Một số phương pháp giải phương trình lượng giác51017

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PT LƯỢNG GIÁC Phương pháp thường gặp để giải phương trình (PT) lượng giác thực số phép biến đổi lượng giác “Hợp lí” để đưa PT quen thuộc biết cách giải như: PT bản, PT bậc hai bậc cao hàm số lượng giác, PT đối xứng bậc sinx, cosx cốt lõi vấn đề cần nắm vững, sử dụng thành thạo cơng thức lượng giác Ta nói biến đổi “Hợp lí” phép biến đổi lượng giác thường đa dạng cho nhiều kết khác sin x  cos x , tùy thuộc theo đề cụ thể, sử dụng kết sau: 1  cos 2 x  cos x sin x  cos x   sin 2 x  , chẳng hạn:  2 4 4 * Với PT sin x  cos x  sin x  cần chọn sin x  cos x   sin x để đưa PT bậc hai sin2x 2  cos 2 x 4 4 * Với PT sin x  cos x  cos x  cần lấy KQ sin x  cos x  để đưa PT bậc hai với cos2x 2  cos x 4 4 * Với PT sin x  cos x  sin x  cần lấy KQ sin x  cos x  để đưa PT bậc với sin4x, cos4x Việc phân Thí dụ: Nếu cần biến đổi loại tập mang tính tương đối tốn PT lượng giác phong phú thể loại phương pháp giải §1 BIẾN ĐỔI TRỰC TIẾP VỀ PT CƠ BẢN: sin f ( x)  sin g ( x), cos f ( x)  cos g ( x) a Lưu ý 1  cos 2 x  cos x  cos 2 x  cos x 6 , sin x  cos x   sin x  x  cos x   sin 2 x    2 4 * Nếu PT có chứa biểu thức dạng sin x  cos x, sin x  cos x dùng phép biến đổi sau:         sin x  cos x  sin  x    cos x   , sin x  cos x  sin  x    cos x   3 6 6 3     * sin b Bài tập 1/ cos x sin x  sin x cos x  3/ cos x cos x  sin x sin x  cos x  5/ cosx cos7x = cos3x cos5x 7/ 9/ 11/  4/ 6/ 4sin( x  ) cos x   sin x  cos x sin x  cos x  2(cos x  sin x) (1  sin x) cos x  (1  sin x)(1  sin x) 13/ sin 15 x  cos x  sin x  15/ tg4x 17/ 2/ 2  sin +1=  x sin x cos x   cos   x   cos x  cos x  4   cos x sin x x  tgx  cos x  cos x  sin x1  tgx.tg  2    2011 tan x  cot x  21005   sin x   sin x cos x  8/ sin x  cos x  sin x 10/ sin 2 x cos x  sin x  cos x cos x  sin x cos x  cos x  sin x  cos x  sin x cos x  sin x  12/ 14/ 16/ 18/ 1 sin x  cos x     sin  x    sin x sin  x   4 4     sin x  sin ( x  )  sin ( x  )  4 §2 BIẾN ĐỔI VỀ PT CHỈ CHỨA MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC DeThiMau.vn a Lưu ý: + Ngoài công thức công thức nhân đôi, hạ bậc, biến tổng thành tích, tích thành tổng cần lưu ý thêm số đồng sau: 1  cos 2 x  cos x  cos 2 x  cos x 6 , sin x  cos x   sin x  sin x  cos x   sin 2 x    2 4 + Gặp PT đẳng cấp bậc (bậc 3) với sinx, cosx sau thực phép chia cho cos2x (hoặc cos3x) ta PT bậc (bậc 3) tanx Lưu ý: PT đẳng cấp bậc hai có dạng a.sin2x + bsinx.cosx +c.cos2x + d = 0, PT đẳng cấp bậc PT có chứa số hạng sin3x, cos3x, sinx, cosx, sin2x.cosx, cosx.sin2x b Bài tập 1/ cos2x + cosx – = 2/ cos x  3sin x  3/ 4/ sin x  cos4 x  sin x cos x sin x  12 cos x  5/ 2sin3x + cos2x = sinx 6/ 3(tgx + cotgx) = 2(2 + sin2x) 7/ 9/ 