Toán 9 Bất đẳng thức cô si và các bất đẳng thức suy rộng4635

Chuyên đề Bấ t đẳ ng thứ c BẤ T ĐẲ NG THỨ C CÔ SI VÀ CÁC BẤ T ĐẲ NG THỨ C SUY RỘ NG Lờ i mở đầ u Bấ t đẳ ng thứ c mộ t lĩnh vự c khó chư ng trình tốn họ c phổ thơng, song lạ i ln có sứ c hấ p dẫ n, thu hút tìm tịi, óc sáng tạ o củ a nhữ ng ngư i yêu toán Dạ ng toán bấ t đẳ ng thứ c thư ng có mặ t kì thi tuyể n sinh, thi họ c sinh giỏ i hay kì thi Olympic Có rấ t nhiề u phư ng pháp ng minh bấ t đẳ ng thứ c ,mỗ i phư ng pháp lạ i có nhữ ng vẻ đẹ p độ c đáo riêng Ngay áp dụ ng mộ t phư ng pháp hay củ a tốn lạ i phụ thuộ c vào kĩ thuậ t linh hoat củ a từ ng ngư i sử dụ ng Do vậ y , khó nói rằ ng mộ t phư ng pháp ng minh bấ t đẳ ng thứ c đă chiế m vị trí độ c tơn tốn họ c Như ng nói nhữ ng bấ t đẳ ng thứ c bả n ,chúng ta phả i nhắ c tớ i bấ t đẳ ng thứ c Cô si Đây bấ t đẳ ng thứ c vô quan trọ ng rấ t thiế t thự c chư ng trình Tốn họ c phổ thông Bấ t đẳ ng thứ c Cô si đư ợ c áp dụ ng để ng minh nhiề u toán ,từ n giả n đế n phứ c tạ p Các em họ c sinh Trung họ c sở hiể u vậ n dụ ng vào toán hai biế n Như ng , có nhữ ng toán trở thành nhữ ng thách thứ c lớ n giớ i chuyên môn Trong khuôn khổ củ a tậ p này,em khơng có tham vọ ng trình bày tấ t nhữ ng vấ n đề liên quan tớ i bấ t đẳ ng thứ c Cô si, xin đư a mộ t số cách ng minh nhữ ng bấ t đẳ ng thứ c suy rộ ng củ a Hi vọ ng vố n kiế n thứ c nhỏ bé đem lạ i chút kiế n thứ c bổ ích cho bạ n lớ p ,nhấ t thờ i điể m sắ p xuố ng trư ng phổ thông thự c tậ p Em xin chân thành m n Phó giáo sư ,Tiế n sĩ Nguyễ n Minh Tuấ n giả ng y nhiệ t tình cho chúng em chuyên đề Bấ t đẳ ng thứ c ,giúp em họ c hỏ i thêm nhiề u kiế n thứ c tự tin hoàn thành tậ p ThuVienDeThi.com Chuyên đề Bấ t đẳ ng thứ c PHẦ N NỘ I DUNG §1 Bấ t đẳ ng thứ c Côsi Trong mụ c giớ i thiệ u bấ t đẳ ng thứ c Cơsi mộ t số ví dụ minh họ a Trư c hế t xét trư ng hợ p n giả n n Vớ i a, b R : a2 b2 ab Giả i a2 b2 a2 ab b2 a2 2ab b2 2ab ( a b) 0 (Đúng) Dấ u đẳ ng thứ c xả y a b Vớ i a, b : a b ab Giả i a b ( a )2 ab ( b)2 ab ( a Dấ u đẳ ng thứ c xả y a b)2 (Đúng) b a b Ví dụ Vớ i a, b, c , ng minh rằ ng a b c 3 (I.1.1) abc Giả i (I.1.1) a b Ta có a b c c 3 abc abc a b c abc c abc ab 2 ab 23 bac 43 abc Dấ u đẳ ng thứ c xả y ThuVienDeThi.com abc Chuyên đề Bấ t đẳ ng thứ c a b c abc ab