(SKKN HAY NHẤT) HƯỚNG dẫn học SINH lớp 11 GIẢI bài tập HÌNH học KHÔNG GIAN

Chuyên đề: Hƣớng dẫn học sinh lớp 11 giải tập Hình học Khơng gian SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI Đơn vị Trƣờng THPT Ngô Quyền Mã số: SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM HƢỚNG DẪN HỌC SINH LỚP 11 GIẢI BÀI TẬP HÌNH HỌC KHÔNG GIAN ( Phần III ) Người thực hiện: LÊ THANH HÀ Lĩnh vực nghiên cứu: Quản lý giáo dục  Phương pháp dạy học mơn: Tốn  Lĩnh vực khác:  Có đính kèm:  Mơ hình  Phần mềm  Phim ảnh  Hiện vật khác Năm học: 2015 - 2016 Giáo viên : Lê Thanh Hà – Trường THPT Ngô Quyền Page LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Chuyên đề: Hƣớng dẫn học sinh lớp 11 giải tập Hình học Khơng gian SƠ LƢỢC LÝ LỊCH KHOA HỌC I THÔNG TIN CHUNG VỀ CÁ NHÂN Họ tên: LÊ THANH HÀ Ngày tháng năm sinh: 13/02/1962 Nam, nữ: Nữ Địa chỉ: 59/92 Phan Đình Phùng phường Quang Vinh, Biên Hịa - Đồng Nai Điện thoại: 0919817453 E-mail: lthangoquyen@yahoo.com.vn Chức vụ: Tổ trưởng tổ Toán Đơn vị cơng tác: Trường THPT Ngơ Quyền II TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO - Học vị (hoặc trình độ chun mơn, nghiệp vụ) cao nhất: tốt nghiệp ĐHSP Toán - Năm nhận bằng: 1982 - Chuyên ngành đào tạo: ĐHSP Toán III KINH NGHIỆM KHOA HỌC - Lĩnh vực chun mơn có kinh nghiệm: Dạy học Tốn - Số năm có kinh nghiệm: 34 năm - Các sáng kiến kinh nghiệm có năm gần đây: + Năm học 2011 - 2012, thực chuyên đề: “Hướng dẫn học sinh ôn tập cách thuyết trình” + Năm học 2012 – 2013, thực chuyên đề: “Sử dụng Hàm số bậc hai Dấu Tam thức bậc hai để giải toán” + Năm học 2013 – 2014, thực chuyên đề: “Hướng dẫn học sinh lớp 11 giải tập Hình học Không gian” ( Phần I ) + Năm học 2014 – 2015, thực chuyên đề: “Hướng dẫn học sinh lớp 11 giải tập Hình học Khơng gian” ( Phần II ) + Năm học 2015 – 2016, thực chuyên đề: “Hướng dẫn học sinh lớp 11 giải tập Hình học Khơng gian” ( Phần III ) Giáo viên : Lê Thanh Hà – Trường THPT Ngô Quyền Page LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Chuyên đề: Hƣớng dẫn học sinh lớp 11 giải tập Hình học Khơng gian Tên sáng kiến kinh nghiệm: HƢỚNG DẪN HỌC SINH LỚP 11 GIẢI BÀI TẬP HÌNH HỌC KHƠNG GIAN ( PHẦN III ) I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI 1/.Trong chương III hình học không gian lớp 11, sau phần quan hệ song song học sinh học kiến thức quan hệ vng góc.Trong hình học phẳng học sinh học kiến thức hai đường thẳng vuông góc nhiều kết em biết cịn khơng gian Tuy nhiên khơng gian, định nghĩa hai đường thẳng vng góc phải phát biểu đầy đủ hai đường thẳng khơng có điểm chung vng góc Trong khơng gian cịn có quan hệ vng góc đường thẳng mặt phẳng , hai mặt phẳng ; mối quan hệ trở nên phức tạp nhiều có kết hình học phẳng học sinh học khơng cịn khơng gian 2/ Việc vẽ hình khơng gian giải tốn hình học khơng gian nói chung khó khăn lớn cho học sinh Sau học xong chương II em biết cách giải toán quan hệ song song nên toán quan hệ vng góc hồn tồn với em Nếu giáo viên hướng dẫn cẩn thận phương pháp giải dạng toán thường gặptrong chương học sinh dễ dàng tiếp thu kiến thức sở em tự làm dạng tương tự nâng cao Năm học 2014 - 2015 thực chuyên đề hƣớng dẫn học sinh giải tốn thƣờng gặp quan hệ song song khơng gian.Trong phạm vi chun đề tơi tiếp tục trình bày chuyên đề hƣớng dẫn học sinh giải tốn thƣờng gặp quan hệ vng góc khơng gian II CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1/ Chương trình sách giáo khoa 11 ban Cơ Nâng cao sử dụng nay, phần kiến thức Hình học Khơng gian trình bày theo tinh thần giảm tải mức độ hàn lâm Yêu cầu chứng minh Định lí giảm nhẹ nhiều so với nội dung chương trình phân ban lần trước, ví dụ minh họa trình bày học có nội dung đơn giản Nội dung tập tác giả chọn lọc theo hướng tập trung vào nội dung kiến thức nhất, cắt bỏ bớt tập có nội dung u cầu cao so với trình độ đa số học sinh Và mà bải tốn hình học Khơng gian đề thi Đại học cao đẳng dễ so với trước Tuy nhiên với đa số em học sinh học, Hình khơng gian mơn học khó Đa số em nghe giảng lí thuyết hiểu vấn đề áp dụng vào làm tập cụ thể thường cách trình bày giải