11/ 13/ 15/ 17/ sin (2x) + = cos x  sin x 5(sinx + ) = cos2x +  sin x sin4x + cos4x - sin4x + cos4x + cos( x   ).sin(3x -  4  3 x    x  sin     sin     10   10  sin x  cos x  sin x cos x 0  sin x cos x cotgx = tgx + sin x  8/ 10/ )- =0  19/ sin8x + cos8x = 2(sin10x + cos10x) + 5/4.cos2x 21/ sin 2 x cos x  sin x  23/ 5sinx – = 3(1 – sinx)tan2x 25/ 2  cos x  sin 2 cos x  1 11x 9x sin sin 2 x     2 4 1 14/ 16/ 18/ 20/ 22/ 24/ 26/ 3cos4x – 2cos23x = 1, sin23x = 4cos4x +3 3cos4x – 8cos6x + 2cos2x + = 3- tgx (tgx + 2sinx) + 6cosx = 27/ 29/ 31/ + – 3cos22x = cos3x – 4cos2x + 3cosx- = cos2x + cosx(2tg2x – 1) = 28/ 30/ 32/ 33/ sinx.cos2x + cos2x(tan2x – 1) + 2sin3x = 34/ 35/ (2sin2x – 1)tan22x + 3(2cos2x – 1) = 36/ 37/ 3sin2x + 4sin2x + 4cos2x = 38/ sinx + cosx = cos x cos x  sin x  tg x cos x  sin x x x sin  cos  3 17 sin8x + cos8x = cos 2x 16   tan  x   sin x  4  (sin x  sin x)  cos x  cos x  sin x  cos x  cos 4 x     tan  x  tan  x  4  4  sin2x 39/ sin23x 12/ cos x cotgx – tgx + 4sin2x = sin x 4 sin x  cos x 1  cot g x  sin x sin x 3x cos x  cos 2cos2x – 8cosx + = 40/ cos x    tan  x   tan x  cos x 2    (1  sin x  cos x) sin  x   4   cos x  tan x 4sinx + 6cosx = cos x cos x(cos x  sin x)  sin x(sin x  ) 1 sin x  DeThiMau.vn 41/ 43/ 45/ 47/ 49/ 51/ 2sin5x + 2sin3x.cos2x + cos2x – sinx = cos3x + sinx - 3sin2x.cosx = cos3x - sin3x = sinx – cosx 2cos3x = sin3x sinx + cosx - 4sin3x = tanx.sin2x - 2sin2x = 3(cos2x + sinx.cosx)  53/ sin3(x+ 55/ 6sinx - 2cos3x = ) = sinx sin x cos x cos x 42/ 44/ 46/ 48/ 50/ 52/ 4sin3x + 3cos3x – 3sinx – sin2x.cosx = cos3x - 4sin3x - 3cosx.sin2x + sinx =0 4cos3x + 2sin3x - 3sinx = sinx.sin2x + sin3x = 6cos3x sin2x(tgx+1) = 3sinx(cosx - sinx)+3 54/ 8.cos3(x+ 56/ 6sinx – 2cos3x = 5sin2x.cosx cos x  cos x  tan x  ) = cos3x §3 PT THƯỜNG GẶP VÀ PT QUY VỀ PT THƯỜNG GẶP Trong phần ta xét PT thường gặp dạng sau: - PT bậc với sinx, cosx: asinx + bcosx = c - PT đối xứng bậc với sinx, cosx: a(sinx+cosx) + bsinx.cosx = c - PT gần đối xứng bậc với sinx, cosx: a(sinx - cosx) + bsinx.cosx = c - PT đẳng cấp bậc hai, bậc với sinx, cosx (đã xét trên, phần PT chứa hàm số lượng giác) Dưới ta lưu ý toán PT đối xứng bậc cao với sinx, cosx Bài tập (PT đối xứng, gần đối xứng) 1/ 2/ sinx.cosx+2(sinx+cosx) = (sinx+cosx) +3sin2x-11=0 3/ sinx - cosx + 7sin2x = 5/ (1-sinx.cosx)( sinx+cosx) = 7/ sin3x + cos3x = 9/ 1+ tgx = 11/ 13/ 15/ 4/ 2 6/ 2 sinx sinx  cosx  sin x cos x  1 10 =  sin x cos x 3 sinx + cosx =  sin x cos x  )=1 + sin3x + cos3x = sin2x 8/ (sinx+cosx)3+ sinx.cosx-1 = 10/ sinx.cosx = 6(sinx-cosx-1) 12/ sinx+cosx + sin(x - sin2x + sinx  cosx  sin x  14/ cotgx - tgx = sinx + cosx 16/ (1-sin2x)( sinx + cosx) = cos2x - Bài tập (PT bậc biến đổi bậc với sinx, cosx) 1/ sinx + cosx =1 2/ 3/ sinx - cosx+ =0 4/ cos7x - cos2x = - sin x 6/ 5sin4x + 3cos4x = 8/ 3sinx+1 = 4sin3x+ 10/ 4cos2(x+ 12/ 4sin3x.cos3x + 4cos3x.sin3x+ 14/ 2(sin x  cos x)  sin x  16/ Tìm giá trị Max, Min hàm số sau: 5/ sin2x - 7/ 2cos2x + 9/ 3sin5x + 11/ 2 (sin x  cos x) cos x   cos x  cos x  cos x  cos x   sin x cos x  cos x  13/ 15/ =1 3 cos15x = + 4sin35x Tìm m để cỏc phương trình sau có nghiệm : a) m.sin3x+(m+1)cos3x=5 sin3x + cos3x = a) y = sin7x = - ,  x  ( 2 6 ; ) cos3x  ) + sin2x =1 cos x =3  cos x sin x  cos x  , b) y = sin x  cos x  2 sin x  cos x  DeThiMau.vn b) m.sin2x+( m 1 )sin2x+3cos2x=4 Lưu ý: Ngoài cách đặt ẩn phụ PT đối xứng, gần đối xứng, PT đẳng cấp xét trên, ta cần lưu ý thêm cách đặt ẩn phụ với PT có chứa đại lượng sin2x, cos2x, tan2x, cot2x 2t  t2 2t a cos a  Với PT loại ta sử dụng cơng thức: “Nếu đặt t  tan tính được: sin a  , , tan a  để chuyển 2 1 t 1 t  t2 PT cần giải thành phương trình đại số ẩn t” Bài tập 1/ sin4x = tgx 2/ +3sin2x = 2tgx 3/ (1 – tgx)(1+sin2x) = + tgx 4/ tgx + cotx = 2(sin2x + cos2x) 5/ tgx + 2cotg2x = sin2x 6/ sin2x + cos2x + tgx = §4 BIẾN ĐỔI VỀ PT TÍCH a Lưu ý: Cùng với phương pháp biến đổi trực tiếp PT PT thường gặp (PT có hàm số lượng giác, đẳng cấp, đối xứng, bậc với sinx, cosx trình bày trên) tốn sử dụng phép biến đổi lượng giác để đưa PT dạng tích tốn thường xun xuất kỳ thi tuyển sinh năm gần Để biến đổi PT tích, cần tạo nhân tử chung, số lưu ý:  Các biểu thức: + sin2x; cos2x; + tanx; + cotx; cos3x + sin3x; cos4x - sin4x; cos3x – sin3x; tanx – cotx;   sin  x   có nhân tử chung là: sinx + cosx 4   Các biểu thức: - sin2x; cos2x; - tanx; - cotx; cos3x - sin3x; cos4x - sin4x; cos3x – sin3x; tanx – cotx;   sin  x   4  có nhân tử chung là: sinx - cosx  Các biểu thức: sin3x ; sin2x; tan2x có nhân tử chung 1- cosx + cosx  Các biểu thức: cos3x ; cos2x; cot2x có nhân tử chung 1- sinx + sinx  Các biểu thức: sin4x; sin3x; sin2x; tanx có nhân tử chung sinx Ngồi nhóm số hạng sin cosin góc với nhau, ta cần để ý góc cho tổng hiệu góc để làm xuất nhân tử chung b Bài tập 1/ sinx + sin2x + sin3x + sin4x = 2/ cosx+cos2x+cos3x+cos4x = 3/ 1+cosx+cos2x+cos3x=0 4/ cos2x - cos8x + cos6x = 5/ cos4x - sinx = sin7x- cos2x 6/ cos10x - cos8x - cos6x + = 7/ sin2x = cos22x + cos23x 8/ sin23x - cos24x = sin25x - cos26x 9/ cos2x + cos22x+ cos23x + cos24x = 11/ 13/ 15/ 17/ 19/ 21/ cosx.cos4x + cos2x.cos3x = (2sinx-1)(2cos2x+2sinx+1) = - 4cos2x sinx + sin3x + 4cos3x = sinx+sin2x+sin3x=1+cosx+cos2x 2cos6x + sin4x + cos2x = a) 9sinx + 6cosx - 3sin2x + cos2x = b) cos2x + 3sin2x + 5sinx – 3cosx = (cosx-sinx)cosx.sinx = cosx.cos2x cos3x+sin3x=sin2x+sinx+cosx cos3x + cos2x +2sinx-2 = 2sin3x-sinx = 2cos3x- cosx+cos2x 23/ 25/ 27/ 29/ 10/ sinx+sin2x+sin3x=cosx+cos2x+cos3x 12/ 14/ 16/ 18/ 20/ 22/ sin3x - sinx +sin2x = 4sin2x – 3cos2x = 3(4sinx – 1) +sinx + cosx + sin2x +cos2x = cosx + cos3x + 2cos5x = 2cos3x + cos2x+sinx = a) sinx + 2cosx + cos2x – 2sinx.cosx =0 b) 2sin2x – cos2x = 7sinx + 2cosx - sin4x = tgx cos2x + sin3x + cosx = sinx + sin2x + cos3x = 24/ 26/ 28/ 30/ 31/ x x cos  sin  sin x 2 32/ 33/ sin 3x sin x  34/ 35/ 37/ 39/ 3sinx + 2cosx = 2+ 3tgx cos5x +sin7x+1/2(cos3x+sin5x)sin2x=sinx+cosx 1+sinx+cos3x = cosx+sin2x+cos2x 36/ 38/ 40/ sin2x = 8cosx   1 sin  x   = +  cos x sin x  4cos3x +3 sin x 1 sin x tg4x + tg2x = 4.sin2x sinx+sin2x+sin3x=cosx+cos2x+cos3x (2cosx -1)(2sinx + cosx) = sin2x - sinx DeThiMau.vn §5 PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ cos x  sin x  sin x  cos x   sinx + cosx = (2 – sin3x) 3x a) cos2x + cos4x + cos6x = 3, b) cosx + cos =2 2/ 4sin23x.sin2x = + sin3x 4/ sin5x + cos5x + cos2x + sin2x = + 7/ cos x  3tg x  cos x  3tgx   8/ 9/ 5cos(2x + 1/ sin2x – cos2x = 3sinx + cosx – 1/ 3/ 5/ 3/ 5/  5 ) = 4sin( - x) – 6/ 10/ x 3x x 3x cos x cos cos  sin x sin sin  2 2 x  + sinx + cosx = cos   2  4/ 3(cotx – cosx) – 5(tanx – sinx) = 6/ 3sin4x + 5cos4x – = sin2x + 2cos2x = + sinx – 4cosx 8/ 9/ cot x  2 sin x  (2  ) cos x 10/ 13/ 15/ (cos2x – cos4x)2 = + 2sin3x BÀI TẬP TỔNG HỢP 2/ sin2x + sin22x + sin23x = 7/ 11/ sin x  sin x  sin x sin x 3x cos x  cos x  cos x  cos    cos  x    cos x 3  1 sin x   cos x  sin x cos x 12/ 14/ cos x  sin x cos x  cos x 16/   sin  x    sin x 4   tan x  tan x  cot x   sin x     sin  x    sin x sin  x   4 4    2    cos  x    cos  x    (sin x  1) 3     x 3(1  sin x)  cos (  ) = 3tg3x – tgx + cos x 17/ cos x cos x   8sin x sin x cos x cos x   19/ cotx + sinx 1  tan x tan 18/ x 4 2 sin x    sin  x  3   7   x 4   sin    20/ 2sin22x + sin7x – = sinx 21/ x  x  sin  cos   cos x  2  22/ 21  cos x  cot x   23/ cos23x.cos2x - cos2x = 24/ sinx.cos2x + cos2x(tan2x -1) + 2sin3x = 25/ cos3x+sin3x + 2sin2x = 26/   sin  x    sin x   6  27/ (1 + sin2x)cosx + (1 + cos2x)sinx = + sin2x 28/ 29/ 3cos3x + 4sinx + 31/ =6 cos x  sin x  1 sin x  sin x    cot x sin x sin x  sin(x –   ) + sin (x + sin x  sin x  cos x  ) = 2sin2012x 30/ cos x  sin x cos x  sin x  32/ sin x  cos x  sin x  sin x cos x DeThiMau.vn 33/ 35/ 37/ 3x  5x   x  sin     cos    cos 4 4  2 sin x  cos x  sin x cos x  sin x cos x     cos x    sin  x    3 6   34/ sin x cos x   tan x  cot x cos x sin x 36/ 38/ 2sinx(1 + cos2x) + sin2x = + 2cosx     sin  x    sin  x    4 4   39/     sin  x    sin  x    3 6   40/ cos x  sin x cos x   3(sin x  cos x) 41/ 43/ 4(sin4x + cos4x ) + cos4x + sin2x = sin2x – cos2x + 3sinx - cosx – = 42/ 44/ (sin2x + cos2x)cosx + 2cos2x – sinx = – 4sin22x = 2cos2x(1 + 2sinx) 45/  tan x   16 cos  x     sin x 4  tan x  46/   sin x  cos x  2 cos x     4  47/ tanx + cotx = 