳ ✳ ✳ P❤➨♣ ❝❤✉②➸♥ ✈à ♠❛ tr➟♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ▼❛ tr➟♥ ❞↕♥❣ ❜➟❝ t❤❛♥❣ t❤❡♦ ❞á♥❣ ✈➔ ♣❤➨♣ ❦❤û ●❛✉ss ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ▼❛ tr➟♥ ♥❣❤à❝❤ ✤↔♦ ❝õ❛ ♠ët ♠❛ tr➟♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✼ ✷✷ ✷✹ ✷✻ ✶✳✻✳✶✳ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✻ ✶✳✻✳✷✳ P❤➨♣ ❦❤û ●❛✉ss✲❏♦r❞❛♥ ✤➸ t➻♠ ♠❛ tr➟♥ ♥❣❤à❝❤ ✤↔♦ ❝õ❛ ♠ët ♠❛ tr➟♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✼ ✶✳✻✳✸✳ ❈→❝ t➼♥❤ ❝❤➜t ❝õ❛ ♠❛ tr➟♥ ♥❣❤à❝❤ ✤↔♦ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✾ ✶✳✼✳ ▼ët sè ù♥❣ ❞ö♥❣ ❝õ❛ ♠❛ tr➟♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✷ ✶✳✼✳✶✳ ▼❛ tr➟♥ tr♦♥❣ t❤✉➟t t♦→♥ ❧➔♠ ❣✐↔♠ ❝❤➜t ❧÷đ♥❣ ❤➻♥❤ ↔♥❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✳✼✳✷✳ ▼❛ tr➟♥ tr♦♥❣ t❤✉➟t t♦→♥ ❧➔♠ ♠í ↔♥❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✳✼✳✸✳ ▼❛ tr➟♥ tr♦♥❣ t➻♠ ❦✐➳♠ ✤♦↕♥ ♥❤↕❝ ❣è❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✳✼✳✹✳ ❈❤✉é✐ ▼❛r❦♦✈✱ ♠❛ tr➟♥ ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥ ✈➔ ❝→❝ ♠æ ❤➻♥❤ ♣❤ê ❜✐➳♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✳✼✳✺✳ ▼❛ tr➟♥ tr♦♥❣ ♠➟t ♠➣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✳✼✳✻✳ ▼❛ tr tr t ỗ q ữỡ ọ t ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✷ ✸✺ ✸✼ ✹✵ ✹✶ ✹✸ ✶✳✽✳ ✣à♥❤ t❤ù❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹✹ ✶✳✽✳✶✳ ✣à♥❤ t❤ù❝ ❝õ❛ ♠ët ♠❛ tr➟♥ ✈✉æ♥❣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✳✽✳✷✳ ❉ị♥❣ ❝→❝ ♣❤➨♣ ❜✐➳♥ ✤ê✐ ❝➜♣ t❤❡♦ ❞á♥❣ ❤♦➦❝ t❤❡♦ ❝ët ✤➸ t➼♥❤ ✤à♥❤ t❤ù❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✳✽✳✸✳ ❈→❝ t➼♥❤ ❝❤➜t ❝õ❛ ✤à♥❤ t❤ù❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✳✽✳✹✳ ▼ët sè ù♥❣ ❞ö♥❣ ❝õ❛ ✤à♥❤ t❤ù❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹✹ ✹✽ ✺✷ ✺✼ ❝â t❤➸ t❤✉ ✤÷đ❝ ❞➵ ❞➔♥❣ t❤ỉ♥❣ q✉❛ ❝→❝ ❣✐→ trà tr➯♥ ✤÷í♥❣ ❝❤➨♦ ❝❤➼♥❤✳ ❚r♦♥❣ tr÷í♥❣ ❤đ♣ ♠❛ tr➟♥ A ❦❤ỉ♥❣ ♣❤↔✐ ♠➔ tr➟♥ ✤÷í♥❣ ❝❤➨♦✱ t❛ t➻♠ ♠❛ tr➟♥ P ❝❤➨♦ ❤â❛ ♠❛ tr➟♥ A✱ ♥❣❤➽❛ ❧➔ B = P −1 AP ❧➔ ♠❛ tr➟♥ ✤÷í♥❣ ❝❤➨♦✳ ❳➨t ♣❤➨♣ ✤ê✐ ❜✐➳♥ y = P w ✈➔ y = P w ✱ t❛ t❤✉ ✤÷đ❝ P w = y = Ay = AP w ⇒ w = P −1 AP w = Bw, tø ✤â t❛ q✉② ✈➲ tr÷í♥❣ ❤đ♣ ♠❛ tr➟♥ ✤÷í♥❣ ❝❤➨♦✳ ❚❛ ①❡♠ ①➨t ✈➼ ❞ư s❛✉✿ ❱➼ ❞ư ✻✳✶✸✳ ❳➨t ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✈✐ ♣❤➙♥ s❛✉ y1 = 3y1 + 2y2 y2 = 6y1 − y2 ❳➨t ♠❛ tr➟♥ , −1 t❛ ❝❤➨♦ ❤â❛ ♠❛ tr➟♥✱ t❤✉ ✤÷đ❝ P = ❍➺ 1 1/4 −1/4 , P −1 = , −3 3/4 1/4 w = Bw ✈➔ B = P −1 AP = ❝â ❞↕♥❣ −3 w1 = w2 w1 w2 ⇒ w1 = −3w1 w2 = 5w2 ◆❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ❤➺ ❧➔ w1 = C1 e−3t w2 = C2 e5t ✣➸ trð ❧↕✐ ❜✐➳♥ y1 , y2 ✱ t❛ ❞ò♥❣ y = Pw ❤❛② y1 1 = y2 −3 w1 , w2 s✉② r❛ y1 = w1 + w2 y2 = −3w1 + w2 = C1 e−3t + C2 e5t = −3C1 e−3t + C2 e5t ✷✶✾ −3 ❚r♦♥❣ ✈➼ ❞ö tr➯♥✱ t❛ t❤➜② r➡♥❣ ♠é✐ yi ❝â t❤➸ t ữủ ữợ tờ ủ t t e1 t , eλ2 t , , eλn t ✈ỵ✐ λ1 , , λn ❧➔ ❝→❝ ❣✐→ trà r✐➯♥❣ t❤ü❝ ♣❤➙♥ ❜✐➺t ❝õ❛ ♠❛ tr➟♥ A✳ ◆➳✉ ♠❛ tr➟♥ A ❝â ❣✐→ trà r✐➯♥❣ ❜➟❝ ❧ỵ♥ ❤ì♥ ❤♦➦❝ A ❝â ❣✐→ trà r✐➯♥❣ ♣❤ù❝ t❤➻ ❦ÿ t❤✉➟t ❣✐↔✐ ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✈✐ ♣❤➙♥ ❝â t❤❛② ✤ê✐✳ Ð ✤➙② t❛ s➩ ❦❤ỉ♥❣ ❜➔♥ ✈➲ ❦ÿ t❤✉➟t tr♦♥❣ ❤❛✐ tr÷í♥❣ ❤đ♣ ✤â✱ t❛ ❝❤➾ q✉❛♥ s→t ❤❛✐ ✈➼ ❞ư t÷ì♥❣ ù♥❣ s❛✉✳ ❱➼ ❞ư ✻✳✶✹ ✭●✐→ trà r✐➯♥❣ ❝â ❜➟❝ ❧ỵ♥ ❤ì♥ 1✮✳ ❳➨t ❤➺ y1 = y2 −4 ▼❛ tr➟♥ ❝❤➾ ❝â ❣✐→ trà r✐➯♥❣ λ=2 ❜➟❝ y1 y2 ✈➔ ❤➺ ❝â ♥❣❤✐➺♠ y1 = C1 e2t y2 = (2C1 + C2 )e2t + C2 te2t + 2C2 te2t ❱➼ ❞ö ✻✳✶✺ ✭●✐→ trà r✐➯♥❣ ❧➔ sè ♣❤ù❝✮✳ ❳➨t ❤➺ −1 y1 = y2 ▼❛ tr➟♥ ❝â ❣✐→ trà r✐➯♥❣ λ1 = i ✈➔ λ2 = −i✱ y1 y2 ✈➔ ❤➺ ❝â ♥❣❤✐➺♠ y1 = C1 cos t + C2 sin t y2 = −C2 cos t + C1 sin t ✻✳✹✳✸✳ ❚❤✉➟t t♦→♥ ❙❱❉ ✈➔ ù♥❣ ❞ö♥❣ tr♦♥❣ ❣✐↔♠ ỳ ứ ỵ t t ❝→❝❤ ❝❤➨♦ ❤â❛ ♠❛ tr➟♥ A ✈✉æ♥❣ ❝➜♣ n tr♦♥❣ tr÷í♥❣ ❤đ♣ A ❝â ✤õ n ✈❡❝t♦r r✐➯♥❣ ✤ë❝ ❧➟♣ t t tỗ t ởt tr P ✈➔ ♠ët ♠❛ tr➟♥ ✤÷í♥❣ ❝❤➨♦ D ✈✉ỉ♥❣ ❝➜♣ n s❛♦ ❝❤♦✿ P −1 AP = D✱ ❤❛② A = P DP t t ỵ ♥➳✉ A ❧➔ ♠❛ tr➟♥ ✤è✐ ①ù♥❣ (A = AT )✱ t❛ ❧✉ỉ♥ ❝â t❤➸ t➻♠ ✤÷đ❝ ♠❛ tr➟♥ trü❝ ❣✐❛♦ P ✈➔ ♠ët ♠❛ tr➟♥ ✤÷í♥❣ ❝❤➨♦ D s❛♦ ❝❤♦ P T AP = D✱ ❤❛② t❛ ❝â ♣❤➙♥ t A ữợ A = P DP T ố ợ tr A ù m ì n ❜➜t ❦ý✱ t❛ ❝ơ♥❣ ❝â ♠ët ♣❤➙♥ t➼❝❤ t÷ì♥❣ tü tổ q tt t sr st ú ỵ r t ổ t ữủ ợ tr A✱ t✉② ♥❤✐➯♥✱ ❦➼❝❤ ❝ï ♠❛ tr➟♥ ✤÷í♥❣ ❝❤➨♦ ð ❣✐ú❛ ♥â✐ ❝❤✉♥❣ s➩ ❦❤æ♥❣ ❜➡♥❣ ❦➼❝❤ ❝ï ♠❛ tr➟♥ A ✈➔ t➼♥❤ trü❝ ❣✐❛♦ ❝õ❛ ♠❛ tr➟♥ ❜➯♥ tr→✐ ✈➔ ❜➯♥ ♣❤↔✐ s➩ ❝â sü t❤❛② ✤ê✐✳ ❈ö t❤➸ t❛ ❝â ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ s❛✉✳ ✷✷✵ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✻✳✼✳ ❚❤✉➟t t♦→♥ ❙❱❉ ✭s✐♥❣✉❧❛r ✈❛❧✉❡ ❞❡❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥✮ ❝õ❛ ♠❛ tr➟♥ A ❝ï m × n ❝â r = min(m, n)✱ ❧➔ t❤✉➟t t♦→♥ ♣❤➙♥ t➼❝❤ A = U ΣV T tr♦♥❣ ✤â ✶✱ U ❧➔ ♠❛ tr➟♥ ❝ï m × r✱ ❝â ❝→❝ ✈❡❝t♦r ❝ët t↕♦ t❤➔♥❤ ♠ët t➟♣ trü❝ ❝❤✉➞♥❀ ✷✱ tr ữớ ù r ì r ợ tỷ tr ữớ σ1 , , σr ❧➔ ❝→❝ sè ❞÷ì♥❣ ✈➔ t❤❡♦ t❤ù tü ❣✐↔♠ ❞➛♥❀ ✸✱ V ❧➔ ♠❛ tr➟♥ ❝ï n × r✱ ❝â ❝→❝ ✈❡❝t♦r ❝ët t↕♦ t❤➔♥❤ ♠ët t➟♣ trü❝ ❝❤✉➞♥✳ ❱➔ t❛ ❝ô♥❣ ❝â ♠ët ❦➳t q✉↔ ❝❤♦ t❤➜② sü ❦❤↔ t❤✐ ❝õ❛ t❤✉➟t t♦→♥ ❙❱❉ ✈ỵ✐ tr t ý ỵ tr t❤ü❝ A ✤➲✉ ❝â ♠ët ♣❤➙♥ t➼❝❤ ❙❱❉✳ ❚✐➳♣ t❤❡♦✱ t❛ ✤✐ ✈➔♦ ❝❤✐ t✐➳t ❚❤✉➟t t♦→♥ ❙❱❉✳ ●✐↔ sû t❛ ✤➣ ❝â A = U ΣV T ✈ỵ✐ ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ♥❤÷ tr➯♥✳ ❚❛ ❝â AAT = (U ΣV T )(U ΣV T )T = U ΣV T V ΣU T ✈➔ AT A = (U ΣV T )T (U ΣV T ) = V ΣU T U ΣV T ❱➻ U ❧➔ ♠❛ tr➟♥ ❦➼❝❤ ❝ï m × r ❝â ❝→❝ ✈❡❝t♦r ❝ët t↕♦ t❤➔♥❤ ♠ët