Đang tải... (xem toàn văn)
Mời các bạn học sinh cùng tham khảo và tải về Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 12 năm 2022-2023 có đáp án - Trường THPT Nông Cống 1 được chia sẻ sau đây để luyện tập nâng cao khả năng giải bài tập, tự tin đạt kết quả cao trong kì thi sắp diễn ra. Chúc các em ôn tập và đạt kết quả cao trong kì thi.
SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO THANH HÓA TRƯỜNG THPT NƠNG CỐNG I ĐỀ CHÍNH (Đề thi gồm 08 trang) ĐỀ THI KSCL ĐỘI TUYỂN HSG LẦN NĂM HỌC 2022-2023 MƠN: TỐN HỌC 12 Thời gian làm bài: 90 phút không kể thời gian phát đề (50 câu trắc nghiệm) Họ, tên thí sinh :……………………………………………………… SBD : ………………… Câu 1: Phương trình tan x = có tập nghiệm π π A + k 2π , k ∈ B ∅ C + kπ , k ∈ 3 3 Câu 2: Cấp số nhân ( un ) có cơng bội âm, biết u3 = 12 , u7 = 192 Tìm u10 π D + kπ , k ∈ 6 A u10 = 1536 B u10 = −1536 C u10 = 3072 D u10 = −3072 = DC = Khẳng định sau đúng? Câu 3: Cho tứ diện ABCD có AB = AC = 2, DB B AC ⊥ BD C AB ⊥ ( BCD ) D DC ⊥ ( ABC ) A BC ⊥ AD Câu 4: Hàm số sau không đồng biến khoảng ( −∞; + ∞ ) ? x−2 x −1 Câu 5: Cho hàm số y = f ( x ) xác định, liên tục có bảng biến thiên: A = y x3 + B y= x + C y = D y = x + x − 10 Khẳng định sau đúng? A Hàm số có giá trị cực tiểu −2 giá trị cực đại B Hàm số có giá trị lớn giá trị nhỏ −2 C Hàm số đạt cực đại x = −1 đạt cực tiểu x = D Hàm số có cực trị Câu 6: Tìm giá trị lớn M hàm y =f ( x ) =x − x + đoạn [ 0; 2] A M = B M = Câu 7: Hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên x −2 −∞ y′ − − −1 y −∞ Số tiệm cận đồ thị hàm số y = f ( x ) là: −4 C M = 10 + D M = − +∞ A B C D x x Câu 8: Cho a, b, c số thực dương khác Đồ thị hàm số y = a , y = b , y = c x cho hình bên y = cx y y = bx y = ax O x Chọn khẳng định khẳng định sau: A < c < a < b B c < a < b < C c < < b < a D c < < a < b Câu 9: Cho hình chóp tứ giác S ABCD có cạnh đáy 2a cạnh bên 3a Tính thể tích V khối chóp cho? 4a 7a3 7a3 A V = a B V = C V = D V = sin x + cos x + Câu 10: Giá trị nhỏ m giá trị lớn M hàm số y = sin x + cos x + A m = − ; M = B m = ; M = C m = −2 ; M = D m = −1 ; M = 1 1 Câu 11: Tính giới hạn lim + + + + n ( n + 1) 1.2 2.3 3.4 A B C D Câu 12: Cho khai triển (1 − x ) =a0 + a1 x + a18 x18 Giá trị a3 18 A −52224 B 2448 C 52224 D −2448 Câu 13: Cho hình chóp S ABCD với đáy ABCD hình thang vng A , đáy lớn AD = , đáy nhỏ BC = , SA vng góc với đáy, SA = Gọi M trung điểm AB , ( P ) mặt phẳng qua M vng góc với AB Thiết diện hình chóp S ABCD cắt mặt phẳng ( P ) có diện tích bằng: A 20 B 16 C 30 D 15 Câu 14: Tìm giá trị lớn tham số m để hàm số y= x3 − mx + ( − 2m ) x + m + đồng biến A m = B m = −2 C m = D m = −4 2 Câu 15: Tìm tất giá trị thực tham số m để hàm số y = mx + x + m − x + đạt cực tiểu ( ) x =1 A m = B m = −4 C m = −2 D m = 16 x+m Câu 16: Cho hàm số y = ( m tham số thực) thoả mãn : y + max y = Mệnh đề [1;2] [1;2] x +1 đúng? B < m ≤ C m ≤ D m > A < m ≤ Câu 17: Khối đa diện có mười hai mặt có số đỉnh, số cạnh, số mặt là: A 30 , 20 , 12 B 20 , 12 , 30 C 12 , 30 , 20 D 20 , 30 , 12 Câu 18: Gọi l , h, r độ dài đường sinh, chiều cao bán kính mặt đáy hình nón Diện tích xung quanh S xq hình nón là: A S xq = π r h B S xq = π rl C S xq = π rh Câu 19: Cho mặt cầu có diện tích 16π a Khi đó, bán kính mặt cầu D S xq = 2π rl A 2a B 2a C 2a D a 2 Câu 20: Trong hệ thập phân, số 7100000 có chữ số? B 194591 C 194592 D 84509 A 84510 Câu 21: Số mặt phẳng đối xứng khối tứ diện A B C D AB 2= AC 2a , BC = a Câu 22: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành = V Tam giác SAD vuông cân S , hai mặt phẳng ( SAD ) ( ABCD ) vng góc Tính tỉ số biết a V thể tích khối chóp S ABCD 1 A B C D Câu 23: Cắt khối trụ mặt phẳng qua trục ta thiết diện hình chữ nhật ABCD có cạnh = 60° Tính thể