4cos22x 48/ 49/ 51/ 53/ sin x sin x  cos x cos x      tan x   tan x   6  3    cos   x   cos x  cos x  4  x x  sin    tan x  cos  2  50/     sin x  cos x  cos x tan x   tan x   4  4  52/ 9   cos x  sin x  sin  x  3   54/ 2cosx.cos2x.cos3x + = 7cos2x tan2x - tan2x.sin3x = 1- cos3x 55/ 2(cosx.cos2x.cos3x - sinx.sin2x.sin3x) =1 56/ 57/ – tanx.tan2x = cos3x 58/ 59/ sin x  cos x + 2tan2x + cos2x = sin x  cos x 60/ 61/ 2sin2(x - 62/ 63/ 65/ 67/  ) = 2sin2x - tanx sin x(2 cos x  1)   cos x  cos x  cos x  sin(2 x  )  sinx  3cos x   cos x  cos x  1  sin x  sin x  cos x  sin x  cos x   cos x 64/ 66/ 68/     tan x   tan x   sin x  sin x  sin x 6  3  (1  cos x) sin2x + = 2cos2x sin x sin3x(1 + cotx) + cos3x(1 + tanx) = sin x cos x  cos x  cos x  tan x  5   x  sin x  2 cos   12  tan x  tan x.sin x  cos3   69/ cos x  sin x   cos x  sin x      cos x   cos x   6 3   70/  3cos x  cos x  cos x  4sin x.sin x 71/ 2sin ( x  )  2sin x – tan x 72/ sin3x – 3sin2x – cos2x + 3sinx + 3cosx -2 = 73/ sin4x + 2cos2x + 4(sinx + cosx) = + cos4x 74/ 2cos6x+2cos4x- 3cos2x = sin2x+ 75/ 8sin5x – cos4x.sinx + 4cos2x – 3sinx = 76/   9.cos   x   6cos   x   3sin x   cos x 2   DeThiMau.vn 77/ 79/  x  sin x.cos x  sin 2 x   sin    4 2  cos x  sin x   tan x  cot x cot x  78/ 80/ sin 3x  3cos3x  cos2 x  sin x  sin x  3cosx cos x  tan x  cos x  cos x  cos x   81/ cos2x  2sin x   2sin x cos 2x  82/ tan x  3cot x  sin x  3cosx 83/ tan2x – tanx.tan3x = 84/  sin x  cos6 x   3 sin x  3 cos x  9sin x  11 86/ 48  85/ 87/     cos x    cos x    sin x   (1  sin x) 4 4   cos x cotgx - =  sin x  sin x  tgx 89/ tan x  cot x  tan x  91/ sin5x + sin9x + 2sin2x  = 93/ 95/ sin x   x   sin x  2.cos x tg      sin x   sin  x     3cos x  sin x 4  88/ 90/ (sin x  sin x)  cos x  cos x  92/ (2cos2x + cosx – 2) + (3 – 2cosx)sinx = 94/ 3(sin x  sin x )  cos x  cos x  96/ tan x  sin x  cot x   2cos x  cos  x     sin x 4  97/ 2cos x  sin x   3(sin x  cos x) 98/ 99/ sin x(2  cos x)  (1  cos x) 1  cos x  100/ 101/ cos x  sin x   sin x  cos x 1  cot x cot x    cos x sin x cos x(cos x 1)  2(1  sin x) sin x  cos x 102/ 7   (sin x  1)(1  tan x)  cos x  cos  x     9x 6x cos  cos 1 10 DeThiMau.vn ... a Lưu ý: Cùng với phương pháp biến đổi trực tiếp PT PT thường gặp (PT có hàm số lượng giác, đẳng cấp, đối xứng, bậc với sinx, cosx trình bày trên) toán sử dụng phép biến đổi lượng giác để đưa... đại lượng sin2x, cos2x, tan2x, cot2x 2t  t2 2t a cos a  Với PT loại ta sử dụng cơng thức: “Nếu đặt t  tan tính được: sin a  , , tan a  để chuyển 2 1 t 1 t  t2 PT cần giải thành phương trình. .. cosx) + bsinx.cosx = c - PT đẳng cấp bậc hai, bậc với sinx, cosx (đã xét trên, phần PT chứa hàm số lượng giác) Dưới ta lưu ý toán PT đối xứng bậc cao với sinx, cosx Bài tập (PT đối xứng, gần đối