Một số phương pháp giải phương trình và bất phương trình chứa căn thức35473

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC I Một số dạng phương trình, bất phương trình chứa thức Phương trình a)  f x   f x   g x     f x   g x  b)  g x   f x   g x     f x    g x  Ví dụ 1: Giải phương trình sau: x  x   x  1 Hướng dẫn: Nhận xét: Phương trình có dạng f x   g x  nên ta giải sau Ta có 1  x    2  x  x   x  1 x   x 1  x     Vậy S   Ví dụ 2: Giải phương trình: x  x   2 x  x  12 Hướng dẫn: Ta có 2   x  x   2 x  x  12  x  x    2  x  x   2 x  x  12 x  1x     3 x  x     x     x  8  x   x     x     8  6 Vậy S    ThuVienDeThi.com 2  Bất phương trình a)  g x   f x   g x    0  f x    g x  b)   g x      f x   f x   g x      g x    f x    g x     Ví dụ 3: Giải bất phương trình sau: a) x   x  1  14  b) x    x  x  , S  1;   5 Hướng dẫn a) Ta có : x   x  1  x  1  x      x2  2x    2 x  1  x  1  x2       x  1  x  1   1  x    1  x   x  1      x  Vậy tập nghiệm S  1;3 1 b)Ta có 2x    x2  4x    2 x      x  x    2 x     2 x  2   x  x   Giải (1)  x  1     x  1  x  Giải (2) ThuVienDeThi.com 1 2    x   x 14    x 2    2  2  x  14 5 x  24 x  28    14    5 Từ suy tập nghiệm bất phương trình S  1; II CÁC PHƯƠNG PHÁP Phương pháp bình phương liên tiếp Sử dụng phương pháp bình phương liên tiếp nhằm biến đổi phương trình, bất phương trình dạng khơng cịn chứa thức Tuy nhiên bình phương hai vế phương trình, bất phương trình nhớ sử đặt điều kiện cho hai vế dấu (đối với phương trình giải phương trình hệ sau thử lại kết quả, cịn bất phương trình bắt buộc phải đặt điều kiện cho hai vế dấu) Ví dụ Giải phương trình 3x   x    x Hướng dẫn: 3 x    1 Điều kiện 2 x      x  2 6  x   Với điều kiện ta có 3x   x    x  3x    x  x   3x    x  x    x x   2x    x 2x 1  x    x 2x 1 x    x  x   2 x  13 x   x  17 x  10  x    x  l   Vậy S  5 Ví dụ Giải bất phương trình x    2x  2 Hướng dẫn x    3 x  9  x  Điều kiện  Với điều kiện ta có ThuVienDeThi.com 2  2       2x  2 x  3  9  x     2x 4 16 x  48  18  x   x x 3  18 x  64  x  33   x   9 x  33  9  x  32  x  32   x     28  x  81x  576 x  1008   x     x   9 Kết hợp với điều kiện ta có tập nghiệm bất phương trình S   4;   2 Phương pháp đặt ẩn phụ Mục đích phương pháp đặt ẩn phụ đưa phương trình bất phương trình dạng dạng biết cách giải Từ nghiệm phương trình, bất phương trình ta suy nghiệm phương trình, bất phương trình ban đầu Chú ý: Phương trình, bất phương trình khơng tương đương với phương trình bất phương trình cũ (vì khác tập hợp nghiệm) mà tương đương theo nghĩa từ phương trình ,bất phương trình ta suy nghiệm phương trình, bất phương trình ngược lại Dạng Đặt ẩn phụ thấy biểu thức có dạng giống Đặt t  f x  , đưa phương trình, bất phương trình