tích khối trụ AB cạnh CD nằm hai đáy khối trụ Biết BD = a , DAC 3 3 3 A B C D πa πa πa πa 16 16 32 48 Câu 24: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , cạnh bên hợp với đáy góc 60° Gọi ( S ) mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABCD Tính thể tích V khối cầu ( S ) A V = 6π a 27 B V = 6π a Câu 25: Tìm nguyên hàm hàm số f = ( x) A dx ( x − 1) ∫ f ( x )= C ∫ f ( x ) dx =− C V = 3π a 27 D V = 6π a x − x − + C x − + C B dx ( x − 1) ∫ f ( x )= D dx ∫ f ( x )= x − + C x − + C Câu 26: Một hộp đựng 10 thẻ đánh số từ đến 10 Phải rút k thẻ để xác suất có 13 Giá trị k thẻ ghi số chia hết cho lớn 15 A B C D Câu 27: Việt Nam chơi cờ Trong ván cờ, xác suất Việt thắng Nam 0,3 Nam thắng Việt 0, Hai bạn dừng chơi có người thắng, người thua Tính xác suất để hai bạn dừng chơi sau hai ván cờ A 0,12 B 0, C 0,9 D 0, 21 = BC = a, AD = 2a Câu 28: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thang vng A B, AB Biết SA = 3a SA ⊥ ( ABCD) Gọi H hình chiếu vng góc A ( SBC ) Tính khoảng cách d từ H đến mặt phẳng ( SCD) A d = 15a 60 B d = 30a 40 C d = 10a 20 D d = Câu 29: Cho hàm số y = f ( x ) = ax3 + bx + cx + d có đồ thị hình bên Đặt g= ( x) f Chọn khẳng định khẳng định sau 50a 80 ( ) x2 + x + y O x A g ( x ) nghịch biến khoảng ( 0; ) B g ( x ) đồng biến khoảng ( −1;0 ) −1 C g ( x ) nghịch biến khoảng ;0 D g ( x ) đồng biến khoảng ( −∞; −1) Câu 30: Họ nguyên hàm hàm số f ( x= ) x + x A x3 + x + C B x + x + C Câu 31: Cho f ( x ) hàm số liên tục thỏa mãn C ∫ x + x +C f ( x ) dx = D x + x + C ∫ f ( 3x ) dx = Tích phân ∫ f ( x )dx A.10 B.2 C.12 Câu 32: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục [ 0;1] , thỏa mãn D.14 ∫ f ( x ) dx = f (1) = Tích phân ∫ xf ′ ( x ) dx có giá trị A − B C D −1 2x −1 có đồ thị ( C ) Gọi M ( x0 ; y0 ) (với x0 > ) điểm thuộc ( C ) , biết 2x − M cắt tiệm cận đứng tiệm cận ngang A B cho Câu 33: Cho hàm số y = tiếp tuyến (C ) S ∆OIB = 8S ∆OIA (trong O gốc tọa độ, I giao điểm hai tiệm cận) Tính giá trị S= x0 + y0 17 23 A S = B S = C S = D S = 4 Câu 34: Cho hàm số y = f ( x ) xác định có đạo hàm thỏa mãn x Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = f ( x ) điểm có f ( x + 1) + f (1 − x ) = hoành độ 6 A = B y = C = D y = y x− − x+ − x− y x− 7 7 7 7 Câu 35: Ngày mùng / 03 / 2015 anh A vay ngân hàng 50 triêu đồng với lãi suất kép 0, 6% / tháng theo thể thức sau: ngày mùng hàng tháng kể từ tháng sau vay, ngân hàng tính số tiền nợ anh số tiền nợ tháng trước cộng với tiền lãi số tiền nợ Sau vay anh A trả nợ sau: ngày mùng hàng tháng kể từ tháng sau vay anh A đến trả ngân hàng triệu đồng Tính số tháng mà anh A trả hết nợ ngân hàng, kể từ tháng sau vay Biết lãi suất khơng đổi suốt q trình vay A 15 tháng B 19 tháng C 16 tháng D 18 tháng Câu 36: Cho f ( x ) = e 1+ x2 + ( x +1)2 Biết f (1) f ( ) f ( 3) f ( 2017 ) = e m n với m , n số tự m tối giản Tính m − n n A m − n = B m − n = C m − n = D m − n = 2018 −1 −2018 Câu 37: Cho khối chóp S ABCD tích đáy ABCD hình bình hành Trên cạnh SC lấy điểm E cho SE = EC Tính thể tích V khối tứ diện SEBD 1 B V = C V = D V = A V = 12 = BC = CD = DA = AC , BD thay đổi Giá trị lớn Câu 38: Xét tứ diện ABCD có cạnh AB thể tích khối tứ diện ABCD 3 A B C D 27 27 9 Câu 39: Hai ly đựng chất lỏng giống hệt nhau, có phần chứa chất lỏng khối nón có chiều cao dm (mơ tả hình vẽ) Ban đầu ly thứ chứa đầy chất lỏng, ly thứ hai để rỗng Người ta chuyển chất lỏng từ ly thứ sang ly thứ hai cho độ cao cột chất lỏng ly thứ 1dm Tính chiều cao h cột chất lỏng ly thứ hai sau chuyển (độ cao cột chất lỏng tính từ đỉnh khối nón đến mặt chất lỏng - lượng chất lỏng coi không hao hụt chuyển Tính gần h với sai số khơng 0,01dm) nhiên B h ≈ 1,89 dm C h ≈ 1,91 dm D h ≈ 1, 41 dm A h ≈ 1, 73 dm