nên ngại làm 2/ Từ lí thân tơi nhận thấy cần thiết phải phân loại toán chương quan hệ vng góc thành số dạng khác nhau, hướng dẫn thật kĩ cho học sinh phương pháp giải dạng với tập minh họa cụ thể giúp học sinh nắm vững kiến thức, bên cạnh kiến thức hình học khơng gian em học phần trước em cảm thấy tự tin học Hình khơng gian Đây khơng phải giải pháp hoàn toàn với giáo viên dạy Hình học Khơng gian tùy Giáo viên : Lê Thanh Hà – Trường THPT Ngô Quyền Page LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Chuyên đề: Hƣớng dẫn học sinh lớp 11 giải tập Hình học Khơng gian vào đối tượng học sinh, giáo viên chọn cho cách giảng dạy để học sinh dễ tiếp thu làm tập tốt Do phân phối chương trình hạn chế nên để thực giải pháp sử dụng số tiết học tự chọn chương trình cho phép học tăng tiết hoc sinh tự nguyện đăng kí nhà trường tổ chức dạy vào buổi chiều Kết cho thấy tỉ lệ học sinh nắm vững lí thuyết biết giải tập Hình học khơng gian thay đổi rõ III TỔ CHỨC THỰC HIỆN CÁC GIẢI PHÁP HƢỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI CÁC DẠNG TỐN THƢỜNG GẶP VỀ QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN Dạng : Chứng minh hai đƣờng thẳng a, b vng góc với Phương pháp :  Sử dụng định nghĩa góc hai đường thẳng  Chứng minh đường vng góc với mặt phẳng chứa đường  Áp dụng định lí ba đường vng góc  Nếu hai đường thẳng cắt áp dụng phương pháp chứng minh vng góc hai đường thẳng học hình học phẳng Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD hình thang vng A B, SA  ( ABCD) , AD = 2a, AB = BC = a Chứng minh rằng: tam giác SCD vuông Giải: Ta có: S  SA  ( ABCD)  SA  CD(1)  CD  ( ABCD )  Gọi I trung điểm AD Tứ giác ABCI hình vng Do đó, ACI  450 (*) Mặt khác, CID tam giác vuông cân I nên: BCI  450 (**) I A D B C Từ (*) (**) suy ra: ACD  900 hay AC  CD (2) Từ (1) (2) suy ra: CD  (SAC )  CD  SC hay ∆SCD vuông C Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD hình vng, E điểm đối xứng D qua trung điểm SA Gọi M, N trung điểm AE BC CMR: MN  BD Giải: Gọi P trung điểm AB SA, O giao điểm AC BD Ta có: PM đường trung bình tam giác EAD S P M D A O Nên PM //AD AD = PM C Giáo viên : Lê Thanh Hà – Trường THPT Ngô Quyền E N B Page LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Chuyên đề: Hƣớng dẫn học sinh lớp 11 giải tập Hình học Khơng gian Theo giả thiết ABCD hình vng , N trung điểm BC nên PM // CN PM = CN Vậy : PMCN hình bình hành , suy MN// PC(*)  BD  SO Ta lại có :   BD  ( SAC )  BD  PC ()  BD  AC Từ (*) (**) ta có: MN  BD Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD hình vng, tam giác SAD nằm mặt phẳng vng góc với đáy Gọi M, N, P trung điểm SB, BC CD Chứng minh rằng: AM  BP Giải: Gọi H trung điểm AD, I giao diểm S AN BP, K giao điểm AN BH M Vì ∆SAD nên SH  AD  SH  AD  Ta có: ( SAD)  ( ABCD)  SH  BP(*)  BP  ( ABCD)  Xét hai tam giác vng ABN BCP có: B A K I H D P N C AB = BC, BN = CP Suy ra: ABN  BCP  BAN  CBP, ANB  BPC mà BAN  ANB  900  CBP  ANB  900 hay AN  BP (1) Mặt khác, tứ giác ABNH hình chữ nhật nên K trung điểm HB hay MK / / SH (**) Từ (*) (**) suy ra: BP  MK (2) Từ (1), (2) suy ra: BP  ( AMN )  BP  AM Dạng : Chứng minh đƣờng thẳng d vng góc với mặt phẳng (P) Phương pháp :  Chứng minh d vng góc với hai đường thẳng cắt (P)  Chứng minh d song song với đường thẳng b mà vng góc với (P)  Dùng định lí giao tuyến hai mặt phẳng vng góc với mặt phẳng thứ ba S Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD hình vng, tam giác SAB tam giác đều, (SAB)  ( ABCD) Gọi H I trung điểm AB AD Chứng minh : IC  (SHD) I A H B Giáo viên : Lê Thanh Hà – Trường THPT Ngô Quyền D K C Page LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Chuyên đề: Hƣớng dẫn học sinh lớp 11 giải tập Hình học Khơng gian Giải:  SH  AB  Ta có: ( SAB)  ( ABCD)  SH  ( ABCD)  SH  IC (1)  SH  ( SAB)  Mặt khác, xét hai tam giác vuông ADH DCI có: AH = DI, AD = DC   ADH  DCI Do đó: ADH  DCI từ ta có:    AHD  DIC Mà ADH  DIC  900  IKD  900 Hay IC  HD (2) Từ (1) (2) suy ra: IC  (SHD) Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng C, SA  ( ABC ) a/ Chứng minh : BC  (SAC ) b/ Gọi