a b c c3 abc Từ bấ t đẳ ng thứ c (I.1.1) ta thu đư ợ c bấ t đẳ ng thứ c sau : Vớ i a, b, c , ta có: a) ( b) a b c ) a3 b3 abc c3 abc Ví dụ 2.Vớ i a1 , a , , a n số thự c không âm, ng minh rằ ng n n n ( i ) n (I.1.2) i n Trong a1 a2 a n i n a1 a .a n i Giả i Cách (Dùng phư ng pháp quy nạ p) n 1,2 (I.1.2) hiể n nhiên Giả sử (I.1.2) vớ i n k (k 2) Ta ng minh bấ t đẳ ng thứ c vớ i n k Ta có Sk k( k k 1i k k ) a k i k 1 Theo giả thiế t quy nạ p thu đư ợ c k Sk ) k k( ak i 1 k ThuVienDeThi.com Chuyên đề Bấ t đẳ ng thứ c Để ng minh bấ t đẳ ng thứ c vớ i n k ta cầ n ng minh k k k( ) ak i 1 k k Kí hiệ u ) ( k k 1 k k i ( k ) , ak i Ta thu đư ợ c k k k k k ( (k 1) k k ) ) ( k ( )k k ( k ( )( k k ) ( ( )2 ( k k k k k k Bấ t đẳ ng thứ c , k ) ) ( ( k ) k k k ) k ) k 0 Vậ y (I.1.2) đư ợ c ng minh Cách (Dùng quy nạ p kiể u Côsi) n 1,2 (I.1.2) hiể n nhiên Giả sử (I.1.2) vớ i n số không âm ta ng minh (I.1.2) vớ i 2n số không âm 2n 2n 1 n i i 1 2n n i n an i i n n ( ) ( a n i ) i1 i 2n 2n n 2n 2n ) ( i 1 2n i Từ suy bấ t đẳ ng thứ c vớ i n k Ta ng minh (I.1.2) vớ i n k vớ i n k Thậ t vậ y: k k k 1i ( ) k i ThuVienDeThi.com Chuyên đề Bấ t đẳ ng thứ c k k k ( i ) k k( ) k i i Theo giả thiế t quy nạ p ai ) k ( i k( ) k ( i 1 i 1 k 1 ) k ) k ( i k k k 1 i k i 1 k k ) k (đpcm) k( i Cách x2 x1 x x n n x1 x n n x1 x2 n ln x1 ln x n n x n n n x1 x x n 1, n 1, n a1 a2 a n n n a1 a a n ThuVienDeThi.com Chuyên đề Bấ t đẳ ng thứ c n Ví dụ Cho 1, n) số hữ u tỉ dư ng; i (i 0(i 1, n); i ; ng i minh rằ ng a 1 a2 n a1 a 2 a n n an (I.1.3) Giả i n Vì 1, n) số hữ u tỉ dư ng i (i nên ta viế t i i Pi (i 1, n) N i Suy 0, (i 1, n) Pi n Pi N i Áp dụ ng bấ t đẳ ng thứ c Cơsi ta có P1 a1 a1 a1 a2 a2 P1 P1 a1 N P2 a2 N a 1 Ví dụ Vớ i Pn P2 a2 Pn an N n a a n P2 Pn P1 N P2 N a a a an a n P1 P2 Pn a1P1 a 2P2 a nPn Pn N n a1 a 2 a n n (đpcm) an 0(i 1, n); mi (i 1, n) số hữ u tỉ dư ng; ng minh rằ ng m1 a1 m2 a mn a n m1 m2 mn m1 m2 mn a1m1 a 2m2 a nmn (I.1.4) Giả i Đặ t mi m2 m2 i mn ; từ giả thiế t củ a toán ta suy i (i 1, n) số n hữ u tỉ dư ng i Khi i (I.1.4) a 1 a2 n an a1 a 2 a n n (đúng) ( theo bấ t đẳ ng thứ c (I.1.3) ThuVienDeThi.com Chuyên đề Bấ t đẳ ng thứ c k k i 1 k 1 ) k ( ) k (đpcm) k( i i §2.Các ng trung bình bấ t đẳ ng thứ c liên quan Ta gọ i ( 1: a b trung