theo biến x phương trình bất phương trình theo biến t (Chú ý đặt điều kiện cho biến t (nếu có)) Ví dụ Giải phương trình Nhận xét: 3x  x   3x  x   Ta thấy biểu thức dấu có số hạng x  x , biểu thức chung, ý quan tâm đến nhũng biểu thức chung chứa biến, có thêm số khơng quan trọng, ta đặt ẩn t  x  x , để đưa phương trình dạng bản, nhiên để toán gọn ta thường đặt ẩn phụ cho nguyên biểu thức căn, tức đặt t  x  x  Ta giải toán sau: Đặt t  x  x  điều kiện t  Khi thành x  x   t  Phương trình trở ThuVienDeThi.com t2   t   t2    t  t   7  t    t   t  14t  49 t 3 dk t  7 Với t  ta có 3x  x    3x  x    3x  x     22 x     22 x     22  22  Vậy S   ;  3   Ví dụ Giải bất phương trình x  1x    x  x  28 Hướng dẫn: Ta có: x  1x     x  x  28 x  x   x  x  28 Đặt t  x  x  28 điều kiện t  Khi bất phương trình trở thành: t  24  5t  t  5t  24   3  t  Kết hợp với điều kiện ta có  t  (1) Với t  ta có: x  x  28   x  x  28  x  ฀    9  x   x  x  36   x  x  28  64 Với t   x  x  28   x  ฀ (3) Từ (1), (2) (3) ta có nghiệm bất phương trình S  9;4  Ví dụ Giải bất phương trình: x x  1   x  x  Hướng dẫn: Đặt t  x  x  , điều kiện t  , suy x x  1  t  1 ThuVienDeThi.com 2  Bất phương trình trở thành: t  1  t  2t  t    t   l     t  x  x2  x    x2  x    x2  x    x  Với t  ta có Vậy tập nghiệm bất phương trình S  ;0   1;   Dạng Các phương trình, bất phương trình có biểu thức A  B số Khi đặt t  A  B , suy AB   A  B  m AB t  A  B  Đưa phương trình bất phương trình ẩn t Ví dụ Giải phương trình: x    x  ( x  2)(5  x)  Hướng dẫn: Điều kiện 2  x  Đặt t  x    x (điều kiện t  ) t2  Suy t   x   x   x  5  x   x  5  x   Khi phương trình trở thành: t2  4 t  t  2t  15  t  5 l   t  n  Với t  ta có: x2  5 x     72 x  5  x   x  5  x   x  3x     33 x    33 x   n  n  ThuVienDeThi.com     Vậy tập nghiệm phương trình S   ;    Ví dụ Giải bất phương trình: 2 x  19  x   13 2x    2x  Hướng dẫn Điều kiện   x  2 Đặt t  x    x (điều kiện t  ) Suy t  10 2 x  19  x   Bất phương trình trở thành   t  10 t   13 3t  2t  56  14    t l    t  n  Với t  ta có 2x    2x    2 x  19  x   16 2 x  19  x   10   16 x  x   0 x4 Kết hợp với điều kiện ta có tập nghiệm bất phương trình S  0;4  Dạng Các phương trình có dạng m A  n B  p AB Khi đặt t  B  0, B  ) Hoặc đặt u  A , v  B Tính u theo v Ví dụ Giải phương trình x 1  x   x2  x  Hướng dẫn   x 1   x  1    x   x  Điều kiện  x    x2  x    x  1      x  Đặt a  x  1, b  x  điều kiện a, b  ThuVienDeThi.com A (xét B  a  2b ab 2  2a  2b  ab    Khi phương trình trở thành a  b  a b  2 Với a  2 b ta có Với a   x   x  2  x   x    x  b ta có 2 x 1   x   x   x   vn  Vậy tập nghiệm bất phương trình S  3 Ví dụ Giải bất phương trình x   x   x  3x  36 Hướng dẫn 2 x     x 1 Điều kiện  x   2 x  