Đang tải... (xem toàn văn)
Bài 2: Đường kính và dây của đường tròn Hình học 9 Bao gồm: Phương pháp giải các dạng bài tập Ví dụ minh họa và giải chi tiết theo suy luận ngượcDạng 1. Tính độ dài các đoạn thẳng1. Phương pháp:Sử dụng 2 định lí về quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây:Định lí 1: Trong một đường tròn, đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấyĐịnh lý 2: Trong một đường tròn, đường kính đi qua trung điểm của một dây không đi qua tâm thì vuông góc với dây ấySử dụng định lí Pytago trong việc tính toán: Trong một tam giác vuông, bình phương của cạnh huyền bằng tổng các bình phương của hai cạnh góc vuông.
BÀI ĐƯỜNG KÍNH VÀ DÂY CỦA ĐƯỜNG TRỊN Dạng Tính độ dài đoạn thẳng Phương pháp: Sử dụng định lí quan hệ vng góc đường kính dây: Định lí 1: Trong đường trịn, đường kính vng góc với dây qua trung điểm dây Định lý 2: Trong đường trịn, đường kính qua trung điểm dây khơng qua tâm vng góc với dây Sử dụng định lí Pytago việc tính tốn: Trong tam giác vng, bình phương cạnh huyền tổng bình phương hai cạnh góc vng Các ví dụ: Ví dụ 1: Cho đường trịn (O) có bán kính R = cm Dây cung AB đường trịn vng góc với OC (điểm C nằm đường tròn) trung điểm OC Tính độ dài dây cung AB Lời giải: B1: Phân tích đề: A, O trung điểm OC tạo thành tam giác vuông ⇒ Sử dụng định lí Pytago để tính OC bán kính cắt dây cung AB ⇒ OC cắt AB trung điểm AB B2: Phân tích suy luận ngược: M trung điểm AB ⇒ Tính AB ⇑ Quan hệ vng góc đường kính dây cung ⇑ ⇒ Định lí Pytago Tính AM ⇑ OM Tính theo bán kính OC ⇑ Lấy M trung điểm OC B3: Lời giải chi tiết: Gọi M trung điểm OC OC R = = = (cm) 2 Ta có: ∆ OAM Áp dụng định lí Pytago cho vng M : 2 OA = OM + AM ⇒ AM = OA2 − OM = 62 − 32 = 27 ⇒ AM = 27 = 3 (cm) OM = Vì bán kính OC vng góc với dây cung AB M nên M trung điểm AB Do đó: AB = AM = (cm) Ví dụ 2: Cho đường trịn (O) có bán kính R Khoảng cách từ tâm O đến dây cung CD đường tròn d = cm Tính bán kính R đường tròn biết dây cung CD = cm Lời giải: B1: Phân tích đề: OH vng góc với dây cung CD ⇒ OH cắt CD trung điểm CD Tam giác OCH vuông H ⇒ Sử dụng định lí Pytago để tính cạnh OC B2: Phân tích suy luận ngược: Định lí Pytago ⇒ Tính bán kính OC ⇑ H trung điểm CD ⇒ Tính CH ⇑ Quan hệ vng góc đường kính dây cung ⇑ OH = d = cm ⇑ Kẻ OH vng góc CD H B3: Lời giải chi tiết: Kẻ OH vng góc với CD H Khi OH khoảng cách từ tâm O đến dây cung CD ⇒ OH = d = cm Vì bán kính OH vng góc với dây CD H nên H trung điểm CD CD ⇒ CH = = = (cm) 2 ∆ Áp dụng định lí Pytago cho OHC vuông H : OC = OH + CH = 32 + 42 = 25 ⇒ OC = 25 = (cm) Vậy bán kính đường trịn R = (cm) Ví dụ 3: Cho đường trịn (O) đường kính AD , dây cung AB Qua B vẽ dây BC vuông góc với AD H Biết AB = 10 (cm) BC = 12 (cm) a) Tính độ dài đoạn thẳng AH b) Tính bán kính đường trịn (O) Lời giải: a) B1: Phân tích đề: Đường kính AD vng góc với dây cung BC H ⇒ H trung điểm BC Tam giác AHB vuông H ⇒ Sử dụng định lí Pytago để tính cạnh AH B2: Phân tích suy luận ngược: Tính độ dài đoạn thẳng AH ⇑ Định lí Pytago cho ∆AHB ⇑ Tính BH ⇑ H trung điểm BC ⇑ Quan hệ vng