Đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi Toán lớp 9 Năm học 2013201412701

PHÒNG GIÁO DỤC- ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2013 -2014 Môn: Toán Thời gian làm bài: 150 phút Câu 1: a Tính giá trị biểu thức: A    14  b Tìm x; y thỏa mãn: x  y  xy  x   Câu 2: a Giải phương trình nghiệm nguyên: x  y  x y  85  5  P   x  2012    y  2013   z  2014  b Cho x ; y ; z số nguyên   S  x  y  z  2013 Chứng minh P chia hết cho 30 S chia hết cho 30 Câu 3: Cho ba số x, y, z khác thoả mãn:  x  y  z   1 1   2 2 2 y z xyz x 1 1    0 x y z  Tính giá trị biểu thức: P  y 2009  z 2009  z 2011  x 2011  x 2013  y 2013  Câu 4: a Cho tam giác nhọn ABC có trực tâm H, trọng tâm I; Giao điểm đường trung trực O, trung điểm BC M Tính giá trị biểu thức: IO  OM IH  HA2 · Một đường thẳng d thay đổi cắt tia Ox; Oy M N b Cho góc xOy Biết giá trị biểu thức 1  không thay đổi đường thẳng d thay đổi OM ON Chứng minh đường thẳng d qua điểm cố định Câu 5: a Cho số x; y; z không âm, không đồng thời thỏa mãn: 1    x 1 y  z  Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P  x  y  z  xyz b Cho số dương x, y, z thoả mãn điều kiện: xy + yz + zx = 671 Chứng minh rằng: x y z    x  yz  2013 y  zx  2013 z  xy  2013 x  y  z Hết -Họ tên thí sinh SBD ThuVienDeThi.com HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN TỐN THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2013-2014 Câu 1:(4 điểm) a) 1,5 điểm a) A    14   b) 2,5 điểm   1  BIỂU ĐIỂM 3    1     x  0; y b) ĐKXĐ:   x  0; y  Xét x = Suy y = - ( Thỏa mãn) Xét x  0; y  Biến đổi PT dạng: 0,5 0,75  x y   x 2  0 Lập luận tính x = y = ( Thỏa mãn) KL:  x; y    0; 4   x; y    4;  Câu 2: (4,5 điểm) x  85  44 1,0 0,25 a) 2,25 điểm b) 2,25 điểm a) Phương trình cho tương đương với x  85   y  x  Lập luận 1,5 Mà x  Z Suy x  { 04 ;14 ; 24 ;34 } 0,5 1,0 x  04 y  85 ( loại) x  14 x  24  y    84 ( loại)  y  8  71 ( loại)  y  18   y  20 x  x   y  18      Khi   y  18  2  y  16  x  3 Vậy phương trình có nghiệm ngun  x; y  là: (3 ; 20); (-3 ; 20); (3 ; 16); (-3 ; 16) 4 0,75 b) Đặt a  x  2012; b  y  2013; c  z  2014 Ta có: ( a ; b ; c số nguyên ) P  a  b5  c S  abc 0,5 Xét P  S   a  a    b5  b    c5  c  ThuVienDeThi.com Ta có : với số nguyên m m5  m chia hết cho 30 Thật vậy: m5  m  m(m4 1)  m(m2 1)(m2 1)   m(m 1)(m 1)(m  2)(m  2)  5m(m 1)(m 1) (1) Với số nguyên m m;(m  1);(m  1);(m  2);(m  2) số nguyên liên tiếp nên có thừa số chia hết cho 2; thừa số chia hết cho 3;1 thừa số chia hết cho mà 2; 3; nguyên tố đơi nên tích chúng chia hết cho 2.3.5 Hay m(m  1)(m  1)(m  2)(m  2) chia hết cho 30 (2) Và m;(m  1);(m  1) m;(m  1);(m  1);(m  2);(m  2) số nguyên liên tiếp nên có thừa số chia hết cho 2; thừa số chia hết cho mà 2; nguyên tố nên tích chúng chia hết cho 2.3 Hay 5m(m  1)(m  1) chia hết cho 30 (3) Từ (1); (2); (3) Suy với số nguyên m m5  m chia hết cho 30 1,75 Do P  S   a  a    b5  b    c5  c  chia hết cho 30 với a; b; c số nguyên Câu 3: (2,5 điểm) Từ giả thiết suy ra:  1   1 1 1 1 1 2(x  y  z) 1 4     2 2 2     2         x y z xyz x y z xyz x y z  xy yz zx   x y z  1 1 1    suy    (1) x y z x y z 1 Mặt khác x  y  z  suy  (2) xyz 1 1 Từ (1) (2) suy (3)    x y z xyz Mà 1,0 (3)   x  y  y  