t➟♣ trü❝ ❝❤✉➞♥ ✈➔ V ❧➔ ♠❛ tr➟♥ ❦➼❝❤ ❝ï n × r ❝â ❝→❝ ✈❡❝t♦r ❝ët t↕♦ t❤➔♥❤ ♠ët t➟♣ trü❝ ❝❤✉➞♥ ♥➯♥ U T U = Ir ✈➔ V T V = Ir ❉♦ ✤â t❛ ❝â AAT = U Σ2 U T ✈➔ AT A = V Σ2 V T ❙✉② r❛ AAT U = U Σ2 ✈➔ AT AV = V Σ2 ❚ø ✤â t❛ ❝â ❝→❝❤ t➻♠ ♣❤➙♥ t➼❝❤ ❙❱❉✿ ✷✷✶ ✶✱ ▼❛ tr➟♥ U ỗ r ởt tr r ữủ trỹ õ AAT tr V ỗ r ❝ët ❧➔ ❝→❝ ✈❡❝t♦r r✐➯♥❣ ✤÷đ❝ trü❝ ❝❤✉➞♥ ❤â❛ AT A tr ỗ trà σ1 , , σr ❦❤æ♥❣ ➙♠✱ t❤ä❛ ♠➣♥ σ12 , , σr2 ❧➔ ❝→❝ ❣✐→ trà r✐➯♥❣ ❝õ❛ AAT ✭❤❛② AT A✮✱ ①➳♣ t❤❡♦ t❤ù tü ❣✐↔♠ ❞➛♥✳ ❱➼ ❞ö ✻✳✶✻✳ P❤➙♥ t➼❝❤ ❙❱❉ ❝→❝ ♠❛ tr➟♥ s❛✉✿ ✶✱   A = 0 2 0 ✷✱  0 A= 1 0  0  1 ✸✱  0 A= 1 0 0  1  0 ✣→♣ →♥✿ ✶✱ ✷✱ ✸✱ A = U ΣV T ✱ tr♦♥❣ ✤â✿   0 , VT = U = 1 0 , Σ = 1 0 √   − 0.5 √ √  0.8 0.2   , √ U =   − 0.5 √ √ 0.2 − 0.8   √0 √0 − 0.5 − 0.5 √ √ − 0.5 0.5 √ Σ =  0  0 , 0 VT √  √    2/2 0 √ 0 0  2/2 0  , Σ =  0 , V T =  −1 0 U =  0 −1 −1 0 0 −1 ✷✷✷ = ọ ỵ t ọ ởt ✸ ð ♠❛ tr➟♥ U ✱ ❜ä ❤➔♥❣ ✸ ✈➔ ❝ët ✸ ❝õ❛ ♠❛ tr➟♥ tr➟♥ Σ✱ ❜ä ❤➔♥❣ ✸ ð ♠❛ tr➟♥ V T A ❜❛♥ ✤➛✉ ❤❛② ❦❤æ♥❣❄ t❤➻ t➼❝❤ U ΣV T ❚r♦♥❣ t❤ü❝ t➳✱ t❛ ❤♦➔♥ t õ t t ỗ r t ợ õ ữủ ỳ A = U ΣV T ð ✤â Σ ❧➔ ♠❛ tr➟♥ r = r❛♥❦A✳ Ù♥❣ ❞ö♥❣ ❝õ❛ ❙❱❉ tr♦♥❣ ❣✐↔♠ ❝❤✐➲✉ ❞ú ❧✐➺✉✿ ●✐↔♠ ❝❤✐➲✉ ❞ú ❧✐➺✉ ❧➔ ❣➻❄ ❚r♦♥❣ ❧÷✉ trú t❤ỉ♥❣ t✐♥✱ t❛ s➩ ❧÷✉ trú ❜ë ❞ú ❧✐➺✉ t❤ỉ♥❣ q✉❛ ♠ët ♠❛ tr➟♥ A ♥➔♦ ✤â✳ ●✐↔ sû r❛♥❦A = r✱ t❛ ❤✐➸✉ ❧➔ ❜ë ❞ú ❧✐➺✉ ❝â sè ❝❤✐➲✉ ❜➡♥❣ r✳ ●✐↔♠ ❝❤✐➲✉ ❞ú ❧✐➺✉ ❧➔ t❛ s➩ t➻♠ ♠❛ tr➟♥ A ❝â ❤↕♥❣ ♥❤ä ❤ì♥ ❤↕♥❣ ❝õ❛ ♠❛ tr➟♥ A✱ ❝â sè ❧✐➺✉ ❣➛♥ s→t ✈ỵ✐ A✱ ✈➝♥ ❣✐ú ✤÷đ❝ ♥❤ú♥❣ t❤✉ë❝ t➼♥❤ q✉❛♥ trå♥❣ ♥❤➜t ❝õ❛ A✳ ❚ø ✤â✱ t❛ s➩ ❧÷✉ trú ♠❛ tr➟♥ A t❤❛② ✈➻ ♠❛ tr➟♥ A✳ ❙û ❞ö♥❣ ❙❱❉ tr♦♥❣ ❣✐↔♠ ❝❤✐➲✉ ❞ú ❧✐➺✉ ♥❤÷ t❤➳ ♥➔♦❄ ●✐↔ sû t❛ ❝â ♣❤➙♥ t A = U V T ợ ỗ ♣❤➛♥ tû tr➯♥ ✤÷í♥❣ ❝❤➨♦ ❧➔ σ1 , , σr rA = r ữ ỵ r ≥ ≥ σr > 0✳ ❇➙② ❣✐í✱ ✤➸ t↕♦ r❛ ♠❛ tr➟♥ A ❝â ❤↕♥❣ r < r✱ t❛ ✤➦t • ▼❛ tr➟♥ Σ = ❞✐❛❣{σ1 , , σr } tr