Thông tin tài liệu
Năm học: 2014-2015 Giáo án BDHSG Toán CHUYÊN ĐỀ 1: SỐ CHÍNH PHƯƠNG I ĐỊNH NGHĨA: Số phương số bình phương số nguyên II TÍNH CHẤT: Số phương có chữ số tận 0, 1, 4, 5, 6, ; khơng thể có chữ số tận 2, 3, 7, Khi phân tích thừa số nguyên tố, số phương chứa thừa số nguyên tố với số mũ chẵn Số phương có hai dạng 4n 4n + Khơng có số phương có dạng 4n + 4n + (n N) Số phương có hai dạng 3n 3n + Khơng có số phương có dạng 3n + (n N) Số phương tận chữ số hàng chục chữ số chẵn Số phương tận chữ số hàng chục Số phương tận chữ số hàng chục chữ số chẵn Số phương tận chữ số hàng chục chữ số lẻ Số phương chia hết cho chia hết cho Số phương chia hết cho chia hết cho Số phương chia hết cho chia hết cho 25 Số phương chia hết cho chia hết cho 16 III MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP VỀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG A DẠNG1: CHỨNG MINH MỘT SỐ LÀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG Bài 1: Chứng minh với số nguyên x, y A = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y4 số phương Ta có A = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y4 = (x2 + 5xy + 4y2)( x2 + 5xy + 6y2) + y4 Đặt x2 + 5xy + 5y2 = t ( t Z) A = (t - y2)( t + y2) + y4 = t2 –y4 + y4 = t2 = (x2 + 5xy + 5y2)2 V ì x, y, z Z nên x2 Z, 5xy Z, 5y2 Z x2 + 5xy + 5y2 Z Vậy A số phương Bài 2: Chứng minh tích số tự nhiên liên tiếp cộng ln số phương Gọi số tự nhiên, liên tiêp n, n + 1, n+ 2, n + (n N) Ta có n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + = n.(n + 3(n + 1)(n + 2) + 1 ThuVienDeThi.com Năm học: 2014-2015 Giáo án BDHSG Toán = (n2 + 3n)( n2 + 3n + 2) + (*) Đặt n2 + 3n = t (t N) (*) = t( t + ) + = t2 + 2t + = ( t + )2 = (n2 + 3n + 1)2 Vì n N nên n2 + 3n + N Vậy n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + số phương Bài 3: Cho S = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + + k(k+1)(k+2) Chứng minh 4S + số phương 1 k(k+1)(k+2).4 = k(k+1)(k+2).[(k+3) – (k-1)] 4 1 = k(k+1)(k+2)(k+3) - k(k+1)(k+2)(k-1) 4 1 1 S = 1.2.3.4 - 0.1.2.3 + 2.3.4.5 - 1.2.3.4 +…+ k(k+1)(k+2)(k+3) 4 4 1 k(k+1)(k+2)(k-1) = k(k+1)(k+2)(k+3) 4 Ta có k(k+1)(k+2) = 4S + = k(k+1)(k+2)(k+3) + Theo kết k(k+1)(k+2)(k+3) + số ph ương Bài 4: Cho dãy số 49; 4489; 444889; 44448889; … Dãy số xây dựng cách thêm số 48 vào số đứng trước Chứng minh tất số dãy số phương Ta có 44…488…89 = 44…488 + = 44…4 10n + 11…1 + n chữ số n-1 chữ số n chữ số n chữ số n chữ số = n chữ số 10 n 10 n 4.10 n 4.10 n 8.10 n 4.10 n 4.10 n 10n + +1= = 9 9 n 2.10 = Ta thấy 2.10n +1=200…01 có tổng chữ số chia hết chia hết cho 2.10 n n-1 chữ số Z hay số có dạng 44…488…89 số phương Bài 5: Chứng minh số sau số phương: A = 11…1 + 44…4 + 2n chữ số n chữ số ThuVienDeThi.com Năm học: 2014-2015 Giáo án BDHSG Toán B = 11…1 + 11…1 + 66…6 + 2n chữ số n+1 chữ số n chữ số C = 44…4 + 22…2 + 88…8 + 2n chữ số n+1 chữ số 10 n Kết quả: A = ; n chữ số 10 n B = ; 2.10 n C = Bài 6: Chứng minh số sau số phương: a A = 22499…9100…09 n-2 chữ số n chữ số b B = 11…155…56 n chữ số n-1 chữ số a A = 224.102n + 99…9.10n+2 + 10n+1 + 9= 224.102n + ( 10n-2 – ) 10n+2 + 10n+1 + = 224.102n + 102n – 10n+2 + 10n+1 + 9= 225.102n – 90.10n + = ( 15.10n – ) A số phương b B = 111…1555…5 + = 11…1.10n + 5.11…1 + n chữ số n chữ số = n chữ số n chữ số 10 n 10 n 10 n 10 n 5.10 n 10n + +1= 9 10 n 10 n 4.10 n = = số phương ( điều phải chứng minh) Bài 7: Chứng minh tổng bình phương số tự nhiên liên tiếp khơng thể số phương Gọi số tự nhiên liên tiếp n-2, n-1, n , n+1 , n+2 (n N , n ≥2 ) Ta có ( n-2)2 + (n-1)2 + n2 + ( n+1)2 + ( n+2)2 = 5.( n2+2) Vì n2 khơng thể tận n2+2 không thẻ chia hết cho 5.( n2+2) khơng số phương hay A khơng số phương ThuVienDeThi.com Năm học: 2014-2015 Giáo án BDHSG Tốn Bài 8: Chứng minh số có dạng n6 – n4 + 2n3 + 2n2 n N n>1 khơng phải số phương n6 – n4 + 2n3 +2n2 = n2.( n4 – n2 + 2n +2 ) = n2.[ n2(n-1)(n+1) + 2(n+1) ] = n2[ (n+1)(n3 – n2 + 2) ] = n2(n+1).[ (n3+1) – (n2-1) ]= n2( n+1 )2.( n2–2n+2) Với n N, n >1 n2-2n+2 = (n - 1)2 + > ( n – )2 n2 – 2n + = n2 – 2(n - 1) < n2 Vậy ( n – 1)2 < n2 – 2n + < n2 n2 – 2n + khơng phải số phương Bài 9: Cho số phương có chữ số hàng chục khác chữ số hàng đơn vị Chứng minh tổng chữ số hàng chục số phương số phương Cách 1: Ta biết số phương có chữ số hàng đơn vị chữ số hàng chục số lẻ Vì chữ số hàng chục số phương cho 1,3,5,7,9 tổng chúng + + + + = 25 = 52 số phương Cách 2: Nếu số phương M = a2 có chữ số hàng đơn vị chữ số tận a a a2 Theo dấu hiệu chia hết cho hai chữ số tận M 16, 36, 56, 76, 96 Ta có: + + + + = 25 = 52 số phương Bài 10: Chứng minh tổng bình phương hai số lẻ khơng phải số phương a b lẻ nên a = 2k+1, b = 2m+1 (Với k, m N) a2 + b2 = (2k+1)2 + (2m+1)2 = 4k2 + 4k + + 4m2 + 4m + = 4(k2 + k + m2 + m) + = 4t + (Với t N) Khơng có số phương có dạng 4t + (t N) a2 + b2 khơng thể số phương Bài 11: Chứng minh p tích n số nguyên tố p - p + khơng thể số phương Vì p tích n số ngun tố nên p p không chia hết cho (1) a Giả sử p+1 số phương Đặt p+1 = m2 (m N) Vì p chẵn nên p+1 lẻ m2 lẻ m lẻ Đặt m = 2k+1 (k N) Ta có m2 = 4k2 + 4k + p+1 = 4k2 + 4k + p = 4k2 + 4k = 4k(k+1) mâu thuẫn với (1) p+1 số phương b p = 2.3.5… số chia hết cho p-1 có dạng 3k+2 ThuVienDeThi.com Năm học: 2014-2015 Giáo án BDHSG Toán Khơng có số phương có dạng 3k+2 p-1 khơng số phương Vậy p tích n số ngun tố p-1 p+1 khơng số phương Bài 12: Giả sử N = 1.3.5.7…2007 Chứng minh số ngun liên tiếp 2N-1, 2N 2N+1 khơng có số số phương a 2N-1 = 2.1.3.5.7…2007 – Có 2N 2N-1 khơng chia hết cho 2N-1 = 3k+2 (k N) 2N-1 khơng số phương b 2N = 2.1.3.5.7…2007 Vì N lẻ N khơng chia hết cho 2N 2N không chia hết cho 2N chẵn nên 2N không chia cho dư 2N khơng số phương c 2N+1 = 2.1.3.5.7…2007 + 2N+1 lẻ nên 2N+1 không chia hết cho 2N không chia hết 2N+1 không chia cho dư 2N+1 không