Câu 40: Xét bảng vng gồm × ô vuông Người ta điền vào ô vuông hai số −1 cho tổng số hàng tổng số cột Hỏi có cách? A 72 B 90 C 80 D 144 Câu 41: Xét tứ diện OABC có OA , OB , OC đơi vng góc Gọi α , β , γ góc đường thẳng OA , OB , OC với mặt phẳng ( ABC ) (hình vẽ) A O C B + cot α + cot β + cot γ Khi giá trị nhỏ biểu thức M = ( )( )( ) C 48 D 125 m − sin x π Câu 42: Tìm số giá trị nguyên không âm m để hàm số y = nghịch biến 0; cos x 6 A B C D Câu 43: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục có đồ thị hình vẽ A Số khác B 48 g ( x ) = f ( x ) − f ( x ) − là: B C 10 Khi số điểm cực trị hàm số A D 11 Câu 44: Biết đồ thị hàm số y = f ( x) = ax + bx + cx + dx + e , ( a, b, c, d , e ∈ ; a ≠ 0, b ≠ ) cắt trục hoành Ox điểm phân biệt Khi đồ thị hàm số y= g ( x)= ( 4ax + 3bx + 2cx + d ) − ( 6ax + 3bx + c ) ( ax + bx3 + cx + dx + e ) cắt trục hoành Ox điểm? A B Câu 45 Cho hàm số đa thức bậc năm C D y = f ( x ) có đồ thị hình vẽ: ( ) Tìm số nghiệm phương trình f xf ( x= ) − x2 f ( x ) ? C 15 A 13 B 14 D Câu 46: Ba bóng dạng hình cầu có bán kính đơi tiếp xúc tiếp xúc với mặt phẳng ( P ) Mặt cầu ( S ) bán kính tiếp xúc với ba bóng Gọi M điểm (S ) , MH khoảng cách từ M đến mặt phẳng ( P ) Giá trị lớn MH A + 123 B 52 C + 30 D + 69 Câu 47: Cho hàm số f ( x ) liên tục thoả mãn xf ( x3 ) + f ( x − 1= ) e x , ∀x ∈ Khi A ∫ f ( x ) dx −1 bằng: B ( e − 1) C (1 − e ) D 3e Câu 48: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh , SA = SA vuông góc với mặt phẳng đáy ( ABCD ) Gọi M , N hai điểm thay đổi hai cạnh AB , AD cho mặt phẳng ( SMC ) vng góc với mặt phẳng ( SNC ) Tính tổng = T S AMCN đạt giá trị lớn A T = Câu 49: Cho cấp số nhân 2+ C T = 4 thỏa mãn b2 > b1 ≥ hàm số B T = ( bn ) 1 thể tích khối chóp + AN AM 13 f ( x= ) x3 − 3x cho D T = f ( log ( b2 ) ) + =f ( log ( b1 ) ) Giá trị nhỏ n để bn > 5100 A 234 B 229 C 333 D 292 Câu 50: Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vuông cạnh a , SAD tam giác nằm mặt phẳng vng góc với đáy Gọi M , N trung điểm BC CD Tính bán kính R khối cầu ngoại tiếp khối chóp S CMN a 93 a 37 5a a 29 A R = B R = C R = D R = 12 12 HẾT ĐỀ ÔN TẬP ĐỘI DỰ TUYỂN HỌC SINH GIỎI TỈNH Mơn TỐN - THPT Thời gian: 90 phút TRƯỜNG THP NƠNG CỐNG I TỔ TỐN ĐỀ BÀI Câu 1: Phương trình tan x = có tập nghiệm π π B ∅ C + kπ , k ∈ A + k 2π , k ∈ 3 3 Lời giải π π Ta có tan x = ⇔ tan x = tan ⇔ x = + kπ , k ∈ 3 Câu 2: Cấp số nhân ( un ) có cơng bội âm, biết u3 = 12 , u7 = 192 Tìm u10 A u10 = 1536 B u10 = −1536 C u10 = 3072 Lời giải π D + kπ , k ∈ 6 D u10 = −3072 Chọn B Gọi q công bội cấp số nhân đề cho ( q < ) 12 = u1q u1q 192 u= ⇒ =⇒ q = 16 Ta có u q 12 = u1q u7 192 = Mà q < ⇒ q = −2 ⇒ u1 = 12 = q2 Do u10 = u1q = ( −2 ) = −1536 = DC = Khẳng định sau đúng? Câu 3: Cho tứ diện ABCD có AB = AC = 2, DB A BC ⊥ AD B AC ⊥ BD C AB ⊥ ( BCD ) D DC ⊥ ( ABC ) Lời giải Chọn A A B D H C Theo đề ta có: ∆ABC , ∆DBC cân A, D Gọi H trung điểm BC AD ⊂ ( ADH ) AH ⊥ BC ⇒ ⇒ BC ⊥ AD ⇒ DH ⊥ BC BC ⊥ ( ADH ) Câu 4: Hàm số sau không đồng biến khoảng ( −∞; + ∞ ) ? A = y x3 + Chọn C B y= x + C y = Lời giải x−2 x −1 D y = x + x − 10 x−2 có tập xác định D = \ {1} nên hàm số không đồng biến ( −∞; +∞ ) x −1 Câu 5: Cho hàm số y = f ( x ) xác định, liên tục có bảng biến thiên: Vì hàm số y = Khẳng định sau đúng? A Hàm số có giá trị cực tiểu −2 giá trị cực đại B Hàm số có giá trị lớn giá trị nhỏ −2 C Hàm số đạt cực đại x = −1 đạt cực tiểu x = D Hàm số có cực trị Hướng dẫn giải Chọn A Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số có giá trị cực tiểu −2 giá trị cực đại Câu 6: Tìm giá trị lớn M hàm y =f ( x ) =x − x + đoạn [ 0; 2] A M = B M = Chọn D Lời giải D M = C M = 10 x = Ta có: y′ = f ′ ( x ) = x3 − x = x x − f ′ ( x )= ⇔ x = ±1 Với x ∈ ( 0; ) ta