SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẢNG NINH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP NĂM HỌC 2012 – 2013 ĐỀ THI CHÍNH THỨC MƠN: TỐN (Bảng A) Ngày thi: 20/3/2013 Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Họ tên, chữ ký giám thị số 1: (Đề thi có 01 trang) Bài (4,5 điểm) a) Chứng minh đẳng thức: 3 −1 = 32 34 − + 9 x (2013 y − 2012) = b) Giải hệ phương trình : x( y + 2012) = 2013 Bài (3,5 điểm) Cho hàm số bậc y = mx + m - (*) (với m tham số) a) Tìm giá trị m để đồ thị hàm số (*) tạo với trục tọa độ Oxy tam giác có diện tích b) Chứng minh đồ thị hàm số (*) qua điểm cố định với giá trị m Bài (4,0 điểm) Cho x, y, z ba số thực dương thoả mãn xyz = 1 1 + + Tìm giá trị lớn biểu thức A = 3 x + y + y + z + z + x3 + Bài (6,0 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn tâm O Gọi I điểm cung nhỏ AB (I không trùng với A B) Gọi M, N, P theo thứ tự hình chiếu điểm I đường thẳng BC, AC, AB a) Chứng minh ba điểm M, N, P thẳng hàng b) Xác định vị trí điểm I để đoạn thẳng MN có độ dài lớn Bài (2,0 điểm) Giải phương trình sau: (x+3) (4 − x)(12 + x) + x = 28 Hết Họ tên thí sinh: Số báo danh: ThuVienDeThi.com SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẢNG NINH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP NĂM HỌC 2012 – 2013 ĐỀ THI CHÍNH THỨC Họ tên, chữ ký giám thị số 1: MƠN: TỐN (Bảng B) Ngày thi: 20/3/2013 Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) (Đề thi có 01 trang) Câu (4,0 điểm) ( ) x x −1 x x +1 x − x +1 − : Cho biểu thức P = x −1 x+ x x− x với x >0 ; x ≠ a) Rút gọn biểu thức P b) Tìm x nguyên để P nhận giá trị nguyên Câu (4,0 điểm) a + b + c = Cho ba số thực a, b, c thỏa mãn đồng thời: 2 a + b + c = 12 Tính giá trị biểu thức P = (a - 3) 2013 + (b - 3) 2013 + (c - 3) 2013 Câu (4,0 điểm) Giải phương trình: 2( x − x) + x − x − − 13 = Câu (6,0 điểm) Cho đường tròn (O) BC dây cung khơng qua tâm O Điểm A nằm cung lớn BC đường tròn (O) cho điểm O nằm tam giác ABC (A ≠ B; C) Các đường cao AD, BE, CF cắt H a) Chứng minh tứ giác BFEC nội tiếp b) Đường cao AD cắt đường tròn (O) I Chứng minh I đối xứng với H qua BC c) Gọi M trung điểm BC Chứng minh AH = 2OM Câu (2,0 điểm) 1 + + ≥ Cho ba số thực dương x, y, z thỏa mãn 1+ x 1+ y 1+ z Tìm giá trị lớn biểu thức P = xyz -Hết Họ tên thí sinh :…………………………………………… Số báo danh :……… ThuVienDeThi.com `SỞ GD&ĐT QUẢNG NINH HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP NĂM HỌC 2012 – 2013 ĐỀ THI CHÍNH THỨC Mơn: TỐN (BẢNG