PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ CHÍNH THỨC Bài a) Rút gọn biểu thức: A ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN MƠN TỐN LỚP NĂM HỌC 2012 - 2013 Thời gian làm bài: 150 phút Ngày thi: 23 / 11 / 2012 10 b) Tìm số nguyên a, b thỏa mãn: 9 20 ab ab Bài a) Giải phương trình sau: 20122 2012 x 2x x 4x 2012 20132 2013 2 x x 5 x x 6x 6y b) Tìm x, y thỏa mãn: y 2xy Bài Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn biểu thức: M 2x x Bài Cho đường trịn đường trịn (O; R), đường kính AB vng góc với dây cung CD H ( H O ) Biết AH = a; CD = 2b a) Chứng minh tam giác HAD HCB đồng dạng với b) Tính R theo a b c) Qua H vẽ hai dây cung MN PQ vuông góc với Xác định vị trí dây để MN + PQ đạt giá trị lớn nhất, nhỏ Bài Cho x, y, z (0,1] Chứng minh : x y z y xz z xy x yz x y z ==HẾT== Họ tên thí sinh: Số báo danh: Lưu ý: Học sinh khơng dùng máy tính ThuVienDeThi.com HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN NĂM HỌC 2012-2013 MƠN TỐN LỚP Nội dung Bài Điểm 2,0đ a) A (1 3)3 10 2 (1 3) 1 2 0,5 0,5 (1 3) 2 42 2 2 1,0 b) 1,5đ ĐK: a b (*) 0,25 9 20 ab ab Bài 3,5đ 2(a b 5) 3(a b 5) (9 20 5)(a b 5)(a b 5) 9a 45b a 5(20a 100b 5b) (*) Ta thấy (*) có dạng A B B thi Bài 6,0đ 0,25 A Z vơ lí B = => A= B 2 9a 45b a Do (*) 2 20a 100b 5b 9a 45b a 9a 45b a 9 2 9a 45b b a b a a a b hoac (Loại khơng thỏa mãn ĐK (*)) b b b 4b a = 9; b = a) * Biến đổi vế phải ta có 20132 (2012 1) 20122 2.2012 20122 20132 2.2012 20122 0,25 0,25 0,5 5,0đ 20122 2012 20122 2012 2013 2.2012 20132 2013 20132 2013 2012 2012 2012 2012 2013 2013 2013 2013 2013 2013 2013 0,75 Phương trình trở thành: x x 2013 (*) 0,5 Xét trường hợp: - Trường hợp 1: Nếu x (*) x 2013 x 1005 (thỏa mãn) - Trường hợp 2: Nếu x thi (*) x 2013 (Phương trình vơ nghiệm) 0,5 0,25 ThuVienDeThi.com - Trường hợp 3: Nếu x thi (*) x 2013 x 1008 (thỏa mãn) Kết luận: Phương trình (*) có nghiệm: x1 1005 x2 1008 * ĐK x 2,5 (*) 0,25 0,25 0,25 0,25 Phương trình cho trương đương với: x 5 x x x (5 x) (1 x)(5 x) x 0,25 (1 x)(5 x) x ĐK: x - (**) (1 –x)(- – 2x) = (x +5)2 x2 – 7x – 30 = x1 = - (thoả mãn ĐK (*) (**)) x2 = 10 (không thoả mãn ĐK (*) (**)) Vậy phương trình có nghiệm x = - b) 2 x 6x 6y x 6x 6y Cộng vế theo vế ta 2 x 2xy y 6(x y) (x y 3) 0,5 0,5 Vậy (x; y) = (3 2;3 2), (3 2;3 2) 0,25 Điều kiện: x (*) * Tìm giá trị lớn nhất: Trước hết ta chứng minh: với số (a1; a2); (b1; b2) ta có: a a (a1b1+a2b2)2 ≤(a12+a22)(b12+b22)(**) Đẳng thức xẩy b1 b 0,25 0,25 (22 12 )( x x ) 25 0,5 x x (TMĐK(*)) x hoac