chọn nghiệm x = ( ) = M max = f ( x) f ( ) = ; f (1) = ; f ( ) = ⇒ [0;2] Câu 7: Hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên x −2 −∞ y′ − − −1 y B − +∞ −4 −∞ Số tiệm cận đồ thị hàm số y = f ( x ) là: A + Lời giải C D Chọn B Qua bảng biến thiên ta có lim f ( x ) = −1 lim f ( x ) = nên đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận ngang: y = −1 y = x →−∞ x →+∞ Lại có lim− f ( x ) = −∞ nên đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x = −2 x →−2 Vậy số tiệm cận đồ thị hàm số y = f ( x ) Câu 8: Cho a, b, c số thực dương khác Đồ thị hàm số y = a x , y = b x , y = c x cho hình bên y = cx y y = bx y = ax x O Chọn khẳng định khẳng định sau: A < c < a < b B c < a < b < Lời giải Chọn D C c < < b < a D c < < a < b Đồ thị hàm số y = c x xuống lên hàm số y = c x nghịch biến, suy < c < Đồ thị hàm số y = a x y = b x lên hàm số y = a x y = b x đồng biến, suy a > b > Với x = ta thấy b > a Suy c < < a < b Do đáp án D Câu 9: Cho hình chóp tứ giác S ABCD có cạnh đáy 2a cạnh bên 3a Tính thể tích V khối chóp cho? 4a 7a3 7a3 A V = a B V = C V = D V = Lời giải Chọn D O AC ∩ BD , hình chóp S ABCD nên SO ⊥ ( ABCD ) Trong mặt phẳng ABCD , gọi = Đáy hình vng vạnh 2a ⇒ AO = Trong tam giác vng SAO có SO = AC =a 2 SA2 − AO = a 1 4a = SO.S ABCD = a 4a 3 sin x + cos x + Câu 10: Giá trị nhỏ m giá trị lớn M hàm số y = sin x + cos x + A m = − ; M = B m = ; M = C m = −2 ; M = D m = −1 ; M = Lời giải Chọn C sin x + cos x + Ta có y = ⇔ ( y − 1) sin x + ( y − ) cos x =− y ( *) sin x + cos x + 2 2 Phương trình (*) có nghiệm ⇔ ( y − 1) + ( y − ) ≥ (1 − y ) ⇔ y + y − ≤ ⇔ −2 ≤ y ≤ Thể tích V khối chóp = V Vậy m = −2 ; M = Câu 11: C Câu 12: Cho khai triển (1 − x ) =a0 + a1 x + a18 x18 Giá trị a3 18 0, Hai bạn dừng chơi có người thắng, người thua Tính xác suất để hai bạn dừng chơi sau hai ván cờ A 0,12 B 0, C 0,9 D 0, 21 Lời giải Chọn D 0,3 Ván 1: Xác suất Việt Nam hòa − ( 0,3 + 0, ) = Ván 2: Xác suất Việt thắng thắng 0,3 + 0, = 0, Xác suất để hai bạn dừng chơi sau hai ván cờ= là: P 0,3.0, = 0, 21 = BC = a, AD = 2a Câu 28: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thang vng A B, AB Biết SA = 3a SA ⊥ ( ABCD) Gọi H hình chiếu vng góc A ( SBC ) Tính khoảng cách d từ H đến mặt phẳng ( SCD) A d = 15a 60 B d = Chọn B 30a 10a C d = 20 40 Lời giải D d = 50a 80 S K H A B D C I Cách 1: Kẻ AH ⊥ ( SBC ) ⇒ AH ⊥ SB Ta có d = mà SH SH SB SA2 3a = = = = ; SB SB SB 4a HS HS BI d ( A, ( SBC )) d ( B, ( SCD )) = BS BS AI BI = AI 3 SA.SC a 3.a 3a 30 Vậy d = d ( A, ( SCD )) = d ( A, SC ) = = = 2 2 40 8 SA + SC 3a + 2a Cách 2: Dùng phương pháp thể tích: V SH 3VH SCD ; S.HCD = = ⇒ d= dt ( SCD ) VS.BCD SB Tam giác ADI có BC đường trung bình nên 3a 30 3 a 10 a ; dt (SCD ) = SC.CD = VS HCD = VS BCD = SA AB.BC = ⇒ d= 40 2 Câu 29: Cho hàm số y = f ( x ) = ax3 + bx + cx + d có đồ thị hình bên Đặt g= ( x) f Chọn khẳng định khẳng định sau ( ) x2 + x + y O x A g ( x ) nghịch biến khoảng ( 0; ) B g ( x ) đồng biến khoảng ( −1;0 ) −1 C g ( x ) nghịch biến khoảng ;0 D g ( x ) đồng biến khoảng ( −∞; −1) Lời giải Chọn C Hàm số y = f ( x ) = ax3 + bx + cx + d ; f ′ ( x ) = 3ax + 2bx + c , có đồ thị hình vẽ Do x = ⇒ d = ; x = ⇒ 8a + 4b + 2c + d = ; f ′ ( ) = ⇒ 12a + 4b + c = ; f ′ ( ) = ⇒ c = Tìm a = 1; b = −3; c = 0; d = hàm số y =x − x + Ta có g= ( x) f ( ) ( x + x + 2= x2 + x + ) − 3( x + x + 2) + 3 ( x + 1) x + x + − ( x + 1=) ( x + 1) x + x + − 1 ; 2 ⇒ g ′ ( x= ) Bàng xét dấu g ( x ) : x −∞ y −2 − y′ −1/ + +∞ − 7 − 10 +∞ 1 x = − g ′ ( x ) =0 ⇒ x =1 x = −2 + +∞ 4 −1 Vậy g ( x ) nghịch biến khoảng ;0 Câu 30: Câu 31: Câu 32: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục [ 0;1] , thỏa mãn ∫ f ( x ) dx = Tích phân ∫ xf ′ ( x ) dx có giá trị A − B Chọn C Ta có 