E hình chiếu vng góc A SC Chứng minh : AE  (SBC ) c/ Gọi mp(P) qua AE vng góc với (SAB), cắt SB D Chứng minh : SB  ( P) d/ Đường thẳng DE cắt BC F Chứng minh : AF  (SAB) Giải: a/ Ta có: BC  AC ( gt ) (1) S Mặt khác, SA  ( ABC )  SA  BC (2) D Từ (1) (2) suy ra: BC  (SAC ) b/ Ta có: AE  SC (3) (gt) H E B A Theo a) BC  (SAB)  AE  BC (4) C Từ (3) (4) suy ra: AE  (SBC ) c/ Ta thấy: ( P)  ( ADE ) Theo b/ AE  (SBC )  BC  AE (5) F Trong mp(ADE) kẻ EH  AD, H  AD ( ADE )  ( SAB)  Vì ( ADE )  ( SAB)  AD  EH  ( SAB)  SB  EH (6)  EH  AD  Từ (5) (6) suy ra: SB  ( ADE ) hay SB  ( P)  SA  ( ABC ) d/ Từ   AF  SA (7)  AF  ( ABC ) Theo c/ SB  ( ADE)  AF  SB (8) Từ (7) (8) suy ra: AF  (SAB) Giáo viên : Lê Thanh Hà – Trường THPT Ngô Quyền Page LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Chuyên đề: Hƣớng dẫn học sinh lớp 11 giải tập Hình học Khơng gian Dạng : Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc Phương pháp :  Chứng minh mặt phẳng chứa đường thẳng vng góc với mặt phẳng  Chứng minh góc hai mặt phẳng có số đo 900 Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD hình thoi SA = SC Chứng minh : (SBD)  ( ABCD) S Giải: Ta có: AC  BD (1) (giả thiết) Mặt khác: SAC tam giác cân A O trung điểm AC nên SO  AC (2) Từ (1) (2) suy ra: AC  (SBD) mà AC  ( ABCD) nên (SBD)  ( ABCD) D C O A B Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, AB = a, AD  a , SA  ( ABCD) Gọi M trung điểm AD, I giao điểm AC BM S Chứng minh rằng: (SAC )  (SMB) Giải: Ta có: SA  ( ABCD)  SA  BM (1) AM  Xét tam giác vng ABM có: tan ABM  AB Xét tam giác vng ABC có: cot BAC  M A D I B C BA  BC Suy : ABM  BAC  900  AIB  900 Hay BM  AC (2) Từ (1) (2) suy ra: BM  (SAC ) mà BM  (SAC ) nên (SAC )  (SMB) Dạng : Các tốn góc Xác định góc hai đường thẳng a b chéo Phương pháp : Cách 1: (a,b) = (a’,b’) a’, b’ hai đường thẳng cắt song song với a b Tức là, chọn hai đường thẳng cắt a’, b’và song song với a b Cách 2: (a,b) = (a,b’) b’ đường thẳng cắt đường thẳng a song song với b Tức chọn a (hoặc b) điểm A từ kẻ đường thẳng qua A song song với b (hoặc a) Ví dụ 1: Cho tứ diện ABCD có AB = CD = 2a Gọi M, N trung điểm BC AD, MN  a Tính góc hai đường thẳng AB CD Giáo viên : Lê Thanh Hà – Trường THPT Ngô Quyền Page LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Chuyên đề: Hƣớng dẫn học sinh lớp 11 giải tập Hình học Khơng gian A Giải: Gọi I trung điểm BD  IN / / AC Ta có:   ( AB, CD)  ( IM , IN )  IM / /CD N Xét tam giác IMN có: IM  IN  a, MN  a B D I 2a  3a Do cos MIN     MIN  1200 2a M C Vậy: ( AB, CD)  1800  1200  600 Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thoi cạnh a, SA  a 3, SA  BC Tính góc hai đường thẳng SD BC?  BC / / AD Giải: Ta có: BC//AD   SAD  900  SA  BC S Do đó, ( SD, BC )  ( SD, AD)  SDA A Xét tam giác SAD vuông A ta có: SA tan SDA    SDA  600 AD Vậy góc hai đường thẳng SD BC 600 B O D C Ví dụ 3: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có độ dài cạnh bên 2a, đáy ABC tam giác vuông A, AB  a, AC  a Hình chiếu vng góc A’ lên mp(ABC) trung điểm BC Tính cosin góc hai đường thẳng AA’ B’C’? Giải: Gọi H trung điểm BC  AA '/ / BB ' Ta có:   ( AA ', B ' C ')  ( BB ', BC )  B ' C '/ / BC C' B' A' Hay : cos( AA ', B ' C ')  cos( BB ', BC )  cos HBB ' Xét tam giác AA’H có H  900 , AA '  2a, AH  BC , B C H  BC  A ' H  AA '  AH  AA '    a   2 A Xét tam giác A’B’H có A '  900 , A ' B '  a , HB '  A ' H  A ' B '2  2a Do đó: cos HBB '  BH  BB '2  HB '2  Vậy cos( AA ', B ' C ')  cos HBB '  2.BH BB ' Giáo viên : Lê Thanh Hà – Trường THPT Ngô Quyền Page LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Chuyên đề: Hƣớng dẫn học sinh lớp 11 giải tập Hình học Khơng gian Xác định góc đường thẳng d mặt phẳng (P) Phương pháp - Tìm I  d  ( P) - Từ A thuộc d kẻ AH vng góc với (P) H - (d ,( P))  AIH Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, (SAB)  ( ABCD) , H trung điểm AB, SH = HC, SA = AB Tính góc đường thẳng SC mặt phẳng (ABCD) Giải: Ta có: AH  a AB  , SA  AB  a , 2 SH  HC  BH  BC  S a 5a  SH nên tam giác SAH vng A hay SA  AB Vì SA2  AH  D A H B C mà (SAB)  ( ABCD) có