số phương Bài 13: Cho a = 11…1 ; b = 100…05 Chứng minh 2008 chữ số ab số tự nhiên 2007 chữ số 10 2008 Cách 1: Ta có a = 11…1 = ; b = 100…05 = 100…0 + = 102008 + 2008 chữ số số ab+1 = ab = Ta thấy 102008 2007 chữ số 10 2008 (10 2008 1)(10 2008 5) (10 2008 ) 4.10 2008 +1= = 9 10 2008 = 210 2008 10 2008 + = 100…02 nên N hay ab số tự nhiên 2007 chữ số Cách 2: b = 100…05 = 100…0 – + = 99…9 + = 9a +6 2007 chữ số 2008 chữ số ab+1 = a(9a +6) + = 9a2 + 6a + = (3a+1)2 ab = 2008 chữ (3a 1) = 3a + N ThuVienDeThi.com 2008 chữ số Năm học: 2014-2015 Giáo án BDHSG Tốn B DẠNG 2: TÌM GIÁ TRỊ CỦA BIẾN ĐỂ BIỂU THỨC LÀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG Bài1: Tìm số tự nhiên n cho số sau số phương: a n2 + 2n + 12 b n ( n+3 ) c 13n + d n2 + n + 1589 Giải a Vì n2 + 2n + 12 số phương nên đặt n2 + 2n + 12 = k2 (k N) (n2 + 2n + 1) + 11 = k2 k2 – (n+1)2 = 11 (k+n+1)(k-n-1) = 11 Nhận xét thấy k+n+1 > k-n-1 chúng số nguyên dương, nên ta viết (k+n+1)(k-n-1) = 11.1 k+n+1 = 11 k = k–n-1=1 n=4 b Đặt n(n+3) = a2 (n N) n2 + 3n = a2 4n2 + 12n = 4a2 (4n2 + 12n + 9) – = 4a2 (2n + 3) - 4a2 = (2n + + 2a)(2n + – 2a)= Nhận xét thấy 2n + + 2a > 2n + – 2a chúng số nguyên dương, nên ta viết (2n + + 2a)(2n + – 2a) = 9.1 2n + + 2a = n = 2n + – 2a = a=2 c Đặt 13n + = y2 ( y N) 13(n – 1) = y2 – 16 13(n – 1) = (y + 4)(y – 4) (y + 4)(y – 4) 13 mà 13 số nguyên tố nên y + 13 y – 13 y = 13k (Với k N) 13(n – 1) = (13k )2 – 16 = 13k.(13k 8) n = 13k2 8k + Vậy n = 13k2 8k + (Với k N) 13n + số phương d Đặt n2 + n + 1589 = m2 (m N) (4n2 + 1)2 + 6355 = 4m2 (2m + 2n +1)(2m – 2n -1) = 6355 Nhận xét thấy 2m + 2n +1> 2m – 2n -1 > chúng số lẻ, nên ta viết (2m + 2n +1)(2m – 2n -1) = 6355.1 = 1271.5 = 205.31 = 155.41 Suy n có giá trị sau: 1588; 316; 43; 28 Bài 2: Tìm a để số sau số phương: a a2 + a + 43 ThuVienDeThi.com Năm học: 2014-2015 Giáo án BDHSG Toán b a2 + 81 c a2 + 31a + 1984 Kết quả: a 2; 42; 13 b 0; 12; 40 c 12; 33; 48; 97; 176; 332; 565; 1728 Bài 3: Tìm số tự nhiên n ≥ cho tổng 1! + 2! + 3! + … + n! số phương Với n = 1! = = 12 số phương Với n = 1! + 2! = khơng số phương Với n = 1! + 2! + 3! = 1+1.2+1.2.3 = = 32 số phương Với n ≥ ta có 1! + 2! + 3! + 4! = 1+1.2+1.2.3+1.2.3.4 = 33 5!; 6!; …; n! tận 1! + 2! + 3! + … + n! có tận chữ số nên khơng phải số phương Vậy có số tự nhiên n thỏa mãn đề n = 1; n = Bài 4: Tìm n N để số sau số phương: a n2 + 2004 ( Kết quả: 500; 164) b (23 – n)(n – 3) ( Kết quả: 3; 5; 7; 13; 19; 21; 23) c n2 + 4n + 97 d 2n + 15 Bài 5: Có hay khơng số tự nhiên n để 2006 + n2 số phương Giả sử 2006 + n2 số phương 2006 + n2 = m2 (m N) Từ suy m2 – n2 = 2006 (m + n)(m - n) = 2006 Như số m n phải có số chẵn (1) Mặt khác m + n + m – n = 2m số m + n m – n tính chẵn lẻ (2) Từ (1) (2) m + n m – n số chẵn (m + n)(m - n) Nhưng 2006 không chia hết cho Điều giả sử sai Vậy không tồn số tự nhiên n để 2006 + n2 số phương Bài 6: Biết x N x>2 Tìm