A) (Hướng dẫn chấm có 04 trang) Bài Sơ lược giải Điểm Đặt = a ⇔ = a 3 Đẳng thức cần chứng minh tương đương với: a − = Câu a 2,5 điểm 1− a + a2 ⇔ 9(a − 1) = a − a + ⇔ (a − a + 1) = 9(a − 1) 2 0,5 0,5 Biến đổi vế trái: (a − a + 1)3 = (a − a + 1) (a − a + 1) = 3(a − 1)(a − a + 1) = 3(a − 1)(a + 1)(a − a + 1) = 3(a − 1)(a + 1) = 3(a − 1)(2 + 1) = 9(a − 1) 1,5 Vậy đẳng thức chứng minh ta thấy x = không nghiệm hệ phương trình tương đương với: Bài 4,5đ Câu b 2,0 điểm 2013 y − 2012 = x (*) y + 2012 = 2013 x t − 2013 y + 2012 = Đặt: = t , hệ (*) ⇒ ⇔ t − 2013 y = y − 2013t x y − 2013t + 2012 = y = t ⇔ (t − y )(t + y + 2013) = ⇒ y = −t − 2013 * Trường hợp y = t ⇒ t − 2013t + 2012 = 0, Giải PT : t1 = 1; t2 = 2012 * Trường hợp y = −t − 2013 ⇒ t + 2013t + 20132 + 2012 = , PT vô nghiệm Câu a 2,0 điểm Bài 3,5đ Vậy hệ có nghiêm ( ( x1 = 1; y1 = 1); ( x2 = ; y2 = 2012) 2012 Vì (*) hàm số bậc nên m ≠ (1) 0,5 0,5 0,5 0,5 0,25 Điều kiện để đồ thị (*) tạo với trục tọa độ Oxy tam (2) giác m ≠ Gọi A giao điểm đường thẳng (*) với trục tung 0,25 ⇒ A(0; m-1) nên độ dài OA = | m - 1| 0,25 Gọi B giao điểm đường thẳng (*) với trục hoành ⇒ B( 1− m 1− m ; 0) nên độ dài OB = | | m m ThuVienDeThi.com 0,25 SABC = ⇔ OA.OB = ⇔ OA.OB = 0,25 ⇔ (m - 1) = 4|m| *Với m > m2 - 2m + = 4m 0,25 ⇔ m - 6m + = ⇔ m1 = – 2 ; m2 = + 2 *Với m < m2 - 2m + = - 4m ⇔ m + 2m +1 = ⇔ m = -1 Vậy m ∈ { -1; - 2 ; + 2 } thỏa mãn điều kiện (1) (2) 0,25 0,25 Câu b 1,5 Điểm Bài 4đ điểm Gọi M(x0; y0) điểm cố định thuộc đồ thị (*) khi: y0 = mx0 + m – ∀m ∈R ⇔ (x0 + 1)m – (y0 + 1) = ∀m ∈ R x0 + = x0 = −1 Vậy đồ thị (*) qua điểm ⇔ ⇔ y0 + = y0 = −1 cố định M(-1; -1) ∀m ∈ R Ta có (x - y)2 ≥ với ∀ x, y ∈ R ⇔ x2 - xy + y2 ≥ xy Mà x; y > nên x + y > Mà x3 + y3 = (x + y)(x2 - xy + y2 ) ≥ (x + y)xy 3 3 ⇒ x + y +1 = x + y + xyz ≥ (x + y)xy + xyz 3 ⇒ x + y +1 ≥ xy(x + y + z) > Tương tự chứng minh được:y3 + z3 +1 ≥ yz(x + y + z) > z3 + x3 +1 ≥ zx(x + y + z) > 1 + + xy(x + y + z) yz(x + y + z) xz(x + y + z) x+y+z = ⇔ A≤ ⇔ A≤1 xyz(x + y + z) xyz ⇒ A≤ Vậy giá trị lớn A x = y = z = Từ giả thiết ta có: ∠IPA + ∠INA = 180 ⇒ tứ giác IPAN nội tiếp (1) ⇒ ∠IPN = ∠IAN ( chắn cung IN) Lại có ∠IPB = ∠IMB = 90 ⇒ tứ giác IPMB tứ giác nội tiếp (2) ⇒ ∠MPI + ∠IBM = 180 Vì I ∈ (O) ⇒ ∠ CAI + ∠IBM = 180 (3) Từ (2) (3) ⇒ ∠MPI = ∠CAI (4) Từ (4) (1) ⇒ ∠MPI +∠IPN = ∠CAI + ∠IAN = 1800 Suy M, P, N thẳng hàng Tứ giác IPMB tứ giác nội tiếp nên ∠IBA = ∠IMN ( chắn cung IP) (5) 0,75 0,75 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 