giao tuyến AB Do đó: SA  ( ABCD) AC hình chiếu vng góc SC lên mp(ABCD) Vậy góc thẳng SC mặt phẳng (ABCD) SCA SA 2   SCA  arctan AC 2 Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD hình vng cạnh a, SA vng góc với mặt phẳng đáy, SA  a Tính sin góc giữa: S Ta có : tan SCA  a/ SC (SAB) b/ AC (SBC) Giải: H A D a/ Ta có: BC  AB (gt) SA  BC (vì SA  ( ABCD) )  BC  (SAB) B C đó: SB hình chiếu vng góc SC mp(SAB) Vậy góc SC (SAB) BSC BC a   SC SA2  AC b/ Trong mp(SAB) kẻ AH  SB (H  SB) Ta có: sin BSC  Theo a/ BC  (SAB)  AH  BC nên AH  (SBC ) hay CH hình chiếu vng góc AC mp(SBC) Giáo viên : Lê Thanh Hà – Trường THPT Ngô Quyền Page LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Chuyên đề: Hƣớng dẫn học sinh lớp 11 giải tập Hình học Khơng gian Vậy góc AC (SBC) ACH Xét tam giác vng SAB có: Ta có: sin ACH  1     AH  a 2 AH AB SA 6a AH 21  AC Xác định góc hai mặt phẳng cắt (P) (Q) Phương pháp: Ngoài cách dùng định nghĩa ta thường dùng cách sau - Tìm giao tuyến   ( P)  (Q) - Trong (P) tìm a vng góc với ∆, (Q) tìm b vng góc với ∆ a,b cắt I - Góc (P) (Q) góc a b Chú ý: Trong số trường hợp u cầu tính góc hai mặt phẳng áp dụng cơng thức hình chiếu để tính Cơng thức hình chiếu: Gọi hình (H) có diện tích S; hình (H’) hình chiếu (H) mặt phẳng (α) có diện tích S’; φ góc mặt phẳng chứa (H) mp(α) Lúc đó, ta có cơng thức : S '  S.cos Ví dụ 1: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh a Tính số đo góc (BA’C) (DA’C) B' C' Giải: Kẻ BH  A ' C, (H  A'C) (1) Mặt khác, ta có: BD  AC (gt) , AA '  ( ABCD)  AA '  BD  BD  ( ACA ')  BD  A 'C (2) A' H B Từ (1) (2) suy ra: A ' C  ( BDH )  A ' C  DH Do đó, góc (BA’C) (DA’C) góc hai đường thẳng HB HD Xét tam giác vng BCA’ có: D' A C D 1 2     BH  a  DH  a 2 BH BC BA ' 2a 3 BH  BD Ta có: cos BHD     BHD  1200 2 BH Vậy góc (BA’C) (DA’C) 600 Giáo viên : Lê Thanh Hà – Trường THPT Ngô Quyền Page 10 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Chuyên đề: Hƣớng dẫn học sinh lớp 11 giải tập Hình học Khơng gian Ví dụ 2: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’, đáy ABC tam giác cân AB = AC = a, BAC  1200 , BB’= a, I trung điểm CC’ Tính cosin góc hai mp(ABC) (AB’I) Giải: Ta thấy tam giác ABC hình chiếu vng góc B' C' tam giác AB’I lên mặt phẳng (ABC) Gọi φ góc hai mặt phẳng (ABC) (AB’I) S Theo cơng thức hình chiếu : cos  ABC S AB ' I Ta có: S ABC a2  AB AC.sin120  C a , AB '  AB2  BB '2  a 2, a 13 IB '  B ' C '2  IC '2  AI  AC  CI  B A a 10  AB ' AI  Suy ra: Tam giác AB’I vuông A nên S AB ' I Vậy cos  A' I S ABC  S AB ' I 10 Dạng : Các dạng toán khoảng cách Tính Khoảng cách từ điểm M đến mp(P) Phương pháp: Cách 1: - Tìm mp(Q) chứa M vng góc với mp(P) theo giao tuyến ∆ - Từ M hạ MH vng góc với ∆ ( H  ) - MH = d(M,(P)) Cách 2: - Kẻ ∆//(P) Ta có: d(M,(P)) = d(∆,(P)) - Chọn N  Lúc đó, d  M,  P    d(,(P)) = d  N ,  P   Cách 3: - Nếu MN  ( P)  I Ta có: - Tính d  N ,  P   d  M,  P   d  N ,  P   MI NI MI NI Giáo viên : Lê Thanh Hà – Trường THPT Ngô Quyền Page 11 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Chuyên đề: Hƣớng dẫn học sinh lớp 11 giải tập Hình học Khơng gian - d  M,  P    MI d  N ,  P   NI Ví dụ cho cách 1: Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC, đáy ABC có cạnh a, mặt bên tạo với đáy góc α Tính d ( A,(SBC )) theo a α Giải: Gọi I trung điểm BC S  SI  BC Ta có:   BC  ( SAI ) SIA    AI  BC Kẻ AH  SI (H  SI) mà SI  (SAI )  (SBC) nên AH  (SBC ) Do đó, d ( A,(SBC ))  AH H B A Mặt khác, xét tam giác vng AHI có: a AH  AI sin   sin  O I C a sin  Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD hình vng cạnh a, SA  ( ABCD) , Vậy, d ( A,( SBC ))  AH  SA = 2a, S a/ Tính d ( A,(SBC )) b/ Tính d ( A,(SBD)) H K Giải: a/ Kẻ AH  SB (H  SB) (1) D A Ta có: SA  ( ABCD)  SA  BC (*) O B AB  BC (gt) (**) C Từ (*) (**) suy ra: BC  (SAB)  BC  AH (2) Từ (1) (2) ta có: AH  (SBC ) hay d ( A,(SBC ))  AH Mặt khác, xét tam giác vng SAB có: Vậy, d ( A,( SBC ))  1 2a     AH  2 AH AB SA 4a 2a b/ Gọi O  AC  BD kẻ AK  SO (K  SO) (1) Ta có: SA  ( ABCD)  SA  BD (*) AC  BD (gt) (**) Từ (*) (**) suy ra: BD  (SAC )  