1 C Lời giải 1 df ( x ) xf ( x ) − ∫ f ( x ) dx ∫ xf ′ ( x ) dx = ∫ x= 0 = f (1) − ∫ f ( x ) dx= − = 0 D −1 f (1) = Câu 33: Có hai tiếp tuyến đồ thị hàm số y = hai tiếp tuyến A − Chọn C TXĐ \ {1} y′ = B 3x − ( C ) qua điểm A ( 9;0 ) Tích hệ số góc x −1 C Lời giải 64 D − 64 −1 ( x − 1) y k ( x − 9) Đường thẳng d qua điểm A ( 9;0 ) với hệ số góc k có phương trình= Đường thẳng d tiếp xúc với đồ thị ( C ) hệ phương trình sau có nghiệm 3x − k ( x − ) (1) x −= −1 =k ( 2) ( x − 1) Thế ( ) vào (1) , ta có −1 3x − = ( x − ) ⇔ ( x − )( x − 1) =9 − x x − ( x − 1)2 x = −1 ⇔ 3x − x − = ⇔ x = 7 Do tích hệ số góc hai tiếp tuyến y′ ( −1)= y′ 3 Câu 34: Cho hàm số y = f ( x) xác định −1 −1 = ( −1 − 1) − 1 64 3 có đạo hàm thỏa mãn x Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = f ( x ) điểm có f ( x + 1) + f (1 − x ) = hoành độ 6 A = B y = C = D y = y x− − x+ − x− y x− 7 7 7 7 Lời giải Chọn B f (1) = 3 Từ f ( x + 1) + f (1 − x ) = x (*), cho x = ta có f (1) + f (1) = 0⇔ f (1) = −1 Đạo hàm hai vế (*) ta f ( x + 1) f ′ ( x + 1) − f (1 − x ) f ′ (1 − x ) = Cho x = ta f (1) f ′ (1) − f (1) f ′ (1) = ⇔ f (1) f ′ (1) − f (1) = (**) Nếu f (1) = (**) vơ lý, f (1) = −1 , (**) trở thành − f ′ (1) [ + 3] = ⇔ f ′ (1) = − 1 Phương trình tiếp tuyến y = − ( x − 1) − ⇔ y = − x− 7 Câu 35: Ngày mùng / 03 / 2015 anh A vay ngân hàng 50 triêu đồng với lãi suất kép 0, 6% / tháng theo thể thức sau: ngày mùng hàng tháng kể từ tháng sau vay, ngân hàng tính số tiền nợ anh số tiền nợ tháng trước cộng với tiền lãi số tiền nợ Sau vay anh A trả nợ sau: ngày mùng hàng tháng kể từ tháng sau vay anh A đến trả ngân hàng triệu đồng Tính số tháng mà anh A trả hết nợ ngân hàng, kể từ tháng sau vay Biết lãi suất khơng đổi suốt q trình vay A 15 tháng B 19 tháng C 16 tháng D 18 tháng Lời giải Chọn D Gọi số tiền vay ban đầu N , lãi suất x , n số tháng phải trả, A số tiền trả vào hàng tháng để sau n tháng hết nợ Ta có Số tiền gốc cuối tháng 1: N + Nx − A= N ( x + 1) − A Cuối tháng 2: N ( x + 1) − A + N ( x + 1) − A x − A= N ( x + 1) − A ( x + 1) + 1 Cuối tháng 3: N ( x + 1) − A ( x + 1) + 1 (1 + x ) − A= N ( x + 1) − A ( x + 1) + ( x + 1) + 1 ………… n n −1 n−2 Cuối tháng n: N ( x + 1) − A ( x + 1) + ( x + 1) + + ( x + 1) + 1 Trả hết nợ sau n tháng, số tiền n n −1 n−2 ⇔ N ( x + 1) − A ( x + 1) + ( x + 1) + + ( x + 1) + 1 = n n −1 n−2 ⇔ N ( x + 1)= A ( x + 1) + ( x + 1) + + ( x + 1) + 1 Đặt y = x + = 1, 006 ta được: 1(1 − y n ) ⇔ N x y n =A y n − N= y A y + y + + y + ⇔ N y = A 1− y 0, n 10 10 log y ⇔ 50 .y = ( y n − 1) ⇔ y n = ⇔ n = ⇒n= 18 100 n ( n −1 ) n−2 Câu 36: Cho f ( x ) = e 1+ x2 + ( n ( x +1)2 ) m Biết f (1) f ( ) f ( 3) f ( 2017 ) = e n với m , n số tự m tối giản Tính m − n n A m − n = B m − n = C m − n = 2018 −1 Lời giải Chọn A nhiên x ( x + 1) + ( x + 1) + x 1 = 1+ + = x ( x + 1)2 x ( x + 1) 1+ x2 + ( x +1)2 f ( x ) e= e = x ( x +1) +1 x ( x +1) (x + x + 1) x ( x + 1) D m − n = −2018 , ∀x > k ( k + 1) + 1 1 =1 + =1 + − Xét dãy số ( uk ) : uk = , ( k ∈ *) k ( k + 1) k ( k + 1) k k +1 1 1 1 1 Ta có u1 =1 + − , u2 =1 + − , u3 =1 + − , …, u2017 = 1+ − 2017 2018 f (1) f ( ) f ( 3) f ( 2017 ) = eu1 +u2 +u3 + +u2017 1 20182 − m u1 + u2 + u3 + + u2017 = 2017 + − = = 2018 2018 n Vậy m − n = −1 Câu 37: Cho khối chóp S ABCD tích đáy ABCD hình bình hành Trên cạnh SC lấy điểm E cho SE = EC Tính thể tích V khối tứ diện SEBD 1 A V = B V = C V = D V = 12 Lời giải Chọn A VS EBD SE.SB.SD SE 2 1 ⇒ VS EBD = VS CBD = = VS ABCD = VS ABCD = = 3 3 VS CBD SC.SB.SD SC = BC = CD = DA = AC , BD thay đổi Giá trị lớn Câu 38: Xét tứ diện ABCD có cạnh AB thể tích khối tứ diện ABCD 3 A B C D 27 27 9 Lời giải Chọn A Ta có Gọi M , N trung điểm BD, AC Đặt = BD 2= x, AC y ( x, y > ) Ta có CM ⊥ BD, AM ⊥ BD ⇒ BD ⊥ ( AMC ) = MC = Ta có MA VABCD − x , MN = − x − y , S AMN = 1 = y − x − y MN AC 2 2 2 2 x y − x= − y2 x y (1 − x − y ) ≤ = DB.