Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 9 năm 2020-2021 - Sở GD&ĐT Thị xã Xoài Nhơn

Nhằm giúp các bạn làm tốt các bài tập, đồng thời các bạn sẽ không bị bỡ ngỡ với các dạng bài tập chưa từng gặp, hãy tham khảo Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 9 năm 2020-2021 - Sở GD&ĐT Thị xã Xoài Nhơn dưới đây để có thêm tài liệu ôn thi cho kì thi chọn HSG cấp huyện sắp tới. Chúc các bạn thi tốt!

: 0905.884.951 – 0929.484.951 HSG – Tuyển chọn đề thi 2020 – 2021 PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THỊ XÃ HỒI NHƠN Đề thức ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP Năm học: 2020 – 2021 Môn: TOÁN – Ngày thi: 04/12/2020 Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề) Bài (4.5 điểm) Rút gọn biểu thức: a) A    29 12 b) B  70  4901  70  4901 1 1 c) C       2 3 100 99  99 100 Bài (4.5 điểm) a2  b2 a) Cho a , b   Tính giá trị biểu thức: A  , biết A có giá trị nguyên ab b) Cho ba số nguyên a , b , c M  a  b b  c c  a   abc Chứng minh rằng: * " Nếu a  b  c   M  " c) Tìm số abcd biết abcd  abc  bda  650 Bài (4.0 điểm) a) Giải phương trình: x  y   x  xy b) Cho hai số dương x , y thỏa mãn: x  y  Tìm giá trị nhỏ biểu thức:  1  1 A   x     y    x   y  Bài (3.0 điểm) Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB Gọi I điểm nửa đường tròn tâm O ( I khác A B ) Vẽ đường tròn tâm I tiếp xúc với AB H Từ A B vẽ hai tiếp tuyến với đường tròn tâm I , tiếp xúc với đường tròn tâm I C D a) Chứng minh C , I , D thẳng hàng CD b) Chứng minh AC BD  Bài (4.0 điểm) a) Cho tam giác ABC có đường phân giác AD ( D thuộc BC ) cho BD  a CD  b (với a  b ) Tiếp tuyến A đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC cắt tia BC M Tính MA theo a b b) Cho nửa đường tròn tâm O , đường kính AB  R M điểm thuộc nửa đường tròn (khác A B ) Tiếp tuyến O  M cắt tiếp tuyến A B O  điểm C D Tìm giá trị nhỏ tổng diện tích hai tam giác ACM BDM  HẾT  GV: Lê Hồng Quốc " Cần cù bù thông minh " Trang : 0905.884.951 – 0929.484.951 HSG – Tuyển chọn đề thi 2020 – 2021 ĐÁP ÁN THAM KHẢO – HSG TỐN THỊ XÃ HỒI NHƠN – 2021 Bài (4.5 điểm) Rút gọn biểu thức: a) A    29 12 b) B  70  4901  70  4901 1 1 c) C       2 3 100 99  99 100 a) Ta có: A     29 12  5   1   2  3  3   32   1    b) Ta có: B  140  3 70  4901 70  4901 70  4901  70  4901   B  3B 140   B 125  B 15    B  5 B  5B  28  B   B       87  B  5B  28   B     v« nghiÖm    2  Vậy B  1 n 1  n 1 c) Ta có:     n n 1 n n 1 n  1 n  n n  n n 1 n  n 1  Áp dụng ta được: C   1 1 1 1 1            2 3 98 99 99 100 10 Bài (4.5 điểm) a2  b2 , biết A có giá trị nguyên ab b) Cho ba số nguyên a , b , c M  a  b b  c c  a   abc Chứng minh rằng: a) Cho a , b   * Tính giá trị biểu thức: A  " Nếu a  b  c   M  " c) Tìm số abcd biết abcd  abc  bda  650 a  d m a) Đặt d ­cln a , b  , suy ra:  ; với m , n   m , n , d   * b  d n d m  d n m  n  d m.n m.n Vì A có giá trị ngun nên m  n  m  n  m m  n  m  n m , n  , mà  m  n  m.n       m  n  n  m  n n  m  2 m n 2m Vậy A   2 m.n m b) Ta có: M  a  b b  c c  a   abc Khi A   a  b  c  c ab  bc  ca  c   abc GV: Lê Hồng Quốc " Cần cù bù thông minh " Trang : 0905.884.951 – 0929.484.951 HSG – Tuyển chọn đề thi 2020 – 2021  a  b  c ab  bc  ca   a  b  c  c  ab  bc  ca  c  c  abc  a  b  c ab  bc  ca   2abc Vì a  b  c   nên ba số a , b , c phải có số chẵn   2abc  Vậy M  c) Vì abc  bda  650 mà 650 số tròn chục nên c  a Suy ab  bd  65  10a  b 10b  d  65  10a  65  9b  d  74 (do b  ) Lại có 10a  90   a  8; b   Với a   9b  d  15    Khi abcd  8186  Do trường hợp loại d  b   Với a   9b  d  15    Khi abcd  297  Do trường hợp thỏa d  Vậy số cần tìm là: 297 Bài (4.0 điểm) a) Giải phương trình: x  y   x  xy b) Cho hai số dương x , y thỏa mãn: x  y  Tìm giá trị nhỏ biểu thức:    1  A   x     y    x   y  a) Điều kiện xy   Trường hợp 1: x  , ta phương trình: y    y    1 Do đó, trường hợp phương trình có nghiệm là:  x ; y   0 ;   9  3  Trường hợp 2: y  , ta phương trình: x   x  2 x     (vô nghiệm)  4 Do đó, trường hợp phương trình vơ nghiệm  Trường hợp 3: x  , y  Khi  x  y   x  xy  x  x   y  xy  x   2 x 1  y  x  0 2 x 12   2 x 1  1 Vì      x  y   y  x  3 y  x  18     1  Do đó, trường hợp phương trình có nghiệm là:  x ; y    ;   18   Trường hợp 4: x  , y  Khi  x  y   x  xy  x  x   y  xy  x   2 x 1   y  x  0 2 x 12   2 x 1  Vì  hệ vô nghiệm      y  x  3  y  x    Do đó, trường hợp phương trình vơ nghiệm 1   1  Vậy nghiệm phương trình là:  x ; y    ; , 0 ;   18   9  GV: Lê Hồng Quốc  " Cần cù bù thông minh " Trang : 0905.884.951 – 0929.484.951 HSG – Tuyển chọn đề thi 2020 – 2021 b) Với x , y dương x  y  , ta có: P  x  y  x  y  Ta có: x  y  2 x  y 1   x  y   Lại có:   x  y   xy , suy  1      x  y .1  2    x y x y  1    2  16 xy x y 25 Do P  1  16   , đẳng thức xảy  x  y  2 25  Vậy Pmin  , xảy x  y  2 Bài (3.0 điểm) Cho nửa đường trịn tâm O đường kính AB Gọi I điểm nửa đường tròn tâm O ( I khác A B ) Vẽ đường tròn tâm I tiếp xúc với AB H Từ A B vẽ hai tiếp tuyến với đường tròn tâm I , tiếp xúc với đường tròn tâm I C D a) Chứng minh C , I , D thẳng hàng b) Chứng minh AC BD  CD a)  Vì BH , BD tiếp tuyến đường tròn  I  nên IB   I  I tia phân giác HID  Vì AC , AH tiếp tuyến đường tròn  I  nên IA   I  I tia phân giác CIH  Vì AIB có AB đường kính đường trịn O  I   90  I  I  90 nằm đường tròn O    AIB Do I1  I2  I3  I4  180   C , I , D thẳng hàng b)  Tam giác AIB vuông I có IH đường cao nên IH  HA.HB  Vì C , I , D thẳng hàng mà I tâm đường tròn nên CD đường kính  IH  CD  Vì BH , BD tiếp tuyến đường trịn  I  nên HB  BD  Vì AC , AH tiếp tuyến đường tròn  I  nên HA  AC CD  CD  AC BD  AC BD   Do IH  HA.HB      2 Bài (4.0 điểm) a) Cho tam giác ABC có đường phân giác AD ( D thuộc BC ) cho BD  a CD  b (với a  b ) Tiếp tuyến A đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC cắt tia BC M Tính MA theo a b b) Cho nửa đường tròn tâm O , đường kính AB  R M điểm thuộc nửa đường tròn (khác A B ) Tiếp tuyến O  M cắt tiếp tuyến A B O  điểm C D Tìm giá trị nhỏ tổng diện tích hai tam giác ACM BDM GV: Lê Hồng Quốc " Cần cù bù thông minh " Trang : 0905.884.951 – 0929.484.951 HSG – Tuyển chọn đề thi 2020 – 2021  góc tạo tia tiếp tuyến dây cung a)  Ta có: MAC  góc nội tiếp chắn cung  MAC   ABC  ABC AC DC b    Vì AD đường phân giác ABC  AB DB a  Xét MAC MBA , ta có:   ABC  (chứng minh trên) MAC  chung AMB Do MAC  MBA (g - g) MA MC AC b MC MC MA b        MB MA AB a MB MA MB a  b  b2 b2 b2 b2   MC  MB   MC  a  b   MC 1    a  b   MC   a  a a a a b MC b a.MC ab    MA   Ta có: MA a b a b b) Ta có: CA  CM DB  DM (tính chất tiếp tuyến cắt nhau)  CD  AC  BD Ta có: CD  CM  MD  Kẻ MH  AB ( H  AB ), MH  MO  R Suy Tứ ABDC hình thang vuông nên CD  AB  R  AC  BD .AB CD.AB AB Ta có: S ABDC     2R2 2 MH AB MO.AB SMAB    R2 2 Do SCAM  SDBM  S ABCD  SMAB  R  R  R Dấu "  " xảy H  O  M điểm cung AB Vậy SCAM  SDBM đạt giá trị nhỏ R M điểm cung AB  CHÚC CÁC EM MAY MẮN  GV: Lê Hồng Quốc " Cần cù bù thông minh " Trang ...: 090 5.884 .95 1 – 092 9.484 .95 1 HSG – Tuyển chọn đề thi 2020 – 2021 ĐÁP ÁN THAM KHẢO – HSG TỐN THỊ XÃ HỒI NHƠN – 2021 Bài (4.5 điểm) Rút gọn biểu thức: a) A    29 12 b) B  70  490 1 ... 70  490 1 1 1 c) C       2 3 100 99  99 100 a) Ta có: A     29 12  5   1   2  3  3   32   1    b) Ta có: B  140  3 70  490 1 70  490 1 70  490 1 ... x ; y    ; , 0 ;   18   9? ??  GV: Lê Hồng Quốc  " Cần cù bù thông minh " Trang : 090 5.884 .95 1 – 092 9.484 .95 1 HSG – Tuyển chọn đề thi 2020 – 2021 b) Với x , y dương x  y 