BD  AK (2) Từ (1) (2) ta có: AK  (SBD) hay d ( A,(SBD))  AK Giáo viên : Lê Thanh Hà – Trường THPT Ngô Quyền Page 12 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Chuyên đề: Hƣớng dẫn học sinh lớp 11 giải tập Hình học Khơng gian Mặt khác, xét tam giác vng SAO có: 1 2a     AK  AK AO SA2 4a 2a Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD hình vng cạnh a, tam giác SAB đều, (SAB)  ( ABCD) Gọi I, F trung điểm AB AD Tính d ( I ,(SFC )) Vậy, d ( A,( SBD))  Giải: Gọi K  FC  ID S Kẻ IH  SK (H  K) (1) ( SAB)  ( ABCD) ( SAB)  ( ABCD)  AB  Ta có:   SI  ( ABCD) SI  ( SAB )   SI  AB  SI  FC (*) B C H K I A D F Mặt khác, xét hai tam giác vng AID DFC có: AI = DF, AD = DC Suy ra, AID  DFC  AID  DFC, ADI  DCF mà AID  ADI  900  DFC  ADI  900 hay FC  ID (**) Từ (*) (**) ta có: FC  (SID)  IH  FC (2) Từ (1) (2) suy ra: IH  (SFC ) hay d ( I ,(SFC ))  IH Ta có: SI  a a 1 a , ID  ,     DK  2 DK DC DF a  IK  ID  DK  3a 10 1 32 3a 3a Vậy,     IH  d ( I ,( SFC ))  IH SI IK 9a 8 Ví dụ cho cách 2: Do đó: Ví dụ 1: Cho lăng trụ ABCD.A’B’C’D’, ABCD hình chữ nhật, AB  a, AD  a Hình chiếu vng góc A’ (ABCD) trùng với giao điểm AC BD Tính d ( B ',( A ' BD)) Giải: Gọi O giao điểm AC BD Vì B’C//A’D nên B’C//(A’BD) B' C' A' D' Do d ( B ',( A ' BD))  d ( B 'C,( A ' BD))  d (C,( A ' BD)) Trong mặt phẳng (ABCD) kẻ CH  BD, (H  BD) (1) Mặt khác, A ' O  ( ABCD)  A ' O  CH (2) Giáo viên : Lê Thanh Hà – Trường THPT Ngô Quyền B C O D H A Page 13 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Chuyên đề: Hƣớng dẫn học sinh lớp 11 giải tập Hình học Khơng gian Từ (1) (2) suy ra: CH  ( A ' BD)  d ( B ',( A ' BD))  CH Xét tam giác vng BCD có: Vậy: d ( B ',( A ' BD))  CH  1 a     CH  2 CH BC CD 3a a Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông A, ABC  300 , SBC tam giác cạnh a, (SBC )  ( ABC ) Tính d (C,(SAB)) Giải: Trong mặt phẳng (ABC) vẽ hình chữ nhật ABDC Gọi M, I, J trung điểm BC, CD AB Lúc đó, CD//(SAB) hay d (C,(SAB))  d (CD,(SAB))  d ( I ,(SAB)) Trong mặt phẳng (SIJ) kẻ IH  SJ , (H SJ) (1) S H D I C B M Mặt khác, ta có: SM  ( ABC )  AB  SM J A  AB  IJ Vì   AB  ( SIJ )  AB  IH (2) AB  SM  Từ (1) (2) suy ra: IH  (SAB) hay d (C,(SAB))  IH 1 SM IJ Xét tam giác SIJ có: SSIJ  IH SJ  SM IJ  IH  2 SJ Với: IJ  AC  BC.sin300  Do đó: IH  a a a 13 , SM  , SJ  SM  MJ  SM IJ a 39 a 39 Vậy d (C ,( SAB))   SJ 13 13 Ví dụ cho cách 3: Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang vng A D, biết AB = AD = a, CD = 2a, SD  ( ABCD) , SD = a S a/ Tính d ( D,(SBC )) b/ Tính d ( A,(SBC )) H M D Giải: Gọi M trung điểm CD, E giao điểm hai đường thẳng AD BC C A B E Giáo viên : Lê Thanh Hà – Trường THPT Ngô Quyền Page 14 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Chuyên đề: Hƣớng dẫn học sinh lớp 11 giải tập Hình học Không gian a/ Trong mặt phẳng (SBD) kẻ DH  SB, (H  SB) (1) Vì BM  AD  CD  Tam giác BCD vuông B hay BC  BD (*) Mặt khác, SD  ( ABCD)  SD  BC (**) Từ (*) (**) ta có: BC  (SBD)  BC  DH (2) Từ (1) (2) suy ra: DH  (SBC ) hay d ( D,(SBC ))  DH Xét tam giác vng SBD có: Vậy, d ( D,( SBC ))  b/ Ta có: 1 2a     DH  2 DH SD BD 2a 2a 3 d ( A,( SBC )) AE AB 1 a     d ( A,( SBC ))  d (d ,( SBC ))  d ( D,( SBC )) DE CD 2 a 3 Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng B, BA =3a, BC = 4a, ( SBC )  ( ABC ), SB  2a 3, SBC  300 Vậy, d ( A,( SBC ))  S Tính d ( B,(SAC )) Giải: Trong mặt phẳng (SBC) kẻ SM  BC (M  BC) Trong mặt phẳng (ABC) kẻ MN  AC (N  AC) H B N Trong mặt phẳng (SMN) kẻ MH  SN (N  SN ) Suy MH  (SAC )  d (M ,(SAC ))  MH A Ta có: SM  SB.sin300  a , BM  SB.cos300  3a  CM  a , MN  Xét tam giác vng SMN có:  MH  C M AB.CM 3a  AC 1 28    2 2 MH SM MN 9a 3a 3a  d ( M ,( SAC ))  28 28 Mặt khác, ta có: d ( B,( SAC )) BC 6a    d ( B,( SAC ))  4.d ( M ,( SAC ))  d ( M ,( SAC )) MC Vậy d ( B,( SAC ))  6a Giáo viên : Lê Thanh Hà – Trường THPT Ngô Quyền Page 15 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Chuyên đề: Hƣớng dẫn học sinh lớp 11 giải tập Hình học Khơng gian Tính Khoảng cách hai đường thẳng chéo d d’ Phương pháp: Cách 1: - Xác định đường thẳng vng góc chung