z  z  x   Biến đổi  x 2013   y 2013  x 2013  y 2013  x  y  x   y     z  y    y   z   y 2009   z 2009   y 2009  z 2009   z 2011   x 2011  z 2011  x 2011   x  z   z   x   Câu :(5,5 điểm) a) điểm A K H I O C B M 1,0 nên P = 0,5 b) 2,5 điểm a) Ta có MO // HA (cùng vng góc với BC) OK // BH (cùng vng góc với AC) · ·  KOM = BHA (góc có cạnh tương ứng song song) MK // AB (M, K trung điểm BC AC) · ·  HAB = OMK (góc có cạnh tương ứng song song)  ABH đồng dạng với MKO (1,0) MO MK  ( 0,5)   AH AB 2 ThuVienDeThi.com MO MI · ·   OMI = HAI (so le trong) AH AI IO IO OM    AIH đồng dạng với MIO    IH IH HA Xét AIH MIO có IO2 OM IO2  OM      IH HA IH  HA IO  OM  IH  OA2 1,0 0,5 d x M I E O y N D 1   (1) ( a số dương cho trước) Lấy điểm D Oy OM ON a cho OD = a OD < ON Vẽ DI song song với Ox ( I  đoạn MN ) Lấy E Ox b) Giả sử 1,0 cho OE = ID Khi OEID hình bình hành Ta có OE 1 OE OD NI EI NI MI    (2)       => ON OD.OM OD a OM ON NM ON NM MN Từ (1) (2) => OE OE  =>  => OE = OD = a không đổi, mà OM OD.OM OD D  Oy; E  Ox nên D; E cố định Mặt khác O cố định OEID hình bình hành nên I cố định Vậy d qua I cố định (ĐPCM) 0,75 0,75 CÂU (3,5 điểm) Câu a) điểm Câu b) 1,5 điểm a) Trước tiên ta chứng minh bất đẳng thức: Với  a, b, c  R x, y, z > ta có a b2 c2  a  b  c     x y z x yz Dấu “=” xảy  (*) Thật vậy, với a, b  R x, y > ta có a b2  a  b    x y x y a b c   x y z (**)   a y  b x   x  y   xy  a  b    bx  ay   (luôn đúng) 2 áp dụng bất đẳng thức (**) ta có a b2 c2  a  b  c2  a  b  c       x y z x y z x yz 2 Dấu “=” xảy  a b c   x y z 1   1  1    x 1 y  z  x  y  z  x  y  z  => x  y  z   => x  y  z  Áp dụng với a = b= c = ta có  ( Có thể chứng minh BĐT nhờ áp dụng BĐT Bunhicopski ) Áp dụng BĐT Cơsi cho số dương ta có: 8(x  y  z) x  y  z 8.3 x yz 10 P  x yz       x yz 9 x yz 9 x yz 0,75 ThuVienDeThi.com Dấu “=” xảy số x; y; z không âm không đồng thời x  y  z  x  y  z   x  xyz   thỏa mãn :    y  ( Thỏa mãn) z  x   y   z    1   1   x 1 y  z  0,25 10  x = 2; y = 1; z = b) Áp dụng bất đẳng thức (*) ta có Vậy Min P  VT   x y z   x  yz  2013 y  zx  2013 z  xy  2013 x2 y2 z2   x  x  yz  2013 y  y  zx  2013 z  z  xy  2013   x  y  z 0,75 x3  y  z  xyz  2013  x  y  z  (1) Chú ý: xy + yz + zx = 671 nên x  x  yz  2013 = x  x  xy  zx  1342   , y  y  zx  2013  z  z  xy  2013  Chứng minh: x3  y  z  3xyz   x  y  z   x  y  z  xy  yz  zx    x  y  z   x  y  z    xy  yz  zx   (2)   2 x3  y3  z3  3xyz  2013 x  y  z    x  y  z   x  y  z    xy  yz  zx   2013   =  x  y  z   x  y  z   3.671  2013 =  x  y  z  (3) 0,5 Từ (1) (3) ta suy  x  y  z  x  y  z VT   x yz Dấu “=” xảy  x = y = z = 2013 0,25 ( Ghi chú: Mọi cách giải khác hợp lí cho điểm tối đa tương ứng) Hết - ThuVienDeThi.com ...HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN TỐN THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2013-2014 Câu 1:(4 điểm) a) 1,5 điểm a) A    14   b) 2,5 điểm  ... 2013  x 2013  y 2013  x  y  x   y     z  y    y   z   y 20 09   z 20 09   y 20 09  z 20 09   z 2011   x 2011  z 2011  x 2011   x  z   z   x   Câu :(5,5... dương ta có: 8(x  y  z) x  y  z 8.3 x yz 10 P  x yz       x yz 9 x yz 9 x yz 0,75 ThuVienDeThi.com Dấu “=” xảy số x; y; z không âm không đồng thời x  y  z  x  y  z