x cho x(x-1).x(x-1) = (x-2)xx(x-1) Đẳng thức cho viết lại sau: x(x-1) 2= (x-2)xx(x-1) Do vế trái số phương nên vế phải số phương Một số phương tận chữ số 0; 1; 4; 5; 6; nên x tận chữ số 1; 2; 5; 6; 7; (1) ThuVienDeThi.com Năm học: 2014-2015 Giáo án BDHSG Toán Do x chữ số nên x ≤ 9, kết hợp với điều kiện đề ta có x N < x ≤ (2) Từ (1) (2) x nhận giá trị 5; 6; Bằng phép thử ta thấy có x = thỏa mãn đề bài, 762 = 5776 Bài 7: Tìm số tự nhiên n có chữ số biết 2n+1 3n+1 số phương Ta có 10 ≤ n ≤ 99 nên 21 ≤ 2n+1 ≤ 199 Tìm số phương lẻ khoảng ta 25; 49; 81; 121; 169 tương ứng với số n 12; 24; 40; 60; 84 Số 3n+1 37; 73; 121; 181; 253 Chỉ có 121 số phương Vậy n = 40 Bài 8: Chứng minh n số tự nhiên cho n+1 2n+1 số phương n bội số 24 Vì n+1 2n+1 số phương nên đặt n+1 = k2 , 2n+1 = m2 (k, m N) Ta có m số lẻ m = 2a+1 m2 = 4a (a+1) + 4a (a 1) m2 1 n= = = 2a(a+1) 2 n chẵn n+1 lẻ k lẻ Đặt k = 2b+1 (Với b N) k2 = 4b(b+1) +1 n = 4b(b+1) n (1) Ta có k2 + m2 = 3n + (mod3) Mặt khác k2 chia cho dư 1, m2 chia cho dư Nên để k2 + m2 (mod3) k2 (mod3) m2 (mod3) m2 – k2 hay (2n+1) – (n+1) n (2) Mà (8; 3) = (3) Từ (1), (2), (3) n 24 Bài 9: Tìm tất số tự nhiên n cho số 28 + 211 + 2n số phương Giả sử 28 + 211 + 2n = a2 (a N) 2n = a2 – 482 = (a+48)(a-48) 2p.2q = (a+48)(a-48) Với p, q N ; p+q = n p > q a+48 = 2p 2p – 2q = 96 2q (2p-q -1) = 25.3 a- 48 = 2q q = p-q = p = n = 5+7 = 12 Thử lại ta có: 28 + 211 + 2n = 802 C DẠNG 3: TÌM SỐ CHÍNH PHƯƠNG ThuVienDeThi.com Năm học: 2014-2015 Giáo án BDHSG Toán Bài 1: Cho A số phương gồm chữ số Nếu ta thêm vào chữ số A đơn vị ta số phương B Hãy tìm số A B Gọi A = abcd = k2 Nếu thêm vào chữ số A đơn vị ta có số B = (a+1)(b+1)(c+1)(d+1) = m2 với k, m N 32 < k < m < 100 a, b, c, d N ; ≤ a ≤ ; ≤ b, c, d ≤ Ta có A = abcd = k2 B = abcd + 1111 = m2 m2 – k2 = 1111 (m-k)(m+k) = 1111 (*) Nhận xét thấy tích (m-k)(m+k) > nên m-k m+k số nguyên dương Và m-k < m+k < 200 nên (*) viết (m-k)(m+k) = 11.101 Do m – k == 11 m = 56 A = 2025 m + k = 101 n = 45 B = 3136 Bài 2: Tìm số phương gồm chữ số biết số gồm chữ số đầu lớn số gồm chữ số sau đơn vị Đặt abcd = k2 ta có ab – cd = k N, 32 ≤ k < 100 Suy 101cd = k2 – 100 = (k-10)(k+10) k +10 101 k-10 101 Mà (k-10; 101) = k +10 101 Vì 32 ≤ k < 100 nên 42 ≤ k+10 < 110 k+10 = 101 k = 91 abcd = 912 = 8281 Bài 3: Tìm số phương có chữ số biết chữ số đầu giống nhau, chữ số cuối giống Gọi số phương phải tìm aabb = n2 với a, b N, ≤ a ≤ 9; ≤ b ≤ Ta có n2 = aabb = 11.a0b = 11.(100a+b) = 11.(99a+a+b) (1) Nhận xét thấy aabb 11 a + b 11 Mà ≤ a ≤ ; ≤ b ≤ nên ≤ a+b ≤ 18 a+b = 11 Thay a+b = 11 vào (1) n2 = 112(9a+1) 9a+1 số phương Bằng phép thử với a = 1; 2; …; ta thấy có a = thỏa mãn b = Số cần tìm 7744 Bài 4: Tìm số có chữ số vừa số phương vừa lập phương Gọi số phương abcd Vì abcd vừa số phương vừa lập phương nên đặt abcd = x2 = y3 Với x, y N ThuVienDeThi.com Năm học: 2014-2015 Giáo án BDHSG Tốn Vì y3 = x2 nên y số phương Ta có 1000 ≤ abcd ≤ 9999 10 ≤ y ≤ 21 y phương y = 16 abcd = 4096 Bài 5: Tìm số phương gồm chữ số cho chữ số cuối số nguyên tố, bậc hai số có tổng chữ số số phương Gọi số phải tìm abcd với a, b, c, d nguyên ≤ a ≤ ; ≤ b,c,d ≤ abcd phương d { 0,1,4,5,6,9} d nguyên tố d = Đặt abcd = k2 < 10000 32 ≤ k < 100 k số có hai chữ số mà k2 có tận k tận Tổng chữ số k số phương k = 45 abcd = 2025 Vậy số phải tìm 2025 Bài 6: Tìm số tự nhiên có hai chữ số biết hiệu bình phương số viết số hai chữ số số theo thứ tự ngược lại số phương Gọi số tự nhiên có hai chữ số phải tìm ab ( a,b N, ≤ a,b ≤ ) Số viết theo thứ tự ngược lại ba 2 Ta có ab - ba = ( 10a + b ) – ( 10b + a )2 = 99 ( a2 – b2 ) 11 a2 - b2 11 Hay ( a-b )(a+b ) 11 Vì < a - b ≤ , ≤ a+b ≤ 18 nên a+b 11 a + b = 11 2 Khi ab - ba = 32 112 (a - b) Để ab 2- ba 2là số phương a - b phải số phương a-b = a - b = Nếu a-b = kết hợp với a+b = 11 a = 6, b = 5, ab = 65 Khi 652 – 562 = 1089 = 332 Nếu a - b = kết hợp với a+b = 11 a = 7,5 ( loại ) Vậy số phải tìm 65 Bài 7: Cho số phương có chữ số Nếu thêm vào chữ số ta số phương Tìm số phương ban đầu ( Kết quả: 1156 ) Bài 8: Tìm số có chữ số mà bình phương số lập phương tổng chữ số Gọi số phải tìm ab với a,b N ≤ a ≤ , ≤ b ≤ 10 ThuVienDeThi.com Năm học: 2014-2015 Giáo án BDHSG Tốn Theo giả thiết ta có : ab = ( a + b )3 (10a+b)2 = ( a + b )3 ab lập phương a+b số phương Đặt ab = t3 ( t N ) , a + b = l ( l N ) Vì 10 ≤ ab ≤ 99 ab = 27 ab = 64 Nếu ab = 27 a + b = số phương Nếu ab = 64 a + b = 10 không số phương loại Vậy số cần tìm ab = 27 Bài 9: Tìm số lẻ liên tiếp mà tổng bình phương số có chữ số giống Gọi số lẻ liên tiếp 2n-1, 2n+1, 2n+3 ( n N) Ta có A= ( 2n-1 )2 + ( 2n+1)2 + ( 2n+3 )2 = 12n2 + 12n + 11 Theo đề ta đặt 12n2 + 12n + 11 = aaaa = 1111.a với a lẻ ≤ a ≤ 12n( n + ) = 11(101a – ) 101a – 2a – Vì ≤ a ≤ nên ≤ 2a-1 ≤ 17 2a-1 lẻ nên 2a – { 3; 9; 15 } a { 2; 5; } Vì a lẻ a = n = 21 số càn tìm 41; 43; 45 Bài 10: Tìm số có chữ số cho tích số với tổng chữ số tổng lập phương chữ số số ab (a + b ) = a3 + b3 10a + b = a2 – ab + b2 = ( a + b )2 – 3ab 3a( + b ) = ( a + b ) ( a + b – ) a + b a + b – nguyên tố a + b = 3a a + b – = 3a a +b–1=3+b a+b=3+b a=4,b=8 a=3,b=7 Vậy ab = 48 ab = 37 11 ThuVienDeThi.com Năm học: 2014-2015 Giáo án BDHSG Toán Chuyên đề 2: CỰC TRỊ CỦA MỘT BIỂU THỨC I/ GIÁ TRỊ LỚN NHẤT ,GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦẢ MỘT BIỂU THỨC 1/ Cho biểu thức f( x ,y, ) a/ Ta nói M giá trị lớn ( GTLN) biểu thức f(x,y ) kí hiệu max f = M hai điều kiện sau thoả mãn: - Với x,y để f(x,y ) xác định : f(x,y ) M ( M số) (1) - Tồn xo,yo cho: f( xo,yo ) = M (2) b/ Ta nói m giá trị nhỏ (GTNN) biểu thức f(x,y ) kí hiệu f = m hai điều kiện sau thoả mãn : - Với x,y để f(x,y ) xác định : f(x,y ) m ( m số) (1’) - Tồn xo,yo cho: f( xo,yo ) = m (2’) 2/ Chú ý : Nếu có điều kiện (1) hay (1’) chưa nói cực trị biểu