(SKKN HAY NHẤT) hướng dãn học sinh yếu giải một số phương trình lượng giác thường gặp

Mục lục Lí chọn đề tài 2 Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 2.1 Cơ sở lí luận 2.1.1 Định nghĩa tiếp tuyến đường cong phẳng 2.1.2 Một số toán tiếp tuyến đồ thị hàm số 2.2 Thực trạng vấn đề 10 2.3 Các biện pháp tiến hành để giải vấn đề 11 2.3.1 Viết phương trình tiếp tuyến điểm thuộc đồ 11 2.3.2 Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị biết hệ số góc cho 15 thị trước 2.3.3 Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị biết tiếp tuyến 18 qua điểm cho trước 2.4 Hiệu SKKN 22 2.4.1 Khảo sát thực tế: 22 2.4.2 Kết sau thực SKKN: 22 Kết luận: 24 Phụ lục 26 Đề số Đề số 30 Tài liệu tham khảo 35 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Lí chọn đề tài Chủ đề hàm số nội dung chương trình tốn THPT Một tốn chủ đề hàm số khơng đơn tìm tập xác định, xét biến thiên vẽ đồ thị hàm số mà đề cập đến vấn đề khác như: Viết phương trình tiếp tuyến; chứng minh tính chất tiếp tuyến; tìm tập hợp điểm mà từ kẻ tiếp tuyến đến đồ thị hàm số … Bài tốn viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số nội dung quan trọng thường gặp kỳ thi tốt nghiệp THPT tuyển sinh vào CĐ – ĐH năm gần đây, nhiều học sinh cịn mơ hồ lúng túng khơng biết giải tốn Bài tốn viết phương trình tiếp tuyến có nhiều dạng khác nhau, học sinh thường mắc sai lầm tốn viết phương trình tiếp tuyến qua điểm viết phương trình tiếp tuyến điểm; dạng viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số biết hệ số góc tiếp tuyến, chứng minh tính chất tiếp tuyến…đối với học sinh lại khó Học sinh khơng có phương pháp làm tập viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số em biết sơ qua chương trình lớp 11 lại luyện tập Hơn em khơng biết phân loại tập để có cách giải hữu hiệu, trình làm tập nhiều giải học sinh cịn bỏ sót trường hợp ví dụ chưa tìm hết tiếp điểm; đánh tráo đề bài… Như nói, chương trình sách giáo khoa đại số giải tích lớp 11 học sinh tiếp cận hiểu biết tốn viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số mức độ định; chưa hiểu sâu lí thuyết; chưa rèn luyện nhiều kĩ Chính tơi mạnh dạn viết sáng kiến kinh nghiệm tốn viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số với mong muốn giúp học sinh hiểu sâu toán rèn kĩ nhiều hơn, vận dụng vào giải tốn thành thạo hơn, lí tơi chọn đề tài sáng LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com kiến kinh nghiệm: “GIÚP HỌC SINH YẾU KÉM VIẾT PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN VỚI MỘT ĐƯỜNG CONG” Giải vấn đề 2.1 Cơ sở lí luận: 2.1.1 Định nghĩa tiếp tuyến đường cong phẳng Trong mặt phẳng tọa độ 0xy cho đường cong (C) giả sử (C) đồ thị hàm số y = f(x) ¿0 ¿ ¿0 ¿ ¿ (x ¿ ; f (x ¿ )) ∈(C ) kí hiệu M(x; f(x)) điểm di chuyển ( C) y (C) T f(x) ¿0 ¿ ¿ f(x ¿ ) O ¿0 ¿ ¿ x ¿ x x Đường thẳng cát tuyến ( C) ¿0 ¿ ¿0 ¿ ¿ (x ¿ ; f (x ¿ )) Khi x → x M(x; f(x)) di chuyển ( C) tới ngược lại Giả sử cát tuyến tuyến ( C) có vị trí giới hạn, kí hiệu Điểm gọi tiếp gọi tiếp điểm Tại vị trí M (C) ta ln có LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com *) Nhắc lại ý nghĩa hình học đao hàm: “Đạo hàm hàm số y =f(x) hệ số góc tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm ¿0 ¿ ¿0 ¿ ¿ (x ¿ ; f (x ¿ ))” Hơn ta có kết sau: “Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm biết tiếp tuyến tiếp xúc với đồ thị hàm số ¿0 ¿ ¿0 ¿ ¿ (x ¿ ; f (x ¿ )) có phương trình ” Sau ta khơng xét trường hợp tiếp tuyến song song trùng với oy *) Định lý 1: Phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) hàm số y = f(x) điểm ¿0 ¿ ¿0 ¿ ¿ (x ¿ ; f (x ¿ )) *)Định lý 2: Cho hàm số có đồ thị (C) đường thẳng d: y = kx + b Đường thẳng d tiếp xúc với (C) hệ sau có nghiệm: Khi nghiệm x hệ phương trình hồnh độ tiếp điểm 2.1.2 Một số toán tiếp tuyến đồ thị hàm số Viết phương trình tiếp tuyến điểm thuộc đồ thị a Bài tốn 1: Cho hàm số y =f(x) có đồ thị (C) điểm Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) điểm Ví dụ 1: Cho hàm số y = x3- 6x2+ 9x có đồ thị (C) Hãy viết phương trình tiếp tuyến điểm A(2;2) thuộc đồ thị (C) Giải LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Ta có: y’=3x2-12x +9 Với: x = ; y = y’(2)= -3 Phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) điểm