3x    Ta thấy x  nghiệm bất phương trình Xét x  , chia hai vế bất phương trình cho 4 x  x  ta có 2x 1 x 1  4  x 1 2x 1 Đặt t  2x 1 x 1 4  (Điều kiện t  ) Khi bất phương trình trở thành 2x 1 t x 1  t  3t    6t  t     t  t   ta có Với t  16 l  6 n  2x 1 2x 1 x       1 x  x  1 x 1 x 1 Vậy tập nghiệm bất phương trình S  1;5 Dạng Đặt ẩn phụ đưa hệ phương trình x3  Ví dụ Giải phương trình:  2x  Hướng dẫn t3 1 Đặt t  x   x   x3   2t Khi ta có hệ  t   x Lấy (1) trừ (2) ta có: 1 2  ThuVienDeThi.com x3  t  2t  x  x  t x  xt  t  x  t    x  t x  xt  t    xt  t  (Vì x  xt  t    x    t   ) 2  Với t  x ta có 2 x3   x  x3  x    x  1x  x  1   x  1  1  x    x  1      Vậy phương trình có nghiệm S  1; ;  2   Ví dụ 9Giải phương trình: x  34  x   * Hướng dẫn u  x  34 Đặt:   u  v3  37 v  x  *  u  v  u  v3  37 1 Ta có hệ:  2  u  v  2   u  v  3, sau thay vào 1 ta có: v  1  v3  37 v   v  4  v   x    x  30  v  4  x   4  x  61 Ví dụ 10 Giải phương trình: x  x   14 x  x   17 x  13 Hướng dẫn *  x  x  3 17 x  13  14 x  x   17 x  13 ThuVienDeThi.com * u  13  x  u  17 x  13 17   Đặt:   2 v  x  x  v   v   u  13    u  13    u  25u  373      289  17   17  * trở thành 4v  u  14v  u 7 4v  u  14v  u 1  Ta có hệ:  u  25u  373 v  2  289  1  49 4v  u  14v  u   49u  28uv  u  u u  28v  49   u   u  49  28v 13 u0 x 17  u  49  28v Thay vào 2  : 49  28v    25 49  28v   373 289 2  289v  784v  2044v  1549 v  495v  2044v  1549   v     1549   v   495   x    x  x  3x       x   746 1549  x  3x   495   495  2231  x  495  Thay giá trị vào phương trình đầu ta nhận nghiệm: x  2, x   746 495  746 13  Vậy S   ; ;2   495 17  Chú ý:  Từ phương trình ta suy hệ, nên giải nghiệm ta phải thử lại  Phương pháp hiệu việc giải phương trình, cịn bất phương trình khó sử dụng ThuVienDeThi.com Phương pháp sử dụng bất đẳng thức Ví dụ 11 Giải phương trình x   10  x  x  12 x  40 Hướng dẫn Đặt: t  x   10  x , t   t2   x   10  x   1  x   10  x   16 BCS 2  t 4 0t 4 Dấu "  " xảy  x   10  x  x  Mặt khác: x  12 x  40  x     , dấu "  " xảy  x   x   10  x  x  12 x  40 Vậy S  6 Dùng khảo sát hàm số để biện luận phương trình, bất phương trình chứa tham số Ví dụ 12 Tìm m để phương trình sau có nghiệm: 3  x 6  x   m 3 x  6 x  Hướng dẫn Điều kiện: x  3;6 Đặt t   x   x , x  3;6 t  1 6 x  3 x    x  x 6  x 3  x  t   x  t 3 2 Ta có:  x  3  t  t   x6t 3  3 x  6 x  92 3  x 6  x  Bảng biến thiên: x 3 t’ + - t 3 ThuVienDeThi.com  t  3;3  Xét f t   t  t2  , t  3;3  f  t    t ,   f 3  3, f   Bảng biến thiên: t 3 f  t  – f t  2 9  Vậy m  3;3   phương trình có nghiệm 2  BÀI TẬP ÁP DỤNG I Giải phương trình sau: 1) x   x   x   x   x  14 3 x x5 2) x5  3) x   2x   4x  4) x  x2 0 x2 5) x  x   6)  x  1 x 1 7) x  26  x  x   8) 1 x  x 1 2 S  1;10 S  