ữớ ỗ số , r ã tr U t ữủ tø ♠❛ tr➟♥ U ❜➡♥❣ ❝→❝❤ ①â❛ ✤✐ ❝→❝ ❝ët tø r + ✤➳♥ r✳ • ▼❛ tr➟♥ V t❤✉ ✤÷đ❝ tø ♠❛ tr➟♥ V ❜➡♥❣ ❝→❝❤ ①â❛ ✤✐ ❝→❝ ❝ët tø r + ✤➳♥ r✳ ❑❤✐ ✤â ♠❛ tr➟♥ A =U ΣV T ❝â ❤↕♥❣ r ✱ ❝â sè ❧✐➺✉ ❣➛♥ s→t ✈ỵ✐ A ✈➔ ✈➝♥ ❣✐ú ✤÷đ❝ ❝→❝ t❤✉ë❝ t➼♥❤ q✉❛♥ trå♥❣ ♥❤➜t✳ ❚❛ ❦➳t ❧✉➟♥ ✤÷đ❝ ✤✐➲✉ ♥➔② ✈➻ t❛ ✤➣ ❣✐ú ❧↕✐ ❝→❝ ❣✐→ tr r õ tr ợ t tữỡ ự ợ ❝→❝ ✈❡❝t♦r r✐➯♥❣ t❤➸ ❤✐➺♥ ✤➦❝ tr÷♥❣ q✉❛♥ trå♥❣ ♥❤➜t ❝õ❛ ❞ú ❧✐➺✉✳ Ù♥❣ ❞ö♥❣ ♣❤ê ❜✐➳♥ ♥❤➜t ❝õ❛ ●✐↔♠ ❝❤✐➲✉ ❞ú ❧✐➺✉ ❧➔ ✈✐➺❝ ❧➔♠ ❣✐↔♠ ❝❤➜t ❧÷đ♥❣ ❤➻♥❤ ↔♥❤ ❦❤✐ ✉♣❧♦❛❞ ❧➯♥ ❝→❝ tr❛♥❣ ♠↕♥❣ ①➣ ❤ë✐✳ ❚r♦♥❣ ❈❤÷ì♥❣ ✶✱ t❛ ✤➣ ✷✷✸ ♥â✐ ✈➲ t❤✉➟t t♦→♥ tr✉♥❣ ❜➻♥❤✳ ❚r➯♥ t❤ü❝ t➳✱ t❤✉➟t t♦→♥ tr✉♥❣ ❜➻♥❤ ❦❤ỉ♥❣ ✤÷đ❝ ù♥❣ ❞ö♥❣ ♥❤✐➲✉ ❜➡♥❣ t❤✉➟t t♦→♥ ❣✐↔♠ ❝❤✐➲✉ ❞ú ❧✐➺✉ sû ❞ư♥❣ ❙❱❉✳ ❚❛ s➩ ♠ỉ t❛ t❤ỉ♥❣ q✉❛ ✈➼ ❞ö s❛✉✳ ❱➼ ❞ö ✻✳✶✼✳ ❚❛ ❝â ❜ù❝ ↔♥❤ ❈❤✐❛ ự t 12 ì 12 ợ ộ ởt ♣✐①❡❧✱ t❛ ✤→♥❤ sè ❞ü❛ tr➯♥ ✤ë s→♥❣✱ tr↔✐ ❞ú ổ r t ữủ tr ỗ 144 t❤➔♥❤ ♣❤➛♥✳ ✷✷✹ 12 × 12 = 144 ◆❣♦➔✐ ✤➦❝ tr÷♥❣ ✈➲ ✤ë s→♥❣✱ t❛ ❝❤å♥ ❝→❝ ✤➦❝ tr÷♥❣ ữ ố ợ ự t ❝â ✤ë ✤➟♠ ♥❤↕t ❝õ❛ ♠➔✉ ①❛♥❤✱ ✤ä✱ ✈➔♥❣✮✱ ✤→♥❤ sè ❝→❝ ♣✐①❡❧ ✈➔ ❧↕✐ tr↔✐ r❛ t❤➔♥❤ ✈❡❝t♦r ❤➔♥❣✳ ❚ø ✤â t❛ ❝â ❜ë ❞ú ❧✐➺✉ ❝ï m m × 144 ✭❞ü❛ tr➯♥ ✤➦❝ tr÷♥❣✮✳ ❙û ❞ư♥❣ t❤✉➟t t♦→♥ ●✐↔♠ ❝❤✐➲✉ ❞ú ❧✐➺✉ t❤ỉ♥❣ q✉❛ ❙❱❉✱ t❛ t❤✉ ✤÷đ❝ ❝→❝ ❦➳t q✉↔ s❛✉ ✷✷✺ ✷✷✻ ❚✐➳♣ t❤❡♦✱ t❛ s➩ ✤➳♥ ✈➼ ❞ư ✈ỵ✐ t➼♥❤ t♦→♥ ❝ư t❤➸ ❧✐➯♥ q✉❛♥ ✤➳♥ ♠ỉ ❤➻♥❤ t♦→♥ ❤å❝ tr♦♥❣ ❧÷✉ trú ❞ú ❧✐➺✉ ✤→♥❤ ❣✐→ ♣❤✐♠ tr➯♥ ❝→❝ ù♥❣ ❞ö♥❣ ①❡♠ ♣❤✐♠ trü❝ t✉②➳♥✳ ❱➼ ❞ư ✻✳✶✽ ✭▼ỉ ❤➻♥❤ ❚♦→♥ ❤å❝ tr♦♥❣ ❞ú ❧✐➺✉ ✤→♥❤ ❣✐→ ♣❤✐♠ ❝õ❛ ♥❣÷í✐ ❞ị♥❣✮✳ ❍✐➺♥ ♥❛②✱ tr➯♥ ❝→❝ tr❛♥❣ ①❡♠ ♣❤✐♠ trü❝ t✉②➳♥ ✭♥❤÷ ◆❡t❢❧✐①✱ ❉✐s♥❡②✰✱ ❍❇❖ ♠❛①✱✳✳✳✮✱ s❛✉ ❦❤✐ ①❡♠ ♣❤✐♠✱ ♥❣÷í✐ ❞ị♥❣ s➩ ✤÷đ❝ ②➯✉ ❝➛✉ ✤→♥❤ ❣✐→ t❤❡♦ t❤❛♥❣ ✶ s❛♦✱ ✷ s❛♦✱ ✸ s❛♦✱ ✹ s❛♦✱ ✺ s❛♦✳ ❳➨t ♠❛ tr➟♥ t❤è♥❣ ❦➯ ữớ ũ ợ é ❝â ❤❛✐ ♥❤â♠ ♣❤✐♠ ❧➔ ❙❝✐✲❢✐❝ ✈➔ ❘♦♠❛♥t✐❝ ✈➔ sè ❝❤✐➲✉ ❝õ❛ ❞ú ❧✐➺✉ ❜➡♥❣ ✷✷✼ ✈ỵ✐ ❝ì sð ❧➔ ✶ ✶ ✸ ✹ ✺ ✷  ✸  ✹  ✺  0  0 0 ✶ {(1, 1, 1, 0, 0), (0, 1, 0, 2, 2), (0, 0, 0, 1, 1)}✳ ⑩♣ ❞ö♥❣ ♣❤➙♥ t➼❝❤ ❙❱❉✿    ✶ 0 ✵✳✶✸ 0.02 −0.01   ✸ 0  ✵✳✹✶ 0.07 −0.03     ✹ 0 ✶✷✳✹ 0  ✵✳✺✺ 0.09 −0.04    ✺ 0 ✾✳✺  ×  = ✵✳✻✽ 0.11 −0.05 ×   ✹ ✹ 0 ✶✳✸   0.15 ✲✵✳✺✾ ✵✳✻✺     ✺ ✺ 0.07 ✲✵✳✼✸ ✲✵✳✻✼ ✷ ✷ 0.07 ✲✵✳✷✾ ✵✳✸✷   ✵✳✺✻ ✵✳✺✾ ✵✳✺✻ 0.09 0.09  0.12 −0.02 0.12 ✲✵✳✻✾ ✲✵✳✻✾ 0.40 ✲✵✳✽✵ 0.40 0.09 0.09 ❚❛ ❝ò♥❣ ♣❤➙♥ t➼❝❤ sè ❧✐➺✉ ❚❛ ✤÷❛ ❞ú ❧✐➺✉ ✈➲ ❤❛✐ ❝❤✐➲✉   0.13 0.02 0.41 0.07    0.55 0.09    0.09 0.68 0.11  × ✶✷✳✹ × 0.56 0.59 0.56 0.09 =   ✾✳✺ 0.12 −0.02 0.12 −0.69 −0.69 0.15 −0.59   0.07 −0.73 0.07 −0.29 ✷✷✽ ❇⑨■ ❚❾P ❇➔✐ t➟♣ ✻✳✶✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ λi ❧➔ ❝→❝ ❣✐→ trà r✐➯♥❣ ❝õ❛ A ✈➔ xi ❧➔ ❝→❝ ✈❡❝t♦r r✐➯♥❣ t÷ì♥❣ ù♥❣✳ ❇➔✐ t➟♣ ✻✳✷✳ ❚➻♠ ❣✐→ trà r✐➯♥❣ ✈➔ ✈❡❝t♦r r✐➯♥❣ ❝õ❛ ❝→❝ ♠❛ tr➟♥ s❛✉✿ ✷✷✾ ❇➔✐ t➟♣ ✻✳✸✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ r➡♥❣ ❝→❝ ♠❛ tr➟♥ s❛✉ ❦❤ỉ♥❣ ❝❤➨♦ ❤â❛ ✤÷đ❝✳ ❇➔✐ t➟♣ ✻✳✹✳ ❈❤➨♦ ❤â❛ ❝→❝ ♠❛ tr➟♥ s❛✉✿ ❇➔✐ t➟♣ ✻✳✺✳ ❚➻♠ ♠ët ❝ì sð B ✤➸ ♠❛ tr➟♥ ❝õ❛ →♥❤ T ố ợ B tr ữớ ✷✸✵ ❇➔✐ t➟♣ ✻✳✻✳ ❈❤♦ A ❧➔ ♠ët ♠❛ tr➟♥ ✈✉ỉ♥❣ ❝❤➨♦ ❤â❛ ✤÷đ❝✱ ❝❤♦ P ❧➔ ♠ët ♠❛ tr➟♥ ❦❤↔ ♥❣❤à❝❤ ✈➔ D ❧➔ ♠ët ♠❛ tr➟♥ ✤÷í♥❣ ❝❤➨♦ s❛♦ ❝❤♦✿ P −1 AP = D✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ r➡♥❣✿ Ak = P Dk P −1 ∀k ∈ N ❇➔✐ t➟♣ ✻✳✼✳ ⑩♣ ❞ö♥❣ ❦➳t q✉↔ ❝õ❛ ❇➔✐ t➟♣ ✻✳✻✱ ❤➣② t➻♠ ❧ô② t❤ø❛ ❝õ❛ ♠❛ tr➟♥ A✳ ❇➔✐ t➟♣ ✻✳✽✳ ❈❤➨♦ ❤â❛ trü❝ ❣✐❛♦ ♠❛ tr➟♥ s❛✉✿ ❇➔✐ t➟♣ ✻✳✾ ✭❚➠♥❣ tr÷ð♥❣ ❞➙♥ sè✮✳ ❙û ❞ư♥❣ ♠➔ tr➟♥ ❝❤✉②➸♥ A ✈➔ ✈❡❝t♦r ♣❤➙♥ ♣❤è✐ t✉ê✐ x1 ✱ t➻♠ ✈❡❝t♦r ♣❤➙♥ ♣❤è✐ t✉ê✐ x2 , x3 ✳ ✷✸✶ ❇➔✐ t➟♣ ✻✳✶✵ ✭❚➠♥❣ tr÷ð♥❣ ❞➙♥ sè✮✳ ❳➨t ♠ỉ ❤➻♥❤ ❞➙♥ sè s❛✉✿ ✶✳ 75% ❝→ t❤➸ sè♥❣ sât q✉❛ ♥➠♠ ✤➛✉ t✐➯♥✳ ❚r♦♥❣ sè 75% ❝→ t❤➸ ♥➔②✱ ❝â 25% ❝→ t❤➸ sè♥❣ sât q✉❛ ♥➠♠ t❤ù ❤❛✐✳ ❚✉ê✐ ✤í✐ ❧ỵ♥ ♥❤➜t ❝õ❛ ❝→ t❤➸ ❧➔ 3✳ ✷✳ ❚r✉♥❣ ❜➻♥❤✱ ♠é✐ ❝→ t❤➸ ð ♥➠♠ t❤ù ♥❤➜t✱ t❤ù ❤❛✐✱ t❤ù ❜❛ s r tữỡ ự 2, 4, t ợ ▼é✐ ♥❤â♠ t✉ê✐ ❝â 120 ❝→ t❤➸✳ ❚➼♥❤ sè ❝→ t❤➸ ð tø♥❣ ♥❤â♠ t✉ê✐ s❛✉ ♥➠♠✱ s❛✉ ♥➠♠❄ ❇➔✐ t➟♣ ✻✳✶✶ ✭❚❤✉➟t t♦→♥ ❙❱❉ ✈➔ ù♥❣ ❞ö♥❣ tr♦♥❣ ❣✐↔♠ ❝❤✐➲✉ ❞ú ❧✐➺✉✮✳ ❙û ❞ö♥❣ t❤✉➟t t♦→♥ ❙❱❉ ✤➸ ❣✐↔♠ ❝❤✐➲✉ ❜↔♥❣ ❝➜♣✳  5 4 4  4  0 0  0 0 0 ✷✸✷ ❞ú ❧✐➺✉ ❦❤→❝❤ ❤➔♥❣ s❛✉ ①✉è♥❣ ♠ët 0 3  0  0  4  3 ❚➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦ ❬✶❪ ❘✳ ▲❛rs♦♥ ❛♥❞ ❉✳ ❈✳ ❋❛❧✈♦ ❊❧❡♠❡♥t❛r② ▲✐♥❡❛r ❆❧❣❡❜r❛✱ ❙✐①t❤ ❊❞✐t✐♦♥✱ ❍♦✉❣❤t♦♥ ▼✐❢❢❧✐♥ ❍❛r❝♦✉rt P✉❜❧✐s❤✐♥❣ ❈♦♠♣❛♥②✱ ✷✵✵✾ ❬✷❪ P❤✐❧✐♣ ◆✳ ❑❧❡✐♥ ❈♦❞✐♥❣ t❤❡ ▼❛tr✐① ✲▲✐♥❡❛r ❆❧❣❡❜r❛ t❤r♦✉❣❤ ❆♣♣❧✐❝❛t✐♦♥s t♦ ❈♦♠♣✉t❡r ❙❝✐❡♥❝❡✱ ❋✐rst ❊❞✐t✐♦♥✱ ❇r♦✇♥ ❯♥✐✈❡rs✐t② ❬✸❪ P❤❛♥ ✣ù❝ ❈❤➼♥❤✱ ❚æ♥ ❚❤➙♥ ✈➔ ❝→❝ ❝ë♥❣ sü ❱✐➺t ◆❛♠✱ ✷✵✷✵✳ ❚♦→♥ ✼ t➟♣ ✶✱ ◆❳❇ ●✐→♦ ❞ö❝ ❬✹❪ P❤❛♥ ✣ù❝ ❈❤➼♥❤✱ ❚æ♥ ❚❤➙♥ ✈➔ ❝→❝ ❝ë♥❣ sü ❱✐➺t ◆❛♠✱ ✷✵✷✵✳ ❚♦→♥ ✼ t➟♣ ✷✱ ◆❳❇ ●✐→♦ ❞ö❝ ❬✺❪ ❍❛r✈❡② ❊✳ ❘♦s❡ ▲✐♥❡❛r ✷✵✵✷✳ ❆❧❣❡❜r❛✳ ❆ P✉r❡ ▼❛t❤❡♠❛t✐❝❛❧ ❆♣♣r♦❛❝❤✱ ❙♣r✐♥❣❡r ❬✻❪ ❚❤♦♠❛s ❍❛✇❦✐♥s ❈❛✉❝❤② ❛♥❞ t❤❡ s♣❡❝tr❛❧ t❤❡♦r② ♦❢ ♠❛tr✐❝❡s✱ ❍✐st♦r✐❛ ▼❛t❤❡♠❛t✐❝❛✱ ❱♦❧✉♠❡ ✷✱ ■ss✉❡ ✶✱❋❡❜r✉❛r② ✶✾✼✺✱ ♣✳ ✶✲✷✾✳ ...  −2  ❦❤ỉ♥❣ ①→❝ ✤à♥❤ ✈➻ ❝❤ó♥❣ ✈➔ −5 −9 ❦❤ỉ♥❣ ❝ị♥❣ ❦➼❝❤ ❝ï✳ ✶✳✷✳✷✳ P❤➨♣ ♥❤➙♥ ♠❛ tr➟♥ ợ ởt số ợ ổ ữợ số tỹ ỏ ữủ ổ ữợ A = [a ] ❧➔ ♠ët ♠❛ tr➟♥ ❦➼❝❤ ❝ï m × n✱ c ❧➔ ♠ët sè ij t❤ü❝✳ ❚➼❝❤ ❝õ❛... i ✈➔ ❝ët t❤ù j ❝õ❛ t➼❝❤ AB ✱ t❛ ❧➜② ❝→❝ ❤➺ sè ð ❞á♥❣ t❤ù i ❝õ❛ ♠❛ tr A ợ số tữỡ ự ởt tự j tr B rỗ t ợ ú ỵ số ❝ët ❝õ❛ ♠❛ tr➟♥ A ❦❤æ♥❣ ❜➡♥❣ sè ❞á♥❣ ❝õ❛ ♠❛ tr➟♥ B✱ t❤➻ t➼❝❤ AB ❦❤æ♥❣ ①→❝... ✶✳✷✳✶✳ P❤➨♣ ❝ë♥❣ ♠❛ tr➟♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✹ ✶✳✷✳✷✳ P❤➨♣ ♥❤➙♥ ♠❛ tr➟♥ ợ ởt số ợ ổ ữợ ✳ ✳ ✶✹ ✶✳✷✳✸✳ P❤➨♣ ♥❤➙♥ ❤❛✐ ♠❛ tr➟♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✺ ✶✳✸✳