A(2;2) l à: hay x +2 x +3 Ví dụ 2: Cho hàm số y = có đồ thị (C) Hãy viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) giao điểm đồ thị với trục 0y Giải: Giao điểm đồ thị với 0y: , hệ số góc Vậy phương trình tiếp tuyến đồ thị cho b Bài tốn 2: Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số: y =f(x) điểm ¿0 ¿ ¿0 ¿ có hồnh độ x = x ¿ (Hoặc : y= y ¿ ) Ví dụ 1: Cho hàm số y = x4 - 2x2 có đồ thị (C) Hãy viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) điểm có hồnh độ x= -2 Giải Ta có: y’=4x3- 4x Với: x = -2 ⇒ y = y’(-2)= - 24 Phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) điểm A(-2;8) là: y = -24( x + ) + Ví dụ 2: Cho hàm số y=x −3 x+5 hay y = -24x - 40 có đồ thị (C) Hãy viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) điểm có tung độ y = Giải : LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com [ x=0 y=5⇔ x −3 x+5=5⇔ x −3 x=0⇔ ¿ [ x=−√3 [ ¿ [ x= √3 Ta có 3 +) Phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) điểm (0;5) y’(0) = -3 Do phương trình tiếp tuyến y−5=−3( x−0 ) hay y = -3x +5 +) Phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) điểm (− √3;5) y ' (−√3 )=3 (− √3) −3=6 Do phương trình tiếp tuyến : y−5=6( x+ √ 3) hay y=6 x+6 √ 3+5 +) Tương tự phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) điểm : y=6 x−6 √3+5 Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị biết hệ số góc cho trước Bài tốn: Cho hàm số y =f(x) có đồ thị (C) số Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) có hệ số góc k Ví dụ 1: Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số (C) có hệ số góc = => Có toạ độ tiếp điểm Hai phương trình tiếp tuyến: Ví dụ 2: Viết phương trình tiếp tuyến với ( C ) : song với biết tiếp tuyến song Giải: LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Ta có Có hai phương trình tiếp tuyến Ví dụ 3: Cho hàm số có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến (C) biết tiếp tuyến vng góc với đường thẳng Giải: Cách 1 : Đường thẳng có hệ số góc Vì tiếp tuyến d cần tìm vng góc với đường thẳng nên hệ số góc tiếp tuyến cần tìm Hoành độ tiếp điểm tiếp tuyến nghiệm phương trình Thay tuyến là: vào phương trình tiếp tuyến tổng quát, ta tiếp Cách 2 : Phương trình tiếp tuyến có dạng d : (*) d tiếp tuyến (C) hệ sau có nghiệm Thay vào phương trình (*), ta tiếp tuyến là: LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị biết tiếp tuyến qua điểm cho trước Bài tốn: Cho hàm số y =f(x) có đồ thị (C) điểm cho trước Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) qua A đến đồ thị (C) Ví dụ 1: Cho hàm số Viết phương trình tiếp tuyến kẻ đến đồ thị từ điểm Giải: Đường thẳng d qua điểm A có phương trình Đường thẳng d tiếp xúc với đồ thị (C) hệ sau có nghiệm Thay k vào (*), ta phương trình tiếp tuyến là: Ví dụ 2: Cho hµm sè A (0; ) y= x −3 x + (C ) 2 ViÕt pttt cđa (C) ®i qua Giải: Phơng y=kx+ ( d ) trình đờng thẳng qua A(0; ) có dạng: LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Đờng thẳng (d) tiếp tuyến đồ thị (C) hÖ sau: 23 x −3 x + =kx+ ¿ ¿¿¿ 2 { cã nghiÖm [ x=0 x −6 x =0⇔¿ [ x=√2 [ ¿ [ x=−√2 Suy +) Víi x = ⇒ k=0 +) Víi Pttt lµ: x=√ 2⇒ k=−2 √ Pttt lµ: +) Víi x= - √ 2⇒ k=2 √ y= y=−2 √ x + Pttt lµ: y = KÕt luËn: VËy cã ba tiÕp tuyÕn kẻ từ (C) Vớ d 3: Cho hàm số y= x x+1 A (0; ) ®Õn ®Õn thÞ √ x+ (C) Gäi I giao điểm hai đ- ờng tiệm cận đồ thị hàm số CMR: tiếp tuyến ®i qua I Gi¶i: Ta cã tiƯm cËn ®øng x = -1 TiƯm cËn ngang y = Do ®ã toạ độ giao điểm hai đờng tiệm cận là: I(-1; 1) Phơng trình đờng thẳng qua I(-1; 1) có dạng: y = k(x+ 1) + (d) Đờng thẳng (d) tiếp tuyến đồ thị (C ) vµ chØ hƯ sau cã nghiƯm: x =k ( x +1)+1 ¿ ¿ ¿ ¿ x +1 { (v« nghiệm) => (điều phải chứng minh) LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com y= Ví dụ 4: Cho hàm số x x1 x+1 (C) Tìm điểm trục tung mà từ kẻ đợc tiếp tuyến đến đồ thị (C) Giải: y=x2+ Viết lại y díi d¹ng x +1 (C) Gäi B (0;b )∈ Oy , Phơng trình đờng thẳng qua B có dạng: y = kx + b (d) Đờng thẳng (d) tiếp tuyến đồ thị (C) hÖ sau cã nghiÖm: { x −2+ (I) ⇒−3+ =kx+b ¿ ¿¿ ¿ x+1 b+3−k =b−k ⇔ = x+ x +1 Do ®ã (I) b+3−k ⇔¿ = (1) ¿ ¿¿ x+1 { HÖ cã nghiƯm vµ chØ (1) cã nghiƯm tháa m·n (2) ⇔¿ { b +3− k ≠0 ¿ ¿ Yêu cầu toán thoả mÃn phơng trình (*) có hai nghiệm khác b + ¿ { Δ ' >0 ¿ ¿ ¿ ⇔¿ {b