x 2 x x 4(5 ) 0,5 Đẳng thức xẩy x x2 x 2 Vậy với x = GTLN M = * Tìm giá trị nhỏ 0,5 Từ điều kiện (*) tá có x 2 (1) 0,25 Mặt khác Bài 6,5đ 0,25 x 3 x 6x 6(x 3) y x y x Áp dụng (**) ta có M x x Bài 3,0đ 0,25 0,25 0,5 0,25 1,0đ x (2) Từ (1) (2) ta có M x x 2 0,25 2 x 2 x Đẳng thức xẩy 5 x 0,25 Vậy x M đạt GTNN 2 Vẽ hình 0,25đ a) 2,0đ Ta có OA OB OC nên VACB vng C nên · · BCH ACH 900 (1) · · Vì AB CD nên CAH ACH 900 (2) · · Từ (1) (2) suy CAH BCH Mặt khác AB CD HC=HD hay ACB tam giác cân A =>AH phân · · · · giác góc A => CAH => Các DAH BCH DAH tam giác HAD HCB đồng dạng với ThuVienDeThi.com 0,25 0,25 A Q 1,0 O M L K H D C P B N 1,0 b) (2,0đ) Áp dụng định lí Pitago ta có AC AH HC2 a b Áp dụng hệ thức cạnh đường cao tam giác vuông ABC ta có AB a b AC2 a b 2 R AC AB.AH AB 2a AH a c) 2,25đ Gọi K, L hình chiếu vng góc O MN PQ Đặt OK = x; OL = y; Đặt OH = d Ta có x y OH d không đổi Đặt T MN PQ Xét T MN PQ 2MN.PQ 0,5 1,5 0,25 0,25 T MN PQ 2MN.PQ 4(R x ) 4(R y ) (R x )(R y ) 8R 4(x y ) R R (x y ) x y 8R 4.d (R R d ) x y 0,5 * T đạt GTLN T2 đạt GTLN x y đạt GTLN xy đạt GTLN 0,25 x y2 d Áp dụng BĐT Cosy ta có xy 2 Dấu “=” xẩy x y OL = OK => HO tia phân giác góc tạo hai dây cung * T đạt GTNN T2 đạt GTNN x y đạt GTNN xy đạt GTNN Mặt khác x, y nên xy , dấu “=” xẩy x = y = => dây cung trở thành đường kính Vì x, y (0,1] nên (1 x)(1 y ) xy x y Bài 1,0đ z xy x y z y y (1) z xy x y z x x Tương tự ta có (2) ; y xz x y z Cộng vế theo vế (1), (2) (3) ta 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 z z x xy x y z (3) x y z x yz y xz z xy x yz x y z x y z Dấu “=” xẩy x = y = z =1 0,25 0,25 20,0 Tổng Lưu ý: - Học sinh giải cách khác gọn cho điểm tối đa; - Điểm làm học sinh qui tròn đến 0,5 PHÒNG GIÁO DỤC- ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2013 -2014 Mơn: Tốn ThuVienDeThi.com Thời gian làm bài: 150 phút Câu 1: a Tính giá trị biểu thức: A 14 b Tìm x; y thỏa mãn: x y xy x Câu 2: a Giải phương trình nghiệm nguyên: x y x y 85 P x 2012 5 y 20135 z 2014 5 b Cho x ; y ; z số nguyên S x y z 2013 Chứng minh P chia hết cho 30 S chia hết cho 30 Câu 3: Cho ba số x, y, z khác thoả mãn: x y z 1 1 2 2 2 x y z xyz 1 1 0 x y z Tính giá trị biểu thức: P y 2009 z 2009 z 2011 x 2011 x 2013 y 2013 Câu 4: a Cho tam giác nhọn ABC có trực tâm H, trọng tâm I; Giao điểm đường trung trực O, trung điểm BC M Tính giá trị biểu thức: IO OM IH HA2 · Một đường thẳng d thay đổi cắt tia Ox; Oy M N b Cho góc xOy Biết giá trị biểu thức 1 không thay đổi đường thẳng d thay