Đang tải... (xem toàn văn)
Tính xác suất để trong 5 hành khách lên tàu đó có một toa có 3 khách lên, hai toa có 1 khách lên và một toa không có khách nào lên tầu.. Chứng minh rằng phương trình.[r]
(1)http://toanhocmuonmau.violet.vn SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BẮC GIANG KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH NĂM HỌC 2013 - 2014 MÔN THI: TOÁN LỚP 11 CHUYÊN Ngày thi: 29/3/2014 Thời gian làm bài 180 phút, không kể thời gian giao đề ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề thi có 01 trang) Câu ( 4, điểm) 1) Giải phương trình 4sin x 4sin 3x 2cos10 x y2 2 x 2) Giải hệ phương trình 4 x xy y Câu ( 6, điểm) 1) Một đoàn tàu có toa chở khách với toa có ít chỗ trống Trên sân ga có hành khách chuẩn bị lên tàu Tính xác suất để hành khách lên tàu đó có toa có khách lên, hai toa có khách lên và toa không có khách nào lên tầu 1 2) Tìm hệ số số hạng chứa x khai triển f ( x) x x (2 x 1)15 thành đa thức 4 13 3) Cho các số thực dương a, b a b và hai dãy số un ;vn xác định sau: u1 a ; v1 b u v un 1 n n ; 1 un , n * Chứng minh hai dãy un ;vn có giới hạn hữu hạn và lim un lim Câu ( 2, điểm) Cho các số thực a, b, c thỏa mãn 2a 4b 11c Chứng minh phương trình ax2 bx c luôn có nghiệm thuộc khoảng 0;1 Câu ( 6, điểm) 1) Cho đường thẳng có phương trình x y và đường tròn C : x y 1 Tìm tọa 2 độ điểm M nằm trên đường thẳng cho từ M kẻ hai tiếp tuyến MA, MB (A, B là các tiếp điểm ) và đường thẳng AB qua điểm E 3;-2 2) Cho hình hộp đứng ABCD.A'B'C'D' có AB AD = a ; AA '= a ; BAD 600 Gọi M và N là trung điểm A'D' và A'B', E là giao điểm MN và A'C' a) Tính cosin góc tạo đường thẳng BE và mặt phẳng (ACC'A') b) Chứng minh AC' vuông góc với mặt phẳng (BDMN) Câu ( 2, điểm) Cho x, y thỏa mãn x y 8 x y Tìm giá trị lớn và giá trị nhỏ S x y HẾT -Cán coi thi không giải thích gì thêm Họ và tên thí sinh: Số báo danh: Giám thị (Họ tên và ký) Giám thị (Họ tên và ký) (2) http://toanhocmuonmau.violet.vn SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BẮC GIANG HƯỚNG DẪN CHẤM BÀI THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH HDC ĐỀ CHÍNH THỨC MÔN THI: TOÁN LỚP 11 CHUYÊN (Bản hướng dẫn chấm có 04 trang) NGÀY THI 29/3/2014 Hướng dẫn giải Câu Câu Xét sin x x k ,k Xét sin x x k ,k Điểm (4đ) Thay vào phương trình ban đầu, không thỏa mãn (*) 0.5 Nhân hai vế phương trình đã cho với sin x Phương trình tương đương với sin x sin x cos10x sin x x 1.1 (2.0 điểm) cos 6x sin 5x x m sin11x sin x 0.5 , m, n n 12 0.5 Kết hợp với (*) ta nghiệm phương trình là x m x m 5k; m, n, k 12 , n 0.5 y2 (1) 2 x 4 x xy y (2) x 2y thỏa mãn x 1.2 (2.0 điểm) Xét f t 0; t x Thay vào (1) g KL x ; y x 2 x y y2 nên y y x y (2.0 điểm) 0.5 , chứng minh f (t ) đồng biến trên y2 2y Xét g t 0.5 t2 2t nghịch biến trên và từ đó x = ;0 0.5 0.5 1; (6đ) Câu 2.1 ; và x = không t trên 0; y Kết hợp (2) x Gọi A là biến cố cần tính xác suất Số cách xếp khách lên toa là | | 45 Số cách chọn ba khách để xếp lên cùng toa là C 53 0.5 10 0.5 (3) http://toanhocmuonmau.violet.vn Số cách chọn toa để xếp ba người này là C 41 Số cách xếp hai người (mỗi người toa) vào ba toa còn lại là A23 Suy | | 10.4.6 A 240 | Vậy xác suất cần tìm là P 2.2 (2.0 điểm) 21 2x )21 Ta có (1 | A | 240 45 | (2x+1)6 (2x+1)15 64 Ta có f (x ) 15 64 (1 64 0.5 2x)21 0.5 k k k C 21 2x 0.5 k 13 13 Hệ số số hạng chứa x 13 khai triển (2x+1)21 là C 21 Vậy hệ số số hạng chứa x 13 khai triển thành đa thức f (x ) là 13 13 13 C 21 C 21 26046720 64 Ta có v2 u1v1 u1 u2 ab v1 b a b 2 Chứng minh quy nạp v1 v2 uk uk vk 2.3 uk v1 v2 vk uk 1.vk uk v k (2.0 điểm) uk vk vk u1 vk ; 0.5 u1 vk (do uk u2 uk vk ) 0.5 uk lim un un un 2 Vậy lim un lim Xét f (x ) uk .u1 bx 0.5 lim ; Câu ax 0.5 uk a vk ; vk 0.5 v1 Vậy (un ) giảm và bị chặn dưới; (vn ) tăng và bị chặn trên nên tồn c liên tục trên đoạn [0; 1] 0.5 (2 đ) 0.5 f (1) 2a+4b+11c=0 f (1) thì x = 1/3 là nghiệm thỏa mãn Nếu f (0) f ; f (1) không đồng thời thì ba số này phải có số Nếu f (0);9 f âm và số dương 0.5 Từ tính liên tục f(x) ta phương trình ax2 bx c luôn có nghiệm 0.5 Ta có f (0) 2.0 điểm 0.5 9f 0.5 (4) http://toanhocmuonmau.violet.vn thuộc khoảng 0;1 (6đ) Câu Đường tròn (C) có tâm I(2; 1) Gọi M(2m ; 2m + 3) thuộc Trung điểm IM là E(m+1; m+ 2) Đường tròn đường kính MI có phương trình 2 (C1 ) : x (m 1) y (m 2) (m 1)2 (m 1)2 4.1 (2.0 điểm) Lập luận {A, B} C1 2(m 1)y 1)x 2(m 0.5 0.5 (C ) nên đường thẳng AB: 6m Vì AB qua E nên từ (*) suy m (*) Suy M 0.5 ; 0.5 A B O F C D A' N B' E 4.2a M O' (2 điểm) D' C' Gọi O là giao điểm AC và BD Suy AC vuông góc với BD; CC' vuông góc với BD theo giả thiết BD (ACC'A') Vậy OE là hình chiếu BE trên mặt phẳng (ACC'A') 0.5 Góc (BE, (ACC'A')) = góc (BE, OE) = góc BEO 0.5 Xét tam giác EOO' vuông O', tính EO a 15 0.5 15 15 15 Vậy cosin góc đường thẳng BE và (ACC'A') là 19 0.5 Theo chứng minh trên ta có BD vuông góc AC' (1) Gọi O' là trung điểm A'C'; I là giao điểm OO' và AC' Xét tam giác ACC' và tam giác EOO' có CAC ' EOO' 300 ; AIO 0.5 Trong tam giác BEO vuông O Tính tan BEO= 4.2b (2.0 điểm) Từ đó chứng minh EO vuông góc với AC' (2) Từ (1) và (2) suy AC' vuông góc với mặt phẳng (BDMN) Câu 600 0.5 0.5 0.5 (2đ) (5) http://toanhocmuonmau.violet.vn Đặt a x a 4;b b Suy a2 2.0 điểm b2 y (a,b S a S Từ (*) và a, b nên Giải (**) S S b S2 ab S S2 0) 0.5 9S+36 18 (*) 0.5 9S+36 (**) 18 S S 9S+36 18 12 Vậy Smin a = b = hay x = -3; y = Smax 12 a = b = hay x = 0; y = 12 0.5 0.5 Lưu ý chấm bài: - Trên đây là sơ lược các bước giải, lời giải học sinh cần lập luận chặt chẽ, hợp logic Nếu học sinh trình bày cách làm khác mà đúng thì điểm theo thang điểm tương ứng - Với bài toán hình học học sinh vẽ hình sai không vẽ hình thì không cho điểm phần tương ứng (6)