d d’ - Tính độ dài đoạn vng góc chung Cách 2: - Tìm mp(P) chứa d’ song song với d - Khi d (d , d ')  d (d ,( P))  d ( A,( P)) với A điểm thuộc d Ví dụ cho cách 1: Ví dụ 1: Cho tứ diện ABCD có AB = a, tất cạnh cịn lại 3a Tính d ( AB, CD) Giải: Gọi I, J trung điểm CD AB A Vì ACD BCD tam giác nên: CD  AI , CD  BI  CD  ( AIB)  CD  IJ (1) J Mặt khác, ACD  BCD nên tam giác AIB cân I Do đó, IJ  AB (2) D B Từ (1), (2) suy ra: IJ đường vng góc chung AB CD I C  3a   a  a 26 Ta có: IJ  AI  AJ       2     Vậy : d ( AB, CD)  a 26 Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a Gọi M, N trung điểm AB AD, H giao điểm CN DM, SH  ( ABCD), SH  a Tính d ( DM , SC ) Giải: Trong mp(SCH) kẻ HK  SC (1), (K  SC) S K  SH  ( ABCD) Mặt khác,   SH  DM (*) DM  ( ABCD )  D Xét hai tam giác vuông AMD DNC có N AM = DN, AD = DC  AMD  DNC A Giáo viên : Lê Thanh Hà – Trường THPT Ngô Quyền C H M B Page 16 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Chuyên đề: Hƣớng dẫn học sinh lớp 11 giải tập Hình học Khơng gian  AMD  DNC   Từ ta có:  ADM  DCN  DNC  ADM  900  NHD  900  AMD  ADM  900   hay DM  CN (**) Từ (*), (**) suy ra: DM  (SCH )  DM  HK (2) Từ (1), (2) suy ra: HK đoạn vng góc chung DM SC Ta có: HCD DCN  HC  Xét tam giác vng SHC ta có: Vậy d ( DM , SC )  HK  CD a2 2a   2 CN CD  DN HK  HC  HS  3a  HK  a 15 a 15 Ví dụ cho cách Ví dụ 1: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’, đáy ABC tam giác cạnh a, a AA '  Tính d ( AB, CB ') A Giải: Gọi I, J trung điểm AB A’B’ Ta có: AB / /(CA ' B ') I  d ( AB, CB ')  d ( AB,(CA ' B '))  d ( I ,(CA ' B ')) B Trong mp(CIJ) kẻ IH  CJ (1), (H  CJ) Ta có: A ' B '  ( IJ ) (vì ABC A’B’C’ hình lăng trụ đứng) IC  A ' B ' (vì ∆A’B’C’ tam giác đều) nên A ' B '  (CIJ )  IH  A ' B ' (2) Từ (1), (2) suy ra: IH  (CA ' B ') hay d ( AB, CB ')  IH Xét tam giác vuông CIJ có: 1 10 a 30       IH  10 IH IC IJ 3a a 3a C A' H C' J B' a 30 10 Ví dụ 2: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, cạnh bên a Tính d ( AD, SB) Vậy d ( AB, CB ')  IH  Giáo viên : Lê Thanh Hà – Trường THPT Ngô Quyền Page 17 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Chuyên đề: Hƣớng dẫn học sinh lớp 11 giải tập Hình học Khơng gian Giải: Vì AD / / SBC   d ( AD, SB)  d ( AB,( SBC )) S Gọi O giao điểm AC BD I, J trung điểm AD BC Trong mp(SIJ) kẻ IH  SJ ,( H  SJ ) (1) Theo giả thiết ta có: SO  ( ABCD)  SO  BC H A IJ / / AB  IJ  BC B I J O  BC  SO Vì :   BC  ( SIJ )  BC  IH (2) BC  IJ  D C Từ (1), (2) suy ra: IH  (SBC ) hay d ( AD, SB)  IH 1 SO.IJ Xét tam giác SIJ có: SSIJ  IH SJ  SO.IJ  IH  Với: IJ = a, 2 SJ SO.IJ 2a 21 a Suy ra: IH   SO  SA2  AO  a , SJ  SB  BJ  SJ 2a 21 Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD hình vng cạnh a, tam giác SAD tam giác đều, (SAD) vng góc với mặt phẳng đáy Tính d (SA, BD) Vậy d ( AD, SB)  IH  Giải: Qua A kẻ đường thẳng d song song với BD Gọi O giao điểm AC BD; I, M trung điểm AD OD; N giao điểm d IM.Ta có: d (SA, BD)  d ((SA, d ), BD)  d (M ,(SA, d )) S Trong mp(SMN) kẻ MH  SN (1), (H  SN) H Theo giả thiết:  SI  AD  SI  ( ABCD)  SI  d (*)  ( SAD )  ( ABCD )  N D I C M A O B d / / BD  Mặt khác ta có:  BD  AO  d  MN (**)  AO / / MN  Từ (*), (**) suy ra: d  (SMN )  d  MH (2) Từ (1), (2) suy ra: MH  (SA, d ) Vậy MH  d (M ,(SA, d )) = d (SA, BD) Xét tam giác SMN có: 1 SI MN SSMN  MH SN  SI MN  MH  2 SN Giáo viên : Lê Thanh Hà – Trường THPT Ngô Quyền Page 18 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Chuyên đề: Hƣớng dẫn học sinh lớp 11 giải tập Hình học Khơng gian với SI  a a 10 a ; MN  AO  ; SN  SI  IN  Do đó, MH  SI MN a 15 a 15 Vậy d ( SA, BD)   SN 5 Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng tai B, AB = BC = 2a, hai mặt phẳng (SAB) (SAC) vng góc với mặt phẳng (ABC) Gọi M trung điểm AB, mặt phẳng qua SM song song với BC cắt AC N, góc hai mặt phẳng (SBC) (ABC) 600 Tính d ( AB, SN ) Giải: Gọi I trung điểm BC Do MN//BC nên N trung điểm AC Do đó, IN//AB hay d ( AB, SN )  d ( AB,(SNI )) S H Trong mp(ABC) kẻ AJ  IN ,( J  IN ) (*) J Trong mp(SAJ) kẻ AH  SJ ,( H  SJ ) (1) Theo giải thiết ta có: ( SAB)  ( ABC )  SA  ( ABC )  SA  IN (**)  ( SAC )  ( ABC )  C N A I M B Từ (*), (**) ta có: IN  (SAJ )  IN  AH (2) Từ (1), (2) ta có: AH  (SIN )  d ( AB, SN )  AH Ta có: góc (SBC) (ABC) SBA  600  SA  AB.tan 600  2a ; AJ  BI  a Xét tam giác vng SAJ có: Vậy d ( AB, SN )  AH  AH  SA2  AJ  13 12a  AH  a 12 13 a 156 13 CÁC BÀI TẬP RÈN LUYỆN: Bài Cho hình chóp S.ABCD đáy hình vng, SA vng góc với (ABCD) a/ CMR: BC  (SAB); CD  (SAD) b/ CMR: BD  (SAC) c/ Kẻ AE  SB CMR: SB  (ADE) Bài 2.Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD hình vuông cạnh a, SA  (ABCD) SA = a Tính góc giữa: a/ SC (ABCD) b/ SC (SAB) Giáo viên : Lê Thanh Hà – Trường THPT Ngô Quyền Page 19 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Chuyên đề: Hƣớng dẫn học sinh lớp 11 giải tập Hình học Khơng gian c/ SB (SAC) d/ AC (SBC) Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng ABCD tam giác SAB cạnh a nằm mặt phẳng vng góc với Gọi I trung điểm AB a/ Chứng minh (SAD)  (SAB) b/ Tính góc SD (ABCD) c/ Gọi F trung điểm AD C/m: (SCF)  (SID) Bài Cho hình chóp S.ABCD ; ABCD hình vng cạnh a, tam giác SAB , mp(SAB)  mp(ABCD) a/ Gọi I trung điểm AB CMR : SI  (ABCD) b/ Chứng minh : tam giác SBC SAD vuông c/ Tính góc cạnh bên đáy Bài Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD hình chữ nhật Mặt bên SAB tam giác vuông A nằm mặt phẳng vng góc với (ABCD) ; AB = a, AD = a a/ Chứng minh : SA  (ABCD), (SAD)  (SCD) b/ Gọi AH đường cao tam giác SAB Chứng minh : AH  (SBC), (SBC)  (AHC) c/ Chứng minh : DH  SB d/ Tính góc (SAC) (SAD) Bài Cho hình chóp S.ABCD đáy hình vuông cạnh a tâm O Cho (SAB)  ABCD), (SAD)  (ABCD) a/ Chứng minh : SA  (ABCD), BD  (SAC) b/ Gọi AH, AK đường cao tam giác SAB tam giác SAD CMR: AH vuông góc với (SBC), AK vng góc với (SCD) c/ Chứng minh : (SAC) vng góc với (AHK) d/ Cho biết SA = a tính góc (SAC) (SCD) Dựng tính đoạn vng góc chung hai đường thẳng AB SC Bài Cho hình chóp S.ABCD đáy hình vng cạnh a tâm O SA  (ABCD), SA = a a/ Chứng minh : Các mặt bên hình chóp tam giác vng b/ Chứng minh : BD vng góc với SC c/Tính góc SC (ABCD); (SBD) (ABCD) d/ Tính góc (SCD) (ABCD) Tính diện tích hình chiếu ΔSCD (ABCD) Bài Cho tứ diện OABC có cạnh OA, OB, OC đơi vng góc với Gọi H điểm thuộc (ABC) cho OH  (ABC) 1.Chứng minh: a/ BC  (OAH) b/ H trực tâm tam giác ABC 1 1 c/    OH OA2 OB OC 2 Khi OA = OB = OC = a Tính góc OA (ABC); (OBC) (ABC) Bài Cho tứ diện ABCD có hai mặt ABC ADC nằm hai mặt phẳng vng góc với nhau, tam giác ABC vuông A, AB = a; AC = b, tam giác ADC vuông D, CD = a Giáo viên : Lê Thanh Hà – Trường THPT Ngô Quyền Page 20 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Chuyên đề: Hƣớng dẫn học sinh lớp 11 giải tập Hình học Khơng gian a/ Chứng minh tam giác BAD BDC vuông b/ Gọi I J trung điểm AD BC Chứng minh IJ đoạn vng góc chung hai đường thẳng AD BC IV HIỆU QUẢ CỦA ĐỀ TÀI: - Qua trình giảng dạy nhiều năm thân thấy cố gắng hướng dẫn cẩn thận phương pháp giải toán quan hệ vng góc khơng gian cho học sinh lớp 11 em dễ dàng tiếp thu kiến thức sở em tự làm dạng tương tự nâng cao - Trong năm học qua tiến hành giải pháp giảng dạy trực tiếp hai lớp 11A02 11A06 sau theo dõi kết thu qua hai kiểm tra cụ thể sau Bài 1: ( thời gian 20 phút) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , biết SA vng góc với đáy SA = a a/ Chứng minh : (SCD)  (SAD) b/ Chứng minh : BD  SC S c/ Tính góc SD mặt phẳng (SAC) d/ Tính góc mặt phẳng : (SBC) (SCD) Thang điểm : - Hình vẽ câu a : điểm - Câu a : điểm - Câu b : điểm - Câu c : điểm - Câu d : điểm Kết cụ thể Lớp Điểm 1- 11A02 (45học sinh) 11A 06 (44học sinh) H A B O D Điểm - 4 Điểm - 11 C Điểm - 18 14 17 Điểm - 10 12 Lớp 11A02 lớp chọn nên số học sinh đạt điểm tốt nhiều Bài 2: ( thời gian 20 phút) a Mặt bên SAB tam giác nằm mặt phẳng vng góc với đáy Gọi H hình chiếu vng góc S lên mặt đáy K trung điểm đoạn thẳng CD a/ Chứng minh : (SHK)  (SCD) b/ Tính khoảng cách từ H đến mặt phẳng (SCD) c/ Tính góc mặt phẳng (SCD) mặt phẳng (ABCD) d/ Tính khoảng cách hai đường thẳng AD SB Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng ABCD cạnh Giáo