Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ43893

Một số phương pháp giảI phương trình vô tỉ 1.Phương pháp đánh giá Ví dụ 1: Giải phương trình 3x  x   x  10 x  14 = – 2x – x2 Giải: Vế trái : x + x  1    = VÕ ph¶i : – 2x –x2 = – (x+1)2 ≤ VËy pt có nghiệm khi: vế trái = vế phải = x+ =  x = -1 VÝ dụ 2: Giải phương trình x x Giải : + Điều kiện : x≥ -1 Ta thÊy x = nghiƯm ®óng phương trình Với x > x > ; x  >2 nªn vÕ trái phương trình lớn Với -1 x < th× x  < ; x < nên vế trái phương trình nhỏ Vậy x = nghiệm Ví dụ 2: Giải phương trình:  4x + x  =-16x2-8x+1 (1) Gi¶i §K:   x  (*) 4 Ta cã   4x  4x 1    4x  2 (3  x)(1  x)   x   (3  x)(1  x)    x   x  (2) L¹i cã : -16x2-8x+1=2-(4x+1)2  (3) Tõ (2) vµ (3) ta cã: 3  x  (3  x)(1  x)   x    x   x   (1)    16 x  x   16 x  x    (3  x)(1  x)    1 x     x      x   x  (tho¶ m·n(*))    x   Vậy phương trình đà cho có nghiệm x ThuVienDeThi.com Luyện tập Giải phương trình sau: 1) x x  x   4 x  x 2) x  x   x   2 Phương pháp đặt ẩn phụ VD1:Giải phuơng trình: x   x  (1  x)(8  x) Giải C1: ĐK: x Đặt t x  x (®k t   t   x   x  (1  x)(8  x) 0) t2 9  (1  x)(8 x) t2 Khi phương trình đà cho trở thành: t t  2t  15  t  5  t  1 x   x  Víi t=3, ta cã:   x   x  (1  x)(8  x)   (1  x)(8  x)   x  1  x  (tho¶ mÃn (*)) Vậy phương trình đà cho có nghiệm là:x1=-1 x2=8 C2: ĐK: x u   x ( u, v  )  v   x u   x  u2  v2   v   x u  v Ta có hệ phương trình: u v uv Đặt uv    2uv       uv  u  v  (u  v)  2uv   2(u  v)  uv  uv  uv(uv  20)     uv  20     uv  uv u  v   u  v  ThuVienDeThi.com uv   u  v   uv  20  (lo¹i) u  v  7 u  v  u  u  ta cã:  hc  uv  v  v  u  1  x   +)   x8 v  8  x  u  1  x   +):    x 1 v  8  x Với Vậy phương trình đà cho có nghiệm: x1=1 x2=8 VD 2: Giải phương trình (4 x  1) x   x x Giải Phương trình đà cho tương đương với phương trình: (4 x 1) x   2( x  1) x (1) Đặt t x (đk t >1), phương trình (1) trở thành: (4x-1)t=2t2+2x-1 2t2-(4x-1)t+2x-1=0 (2) Coi (2) phương trình bậc hai ẩn t, phương trình (2) có:   (4 x  1)  8(2 x  1)  (4 x  3)  0, x R Phương trình (2) ẩn t có nghiệm là: t1=2x-1 t2= (loại) Với t1=2x-1, ta cã:  2 x   x  x   2x     2  x   (2 x  1) 3 x  x    x   x   x    x Vậy phương trình đà cho cã nghiƯm lµ: x  L­u ý : phương trình giải theo cách đưa phương tích VD3: Giải phương trình x x Giải ĐK: x (*) ThuVienDeThi.com u x Đặt , v0 v  x  u   x  u3  v2   v  x  Khi ®ã ta cã hệ phương trình: u v u  (1  u )   u  v   u  u  2u  u   u  u  2  x   x=2 Víi u=1, ta cã:  x    x   x  Víi u=-2, ta cã:  x  2   x  8  x  10 Víi u=0, ta cã: VËy phương trình đà cho có ba nghiệm là:x=1,x=2,x=10 Ví dụ 4: Giải phương trình: 2x2 + 3x + x  3x  = 33 (*) Gi¶i: * 2x2 + 3x +9 + x  3x - 42 = Đặt y = x  3x  (y > v× 2x2   27  + 3x +9 =  x     > 0) 2   Ta cã y2 + y – 42 = (y – ) ( y + ) = y1 = ; y2 = -7 (Lo¹i) Suy x  3x  = 2x2 + 3x – 27 = (x – 3)(x + ) = x1 = ; x2 = - LuyÖn tËp Giải phương trình sau: 1) x x5 5 2) ( x  3)( x  1)  4(( x  3) x 1  3 x3 3) x  3x   x  3x 3 Phương pháp biến đổi tương đương Dạng phương trình: Dạng 1: Dạng 2: g ( x)  f ( x)  g ( x)    f ( x)  g ( x)  g ( x)  f ( x)  g ( x)    f ( x) g ( x) VD1: Giải phương trình: x    x   2x ThuVienDeThi.com Giải x ĐK: 1  x   4  x  (*) 1  x   Víi đk(*) phương trình đà cho tương đương với phương trình:  2x   x  x    x   x  (1  x)(1  x)  x   (1  x)(1  x)  x  2 x    (1  x)(1  x)  (2 x  1)  x   x      x0 2 x  x      x  7  x  (tho¶ m·n (*)) VËy phương trình có nghiệm x=0 VD2:Giải phương trình x 1 x   x 1 x   Gi¶i Ta cã: x 1 x   x 1 x    x   x  1  x   x  1   ( x   1) - ( x   1) =1  x  1   x2  x  1   x  1 x  1  x    x   ( x   1)  x   x  1 x  1  x2   x2  x  4 Vậy phương trình đà cho có nghiệm là: x Luyện tập Giải phương trình sau: 1)  x  x  2) x( x  1)  x( x  2)  x 3) x  x   x   x Phương pháp điều kiện cần đủ VD1:tìm m để phương trình sau có nghiệm ThuVienDeThi.com x x5 m Giải: Điều kiện cần: Nhận thấy phương trình có nghiệm x0 (-1-x0 ) nghiệm phương trình Do để phương trình có nghiệm x0 1  x0  x0   vào phương trình đà cho ta được: m 2 Điều kiện đủ: Với m phương trình đà cho trở thành: Thay x0 4 x  x5 3 4  x    x    (  x  x  )  18 x     x  5  4  x  (4  x)( x  5)  x   18   x    x    x     2 (4  x)( x  5)  4(4  x)( x  5)  81 4 x  x     x    x  x   VËy víi m  th× phương trình đà cho có nghiệm Lưu ý: phương trình giải phương pháp sử dụng tính đơn điệu hàm số ThuVienDeThi.com ... v  8  x  Víi  VËy ph­¬ng trình đà cho có nghiệm: x1=1 x2=8 VD 2: Giải phương trình (4 x 1) x  x  x  Giải Phương trình đà cho tương đương với phương trình: (4 x  1) x   2( x  1)...    x   x   x    x   VËy phương trình đà cho có nghiệm là: x Lưu ý : phương trình giải theo cách đưa phương tích VD3: Giải phương trình  x  x 1  Gi¶i §K: x  (*) ThuVienDeThi.com... 4 Vậy phương trình đà cho có nghiệm là: x Luyện tập Giải phương trình sau: 1) x x  2) x( x  1)  x( x  2)  x 3) x  x   x  x Phương pháp điều kiện cần đủ VD1:tìm m để phương trình