Bài 6đ Câu a điểm Câu b điểm ThuVienDeThi.com 0,75 0,75 0,5 0,5 0,5 0,5 Tứ giác INAP tứ giác nội tiếp nên ∠INM = ∠IAB ( chắn cung IP) (6) Từ (5) (6) ⇒ tam giác IMN đồng dạng với tam giác IBA MN IM IN = = ≤ ⇒ MN ≤ AB BA IB IA M ≡ B Dấu “ =’’xảy ⇔ ⇔ ∠IAC = ∠IBC = 90 N ≡ A ⇒ ⇔ CI đường kính (O) Vậy MN lớn AB ⇔ I đối xứng với C qua O Bài 2đ điểm (x+3) (4 − x)(12 + x) + x = 28 (*) Điều kiện xác định: - 12 ≤ x ≤ Đặt x + = u; (4 − x)(12 + x) = v 2 2 ⇒ u + v = x + 6x + + 48 - 8x – x = 57 - 2x 2 ⇒ u + v - = 2(28 - x) (1) Theo đề ta có uv = 28 - x (2) 2 Từ (1) (2) ta có u + v - = 2uv ⇔ (u - v)2 = u − v = ⇔ ⇔ u − v = −1 u = v + u = v − i) Với u = v +1 ⇒ (4 − x)(12 + x) = x + (điều kiện: x ≥ −2 ) Giải phương trình x = - + 31 ( thỏa mãn) ii) Với u = v - ⇒ (4 − x)(12 + x) = x + (điều kiện: x ≥ −4 ) Giải phương trình x = - + ( thỏa mãn) => S = {-4 +4 ; -3 + 31 } ThuVienDeThi.com 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 0,25 0,25 n i A p o C m B Hình vẽ Các lưu ý chấm: Hướng dẫn chấm trình bày sơ lược cách giải Bài làm học sinh tiết, lập luận chặt chẽ, tính tốn xác điểm tối đa Các cách giải khác cho điểm Tổ chấm thống cho điểm thành phần câu không vượt số điểm câu phần Bài khơng vẽ hình khơng cho điểm Bài câu b tìm vị trí điểm I khơng chứng minh khơng cho điểm Mọi vấn đề phát sinh trình chấm phải trao đổi tổ chấm cho điểm theo thống tổ Điểm tồn tổng số điểm chấm Khơng làm tròn Hết ThuVienDeThi.com HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP NĂM HỌC 2012 – 2013 `SỞ GD&ĐT QUẢNG NINH ĐỀ THI CHÍNH THỨC Mơn: TỐN (BẢNG B) (Hướng dẫn chấm có 03 trang) Câu Cho điểm Tóm tắt lời giải ( x − 1)( x + x + 1) ( x + 1)( x − x + 1) : a, P = − 0,5 x + x + x − x + 2( x − 1) : = − 0,5 x ( x − 1) x = x x +1 x + x +1− x + x −1 x +1 x 2( x − 1) x +1 = 2( x − 1) Câu (4điểm ) b, P = x +1 = 1+ x −1 = x ( x + 1) 2( x − 1) ( )( ) − + x x x x 0,5 x +1 x −1 0,5 x −1 0,5 Để P nhận giá trị nguyên x − ∈ Ư(2) * x −1 = ⇒ x = ⇒ x = * x −1 = ⇒ x = ⇒ x = * x − = −1 ⇒ x = ⇒ x = (loại) * x − = −2 ⇒ x = −1 (loại) Vậy x nhận giá trị nguyên ; P nhận giá trị nguyên 3; 4a + 4b + 4c = 24 a + b + c = ⇔ 2 2 a + b + c = 12 a + b + c = 12 Từ hai phương trình ta suy ra: a + b + c − 4a − 4b − 4c + 12 = ⇔ (a − 2)2 + (b − 2) + (c − 2) = (a − 2) ≥ ; (b − 2) ≥ ; (c − 2) ≥ với Câu số thực a, b, c ( 4điểm) (a − 2) = (a − 2) = a = ⇔ (b − 2) = ⇔ (b − 2) = ⇔ b = (c − 2) = (c − 2) = c = Vậy P = (a − 3) 2013 + (b − 3)2013 + (c − 3) 2013 = (−1) 2013 + (−1)2013 + (−1)2013 = −3 Câu (4điểm) 2( x − x) + x − x − − 13 = ⇔ 2( x − x − 5) + x − x − − = ThuVienDeThi.com 0,25 0,5 0,5 0,25 1,0 0,75 1,0 0,75 0,5 1,0 Điều kiện x − x − ≥ ⇔ x ≤ −1 x ≥ 0,25 (*) 0,75 Đặt : t = x − x − ; ( t ≥ 0) ⇔ t = x − x − Phương trình cho trở thành: 2t + t − = ⇔ (t − 1)(2t + 3) = ⇔ t = t = - (loại) Với t = ta có : x − x − = ⇔ x2 − x − = 1,0 0,75 ⇔ x = ± 10 Vậy phương trình có nghiệm x = ± 10 ( thỏa mãn điều kiện (*)) 0,25 a, Có∠BFC=900 (vì CF đường cao tam giác ABC) ∠BEC = 900 (vì BE đường cao tam giác ABC) 1,0 Như từ hai đỉnh F E nhìn cạnh BC góc vng Suy hai điểm E F nằm đường trịn đường kính BC 0,75 Vậy tứ giác BFEC nội tiếp 0,25 b, Tứ giác ABDE nội tiếp có∠BDA = ∠ BEA = 900 ⇒ ∠DBE = ∠DAE (hai góc nội tiếp chắn cung DE) hay (1) Câu ∠CBE=∠IAC ∠ IBC=∠ IAC ( góc nội tiếp chắn cung IC) (2) (6 điểm) Từ (1) (2) ⇒ ∠CBE = ∠IBC ⇒ BC tia phân giác góc IBH Ta lại có BC ⊥ HD nên tam giác IBH cân B Suy BC trung trực HI Vậy I H đối xứng qua BC c, Kẻ đường kính AK suy : KB // CH ( vng góc với AB ) KC//BH ( vng góc với AC ) ⇒ tứ giác BHCK hình bình hành M giao điểm hai đường chéo ⇒ M trung điểm HK ⇒ OM đường trung bình tam giác AHK ⇒ AH = 2OM ( đpcm) 1 y z yz ) + (1 − )= ≥ (1 − + ≥2 1+ x 1+ y + z) + y + z (1 + y )(1 + z ) Câu ≥2 (2 điểm) Tương tự : (1) zx (1 + x)(1 + z ) (2) xy ≥2 1+ z (1 + x)(1 + y ) (3) 1+ y 1,0 1,0 1,0 0,5 0,5 0,75 0,5 ThuVienDeThi.com Nhân ba bất đẳng thức chiều (1), (2), (3) với ta xyz ≤ 0,5 Suy giá trị lớn P = 1 x = y = z = 0,25 A E F O H C B M D K I Hình vẽ Các ý chấm Hướng dẫn chấm trình bày sơ lược cách cách giải Bài làm học sinh tiết, lập luận chặt chẽ, tính tốn xác điểm tối đa Các cách giải khác cho điểm Tổ chấm trao đổi thống điểm chi tiết không vượt số điểm dành cho câu phần Với khơng cho điểm khơng có hình vẽ.Có thể chia nhỏ điểm thành phần khơng 0,25 điểm phải thống tổ chấm ………………… Hết ……………… ThuVienDeThi.com ... Họ tên thí sinh :…………………………………………… Số báo danh :……… ThuVienDeThi.com `SỞ GD& ĐT QUẢNG NINH HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP NĂM HỌC 2012 – 2013 ĐỀ THI CHÍNH THỨC Mơn:...SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẢNG NINH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP NĂM HỌC 2012 – 2013 ĐỀ THI CHÍNH THỨC Họ tên, chữ ký giám thị số 1: MƠN: TỐN (Bảng B) Ngày thi: 20/3/2013... đề phát sinh trình chấm phải trao đổi tổ chấm cho điểm theo thống tổ Điểm toàn tổng số điểm chấm Khơng làm trịn Hết ThuVienDeThi.com HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP NĂM