Chuyên đ 4: Phép chia đa th c I Ki n th c c n nh 1) Chia đ n th c A cho đ n th c B (Tr ng h p A chia h t cho B) - B c 1: Chia h s c a đ n th c A cho h s c a đ n th c B - B c 2: Chia m i l y th a c a A cho l y th a c a m t bi n B - B c 3: Nhân k t qu tìm đ c v i 2) Chia đa th c A cho đ n th c B (Tr ng h p m i h ng t c a A đ u chia h t cho B) - Chia h ng t c a đa th c A cho đ n th c B r i c ng k t qu l i v i 3) Chia đa th c m t bi n s p x p Mu n chia đa th c A cho đa th c B (tr ng h p A B đa th c m t bi n s p x p) ta làm nh sau: - B c 1: t phép chia - B c 2: Chia h ng t b c cao nh t c a A cho h ng t b c cao nh t c a B, gi s đ c th ng C1 - B c 3: L y C1 nhân v i B, k t qu tìm đ c vi t d i đa th c A cho h ng t b c th ng c t v i nhau, th c hi n phép tr đ tìm s d - B c 4: t vai trị c a s d s b chia, quay tr l i b c cho đ n nh n đ c k t qu b c c a s d nh h n b c c a s chia *V i A B hai đa th c bi n tùy ý, B khác 0, t n t i đa th c nh t Q R cho: A = B.Q+R b c c a R ln nh h n b c c a B N u R = phép chia h t, R khác phép chia có d Ki n th c b xung 4.4.1) Nghi m c a đa th c - S a đ c g i nghi m c a đa th c f(x) n u f(a) = - Nghi m nguyên c a đa th c n u có ph i c c a h s t - Trong đa th c có h s nguyên, nghi m h u t (n u có) ph i có dang p c c a h s t do, q c d ng c a s h ng cao nh t 4.4.2) nh lý B du Ph n d phép chia đa th c f(x) cho x - a b ng giá tr c a đa th c f(x) t i x = a T c f(x)=(x - a).g(x) - f(a) H qu : N u f(a) = f(x) (x - a) N u f(a) (x - a) f(a) = 4.4.3) Ph ng pháp h s b t đ nh Gi s f(x) = a3x3 + a2x2 + a1x + a0 g(x) = b3x3 + b2x2 + b1x + b0 Và n u f(x) = g(x) v i nh t giá tr a3=b3; a2=b2; a1 = b1; a0 = b0 T ng quát: N u đa th c f(x) b c n đa th c g(x) b c l n h n n b ng đa th c f(x) đa th c g(x) đ ng nh t 4.4.4) L c đ Hocne V i đaa th c f(x) = anx n + an-1x n-1 + an-2x n-2 + + a1x + a0 chia cho x có th g(x) = bn-1x n-1 + bn-2x n-2 + bn-3x n-3 + + b1x + b0 d r Thì ta có Trung tâm luy n thi EDUFLY Biên so n: ng Thành Trung ng Page ThuVienDeThi.com a n-1 an a n -3 a2 a0 a1 b n-1 = b n -2 =a b n-1 + b n -3 =a b n -2 + b1 =a b + b =a b1 + r =a b + an a n-1 a n -3 a2 a1 a0 II Các d ng toán c b n D ng 1: Phép chia đ n th c cho đ n th c *Ph ng pháp gi i toán: Th c hi n theo b c đư nêu Ví d m u:Th c hi n phép tính x2 y3 x2 : xyz L i gi i m u: - B c 1: Chia ph n h s ph n lí thuy t 6: -B c 2: Chia ph n bi n x2 : x x y3 : y y2 x2 : z z - B c 3: Nhân k t qu tìm đ V y x2 y3 z : xyz 3xy2 z Bài t p áp d ng c 3.x y2 z 3xy2 z Bài 1: Th c hi n phép chia: a ) 12 x2 y3 : (3xy); b) x4 y2 z : xy 10 c) x5 y4 z2 : x5 yz2 Bài 2: Th c hi n phép tính a ) 10012 :10010 ; b) (21)33 : (21)34 ; 1 c) ( )16 : ( )14 ; 2 21 d ) ( ) : ( )19 7 2) Phép chia đa th c cho đ n th c Ví d m u: Th c hi n phép chia 4x 3x2 y xy2 : x L i gi i m u: Trung tâm luy n thi EDUFLY Biên so n: ng Thành Trung Page ThuVienDeThi.com 4x 3x2 y xy2 : x x3 : x 3x2 y : x xy2 : x 12 x2 xy 15 y2 Bài 1: Th c hi n phép chia a) (7.35 - 34 + 36) : 34 b) (163 - 642) : 82 c) (5x4 - 3x3 + x2) : 3x2 d) (5xy2 + 9xy - x2y2) : (-xy) x y - x3y2) : x2y2 3 f) x y x y x y : x y e) (x3y3 - 3) Phép chia đa th c cho đa th c 3.1) Chia tr c ti p b ng cách đ t tính *Ph ng pháp gi i toán: Th c hi n theo b c đư nêu Ví d m u: Th c hi n phép chia x3 x2 x 4 : x L i gi i m u: - B c 1: t tính - B c 2: L y h ng t x3 c a đa th c b chia cho h ng t x c a đa th c chia đ nhân v i đa th c chia x đ c x3 x2 - B c 3: L y x3 x2 x 4 x3 x2 đ c x2 x c x2 , l y x2 - B c 4:Coi x2 x s d , nh n th y x2 x có b c l n h n b c c a đa th c chia, ti p t c th c hi n b c cho đ n b c c a d nh h n b c c a s chia Trong th c hành, ng i ta làm nh sau: x3 x2 x x x3 x2 x2 x x2 x 2 x2 x 2x 2x V y ta đ c x3 x2 x 4 : x 2 x2 x Ví d 2: Th c hi n phép chia x3 3x2 4 : x2 1 L i gi i m u: Ta có: Trung tâm luy n thi EDUFLY Biên so n: ng Thành Trung Page ThuVienDeThi.com x3 3x2 x2 4 x3 2x 3x x 3x2 2x 2x 3 T i phép chia không th ti p t c đ Bài 1: Th c hiên phép chia a) x3 3x2 x 3 : x 3 c n a b c c a d nh h n b c c a s chia b) x2 5x3 x x4 1 : x2 x 1 c) x3 3x3 x2 x 4 : x2 x 3 d) x3 5x2 x 1 : x 1 Bài 2: Tìm th ng Q d R cho A = B.Q + R, bi t A x4 x2 2; B x2 x 3.2) Chia b ng cách phân tích đa th c thành nhân t (Ch áp d ng phép chia đa th c phép chia h t) - C s c a cách làm d a vào kh ng đ nh sau i u ki n c n đ đ đa th c A chia h t cho đa th c B A = B.C v i C m t đa th c, suy C th ng c n tìm *Ph ng pháp gi i toán - D đoán xem đa th c b chia có th phân tích thành nhân t có m t nhân t đa th c chia hay khơng - Phân tích đa th c b chia thành nhân t áp d ng kh ng đ nh Ví d m u: Th c hi n phép chia x3 8 : x 2 L i gi i m u: Nh n th y x3 x x2 x x3 8 : x 2 x2 x Ta có: x3 x2 14 x 24 x3 x2 14 x 28 x 2 x x 2 x x x2 x x x 14 x x x 14 3x 12 x x 3 x x2 5x x 2 x 3 x3 x2 14 x 24 : x2 5x 6 x Bài 1: Khơng đ t tính, th c hi n phép chia sau Trung tâm luy n thi EDUFLY Biên so n: ng Thành Trung Page ThuVienDeThi.com a) x3 3x2 x 12 : x 3 b) x3 3x2 x 5 : x c) x8 x4 1 : x2 x 1 d) x3 x2 14 x 24 : x2 5x 4) ng d ng gi i tốn 4.1) Phân tích đa th c thành nhân t Cho đa th c f(x), a nghi m c a đa th c f(x) n u f(a) = Nh v y n u đa th c f(x) ch a nhân t (x a) a ph i nghi m c a đa th c Ta đư bi t r ng nghi m nguyên c a đa th c n u có ph i c c a h s t N u đa th c P(x) có nghi m x = a ta có th phân