đổi OM ON Chứng minh đường thẳng d qua điểm cố định Câu 5: a Cho số x; y; z không âm, không đồng thời thỏa mãn: 1 x 1 y z Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P x y z xyz b Cho số dương x, y, z thoả mãn điều kiện: xy + yz + zx = 671 Chứng minh rằng: x y z x yz 2013 y zx 2013 z xy 2013 x y z Hết -Họ tên thí sinh SBD PHÒNG GD-ĐT NGHI XUÂN HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN TỐN ThuVienDeThi.com THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2013-2014 Câu 1:(4 điểm) a) 1,5 điểm a) A 14 b) 2,5 điểm 1 BIỂU ĐIỂM 3 1 x 0; y b) ĐKXĐ: x 0; y Xét x = Suy y = - ( Thỏa mãn) Xét x 0; y Biến đổi PT dạng: 0,5 0,75 x y x 2 0 Lập luận tính x = y = ( Thỏa mãn) KL: x; y 0; 4 x; y 4; Câu 2: (4,5 điểm) x 85 44 1,0 0,25 a) 2,25 điểm b) 2,25 điểm a) Phương trình cho tương đương với x 85 y x Lập luận 1,5 Mà x Z Suy x { 04 ;14 ; 24 ;34 } 0,5 1,0 x 04 y 85 ( loại) x 14 x 24 y 84 ( loại) y 8 71 ( loại) y 18 y 20 x Khi x 34 y 18 y 18 2 y 16 x 3 Vậy phương trình có nghiệm nguyên x; y là: (3 ; 20); (-3 ; 20); (3 ; 16); (-3 ; 16) 0,75 b) Đặt a x 2012; b y 2013; c z 2014 Ta có: ( a ; b ; c số nguyên ) P a b5 c S abc 0,5 Xét P S a a b5 b c5 c ThuVienDeThi.com Ta có : với số ngun m m5 m chia hết cho 30 Thật vậy: m5 m m(m4 1) m(m2 1)(m2 1) m(m 1)(m 1)(m 2)(m 2) 5m(m 1)(m 1) (1) Với số nguyên m m;(m 1);(m 1);(m 2);(m 2) số nguyên liên tiếp nên có thừa số chia hết cho 2; thừa số chia hết cho 3;1 thừa số chia hết cho mà 2; 3; nguyên tố đôi nên tích chúng chia hết cho 2.3.5 Hay m(m 1)(m 1)(m 2)(m 2) chia hết cho 30 (2) Và m;(m 1);(m 1) m;(m 1);(m 1);(m 2);(m 2) số nguyên liên tiếp nên có thừa số chia hết cho 2; thừa số chia hết cho mà 2; nguyên tố nên tích chúng chia hết cho 2.3 Hay 5m(m 1)(m 1) chia hết cho 30 (3) Từ (1); (2); (3) Suy với số nguyên m m5 m chia hết cho 30 1,75 Do P S a a b5 b c5 c chia hết cho 30 với a; b; c số nguyên Câu 3: (2,5 điểm) Từ giả thiết suy ra: 1 1 1 1 1 1 2(x y z) 1 2 2 2 2 4 x y z xyz x y z xyz x y z xy yz zx x y z 1 1 1 suy (1) x y z x y z 1 (2) Mặt khác x y z suy xyz 1 1 Từ (1) (2) suy (3) x y z xyz Mà 1,0 (3) x y y z z x Biến đổi x 2013 y 2013 x 2013 y 2013 x y x y z y y z y 2009 z 2009 y 2009 z 2009 z 2011 x 2011 z 2011 x 2011 x z z x Câu :(5,5 điểm) a) điểm A K H I O C B M 1,0 nên P = 0,5 b) 2,5 điểm a) Ta có MO // HA (cùng vng góc với BC) OK // BH (cùng vng góc với AC) · · KOM = BHA (góc có cạnh tương ứng song song) MK // AB (M, K trung điểm BC AC) · · HAB = OMK (góc có cạnh tương ứng song song) ABH