= S AMC 3 3 (x + y + − x2 − y ) 27 27 Câu 39: Hai ly đựng chất lỏng giống hệt nhau, có phần chứa chất lỏng khối nón có chiều cao dm (mơ tả hình vẽ) Ban đầu ly thứ chứa đầy chất lỏng, ly thứ hai để rỗng Người ta chuyển chất lỏng từ ly thứ sang ly thứ hai cho độ cao cột chất lỏng ly thứ cịn 1dm Tính chiều cao h cột chất lỏng ly thứ hai sau chuyển (độ cao cột chất lỏng tính từ đỉnh khối nón đến mặt chất lỏng - lượng chất lỏng coi khơng hao hụt chuyển Tính gần h với sai số không 0,01dm) ⇒ VABCD ≤ A h ≈ 1, 73 dm Chọn C B h ≈ 1,89 dm C h ≈ 1,91 dm Lời giải D h ≈ 1, 41 dm Có chiều cao hình nón đựng đầy nước ly thứ nhất: AH = Chiều cao phần nước ly thứ sau đổ sang ly thứ hai: AD = Chiều cao phần nước ly thứ hai sau đổ sang ly thứ hai: AF = h R Rh R′ AD R′′ AF h Theo Ta let ta có: = = ,= = suy R′ = , R′′ = R AH R AH 2 Thể tích phần nước ban đầu ly thứ nhất: V = 2π R π R h3 Thể tích phần nước ly thứ hai: V1 = π R′′2 h = π R2 Thể tích phần nước lại ly thứ nhất: V2 = h3 π R h3 π R Mà: V= V1 + V2 ⇔ ≈ 1,91 ⇔h= 2π R ⇔ + = + = 4 4 Câu 40: Xét bảng ô vuông gồm × vng Người ta điền vào vng hai số −1 cho tổng số hàng tổng số cột Hỏi có cách? A 72 B 90 C 80 D 144 Lời giải Chọn B Nhận xét 1: Trên hàng có số số −1 , cột có số số −1 Nhận xét 2: Để tổng số hàng cột đồng thời có khơng q hai số ba hàng xếp số ta có cách xếp hàng thứ tư Do ta tìm số cách xếp ba hàng Phương pháp giải xếp theo hàng (Hình vẽ) Các hàng đánh số sau: Hàng Hàng Hàng Hàng 4! = cách điền số mà tổng số 0, cách xếp 2!.2! sau (Ta gọi số từ (1) đến ( ) ): Nếu xếp tự hàng có 11 − − (1) , − − 11 ( ) , −1 − 111 ( 3) , −11 − 11 ( ) , − 11 − ( ) , −111 − ( ) Giả sử hàng xếp (1) Số cách xếp hàng có khả sau KN1: Hàng xếp giống hàng 1: Có cách xếp ( (1) ) Hàng có cách ( ( 3) ) Hàng có cách Vậy có 1.1.1.1 = cách xếp KN2: Hàng xếp đối xứng với hàng 1: Có cách xếp (bộ ( 3) ) Hàng có cách ( lấy thoải mái từ tổng hai hàng ) Hàng có cách Vậy có 1.1.6.1 = cách xếp KN3: Hàng xếp trùng với cách xếp hàng vị trí: Có cách xếp ( cịn lại) Khi đó, với cách xếp hàng thứ , hàng có cách.Hàng có cách Vậy có 1.1.6.1 = cách xếp Vì vai trò số nên số cách xếp thỏa mãn ycbt (1 + + ) = 90 cách Câu 41: Xét tứ diện OABC có OA , OB , OC đơi vng góc Gọi α , β , γ góc đường thẳng OA , OB , OC với mặt phẳng ( ABC ) (hình vẽ) A O C B + cot α + cot β + cot γ Khi giá trị nhỏ biểu thức M = ( A Số khác )( )( B 48 C 48 ) D 125 Lời giải Chọn D Gọi H trực tâm tam giác ABC , tứ diện OABC có OA , OB , OC đơi vng góc nên ta có 1 1 = + + OH ⊥ ( ABC ) 2 OH OA OB OC , β ( , γ ( Ta có α ( = = OA; ( ABC ) )= OAH = OB; ( ABC )= = OC ; ( ABC ) ) OCH ) OBH OH OH OH , sin β = , sin γ = OA OB OC 1 1 Đặt a = OA , b = OB , c = OC , h = OH = + + h a b c M= + cot α + cot β + cot γ = + + sin α sin β Nên sin α = + sin γ a2 b2 c2 1 = + + + =8 + ( a + b + c ) + ( a 2b + b c + c a ) + a 2b c h h h h h h ( )( Ta có: ( a + b + c ) )( = h2 ( a b + b c + c a ) h14= 2 2 2 (a ) 1 1 1 + b + c ) + + ≥ 3 a b c 3 = a b c a b c ( a b + b c + c a ) a12 + b12 + c12 2 2 2 2 1 4 ≥ a b b c c a = a b c 4 27 3 3= abc a b c 2 2 2 3 1 1 2 27 a b= c a b c + + ≥ a 2b c 3 = a b c h a b c 2 Do đó: M =8 + ( a + b + c ) 1 + ( a 2b + b c + c a ) + a 2b c h h h ≥ + 4.9 + 2.27 + 27 = 125 = OB = OC Dấu đẳng thức xảy a= b= c , hay OA Vậy M = 125 A α a H h O c C b B m − sin x nghịch biến cos x C D Câu 42: Tìm số giá trị ngun khơng âm m để hàm số y = A B Lời giải Chọn C π 0; 6 π 1 Đặt t = sin x , x ∈ 0; nên t ∈ 0; 6 2 m−t 1 Xét hàm số f ( t ) = khoảng 0; 1− t 2 Ta có f ′ ( t ) = −t + 2mt − (1 − t ) 2 π Để hàm số cho nghịch biến khoảng 0; f ( t ) nghịch