tích P(x) thành tích c a hai th a s (x a) Q(x) P(x) = (x a).Q(x) Mu n tìm Q(x) ta th y P(x) chia cho (x a) Sau phân tích ti p Q(x) N u đa th c P(x) có hai nghi m phân bi t x a x b ta có th phân tích đa th c P(x) thành tích c a ba th a s x a ; x b Q(x) P(x) = (x a)(x b).Q(x) Mu n tìm Q(x) ta hưy chia P(x) cho tích x a x b x2 a b x ab đ c th ng Q(x) sau phân tích ti p Q(x N u đa th c P(x) có nghi m kép x1 x2 a ta chia P(x) cho tích x a . x a x2 2ax a đ c th ng R(x) r i phân tích ti p R(x) ThÕ nµo lµ nghiƯm sè kÐp? V y n u đa th c P(x) có nghi m kép x1 x2 a P(x) = (x a)2R(x) Mu n tìm R(x) ta l y P(x) chia cho x a Ví d m u: Phân tích đa th c sau thành nhân t P(x) = x3 – 2x – L i gi i m u: P(x) = x3 – 2x – Ta th y đa th c P(x) = x3 – 2x – có m t nghi m x = Do ta có P(x) = (x – 2).Q(x) Chia đa th c P(x) = x3 – 2x – cho nh th c x – 2, ta đ c th ng Q(x) = x2 + 2x +2 = (x + 1)2 +1 Ta th y Q(x) x Nên Q(x) khơng th phân tích đ c n a Suy P(x) = (x – 2)(x2 + 2x + 2) V y P(x) = x3 – 2x – = (x - 2)(x2 + 2x + 2) Bài t p: Phân tích đa th c thành nhân t a) P(x) = x4 + x3 – 2x2 – 6x – b) P(x) = 2x3 – 5x2 + 8x – c) P(x) = x3 + 3x – 4.2) S d ng phép chia đa th c đ gi i m t s d ng toán c b n Trung tâm luy n thi EDUFLY Biên so n: ng Thành Trung Page ThuVienDeThi.com Ví d 1: Tính giá tr c a bi u th c P x3n : x3n2 v i n x L i gi i m u: 1 V i n 1, ta có P x3n : x3n2 x3n3n2 x3n3n x2 8 64 Ví d 2: Tìm x, bi t 2ax 3ax : ax bi t a h ng s khác 2 L i gi i m u: Ta có 2ax3 3ax2 : ax2 x 2x 2x x Ví d 3: Tìm giá tr nguyên c a n đ giá tr c a bi u th c x2 x chia h t cho giá tr c a bi u th c x L i gi i m u: Th c hi n phép chia x2 x cho x đ c x2 x x 1 V y đ có phép chia h t 2 x 1 hay x 1 x 1 x 2 x 1 x x 2 x 3 x 1 x c c a 2, t ta có Các giá tr đ u th a mưn u ki n c a V y x 2; x 3; x 0; x Bài 1: Tìm đa th c b chia bi t đa th c chia x2 x , th ng x s d Bài 2: Tìm n đ m i phép chia sau phép chia h t a) xn2 5x3 : x3 b) x4 5x2 x : 3xn c) x4 y3 3x3 y3 x2 yn : xn y2 Bài 3: Tính giá tr c a bi u th c 3x 1 15 x3 10 x2 : x : x v i x 4 2n n4 b) B = x : x v i n x 10 a) A 4.3) D ng tìm d c a phép chia, tìm u ki n c a tham s đ có phép chia h t *Ph ng pháp gi i toán - B c 1: Th c hi n phép chia A cho B đ có đ c d N u d ng tìm u ki n c a tham s đ có phép chia h t th c hi n thêm b c - B c 2: Cho s d b ng 0, tìm tham s Ngồi tr ng h p đa th c chia b c nh t ta nên s d ng cách nh sau: Cách 2: (Áp d ng cho đa th c chia m t nh th c b c nh t) Áp d ng đ nh lí B zu ta có “D c a phép chia đa th c f(x) cho nh th c x a f(a)” V y đ tìm d c a f(x) cho x a ta ch c n tính f(a) Cách 3: (Ch áp d ng cho tốn tìm ph n d c a hai đa th c c th ) Nh n th y “ph n d m t đa th c có b c nh h n đa th c chia” Áp d ng ph ng pháp giá tr riêng t c s d ng nh ng giá tr riêng c th c a x cho đa th c chia b ng đ tính ph n d đ n gi n h n Ví d (minh h a cách 2): Tìm m đ đa th c x2 x m chia h t cho x Trung tâm luy n thi EDUFLY Biên so n: ng Thành Trung Page ThuVienDeThi.com L i gi i m u: Cách 1: Th c hi n phép chia đa th c x2 x m cho đa th c x đ c 4x2 6x m x 3 4x 6 m 18 V y đ phép chia phép chia h t m 18 m 18 Cách 2: Áp d ng đ nh lí B zu ta có d c a phép chia th c x2 x m cho đa th c x phép chia phép chia h t m 18 m 18 f (3) m 18; Ví d (minh h a cách 3): Tìm d c a đa th c x27 x9 x3 x cho x2 B c c a đa th c chia suy b c c a ph n d có d ng ax b N u g i th ng c a phép chia B(x) Ta có: x27 x9 x3 x B( x) x2 1 ax b (1) Ch n giá tr riêng c a x cho x2 x 1 - V i x (1) a b (3) - V i x 1 4 a b (4) T (3) (4) suy a 4; b V y d c a phép chia 4x Bài 1: Tìm m cho đa th c x4 3x3 x2 x m chia h t cho đa th c x2 x Bài 2: Tìm x đ giá tr c a đa th c f ( x) x27 x20 x chia h t cho g ( x) x Bài 3: Tìm d c a phép chia đa th c f ( x) x27 x12 x cho x2 Bài 4: a th c f(x) chia cho x + d 4, chia cho x2 + d 2x + Tìm s d chia f(x) cho (x + 1)(x2 + 1) 4.4) Tìm đa th c th a mãn u ki n 4.4.1) Tìm h s cịn l i c a đa th c Bài 1: Tìm a cho đa th c g ( x) x2 x a chia h t cho x Bài 2: Tìm a, b cho đa th c f ( x) ax4 ax b chia h t cho x2 Bài 3: Tìm a, b cho đa th c h( x) x4 x3 3x2 ax b chia cho đa th c x2 x d 2x Bài 4: Tìm m cho đa th c f ( x, y, z) x3 y3 z3 mxyz chia h t cho x y z Bài 5: Tìm d phép chia x + x3 + x9 + x 27 + x81 + x243 cho x2 Bài 6: Ch ng minh( x2 + x 1)10 + (x2 x 1)10 chia h t cho x 4.4.2) Tìm đa th c Bài 1: Tìm đa th c f ( x) , cho f ( x) bi t f ( x) chia x2 x đ c th ng x d x Bài 2: Tìm đa th c f ( x) , bi t f ( x) chia x d 7, chia x d 5, chia cho x 3 x 2 đ th ng 3x cịn d Bài 3: Tìm đa th c f ( x) , bi t f ( x) chia x d 9, chia x d chia cho x2 x 12 đ th ng x2 d Bài 4: Tìm đa th c b c f ( x) bi t f 0 19 ; f 1 85 ; f 2 1985 Trung tâm luy n thi EDUFLY Biên so n: ng Thành Trung c c Page ThuVienDeThi.com ... 18 V y đ phép chia phép chia h t m 18 m 18 Cách 2: Áp d ng đ nh lí B zu ta có d c a phép chia th c x2 x m cho đa th c x phép chia phép chia h t m 18 m 18 f (3) m 18; ... x 3.2) Chia b ng cách phân tích đa th c thành nhân t (Ch áp d ng phép chia đa th c phép chia h t) - C s c a cách làm d a vào kh ng đ nh sau i u ki n c n đ đ đa th c A chia h t cho đa th c B... ng tìm d c a phép chia, tìm u ki n c a tham s đ có phép chia h t *Ph ng pháp gi i toán - B c 1: Th c hi n phép chia A cho B đ có đ c d N u d ng tìm u ki n c a tham s đ có phép chia h t th c