thức chẳng hạn, xét biểu thức : A = ( x- 1)2 + ( x – 3)2 Mặc dù ta có A chưa thể kết luận minA = khơng tồn giá trị x để A = ta phải giải sau: A = x2 – 2x + + x2 – 6x + = 2( x2 – 4x + 5) = 2(x – 2)2 + A = x -2 = x = Vậy minA = khi x = II/ TÌM GTNN ,GTLN CỦA BIỂU THƯC CHỨA MỘT BIẾN 1/ Tam thức bậc hai: Ví dụ: Cho tam thức bậc hai P = ax2 + bx + c Tìm GTNN P a Tìm GTLN P a 12 ThuVienDeThi.com Năm học: 2014-2015 Giáo án BDHSG Toán Giải : P = ax2 + bx +c = a( x2 + Đặt c - b b b2 x ) + c = a( x + ) +c- 4a a 2a b2 b =k Do ( x + ) nên : 4a 2a - Nếu a a( x + -Nếu a a( x + b b ) , P k MinP = k x = 2a 2a b ) ` P ` k MaxP = k x = 2a - b 2a 2/ Đa thức bậc cao hai: Ta đổi biến để đưa tam thức bậc hai Ví dụ : Tìm GTNN A = x( x-3)(x – 4)( x – 7) Giải : A = ( x2 - 7x)( x2 – 7x + 12) Đặt x2 – 7x + = y A = ( y - 6)( y + 6) = y2 - 36 -36 minA = -36 y = x2 – 7x + = x1 = 1, x2 = 3/ Biểu thức phân thức : a/ Phân thức có tử số, mẫu tam thức bậc hai: Ví dụ : Tìm GTNN A = Giải : A = = 6x 9x2 6x 9x2 2 2 = 9x 6x (3 x 1) Ta thấy (3x – 1)2 nên (3x – 1) +4 b 1 theo tính chất a (3 x 1) 4 1 2 2 với a, b dấu) Do A a b (3 x 1) 4 minA = - 3x – = x = Bài tập áp dụng: HD giải: x 4x 1 1 A max A= x x 4x x 5 Tìm GTLN BT : A 13 ThuVienDeThi.com - Năm học: 2014-2015 Giáo án BDHSG Toán HD giải Giải: x 6x 17 1 1 A max A= x x 6x 17 x 3 8 Tìm GTLN BT : A (51/217) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A b/ Phân thức có mẫu bình phương nhị thức x 2x 3x x Ví dụ : Tìm GTNN A = x 2x Giải : Cách : Viết A dạng tổng hai biểu thức không âm A = x2 x x2 x x2 x = + ( x 2) ( x 1) minA = chi x = Cách 2: Đặt x – = y x = y + ta có : A = 3( y 1) 8( y 1) y 1 y 1 3y2 y y 3y2 y 1 = - + = ( -1)2 + 2 y y 1 y 1 y y y y minA = y = x – = x = Bài tập áp dụng: 1, (13/200) Tìm GTNN GTLN bt: P 2, (36/210) Tìm GTNN bt : B x2 x2 x x x 2006 x2 3, ( 45/ 214) Tìm GTNN GTLN bt: C x2 x2 5x x2 2x 4, ( 47, 48 /215) Tìm GTNN bt : a, D x 2x x2 x 1 b, E 2x 4x c/ Các phân thức dạng khác: Ví dụ : Tìm GTNN GTLN A = 4x x2 Giải Để tìm GTNN , GTLN ta viết tử thức dạng bình phương số : x2 4x x2 ( x 2) A = = - -1 x2 x2 14 ThuVienDeThi.com Năm học: 2014-2015 Giáo án BDHSG Toán Min A= -1 x = Tìm GTLN A = 4x2 4x2 4x (2 x 1) = x2 x2 Bài tập áp dụng: x2 1, (42, 43/ 221) Tìm GTLN bt: a, A x x 2 b, B 3, (35, 36 / 221) Tìm GTNN bt: a, C x2 4x Với x > 0; x b, D x5 Với x > x3 với x > 0; x3 b, F x3 Với x > x2 x 2 4, (34, 36/ 221) Tìm GTNN bt: a, E x 6, (68/28 BÙI VĂN TUYÊN) Tìm GTNN bt: Q x x 17 Với x > x 1 7, (69/28 BÙI VĂN TUYÊN) Tìm GTNN bt: R x x 34 Với x > x 3 x 2000 8, (70/28 BÙI VĂN TUYÊN) Tìm GTNN bt: S Với x > x III/ TÌM GTNN, GTLN CỦA BT CĨ QUAN HỆ RÀNG BUỘC GIỮA CÁC BIẾN Ví dụ : Tìm GTNN A = x3 + y3 + xy biết x + y = sử dụng điều kiện cho để rút gọn biểu thức A A = (x + y)( x2 –xy +y2) + xy = x2 – xy + y2 + xy = x2 + y2 Đến ta có nhiều cách giải Cách 1: sử dụng điều kiện cho làm xuất biểu