Ngày đăng: 28/03/2022, 12:57

Mục lục

  • Chng Ma trn và inh thc

    • Gii thiu v ma trn

    • Các phép toán vi ma trn

      • Phép cng ma trn

      • Phép nhân ma trn vi mt s (vi vô hng)

      • Phép nhân hai ma trn

      • Các tính cht cua các phép toán vi ma trn

      • Phép chuyn vi ma trn

      • Ma trn dang bc thang theo dòng và phép kh Gauss

      • Ma trn nghich ao cua mt ma trn

        • Ðinh nghıa

        • Phép kh Gauss-Jordan tìm ma trn nghich ao cua mt ma trn

        • Các tính cht cua ma trn nghich ao

        • Mt s ng dung cua ma trn

          • Ma trn trong thut toán làm giam cht lng hình anh

          • Ma trn trong thut toán làm m anh

          • Ma trn trong tìm kim oan nhac gc

          • Chui Markov, ma trn ngu nhiên và các mô hình ph bin

          • Ma trn trong mt mã

          • Ma trn trong phân tích hi quy bình phng nho nht

          • Ðinh thc

            • Ðinh thc cua mt ma trn vuông

            • Dùng các phép bin i s cp theo dòng hoc theo ct tính inh thc

            • Các tính cht cua inh thc

            • Mt s ng dung cua inh thc

Tài liệu cùng người dùng

Tài liệu liên quan