biến khoảng 6 t +1 1 ⇔ m ≤ g ( t ) ⇔ t − 2mt + ≥ 0, ∀t ∈ 0; ⇔ m ≤ 1 2t 2 0; 2 t +1 1 khoảng 0; 2t 2 t −1 1 1 g = Ta có g ′= < 0, ∀t ∈ 0; ⇒ g ( t ) = (t ) 2t 2 2 0; Xét hàm số g ( t ) = Vì m nguyên, ⇒ m≤ m ≥ ⇒ m ∈ {0 ,1} ⇒ có giá trị m Câu 43: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục có đồ thị hình vẽ 1 0; 2 g ( x ) = f ( x ) − f ( x ) − là: C 10 D 11 Khi số điểm cực trị hàm số A B Bài giải Xét hàm số * Ta có: h( x) = f ( x) − f ( x) − h'= ( x ) f ( x ) f ' ( x ) − f '= ( x ) f ' ( x ) ( f ( x ) − 1) f ' ( x) = h' ( x )= ⇔ f ( x ) = Từ đồ thị, ta có: + Phương trình f ' ( x ) = có nghiệm phân biệt f ( x ) = có nghiệm phân biệt + Phương trình ⇒ Phương trình h' ( x ) = có nghiệm phân biệt ⇒ Hàm số h ( x ) có cực trị * Xét phương trình h ( x ) = ⇔ f f ( x ) = −2 ( x) − f ( x) − = ⇔ f ( x ) = Từ đồ thị, ta có: + Phương trình f ( x ) = −2 có nghiệm + Phương trình f ( x ) = có nghiệm có có nghiệm kép (cực trị) * Khi số điểm cực trị hàm số y =h ( x ) = f ( x ) − f ( x ) − có + + – = cực trị Câu 44: Biết đồ thị hàm số y = f ( x) = ax + bx + cx + dx + e , ( a, b, c, d , e ∈ ; a ≠ 0, b ≠ ) cắt trục hồnh Ox điểm phân biệt Khi đồ thị hàm số y= g ( x)= ( 4ax + 3bx + 2cx + d ) − ( 6ax + 3bx + c ) ( ax + bx3 + cx + dx + e ) cắt trục hoành Ox điểm? A Chọn B = g ( x) Ta có ( f ′ ( x )) B Lời giải C D − f ′′ ( x ) f ( x ) Đồ thị hàm số y = f ( x) = ax + bx + cx + dx + e cắt trục hồnh bốn điểm phân biệt bên phương trình f ( x ) =⇔ a ( x − x1 )( x − x2 )( x − x3 )( x − x4 ) , với xi , i = 1, 2,3, nghiệm Suy f ′ ( x ) =a[ ( x − x2 )( x − x3 )( x − x4 ) + ( x − x1 )( x − x3 )( x − x4 ) + ( x − x1 )( x − x2 )( x − x4 ) + ( x − x1 )( x − x2 )( x − x3 ) ] ′ f ′ ( x ) ′ f ′( x) 1 1 1 ⇒ + + + ⇒ = + + + = f ( x ) x − x1 x − x2 x − x3 x − x4 f ( x ) x − x1 x − x2 x − x3 x − x4 2 2 2 2 f ′′ ( x ) f ( x ) − ( f ′ ( x ) ) ⇔ = − + + + x − x1 x − x2 x − x3 x − x4 f ( x) Nếu x = xi với i = 1, 2,3, f ( x ) = , f ′ ( x ) ≠ ⇒ f ′′ ( x ) f ( x ) < ( f ′ ( x ) ) Nếu x ≠ xi ( ∀i =1, 2,3, ) > , f ( x ) > Suy f ′′ ( x ) f ( x ) − ( f ′ ( x ) ) < ( x − xi ) vô nghiệm hay phương trình ⇔ f ′′ ( x ) f ( x ) < ( f ′ ( x ) ) Vậy phương trình ( f ′ ( x ) ) − f ′′ ( x ) f ( x ) = 2 g ( x ) = vơ nghiệm Do đó, số giao điểm đồ thị hàm số trục hoành Câu 45 Cho hàm số đa thức bậc năm y = f ( x ) có đồ thị hình vẽ: ( ) Tìm số nghiệm phương trình f xf ( x= ) A 13 B 14 − x2 f ( x ) ? C 15 D Đặt t = xf ( x ) , phương trình cho trở thành: Lời giải f (= t) − t (*) y Xét tương giao đồ thị hàm số y = f ( t ) nửa đường tròn = − t2 t = t1 ∈ ( −2; −1) t= t2 ∈ ( 0;1) Từ đồ thị, ta có phương trình (*) có nghiệm t= t ∈ (1; ) t = t x t ⇔ f ( x ) =(**) (vì x = khơng nghiệm ứng với t ≠ ) Xét phương trình xf ( x ) = + Khi t= t1 < số nghiệm phương trình (**) số giao điểm đồ thị hàm số y = f ( x ) t Từ đồ thị ⇒ phương trình (**) có nghiệm phân biệt x + Khi= t t1= ,t t2= ,t Từ đồ thị ⇒ phương trình (**) có nghiệm phân biệt đồ thị hàm số y = Vậy phương trình cho có 14 nghiệm phân biệt Câu 46: Ba bóng dạng hình cầu có bán kính đơi tiếp xúc tiếp xúc với mặt phẳng ( P ) Mặt cầu ( S ) bán kính tiếp xúc với ba bóng Gọi M điểm (S ) , MH khoảng cách từ M đến mặt phẳng ( P ) Giá trị lớn MH A + 123 B 52 C + 30 D + 69 Hướng dẫn giải Chọn D Coi tâm ba cầu nhỏ A , B , C tâm cầu lớn bên S Ta chóp S ABC có cạnh đáy cạnh bên Gọi O chân dường cao chóp S ABC Suy MH lớn M , S , O , H thẳng hàng MH max = + SO + = + SO 69 2 Ta có: SO = SA − AO = − = 3 2 Suy ra: MH max =+ SO =+ 69 Câu 47 Cho hàm số f ( x ) liên tục thoả mãn xf ( x3 ) + f ( x − 1= ) e x , ∀x ∈ Khi ∫ f ( x ) dx bằng: −1 B ( e − 1) A Chọn B Nhân hai vế xf ( x ) + f ( x − 1= ) e x , ∀x ∈ với x f ( x ) + xf ( x −= 1) xe x , ∀x ∈ C (1 − e ) D 3e x ta