thức có chứa A Mà x2 + 2xy + y2 = (1) (x – y)2 Hay: x2 - 2xy + y2 (2) x+y =1 Cộng (1) với (2) ta có 2(x2 + y2 ) x2 + y2 minA = 1 x = y = 2 Cách 2: Biểu thị y theo x đưa tam thức bậc hai x Thay y = - x vào A 15 ThuVienDeThi.com Năm học: 2014-2015 Giáo án BDHSG Toán A = x2 + (1 – x)2 = 2(x2 – x) +1 = 2(x2 minA = 1 ) + 2 1 x = y = 2 Cách 3/ Sử dụng điều kiện cho để dưa biến Đặt x = + a y = x2 + y = ( - a Biểu thị x2 + y2 ta : 1 + a)2 + ( - a)2 = +2 a2 2 1 => MinA = a = x=y = 2 Bài tập 1: Tìm Min A = a ab b 3a 3b 2014 Cách Ta có: A= a 2a b 2b ab a b 2011 = a 2a b 2b ab a b 2011 = = a 1 b 1 a 1b 1 2011 a 1 2 a 1 b 1 a b 1 b 1 2011 2 a 1 b 1 b 1 2 b 1 b 1 b 1 2011 = a 2011 + 2 b 1 0 a Min A = 2011 a b 1 b Cách 2: 2A a ab b 3a 3b 2014 = a 2a b 2b a 2ab b 2.2 a b 4022 = a 1 b 1 a b 4022 2 a Min 2A = 4022 b a b => Min A = 2011 a b BÀI TẬP TỰ LUYÊN TƯƠNG TỰ: Bài CMR : Min P = Với P = a ab b 3a 3b Bài CMR: khơng có giá trị x, y, z thỏa mãn ĐT: x y z x y z 15 16 ThuVienDeThi.com Năm học: 2014-2015 Giáo án BDHSG Toán Hướng dẫn Ta có: VT x x y y z z 1= x-1 2 y z 3 2 Bài 3: Có hay khơng số x,y,z thỏa mãn đẳng thức sau: 1) x y z x y z 22 2) x y z x 12 y 12 z 1994 Hướng dẫn Ta có: 1) VT x x y y z z 16 = x+2 2 y 1 z 2 2) VT = x x y 12 y z 12 z 1986 = x 1 2 y 3 3 z 1986 1986 2 Bài 4: CMR: Min A=2 Với A = m 4mp p 10m 22 p 28 Hướng dẫn Ta có: A = m 4mp p p p 10m 20 p 27 = m p 2.5 m p 25 p 1 2 = m p p 1 2 Bài 5: CMR: Max B = Với B a 5b 2a 4ab 10b Hướng dẫn Ta có: B a 4ab 4b b 6b 2a 4b = - a 4ab 4b b 6b a 2b 1 2 2 = - a 2b a 2b b 3 = - a 2b 1 b 3 Bài 6: Tìm GTNN a) A=a 5b 4ab 2b ( Gợi ý A = a - 2b b 1 ) b) B = x y xy 3x y 2029 ( Gợi ý B = x-y y 3 x 3 2011 ) c) C x y z x 12 y 24 z 30 ( Gợi ý C = x+2 2 y 3 3z ) d) D= 20x 18 y 24 xy x 12 y 2016 ( Gợi ý D= 4x-3y 2 x 1 3 y 2011 ) 2 2 2 Bài 7: Tìm số a, b, c, d thỏa mãn : a b c d a b c d (*) 17 ThuVienDeThi.com 2 Năm học: 2014-2015 Giáo án BDHSG Toán a b c d ab a b c a b c d a b c d Ta có : a b c d ab ac ad a b c d ab ac ad a 4ab 4b a 4ac 4c a 4ad 4d a a 2b a 2c a 2d a 2 Dấu “=” sảy : a 2b 2c 2d a b c d BÀI TẬP VỀ NHÀ: Bài 1: Tìm số a, b, c, d, e thỏa mãn : 2a b c d e2 a b c d e Bài 2: Tìm số a, b, c, thỏa mãn : a b ab a b Bài 3: Tìm số a, b, thỏa mãn : 4a 4b 4ab 4a 4b Bài 4: Tìm số x, y, z thỏa mãn : x y z x y z 14 Bài 5: Tìm số m, p, thỏa mãn : m p 4mp 10m 22 p 25 IV Các ý giải toán cực trị : 1, Chú ý 1: Khi tìm bai tốn cực trị ta đổi biến Ví dụ : Tìm GTNN ( x – 1)2 + ( x – 3)2 ta đặt x – = y, biểu thức trở thành (y + 1)2 + (y – 1)2 =2y2 +2 minA= y=0 x=2 Chú ý 2, Khi tìm cực trị biểu thức , nhiều ta thay điều kiện để biểu thức đạt cực trị điều kiện tương đương biểu thức khác đạt cực trị chẳng hạn : -A lớn A nhỏ lớn B nhỏ với B > B x4 1 Ví dụ : Tìm GTLN A (Chú ý A> nên A lớn nhỏ A ( x 1) ngược lại) Ta có : ( x 1) x x x2 = Vậy 4 A x 1 x 1 x 1 A = x = Do maxA =1 A x=0 18 ThuVienDeThi.com