góc đường kính dây cung B3: Lời giải chi tiết: Đường kính AD vng góc với dây cung BC H ⇒ H trung điểm BC BC 12 = = (cm) 2 Áp dụng định lí Pytago cho ∆AHB vng H : AB = AH + BH ⇒ AH = AB − BH = 102 − 62 = 64 ⇒ AH = 64 = (cm) Vậy độ dài đoạn AH (cm) ⇒ HB = HC = b) B1: Phân tích đề: Đề yêu cầu độ dài bán kính tức cần tính độ dài đoạn OA Mà O trung điểm AD nên tính AD tính OA B2: Phân tích suy luận ngược: Tính bán kính OA ⇑ Tính AD ⇑ AB = AH AD ⇑ ABD Tam giác vuông B B3: Lời giải chi tiết: Tâm O đường tròn ngoại tiếp ∆ABD nằm cạnh AD nên AD cạnh huyền tam giác ABD vuông B Áp dụng hệ thức cạnh đường cao tam giác vuông: AB = AH AD AB 102 ⇒ AD = = = 12,5 (cm) AH AD 12,5 ⇒ OA = = = 6, 25 (cm) 2 Vậy bán kính đường trịn (O) 6, 25 (cm) Dạng So sánh độ dài đoạn thẳng Phương pháp : Sử dụng định lý so sánh độ dài đường kính dây: Trong dây đường tròn, dây lớn đường kính Sử dụng định lí quan hệ vng góc đường kính dây: Trong đường trịn, đường kính vng góc với dây qua trung điểm dây Sử dụng định lí Pytago để tính tốn: Trong tam giác vng, bình phương cạnh huyền tổng bình phương hai cạnh góc vng Các ví dụ: Ví dụ 4: Cho đường trịn (O) dây cung AB khơng qua tâm Gọi M trung điểm AB Qua M vẽ dây CD không trùng với AB Chứng minh độ dài đoạn MC khác độ dài đoạn MD Lời giải: B1: Phân tích đề: Cần chứng minh độ dài đoạn MC khác độ dài đoạn MD tức chứng minh M không trung điểm CD Nhận thấy việc chứng minh trực tiếp khó khăn, ta chứng minh phản chứng B2: Phân tích suy luận ngược: B3: Lời giải chi tiết: Độ dài đoạn MC khác độ dài đoạn MD ⇑ M trung điểm CD Giả sử M trung điểm CD ⇑ CD trùng với AB (trái đề bài) ⇑ OM vng góc với CD ⇑ Giả sử M trung điểm CD Mà CD dây cung đường tròn (O) nên theo định lí quan hệ vng góc đường kính dây cung OM ⊥ CD Mặt khác M trung điểm AB AB dây cung đường tròn (O) nên OM ⊥ AB Suy AB ≡ CD (trái với giả thiết) ⇒ Điều vừa giả sử không ⇒ M không trung điểm CD Vậy độ dài đoạn MC khác độ dài đoạn MD Ví dụ 5: Cho nửa đường trịn tâm O , đường kính AB dây EF khơng cắt đường kính Gọi I K chân đường vng góc kẻ từ A B đến đường thẳng EF Chứng minh IE = KF Lời giải: B1: Phân tích đề: Để sử dụng định lí quan hệ vng góc đường kính dây cung ta cần kẻ thêm đoạn OM vng góc với EF (điểm M thuộc đoạn EF ) Có đoạn thẳng song song với nên ta nghĩ đến việc sử dụng định lí Ta-lét tam giác hình thang B2: Phân tích suy luận ngược: IE = FK ⇑ MI = MK B3: Lời giải chi tiết: Kẻ OM vng góc với EF (điểm M thuộc đoạn EF ) ⇒ OM vng góc với IK OM vng góc với dây EF M nên theo định lí quan hệ ⇑ AI ∥ BK ∥ OM ⇑ ME = MF ⇑ Kẻ OM vng góc với EF M vng góc đường kính dây cung ME = MF (*) Ta thấy AI , BK , OM vng góc với IK Nên AI ∥ BK ∥ OM Mặt khác OA = OB (vì AB đường kính) Theo định lí Ta-lét hình thang ⇒ MI = MK ⇒ IE + ME = MF + FK Kết hợp với (*) ⇒ IE = FK Bài tập tự luyện: Bài 1: Cho đường trịn (O) có bán kính OI = cm Dây cung HK đường trịn vng góc với OI trung điểm OI Tính độ dài dây cung HK Lời giải: Gọi M trung điểm OI Ta có: OM = OI = = (cm) 2 Áp dụng định lí Pytago cho ∆OHM vuông M : OH = OM + HM ⇒ HM = OH − OM = 42 − 22 = 12 ⇒ HM = 12 = (cm) Vì bán kính OI vng góc với dây cung HK M nên M trung điểm HK Do đó: HK = HM = (cm) Bài 2: Cho nửa đường trịn tâm O , đường kính AD Trên nửa đường tròn, lấy hai điểm B C Biết AB = BC = (cm) CD = (cm) Tính bán kính đường trịn Lời giải: Ta có AB = BC ⇒ B ∈ đường trung trực AC OA = OC = R ⇒ O ∈ đường trung trực AC ⇒ OB đường trung trực AC ⇒ IA = IC ⇒ OI đường trung bình ∆ADC ⇒ OI = CD = = (cm) 2 Xét ∆OIC vuông I ⇒ IC = OC − OI = R − (Định lí Pytago) (1) Xét ∆BIC vng I ⇒ IC = BC − BI = (2 5) − ( R − 3) (Định lí Pytago) (2) 2 2 Từ (1) (2) ⇒ R − = (2 5) − ( R − 3) ⇒ R − 3R − 10 = Bài 3: Cho tam giác ABC , đường cao AH CK Chứng minh rằng: a) Bốn điểm A, C , H , K thuộc đường tròn b) HK < AC Lời giải: a) Gọi I trung điểm AC Áp dụng tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền tam giác vuông AKC , AHC ta có: IK = IH = AC Suy điểm I cách điểm A, C , H , K Vậy bốn điểm A, C , H , K thuộc đường tròn tâm I bán kính IA b) Trong đường trịn ( I , IA) , AC đường kính, HK dây phân biệt với AC nên HK < AC (định lý so sánh độ dài đường kính dây) Bài 4: Cho đường tròn ( O, R ) ba dây AB, AC , AD Gọi M N hình chiếu B đường thẳng AC , AD Chứng minh MN ≤ R Lời giải: Gọi I trung điểm AB Áp dụng tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền tam giác vuông ABN , ABM ta có: IM = IN = AB ⇒ IM = IN = IA = IB Suy điểm I cách điểm A, B, M , N Do bốn điểm A, B, M , N thuộc đường trịn tâm I bán kính AI Trong đường tròn ( I , AI ) , AB Mặt khác, đường trịn đường kính, MN dây nên MN ≤ AB (1) ( O, R ) , AB dây nên AB ≤ R (2) Từ (1) (2) ta MN ≤ R Bài 5: Cho đường tròn ( O, R ) đường kính AB Gọi M điểm nằm A B Qua M vẽ dây CD vng góc với AB Lấy điểm E đối xứng với A qua M a) Tứ giác ACED hình gì? Tại sao? b) Giả sử R = 6,5 cm MA = cm , tính độ dài CD c) Gọi H K hình chiếu M CA CB Chứng minh MH MK = Lời giải: ( O) a) Xét M ⇒ MC = MD = CD có AB ⊥ CD Xét tứ giác ACED có MC = MD; MA = ME ⇒ Tứ giác ACED hình bình hành Mặt khác AE ⊥ CD ⇒ ACED hình thoi b) Ta có AB = R = 13 cm ⇒ MB = AB − AM = 13 − = 9 (cm) Xét ∆ABC có cạnh AB đường kính đường trịn ngoại tiếp ⇒ ∆ABC vuông C 2 Áp dụng hệ thức h = b′ ×c′ ta có MC = MA.MB = 4.9 = 36 ⇒ MC = 36 = (cm) ⇒ CD = 2.MC = 2.6 = 12 (cm) c) Xét ∆MAC vng M có đường có MH , áp dụng hệ thức b.c = a.h ta có MH AC = MA.MC ⇒ MH = MA.MC MB.MC MK = AC BC Tương tự: MA.MC MB.MC MC MA.MB MC MC MC ⇒ MH MK = × = = = AC BC AC.BC MC AB 2R MC 2R ... thuộc đường tròn tâm I bán kính IA b) Trong đường trịn ( I , IA) , AC đường kính, HK dây phân biệt với AC nên HK < AC (định lý so sánh độ dài đường kính dây) Bài 4: Cho đường tròn ( O, R ) ba dây. .. thuộc đường tròn tâm I bán kính AI Trong đường trịn ( I , AI ) , AB Mặt khác, đường tròn đường kính, MN dây nên MN ≤ AB (1) ( O, R ) , AB dây nên AB ≤ R (2) Từ (1) (2) ta MN ≤ R Bài 5: Cho đường. .. 6, 25 (cm) 2 Vậy bán kính đường trịn (O) 6, 25 (cm) Dạng So sánh độ dài đoạn thẳng Phương pháp : Sử dụng định lý so sánh độ dài đường kính dây: Trong dây đường tròn, dây lớn đường kính Sử dụng