đồng dạng với MKO (1,0) MO MK ( 0,5) AH AB ThuVienDeThi.com MO MI · · = HAI (so le trong) OMI AH AI IO IO OM AIH đồng dạng với MIO IH IH HA Xét AIH MIO có IO2 OM IO2 OM IH HA IH HA IO OM IH OA2 1,0 0,5 d x M I E O y N D 1 (1) ( a số dương cho trước) Lấy điểm D Oy OM ON a cho OD = a OD < ON Vẽ DI song song với Ox ( I đoạn MN ) Lấy E Ox b) Giả sử 1,0 cho OE = ID Khi OEID hình bình hành OE 1 OE OD NI EI NI MI Ta có (2) => ON OD.OM OD a OM ON NM ON NM MN Từ (1) (2) => OE OE => => OE = OD = a không đổi, mà OM OD.OM OD D Oy; E Ox nên D; E cố định Mặt khác O cố định OEID hình bình hành nên I cố định Vậy d qua I cố định (ĐPCM) 0,75 0,75 CÂU (3,5 điểm) Câu a) điểm Câu b) 1,5 điểm a) Trước tiên ta chứng minh bất đẳng thức: Với a, b, c R x, y, z > ta có a b2 c2 a b c x y z x yz a b c x y z Dấu “=” xảy (*) Thật vậy, với a, b R x, y > ta có a b2 a b x y x y (**) a y b x x y xy a b bx ay (luôn đúng) 2 áp dụng bất đẳng thức (**) ta có a b2 c2 a b c2 a b c x y z x y z x yz 2 Dấu “=” xảy a b c x y z 1 1 1 Áp dụng với a = b= c = ta có x 1 y z x y z x y z => x y z => x y z ( Có thể chứng minh BĐT nhờ áp dụng BĐT Bunhicopski ) Áp dụng BĐT Côsi cho số dương ta có: 8(x y z) x y z 8.3 x yz 10 P x yz x yz 9 x yz 9 x yz ThuVienDeThi.com 0,75 Dấu “=” xảy số x; y; z không âm không đồng thời x y z x y z x xyz thỏa mãn : y ( Thỏa mãn) z x y z 1 1 x 1 y z 0,25 10 x = 2; y = 1; z = b) Áp dụng bất đẳng thức (*) ta có Vậy Min P VT x y z x yz 2013 y zx 2013 z xy 2013 x2 y2 z2 x x yz 2013 y y zx 2013 z z xy 2013 x y z 0,75 x y z xyz 2013 x y z (1) Chú ý: xy + yz + zx = 671 nên x x yz 2013 = x x xy zx 1342 , y y zx 2013 z z xy 2013 Chứng minh: x3 y z 3xyz x y z x y z xy yz zx x y z x y z xy yz zx (2) 3 x y z 3xyz 2013 x y z x y z x y z xy yz zx 2013 = x y z x y z 3.671 2013 = x y z (3) 0,5 Từ (1) (3) ta suy x y z x y z VT x yz Dấu “=” xảy x = y = z = 2013 ( Ghi chú: Mọi cách giải khác hợp lí cho điểm tối đa tương ứng) Hết - ThuVienDeThi.com 0,25 ... ý: - Học sinh giải cách khác gọn cho điểm tối đa; - Điểm làm học sinh qui trịn đến 0,5 PHỊNG GIÁO DỤC- ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2013 -2014 Mơn: Tốn ThuVienDeThi.com...HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN NĂM HỌC 2012-2013 MƠN TỐN LỚP Nội dung Bài Điểm 2,0đ a) A (1 3)3 10 2 (1... Hết -Họ tên thí sinh SBD PHÒNG GD-ĐT NGHI XUÂN HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN TỐN ThuVienDeThi.com THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2013-2014 Câu 1:(4 điểm)