DÙNG MÁY TÍNH CASIO FX570MS ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỒNG DƯ Ở cấp II học sinh làm quen “Đồng Dư”, lên đại học sinh viên ngành Toán gặp lại “Đồng Dư” môn “Số Học” Nhưng việc tìm nghiệm phương trình hệ phương trình “Đồng Dư” đôi lúc gặp khó khăn Ở giới thiệu phương pháp dùng máy tính để giải phương trình hệ phương trình đồng dư nhờ máy tính bỏ túi Casio 570MS Phương trình đồng dư bậc nhất: Dạng: ax b(mod m) Ví dụ: Giải phương trình đồng dư: x 6(mod 15) Giải: Ta biến đổi x 6(mod 15) x 2(mod 5) , tìm x nhờ máy tính bỏ túi sau Cách 1: Dùng phím CALC Ta dùng ô nhớ A để giải Ta nhập vào máy biểu thức: (A0) A A : (3 A ) Nhấp phím Calc hình A? ta nhập A ban đầu nhấn dấu = liên tiếp đến A+1 có giá trị (3A-2) 5 có giá trị số nguyên Do ta x 4(mod 5) x 4(mod 15) Nên phương trình có nghiệm: x 9(mod 15) xong x 14(mod 15) Cách 2: Dùng lập trình nhập từ bàn phím máy tính Ta nhập vào máy biểu thức: (A0) A A : (3 A ) nhấn dấu = liên tục (3A-2) 5 có giá trị số nguyên ta chọn giá trị A+1 Do ta x 4(mod 5) x 4(mod 15) Nên phương trình có nghiệm: x 9(mod 15) x 14(mod 15) Chuù ý: Thông qua việc giải phương trình đồng dư ta áp dụng giải toán sau “Tìm số nguyên dương nhỏ x để nx chia cho m dư r, n, m, r đề cho) Hệ phương trình đồng dư bậc ẩn x a (mod m ) x a (mod m ) Daïng: (m1, m2, ,mn) nguyên tố sánh đôi x a n (mod m n ) Ví dụ 1: Bài toán điểm binh “Hàn Tín”: DeThiMau.vn x 2(mod 3) x 3(mod 5) x 4(mod 7) Giải: Cách 1: Dùng phím CALC Cho ô nhớ A chứa số Ta nhập biểu thức sau: A A : ( A ) : ( A 3) : ( A 4) Nhấn CALC hình A? ta nhập nhấn lần ta có kết (A – 2)3 0; (A – 3)5 laø 0,2 ; (A – 4)7 0.285714285 ( ) Nhấn = liên tiếp giá trị (A – 2)3, (A – 3)5 (A – 4)7 số nguyên ta chọn A+1 Ta có: A+1=53 giá trị (A – 2)3, (A – 3)5 (A – 4)7 số nguyên Do x 53(mod 105) 105 x x Cách 2: Dùng lập trình nhập từ bàn phím máy tính Cho ô nhớ A chứa số Ta nhập biểu thức sau: A A : ( A ) : ( A 3) : ( A 4) nhấn dấu liên tục đến giá trị (A – 2)3, (A – 3)5 (A – 4)7 số nguyên ta chọn A+1 Do x 53(mod 105) 105 x x Ví dụ 2: Tìm số tự nhiên nhỏ x thoả đồng thời điều kiện x 1(mod ) x 2(mod 3) x 3(mod 4) x 4(mod 5) x 5(mod ) x 6(mod 7) x 7(mod ) Giải: Ta có hai cách giải giống nêu cách giải sau: Ta cho ô nhớ A ban đầu 15 (có thể lớn đừng sai số tự nhiên nhỏ thoả điều kiện) Nhập biểu thức: A A : ( A 1) : ( A ) : ( A 3) : ( A 4) : ( A 5) : ( A ) : ( A 7) Rồi nhấn dấu liên tục đến (A – 1)2; (A – 2)3; (A – 3)4; (A – 4)5; (A – 5)6; (A – 6)7; (A – 7)8 có giá trị nguyên ta nhận A+1 DeThiMau.vn Ta có số nguyên cần tìm 839 Máy tính bỏ túi không dừng hai loại phương trình trên, giải phương trình đồng dư bậc cao gọn nhanh Phương trình đồng dư bậc cao Dạng: f (x) a x n a x n 1 a n 0(mod m) a0 0(modm) , n>1, m>1 Ví dụ: Giải phương trình f (x) x x x 0(mod ) Giải: Cánh 1: Dùng phím CALC Ta cho ô nhớ A chứa số Nhập vào máy biểu thức: A A : ( A A A 1) Nhaán phím CALC hình xuất A? nhập ta coù A A : ( A A A 1) 0.12 nhấn dấu giá trị ( A A A 1) số nguyên ta chọn A+1 Ta có x 57(mod ) Cách 2: Dùng lập trình nhập từ bàn phím Ta cho ô nhớ A chứa số Nhập vào máy biểu thức: A A : ( A A A 1) Rồi ta dùng liên tiếp dấu giá trị ( A A A 1) số nguyên ta chọn A+1 Ta có x 57(mod ) Tóm lại: Dù dùng phím CALC hay lập trình từ bàn phím đưa vào kết Nhưng phím CALC có lợi bước n ta thay đổi giá trị A nhập từ bàn phím, cách dùng lập trình nhập từ bàn phím không thay đổi giá trị A mà tuân thủ theo lập trình lập Bài tập áp dụng: Bài 1: Giải phương trình đồng dư sau a x 27(mod 33) b x 42(mod 52 ) c 91x 84(mod 143) Bài 2: Giải hệ phương trình sau x 5(mod 7) x 1(mod 3) a x 3(mod 5) b x 4(mod ) x 1(mod 9) x 5(mod 15) Bài 3: Giải phương trình sau: a x x 0(mod 27) b x x x 0(mod 27) c x x x 0(mod 125) d x x x 0(mod 27) DeThiMau.vn x 5(mod ) c x 5(mod 12 ) 17 x 19(mod 30) ... DeThiMau.vn Ta có số nguyên cần tìm 839 Máy tính bỏ túi không dừng hai loại phương trình trên, giải phương trình đồng dư bậc cao gọn nhanh Phương trình đồng dư bậc cao Dạng: f (x) a x n a... trị A mà tuân thủ theo lập trình lập Bài tập áp dụng: Bài 1: Giải phương trình đồng dư sau a x 27(mod 33) b x 42(mod 52 ) c 91x 84(mod 143) Bài 2: Giải hệ phương trình sau x 5(mod 7)... 0(mod m) a0 0(modm) , n>1, m>1 Ví dụ: Giải phương trình f (x) x x x 0(mod ) Giải: Cánh 1: Dùng phím CALC Ta cho ô nhớ A chứa số Nhập vào máy biểu thức: A A : ( A A A 1)