bình bậ c ) Mộ t số trư ng hợ p đặ c biệ t a b gọ i trung bình cộ ng ab gọ i trung bình nhân 1: 2ab gọ i trung bình điề u hịa a b Trong mụ c quan tâm tớ i bấ t đẳ ng thứ c đư ợ c ng minh nhờ tính chấ t củ a ng trung bình ; Trung bình nhân Trung bình Trung bình điề u hịa Mố i liên hệ giữ a ng trung bình I Trung bình nhân Chúng ta có kế t bả n sau: Ví dụ Vớ i , bi (i 1, n) nhữ ng số thự c dư ng Chứ ng minh rằ ng n ) ( n n bi ) ( i 1 n n n (ai i (I.2.1) bi ) i Giả i Bấ t đẳ ng thứ c cho tư ng đư ng vớ i n P ( i bi ) n n ( i bi bi ) n Áp dụ ng bấ t đẳ ng thứ c Côsi ta thu đư ợ c P n n i ai bi n n i ai bi ThuVienDeThi.com Chuyên đề Bấ t đẳ ng thứ c P (đpcm) Ví dụ 2.Vớ i aij (i 1, n, j 1, m) số thự c dư ng, ng minh rằ ng n m ( j aij ) n n n m ( (I.2.2) aij ) i j i Giả i Bấ t đẳ ng thứ c cho tư ng đư ng vớ i ( P n aij m ) m j 1 aij j Áp dụ ng bấ t đẳ ng thứ c Côsi ta thu đư ợ c m P n m aij n n m j i aij aij n n j m i j aij n 1 (đpcm) i j Ví dụ 3.(Bấ t đẳ ng thứ c Cơsi ng tích) Vớ i (i 1, n) số thự c dư ng, ng minh rằ ng n n (1 ) ( ) n n (I.2.3) i i Giả i Bấ t đẳ ng thứ c cho tư ng đư ng vớ i n n n (1 ) ( ) i i 1 P n n ) ( n ( i n ) Áp dụ ng bấ t đẳ ng thứ c Côsi ta thu đư ợ c P P n n n i 1 n n i 1 n 1 (đpcm) i ThuVienDeThi.com Chuyên đề Bấ t đẳ ng thứ c Ví dụ 4.Vớ i , bi (i 1, n) nhữ ng số thự c dư ng,chứ ng minh rằ ng n n (1 bi ) ) ( i 1 n n bi ) ( n n (I.2.4) i i Giả i Bấ t đẳ ng thứ c cho tư ng đư ng vớ i n n (1 n bi ) ( ) i 1 n n ( i 1 P n )n bi ( ( i bi ) n i 1 )n bi ( bi )n bi Áp dụ ng bấ t đẳ ng thứ c Côsi ta thu đư ợ c n P n i bi 1 n P n n i bi 1 n n i bi bi 1 n 1 (đpcm) i Ví dụ 5.(Mở rộ ng bấ t đẳ ng thứ c Bunhiacopski) Vớ i , bi , ci (i 1, m) nhữ ng số thự c dư ng, ng minh rằ ng 1.( bi ) m (ai ci ) m bi (ai (I.2.5.1) m bi m m (I.2.5.2) ci ) i i i i m bi ) m m m m m i i i 2.( m m m Giả i Ta ng minh bấ t đẳ ng thứ c (2.5.2) Đặ t Ai m m , Bi bi , C i Suy Ai m m 1 , Bi m bi , C i m m (2.5.2) ci ( Ai ) m i m ( Bi ) m m ( i m P ci ta thu đư ợ c ( i Ai Ai Bi Ci ) m m ( i Ci ( i Bi Ci ) i m ) Ai m Bi Bi Ai ThuVienDeThi.com m Ci ) ( i Ai Ci Bi Ci ) Chuyên đề Bấ t đẳ ng thứ c Áp dụ ng bấ t đẳ ng thứ c Côsi ta thu đư ợ c m m P i m m P i Ai Ai Bi Ci Ai Ai Bi Bi Ci Ci m m Ai i Bi Bi m m Ci i Ai Ci Bi Ci (đpcm) Bấ t đẳ ng thứ c (I.2.5.1) trư