Đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh Toán lớp 9 Năm học 20122013 Phòng GD ĐT Hà Tĩnh12689

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ TĨNH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP THCS NĂM HỌC 2012 -2013 ĐỀ CHÍNH THỨC Mơn: TỐN Thời gian làm : 150 phút (Đề có 01 trang) Bài a) Tính giá trị biểu thức: M   x  y   3 x  y  xy  1 , biết x  3  2  3  2 , y  17  12  17  12 b) Giải phương trình: 2x x   x  x 1 x  x 1 Bài a) Giải hệ phương trình:  x  y   x   x  12 x  y  x  b) Tìm số tự nhiên a, b, c phân biệt cho biểu thức sau nhận giá trị nguyên P ab  1bc  1ca  1 abc Bài Tam giác ABC có chu vi 1, cạnh a, b, c thoả mãn đẳng thức: a b c    1 a 1 b 1 c Chứng minh tam giác ABC Bài Cho tam giác ABC vuông cân A, gọi D trung điểm cạnh BC Lấy điểm M đoạn thẳng AD (M không trùng với A) Gọi N, P theo thứ tự hình chiếu vng góc M xuống cạnh AB, AC H hình chiếu vng góc N xuống đường thẳng PD a) Chứng minh AH vng góc với BH b) Đường thẳng qua B song song với AD cắt đường trung trực AB I Chứng minh ba điểm H, N, I thẳng hàng Bài Các số dương x, y, z thỏa mãn điều kiện: x  y  z  Tìm giá trị nhỏ biểu thức: F x4 y4 z4   x  y x  y  y  z  y  z  z  x z  x        Hết Thí sinh khơng sử dụng tài liệu Giám thị khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh: Số báo danh: ThuVienDeThi.com SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO HÀ TĨNH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH CẤP THCS - NĂM HỌC 2012 -2013 HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN TỐN LỚP (Hướng dẫn chấm gồm 03 trang) Bài Bài 5,0 điểm Đáp án a) 2.5 điểm Ta có M = (x – y)(x2 + xy + y2 + 3) = x3+ 3x – (y3 + 3y) Áp dụng a  b   a  b  3aba  b  ta có: x   3  2  3  2    x  x  x    Điểm 0.5 0,75 y   17  12  17  12   24  y  y  y  24   Bài 5,0 điểm Vậy M =  20 b) 2,5 điểm Ta thấy x  khơng thoả mãn phương trình   Với x  , ta có pt cho  (1) 1 x  1 x  1 x x t 3  Đặt x   t t  Pt (1) trở thành    x t 1 t 1 t 1 t  2  5t  3t  14   (t  2)5t      t    Chỉ có t  thoả mãn, x    x  (t/m) Vậy pt có nghiệm x = x a) 2.5 điểm  x  2  y  a  y  Hệ pt   Đặt , hệ trở thành a  x   a  y  ( x  2)  y    a, y  1   a , y    2 3 a (1  a )  y (1  y )  2  a  y  a  y Từ (1), suy (2) có vế trái  , dấu xảy  a2(1-a) = y2(1- y) = a  a  x  x  Kết hợp a  y  ta có   Thay vào ta có nghiệm  ;  y  y  y  y  b) 2,5 điểm Điều kiện có nghĩa a, b, c  1 1 1 1 Ta có P = abc  a  b  c     , nên P nguyên  S =    nguyên a b c abc a b c abc 1 1 Không tính tổng quát, giả sử  a  b  c     < hay S < a b c abc 1 1 Hơn ta có      S > Do S = S = a b c a abc 1 1 1 3 +) S = Ta có =    <   <  >1  a =1 a = a b c abc a b c a a 1 1 1 Với a =  = + +  + = không xảy b c bc b c bc 1 1 1 1 Với a =  = + +  + = Suy >  b < b c 2bc b c 2bc b Từ  b   b = Thay vào c = Vậy a = 2, b = , c = ThuVienDeThi.com 0,75 0.5 0.5 1.0 1.0 0.5 1.0 1.0 0.5 0,5 0,5 0,5 1 1 1 3    <   <  a   a =1 a b c abc a b c a 1 Thay vào + =  >1  b =1 loại khơng thỏa mãn b > a b c bc b Kết hợp trường hợp vai trị bình đẳng nên số (a, b, c) cần tìm là: (2,3,5), (2,5,3), (3,5,2), (3,2,5), (5,3,2), (5,2,3) b  c  x yzx xz y x yz  Đặt c  a  y x, y, z dương a  ,b  ,c  2 a  b  z  +) S = Ta có = Bài 2,5 điểm Ta có: a b c a b c yzx xz y x yz         1 a 1 b 1 c b  c c  a a  b 2x 2y 2z 1 y x 1 z x 1 z y 3                  2 z y 2 x z 2 y z  2 Dấu “=” xảy  x  y  z Với x = y = z a = b = c hay tam giác ABC a) 2.5 điểm C  Bài 0,5 0,5 0,5 1,0 0,5 5,0điểm Vẽ tia Bx // AC, cắt tia PD E Ta có BE = PC = BN x 0,5 E D Do NBE  NHE  90 nên B, H thuộc đường H M trịn đường kính NE Suy NHB  NEB  45 (1) P 1,0 Tương tự hai điểm A, H thuộc đường trịn đường N A B kính PN, suy AHN  APN  45 (2) Từ (1) (2) suy AHB  90 hay ta có AH  BH 1,0 I Bài 2,5 điểm b) 2.5 điểm Từ giả thiết suy AIB  90 nên I điểm cung AIB đường trịn đường kính AB Mặt khác, theo kết câu a tia HN tia phân giác AHB AHB góc nội tiếp chắn cung AIB đường trịn đường kính AB, nên tia HN phải qua I Do điểm H, N, I thẳng hàng x4  y4  x4  y4 x4  y4 2x Ta có x y   x  y x  y  x  y x  y  x  y x  y  x  y2   x  y  x  y   x  y  x  y x y 4           2y4 2z Tương tự y z ,    z x 2 4 y  z y  z z  x z  x  x yz 1 Vậy 2F   x  y  z    x  y  z     F  Dấu xảy 4 2 1 x = y = z = Vậy giá trị nhỏ F _ Hết _ Ghi chú: Mọi cách giải gọn cho điểm tối đa tương ứng    1,0 1,5 1,0 1,0  ThuVienDeThi.com 0,5 ...SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO HÀ TĨNH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH CẤP THCS - NĂM HỌC 2012 -2013 HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN TỐN LỚP (Hướng dẫn chấm gồm 03 trang) Bài Bài 5,0 điểm...  90 nên B, H thuộc đường H M trịn đường kính NE Suy NHB  NEB  45 (1) P 1,0 Tương tự hai điểm A, H thuộc đường tròn đường N A B kính PN, suy AHN  APN  45 (2) Từ (1) (2) suy AHB  90 ... 45 (2) Từ (1) (2) suy AHB  90 hay ta có AH  BH 1,0 I Bài 2,5 điểm b) 2.5 điểm Từ giả thi? ??t suy AIB  90 nên I điểm cung AIB đường trịn đường kính AB Mặt khác, theo kết câu a tia HN tia phân