viên : Lê Thanh Hà – Trường THPT Ngô Quyền Page 21 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Chuyên đề: Hƣớng dẫn học sinh lớp 11 giải tập Hình học Khơng gian S Thang điểm : - Hình vẽ câu a : điểm - Câu a : điểm - Câu b : điểm - Câu c : điểm - Câu d : điểm Kết cụ thể Lớp Điểm 1- 11A02 (45học sinh) 11A 06 (44học sinh) I D A J H K B Điểm - Điểm - 10 14 C Điểm - 20 18 Điểm - 10 15 So với lần kiểm tra trước tỉ lệ điểm giảm rõ rệt măc dù mức độ đề yêu cầu cao Tuy nhiên, dạng phương pháp lựa chọn chưa hẳn tối ưu đầy đủ, chắn phải bổ sung thêm cho việc giảng dạy tốt Rất mong có đóng góp q đồng nghiệp Tơi xin trân trọng cảm ơn Thầy Cơ Tổ Tốn Trường THPT Ngơ Quyền nhiệt tình góp ý kiến để tơi hoàn thiện sáng kiến kinh nghiệm Ngƣời thực Lê Thanh Hà Giáo viên : Lê Thanh Hà – Trường THPT Ngô Quyền Page 22 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Chuyên đề: Hƣớng dẫn học sinh lớp 11 giải tập Hình học Khơng gian SỞ GD&ĐT ĐỒNG NAI TRƢỜNG THPT NGƠ QUYỀN CỘNG HỒ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập - Tự - Hạnh phúc Biên Hoà, ngày 18 tháng 05 năm 2016 PHIẾU NHẬN XÉT, ĐÁNH GIÁ SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Năm học : 2015 - 2016 –––––––––––––––– Tên sáng kiến kinh nghiệm: Hướng dẫn học sinh lớp 11 giải tập Hình học Khơng gian ( Phần III ) Họ tên tác giả: Lê Thanh Hà Chức vụ: Tổ Trưởng tổ Tốn Đơn vị: Trường THPT Ngơ Quyền – Đồng Nai Lĩnh vực: - Quản lý giáo dục  - Phương pháp dạy học mơn: Tốn  - Phương pháp giáo dục  - Lĩnh vực khác:  Sáng kiến kinh nghiệm triển khai áp dụng : Tại đơn vị  Trong ngành  Tính - Đề giải pháp hồn tồn mới, bảo đảm tính khoa học, đắn  - Đề giải pháp thay phần giải pháp có, bảo đảm tính khoa học, đắn  - Giải pháp gần áp dụng đơn vị khác chưa áp dụng đơn vị mình, tác giả tổ chức thực có hiệu cho đơn vị  Hiệu - Giải pháp thay hoàn toàn mới, thực tồn ngành có hiệu cao  - Giải pháp thay phần giải pháp có, thực tồn ngành có hiệu cao  - Giải pháp thay hoàn toàn mới, thực đơn vị có hiệu cao  - Giải pháp thay phần giải pháp có, thực đơn vị có hiệu  - Giải pháp gần áp dụng đơn vị khác chưa áp dụng đơn vị mình, tác giả tổ chức thực có hiệu cho đơn vị  Khả áp dụng - Cung cấp luận khoa học cho việc hoạch định đường lối, sách: Trong Tổ/Phịng/Ban  Trong quan, đơn vị, sở GD&ĐT Trong ngành  - Đưa giải pháp khuyến nghị có khả ứng dụng thực tiễn, dễ thực dễ vào sống: Trong Tổ/Phòng/Ban  Trong quan, đơn vị, sở GD&ĐT  Trong ngành  Giáo viên : Lê Thanh Hà – Trường THPT Ngô Quyền Page 23 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Chuyên đề: Hƣớng dẫn học sinh lớp 11 giải tập Hình học Khơng gian - Đã áp dụng thực tế đạt hiệu có khả áp dụng đạt hiệu phạm vi rộng: Trong Tổ/Phòng/Ban  Trong quan, đơn vị, sở GD&ĐT  Trong ngành  Xếp loại chung : Xuất sắc  Khá  Đạt  Không xếp loại  Cá nhân viết sáng kiến kinh nghiệm cam kết chịu trách nhiệm không chép tài liệu người khác chép lại nội dung sáng kiến kinh nghiệm cũ Tổ trưởng Thủ trưởng đơn vị xác nhận kiểm tra ghi nhận sáng kiến kinh nghiệm tổ chức thực đơn vị, Hội đồng chuyên môn trường xem xét, đánh giá; tác giả không chép tài liệu người khác chép lại nội dung sáng kiến kinh nghiệm cũ tác giả NGƢỜI THỰC HIỆN SKKN XÁC NHẬN CỦA TỔ CHUYÊN MÔN THỦ TRƢỞNG ĐƠN VỊ HIỆU TRƢỞNG Lê Thanh Hà Lê Văn Đắc Mai Nguyễn Duy Phúc Giáo viên : Lê Thanh Hà – Trường THPT Ngô Quyền Page 24 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com ... Hƣớng dẫn học sinh lớp 11 giải tập Hình học Khơng gian Tên sáng kiến kinh nghiệm: HƢỚNG DẪN HỌC SINH LỚP 11 GIẢI BÀI TẬP HÌNH HỌC KHÔNG GIAN ( PHẦN III ) I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI 1/.Trong chương III hình. .. để giải toán” + Năm học 2013 – 2014, thực chuyên đề: ? ?Hướng dẫn học sinh lớp 11 giải tập Hình học Khơng gian? ?? ( Phần I ) + Năm học 2014 – 2015, thực chuyên đề: ? ?Hướng dẫn học sinh lớp 11 giải tập. .. có kết hình học phẳng học sinh học khơng cịn khơng gian 2/ Việc vẽ hình khơng gian giải tốn hình học khơng gian nói chung khó khăn lớn cho học sinh Sau học xong chương II em biết cách giải toán