được: Lấy tích phân từ −1 đến hai vế ta được: Kí hiệu I = ∫ x f ( x )dx; K = −1 0 0 −1 −1 −1 x ∫ x f ( x ) dx + ∫ xf ( x − 1) dx = ∫ xe dx ∫ xf ( x − 1)dx; H = −1 f ( x )dx ∫ x= Đặt u = x3 ta tính I = −1 0 ∫ xe x2 (1) dx −1 1 = f ( u )du f ( x )dx ∫ −1 −∫1 0 1 Đặt = − ∫ f ( v )dv = − ∫ f ( x )dx u x − ta tính K = ∫−1 xf ( x − 1)dx = −1 −1 0 x2 x2 H ∫ xe = dx e d ( x= e = (1 − e ) Và = ) ∫ −1 2 −1 −1 Nên (1) ⇔ x2 0 1 f ( x ) dx − ∫ f ( x ) dx = (1 − e ) ⇔ ∫ f ( x ) dx = ( e − 1) ∫ −1 −1 −1 Câu 48: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh , SA = SA vng góc với mặt phẳng đáy ( ABCD ) Gọi M , N hai điểm thay đổi hai cạnh AB , AD cho mặt phẳng ( SMC ) vng góc với mặt phẳng ( SNC ) Tính tổng = T S AMCN đạt giá trị lớn A T = Chọn B B T = C T = Lời giải 1 thể tích khối chóp + AN AM 2+ D T = 13 Cách 1: Chọn hệ trục tọa độ Oxyz cho A ( 0;0;0 ) , B ( 2;0;0 ) , D ( 0; 2;0 ) , S ( 0;0; ) Suy C ( 2; 2;0 ) Đặt AM = x , AN = y , x, y ∈ [ 0; 2] , suy M ( x;0;0 ) , N ( 0; y;0 ) SC ( 2; 2; −2 ) , = SN ( 0; y; −2 ) = SM ( x;0; −2 ) , = ⇒ n= SM , SC = 4; x − 4; x n , ( ) = SN , SC = ( − y; −4; −2 y ) Do ( SMC ) ⊥ ( SNC ) nên n1.n2 =0 ⇔ ( − y ) − ( x − ) − xy =0 ⇔ xy + ( x + y ) = − 2x − 2x , y ≤ nên ⇔ y= ≤ ⇔ x ≥ x+2 x+2 S AMCN =S ABCD − S BMC − S DNC =4 − ( − x ) − ( − y ) =x + y 2 − x x2 + SA.S AMCN = ( x + y ) = x + = 3 3 x+2 x+2 x2 + 4x − x2 + Xét f ( x ) = với x ∈ [1; 2] , f ′ ( x ) = ( x + )2 x+2 Do VS AMCD = f ′ ( x ) = ⇔ x + x − = ⇔ x = −2 + ; x =−2 − (loại) Lập BBT ta suy max f = ( x ) f= (1) f= ( 2) [0;2] Vậy max VS AMCN x = 1 1 y = =2 ⇔ ⇒T = + = 2+ = 2 x = AM AN x y y = O AC ∩ DB ; = E BD ∩ CM ; = F BD ∩ CN Cách 2: Đặt AM = x , AN = y Gọi = H hình chiếu vng góc O SC , đó: HO = SC ⊥ OH SC ⊥ HE Ta có: ⇒ SC ⊥ ( HBD ) ⇒ SC ⊥ BD SC ⊥ HF Do góc ( SCM ) ( SCN ) góc HE HF Suy HE ⊥ HF Mặt khác VS AMCN = SA.S AMCN = ( x + y) 3 Tính OE , OF : Ta có: x > , y > x ≠ , y ≠ gọi K trung điểm AM , đó: OE KM x OE EB OB x = = ⇒ = = ⇒ OE = EB MB − x x − 2x − x 4− x y Tương tự: OF = Mà OE.OF= OH ⇔ ( x + )( y + 2= ) 12 4− y Nếu x = y = ta có OE.OF= OH ⇔ ( x + )( y + 2= ) 12 12 Tóm lại: ( x + )( y + ) = 2 12 − 4 SA.S AMCN= ( x + y=) ( x + ) + ( y + ) − 4= ( x + ) + x+2 3 3 x = 1 1 y = Do max VS AMCN = ⇔ ⇒T = + = 2+ = 2 x = AM AN x y y = Suy ra: VS AMCN= Câu 49: Cho cấp số nhân ( bn ) thỏa mãn b2 > b1 ≥ hàm số f ( log ( b2 ) ) + =f ( log ( b1 ) ) Giá trị nhỏ n để bn > 5100 A 234 B 229 C 333 Lời giải Chọn A Xét hàm số f ( x= ) x3 − 3x x ) 3x − , f ′ ( x ) = ⇔ x = Có f ′ (= ±1 f ( x= ) x3 − 3x cho D 292 x y′ −∞ + −1 0 − +∞ + +∞ y −∞ −2 Mặt khác, ta có b1 > b2 ≥ Đặt a = log b2 > log b1 = b ≥ Ta có: a − 3a + = b3 − 3b (1) Nếu b > ⇒ a > b > ⇒ a − 3a > b3 − 3b ⇒ (1) vô nghiệm Nếu ≤ b ≤ ⇒ −2 < b3 − 3b ≤ ⇒ a − 3a + ≤ ⇒ ( a − 1) ( a + ) ≤ Suy a = ⇒ b = 0 b= 2= Khi ⇒ bn = 2n −1 > 5100 ⇔ n − > 100 log ⇒ n ≥ 234 2= b= Vậy giá trị nhỏ n 234 Câu 50: Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh a , SAD tam giác nằm mặt phẳng vng góc với đáy Gọi M , N trung điểm BC CD Tính bán kính R khối cầu ngoại tiếp khối chóp S CMN a 29 a 93 a 37 5a B R = C R = D R = A R = 12 12 Lời giải Chọn B Gọi: - H trung điểm AD ⇒ SH ⊥ ( ABCD ) - I trung điểm MN ⇒ I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CMN - d đường thẳng qua I vng góc với mặt đáy - E hình chiếu I lên AD - O tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S CMN - K hình chiếu O lên SH Đặt OI = x Ta có: = CI a ; OC = = MN IC + IO = a2 + x2 ; 2 a 10 3a a ; KO =HI = IE + EH = + = 4 2 a a 10 22a 2 SO = SK + KO = − x + = x − 3ax + 16 Vì O tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S CMN nên SO = OC Suy ra: a2 + x 2= 22a 5 3a x − 3ax + ⇔ 3ax= a ⇔ x= 16 12 a 25a 93 Vậy: R = OC = + = a 48 12