3;14 S  2 2 S   3  1  17  21  S  ;  2   S  1;2 S    1 S   ;   2 1   S     1  1  x x x 9) x 10)   x  1  x  1 x  24  S   ;0   25  ThuVienDeThi.com II Giải bất phương trình 3x 1)  2 x  2 x S  ;1 2) 2x2  x   x4 1 8 S  ; 4    ;  2 7 3) x   x   2x   S  2;   4) x  3x   x  x   x  x  S    4;   5)  2 2  S   1; ;1      3x  1 1 x  x2 6) x  x x2    5 S  1;     3   S   1;  ,1  2     7)  x    x 8)  x  3  x  1  9)  x   x   10) 11) x3 III Tìm m để: 1) x2  x3   8   S   5;    S  1;1 S  2;10  7x x3 S  4;   x   x   x  x  m có nghiệm 2) 12  3) x  53  x  5x   x   x  x  16   5;   x2  2m  x có hai nghiệm x 2  x   m   x  x  có nghiệm chứa 0;1 4) x   m x   x  có nghiệm 5) x  mx   x  có nghiệm phân biệt IV Phương trình bất phương trình chứa thức đề thi đại học gần 1) (D – 2002) Giải bất phương trình x  x  x  x   1  S   ;    2 3;   2  ThuVienDeThi.com 2) (A – 2004) Giải bất phương trình 11) x  16  x3  x3  7x x3 S  4;   3) (B – 2004) Xác định m để phương trình sau có nghiệm: m  x 1    x2    x4   x2   x2 Đs: 1  m  4) (A – 2005) Giải bất phương trình x   x   x  Đs:  x  10 5) (D – 2005) Giải phương trình: x   x   x   Đs: S  3 6) (B – 2006) Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm thực phân biệt Đs: m  x  mx   x  7) (D – 2006) Giải phương trình x   x  3x    Đs: S  1;   8) (A – 2007) Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực x   m x   x  Đs: 1  m  9) (B – 2007) Chứng minh với giá trị dương tham số m , phương trình sau có hai nghiệm thực phân biệt: x  x   m x   Đs: m  10) Tìm tất giá trị tham số m để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt Đs:   m   2x  2x   x   x  m V Các đề thi dự bị đại học 1) Giải phương trình 3x   x   x   3x  x  (Dự bị B – 2006) Đs: S  2 2) Giải phương trình x   x  x    x  x   Đs: S  4;5 3) Tìm m để bất phương trình m (Dự bị A – 2007) Đs: m  4) Tìm m để phương trình 5) Tìm m để phương trình bị D – 2007)  x  x   1 x 2  x   có nghiệm x  0;1   x   x  m có nghiệm (Dự bị B – 2007)  m 1 x   x   x  x    m có hai nghiệm (Dự Đs:  m  6) Tìm m để phương trình sau 2007) x  13 x  m  x   có nghiệm thực (Dự bị A – Đs: m   , m  12 ThuVienDeThi.com ... nghiệm bất phương trình S   4;   2 Phương pháp đặt ẩn phụ Mục đích phương pháp đặt ẩn phụ đưa phương trình bất phương trình dạng dạng biết cách giải Từ nghiệm phương trình, bất phương trình. .. nghiệm phương trình, bất phương trình ban đầu Chú ý: Phương trình, bất phương trình khơng tương đương với phương trình bất phương trình cũ (vì khác tập hợp nghiệm) mà tương đương theo nghĩa từ phương. .. bất phương trình S  1; II CÁC PHƯƠNG PHÁP Phương pháp bình phương liên tiếp Sử dụng phương pháp bình phương liên tiếp nhằm biến đổi phương trình, bất phương trình dạng khơng cịn chứa thức Tuy