Năm học: 2014-2015 Giáo án BDHSG Toán 3,Chú ý Khi tìm GTLN, GTNN biểu thức ,người ta thường sử dụng BĐT biết Bất đăng thức có tính chất sau a ) a > b , c > d với a, b, c, d > a.c > b d b) a > b c > a.c > b.c c) a > b c < a.c < b.c d) a > b a, b, n > an > bn BĐT Cơ si: a + b ab ; a2 + b2 2ab ; (a + b)2 4ab ; 2( a2 + b2) ( a+ b)2 Bất đẳng thức Bu- nha -cốp –xki : (a2 + b2) ( c2 + d2) (ac + bd)2 Ví dụ Cho x2 + y2 = 52 Tìm GTLN A = 2x + 3y Giải :Áp dụng BĐT BCS ta có ( 2x + 3y )2 ( 22+32 ).52 ( 2x + 3y )2 13.13.4 2 x y 2x + 3y 26 Vậy maxA = 26 2 x y Thay y = 3x vào x2 + y2 = 52 ta 4x2 + 9x2 = 52.4 x2 = 16 x=4 x= -4 Với x = y =6 thoả mãn 2x +3y x = -4 ,y = -6 không thoả mãn 2x +3y Vậy Max A = 26 x =4 , y = 3/ Trong bất đẳng thức cần ý đến mệnh đề sau - Nếu số có tổng khơng đổi tích chúng lớn số - Nếu số dương có tích khơng đổi tổng chúng nhỏ số bang Ví dụ: Tìm GTLN, GTNN tích xy, biết x,y N thoả mãn x + y = 2005 Giải : Ta có 4xy = (x + y)2 – (x – y)2 = 20052 - (x – y)2 xy lớn x – y nhỏ ; xy nhó x – y lớn giả sử x > y ( xảy x = y) Do y x 2004 nên x-y 2003 Ta có min(x –y) = x = 1003 ; y =1002 max(x –y) = 2003 x =2004 , y = Do max(xy) = 1002.1003 x = 1003 , y = 1002 Min ( xy) = 2004 x = 2004 , y = MỘT SỐ SAI LẦM THƯỜNG GẶP KHI GIẢI BÀI TOÁN CỰC TRỊ 19 ThuVienDeThi.com Năm học: 2014-2015 Giáo án BDHSG Toán 1, Sai lầm sử dụng nhiều bất đẳng thức khac VD1: cho x, y số dương thỏa mãn x +y =1 Tìm GTNN biểu thức : A = Giải sai: Áp dụng bất đẳng thức cô si cho hai số khơng âm Lại có: x y 4 , ta có: (1) x y x y xy x y xy (2 ) 2 Từ (1) (2) suy : A = Phân tích sai lầm: 4 Vậy Min A = x y xy Đẳng thức sảy (1) 4x y x y Đẳng thức sảy (2) x = y Từ suy x = y = ( Loại x + y = 1) Có bạn đến KL khơng có giá trị nhỏ KL sai 1 4 4x y Giải đúng: Vì x + y = nên A = x+y y x x y Áp dụng bất đẳng thức Cô Si cho hai số không âm 4x y 4x y 4x y , Ta có : 2 4 y x y x y x 4x y x y x Dấu “=” xẩy y x x y y x y Lưu ý: Nếu sử dụng nhiều BĐT khác tốn ta phải kiểm tra xem chúng có đồng thời sảy dấu khơng Có hướng giải tốn 2, Sai lầm không sử dụng hết điều kiện toán: VD2:cho x, y số dương thỏa mãn x+y= Tìm GTNN BT : 1 1 A = x+ y y x 2 Giải sai: Áp dụng bất đẳng thức cô si cho hai số không âm x, (1) 20 ThuVienDeThi.com 1 Ta có: x+ x x x x ... = 2004 x = 2004 , y = MỘT SỐ SAI LẦM THƯỜNG GẶP KHI GIẢI BÀI TOÁN CỰC TRỊ 19 ThuVienDeThi.com Năm học: 2014-2015 Giáo án BDHSG Toán 1, Sai lầm sử dụng nhiều bất đẳng thức khac VD1: cho x, y số... minh số sau số phương: A = 11…1 + 44…4 + 2n chữ số n chữ số ThuVienDeThi.com Năm học: 2014-2015 Giáo án BDHSG Toán B = 11…1 + 11…1 + 66…6 + 2n chữ số n+1 chữ số n chữ số C = 44…4 + 22…2 + 88…8... chia hết cho 5.( n2+2) khơng số phương hay A khơng số phương ThuVienDeThi.com Năm học: 2014-2015 Giáo án BDHSG Toán Bài 8: Chứng minh số có dạng n6 – n4 + 2n3 + 2n2 n N n>1 khơng phải số phương
Ngày đăng: 24/03/2022, 16:12
Xem thêm:
