Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 12 năm 2020-2021 - Sở GD&ĐT Quảng Trị

Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 12 năm 2020-2021 - Sở GD&ĐT Quảng Trị là tài liệu ôn thi học sinh giỏi môn Toán hữu ích, thông qua việc luyện tập với đề thi sẽ giúp các em làm quen với các dạng câu hỏi bài tập và rút kinh nghiệm trong quá trình làm bài thi. Mỗi đề thi kèm theo đáp án và hướng dẫn giải chi tiết giúp các bạn dễ dàng hơn trong việc ôn tập cũng như rèn luyện kỹ năng giải đề.

UBND TỈNH QUẢNG TRỊ SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VĂN HÓA LỚP 12 Khóa ngày 06 tháng 10 năm 2020 ĐỀ CHÍNH THỨC Mơn thi: TỐN Thời gian làm 180 phút (khơng kể thời gian giao đề) Câu (5,0 điểm) Tìm tất các điểm cực đại điểm cực tiểu hàm số y  cos x  sin x Tìm m để phương trình x  x   2m  có nghiệm phân biệt Câu (5,0 điểm) 1010 Chứng minh C2020  2C2020   1010C2020  1010.22019 Tìm tất cặp số thực  x; y  thỏa mãn xy   x  y  20   x  y  xy   Câu (6,0 điểm) Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác cạnh a, tam giác SAB vuông cân S nằm mặt phẳng vng góc với mặt phẳng đáy Tính thể tích khối chóp S ABC khoảng cách hai đường thẳng SB AC theo a Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn ( I ) Gọi M , D, E trung điểm BC , IB, IC; F , G tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD ACE Chứng minh AM vuông góc FG Câu (2,0 điểm) Cho dãy số  xn  xác định x1  xn1   xn , n  Chứng minh dãy số  xn  có giới hạn tìm giới hạn Câu (2,0 điểm) Xét số thực dương a, b, c có tổng Tìm giá trị nhỏ biểu thức 2b  c 2c  a 2a  b 18abc P    a b c ab  bc  ca ========== HẾT ========== Thí sinh khơng sử dụng máy tính cầm tay HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 1.1 Tìm tất các điểm cực đại điểm cực tiểu hàm số y  cos x  sin x   x    k 2  y '   sin x  cos x ; y '     x  3  k 2      3  y ''  sin x  cos x ; y ''    k 2     0; y ''   k 2        3 Vậy điểm cực đại hàm số là: x   k 2 ; Các điểm cực tiểu hàm số là:   k 2 Câu Tìm m để phương trình x  x   2m  có nghiệm phân biệt x x  x   2m   x  x   2m Cách 1: Xét hàm số f ( x)  x  x  có BBT hàm số f ( x) f ( x) Số nghiệm phương trình số giao điểm cửa đồ thị hàm số f ( x) đường thẳng y  m Vậy phương trình cho có nghiệm phân biệt 2m  hay m Cách 2: (HS 10,11) x  x   2m (1) Đặt t  x2 , t  0 PTTT: 2t  4t   2m (2) Xét hàm số f (t )  2t  4t  [0; ) | f (t ) | có đồ thị Biện luận trường hợp số nghiệm (2) (1) Từ kết luận m  Cách 3: Nhận thấy x0 nghiệm (1)  x0 nghiệm pt (1) Do nghiệm xi  số nghiệm phương trình (1) số chẵn Vậy đk cần để pt có nghiệm pt (1) có nghiệm x0  , vào tìm m  Giải phương trình m  kết luận 2 1010 Câu 2.1 Chứng minh C2020  2C2020   1010C2020  1010.22019 Cách 1: Ta có: k Cnk  k n! (n  1)! n  nCnk11 k ! n  k  ! (k  1)!(n  k )! C2020  2020C2019 2C2020  2020C2019 1010 1009 1010C2020  2020C2019 1009 VT  2020  C2019  C2019   C2019  1009 1010 2019  C2019   C2019  C2019   C2019  22019 Mà Cnk  Cnnk nên Xét C2019 1009  C2019  C2019   C2019   22019 1009 Vậy VT  2020  C2019  C2019   C2019   1010.22019 Cách 2: 2020 Xét (1  x)2020  C2020  xC2020  x 2C2020   x 2020C2020 Suy được: 2020 2020(1  x) 2019  C2020  xC2020   2020 x 2019C2020 1010 1011 2020 C2020  2C2020   1010C2020  1011C2020   2020C2020  2020.22019 Ta có: k Cnk  k n! n! n!   (n  k  1)  (n  k  1)Cnn  k 1 k ! n  k  ! (k  1)!(n  k )! (n  k  1)!(k  1)! Do đó: 2020 C2020  2020C2020 2019 2C2020  2019C2020 1010 1011 1010C2020  1011C2020 1010  2C2020   1010C2020  1010.22019 Vậy: C2020 Câu 2.2 Tìm tất cặp số thực  x; y  thỏa mãn xy   x  y  20   x  y  xy   Đặt S  x  y; P  xy ( S  P) Từ giả thiết ta có: S  P  S ( P  8)  20  S  S ( P  8)  P  20  Xét pt theo S   ( P  8)2  4(4 P  20)  P  16 Điều kiện phương trình có nghiệm P  Kết hợp điều kiện giả thiết ta có P  4, P  4 P   S  2 (loại); P  4  S  6 , x, y nghiệm pt X  6X   Vậy cặp  x; y  : 3  13; 3  13 , 3  13; 3  13    Câu 3.1 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác cạnh a, tam giác SAB vuông cân S nằm mặt phẳng vng góc với mặt phẳng đáy Tính thể tích khối chóp S ABC khoảng cách hai đường thẳng SB AC theo a a3 *Thể tích: V  24 *Khoảng cách SB AC : Cách 1: Dựng D đối xứng với C qua I d (SB, AC)  d ( AC,(SBD))  2d (I ,(SBD))  2HK ACBD hình thoi, nên IB, ID, IS đơi vng góc 1 1 28 a 21  2 2  d  2 d SI SB SD 3a Cách 2: *Kẻ đt BD song song với AC d (SB, AC)  d ( AC,(SBD))  2d (I ,(SBD))  2HK a a ; SI  1 IH2.SI 3a2 a 21   IK   d  2 IK IH SI IH  SI 28 HI  Câu 3.2 Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn ( I ) Gọi M , D, E trung điểm BC , IB, IC; F , G tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD ACE Chứng minh AM vng góc FG Gọi H giao điểm thứ MD đường tròn qua A, B, D Gọi K giao điểm thứ ME đường tròn qua A, C , E Ta có: 1 1    AHM  B AKM  C  EDM nên A, H , K thẳng hàng 2   MHK  ) Suy ME.MK  MD.MH , hay Tam giác MDE MKH đồng dạng (Vì MED M nằm trục đẳng phương hai đường tròn tâm F , G Suy AM  FG (Trục đẳng phương vng góc với đường nối tâm) Câu (2,0 điểm) Cho dãy số  xn  xác định x1  xn1   xn , n  Chứng minh dãy số  xn  có giới hạn tìm giới hạn HD:  xn  2, n  Ta có: xn 1  xn  xn  xn1 x1  , x2   , x3    , x3  x1 nên từ (*) ta suy  x2 n1  dãy giảm Cùng với tính bị chặn nên tồn lim x2 n1  a n  Từ x3  x1  x4  x2 Tương tự tồn lim x2 n  b n  Từ hệ thức truy hồi giả thiết, chuyển qua giới hạn ta được: a   b a    b  b   a Do lim x2 n 1  lim x2 n  nên lim xn  n n  n Cách 2: xn1    xn    xn  xn  1  xn  1   q  (0;1) Do  xn  2, n    xn   1  xn1   xn  q  xn1  q   x1  q n lim xn1    lim xn1   lim xn  xn1    xn Cách 3:  xn  2, n    4 Đặt xn  2cos  n ,  n   0;   Ta có 1  ; x1  cos xn1   xn  2cos  n1  2(1  cos  n )  2sin 1    n   2 2 3 n n 1    1   1    n1      1         2  2    n1    n   n 1   n     2cos   n  2     n    xn  2cos        lim xn    2    Câu (2,0 điểm) Xét số thực dương a, b, c có tổng Tìm giá trị nhỏ biểu thức 2b  c 2c  a 2a  b 18abc    P a b c ab  bc  ca 2b  c 2c  a 2a  b 18abc HD: P  1 1 1  a b c ab  bc  ca b3 c3 a3 18abc     3 a b c ab  bc  ca b c a 18 18 1 1 1 1     3       3     a b c a b c 1 1 a b c 1 1 a b c a b c 18 1 1  3     (1) a b c 1 1 a b c 1  (2) Ta có:    a b c abc 1 18 Đặt t     Xét hàm f (t )  3t  [3; ) a b c t Ta có: f (t )  15  f (3) (3) Vậy P  15 đạt đẳng thức (1), (2), (3) xảy b c a a  b  c  1 1     ,hay a  b  c  a b c a  b  c   18 18 1 1 1 1 1 1       2     Cách 2: …       a b c 1 1 a b c a b c  1 a b c a b c   2.18  15 … ========== HẾT ========== ... Từ giả thi? ??t ta có: S  P  S ( P  8)  20  S  S ( P  8)  P  20  Xét pt theo S   ( P  8)2  4(4 P  20)  P  16 Điều kiện phương trình có nghiệm P  Kết hợp điều kiện giả thi? ??t... x2 n1  a n  Từ x3  x1  x4  x2 Tương tự tồn lim x2 n  b n  Từ hệ thức truy hồi giả thi? ??t, chuyển qua giới hạn ta được: a   b a    b  b   a Do lim x2 n 1  lim x2 n... 2cos        lim xn    2    Câu (2,0 điểm) Xét số thực dương a, b, c có tổng Tìm giá trị nhỏ biểu thức 2b  c 2c  a 2a  b 18abc    P a b c ab  bc  ca 2b  c 2c  a 2a  b 18abc