ng hợ p riêng củ a bấ t đẳ ng thứ c (I.2.5.2) II Trung bình Ta có tính chấ t: tổ ng trung bình lớ n hơ n hoặ c bằ ng trung bình củ a tổ ng Ví dụ Vớ i , bi (i 1, n) số thự c dư ng bấ t kỳ , ng minh rằ ng n bi n n ) ( i bi ) ( i (I.2.6) i Giả i Ta ng minh bấ t đẳ ng thứ c vớ i n a1 b1 a2 b2 (a1 a2 ) (b1 b2 ) Bình phư ng hai vế ta nhậ n đư ợ c a1 b12 a 22 b22 (a12 (a12 b12 )(a22 b22 ) (a12 b1 )(a 22 (a1b2 a1 a b22 ) a b1 ) b12 )(a 22 b22 ) (a1 b1b2 b1b2 ) (a1 a Đúng Giả sử bấ t đẳ ng thứ c vớ i n k k bi k k ) ( i bi ) ( i i Ta ng minh bấ t đẳ ng thứ c vớ i n k Ta có k bi k bi a k2 bk2 i i k i 2 bi k k ) ( ( i bi ) i 10 ThuVienDeThi.com a k2 bk2 a2 ) (b1 b2 ) Chuyên đề Bấ t đẳ ng thứ c k k ) ( bi ) (đpcm) ( i i Ví dụ Vớ i , bi (i 1, n) số thự c dư ng bấ t kỳ , ng minh rằ ng n n ai3 bi3 n ) ( i i b1 ) ( (I.2.7) i Giả i Ta ng minh bấ t đẳ ng thứ c vớ i n a13 b13 a 23 b23 a2 ) (a1 (b1 b2 ) Lậ p phư ng hai vế bấ t đẳ ng thứ c ta thu đư ợ c (a13 b13 ) (a 3 b2 ) (a13 b13 )(a 23 b23 ) a12 a a1 a 22 b12 b2 b1b22 Áp dụ ng bấ t đẳ ng thứ c Bunhiacopski mở rộ ng (tính chấ t trung bình nhân) ta thu đư ợ c 3 (a13 b13 ) (a2 (a13 b13 )(a23 b23 ) b2 ) a1 a1 a b1b1b2 a12 a2 a1 a a b1b2 b2 a1 a b12b2 b1b2 Cộ ng từ ng vế củ a hai bấ t đẳ ng thứ c ta thu đư ợ c điề u phả i ng minh Giả sử bấ t đẳ ng thứ c vớ i n k ta ng minh bấ t đẳ ng thứ c vớ i n k k k ai3 bi3 ai3 bi3 a k3 bk3 i i k k ai3 bi3 k ) ( i i b1 ) ( i k k ) ( i b1 ) ( i Vậ y bấ t đẳ ng thứ c đư ợ c ng minh III Trung bình điề u hịa Ta xét bấ t đẳ ng thứ c bả n sau Ví dụ Cho , bi 0(i 1, n) ,chứ ng minh rằ ng 11 ThuVienDeThi.com ak3 bk3 Chuyên đề Bấ t đẳ ng thứ c n n n i )( ( bi bi bi ) i n i n (I.2.8) bi i i Giả i Bấ t đẳ ng thứ c cho tư ng đư ng vớ i n n n i ( bi bi )( bi bi ) n i n i n bi i bi i i n bi2 n i bi ) ( i n n bi bi i i Ta có n n bi ) ( bi ( i i n bi bi2 ( n n bi i bi ) bi ) (đpcm) i i Ví dụ 9.Vớ i a, b, c , ng minh rằ ng P a 2b b a 3c c 6( a b c ) a b c (I.2.9) Giả i Ta có bấ t đẳ ng thứ c cầ n ng minh tư ng vớ i a a N 2b b 3c c a b c 6( a b c ) a b c 36 a b c Ta có 36 62 ( 1 a a 2 b Suy 12 ThuVienDeThi.com b 3 c c )2 Chuyên đề Bấ t đẳ ng thứ c 36 N (6 a b c ) 36 (đpcm) a b c N IV Các bấ t đẳ ng thứ c liên hệ giữ a ng trung bình Ví dụ 10.Vớ i a, b số thự c dư ng, ng minh rằ ng 2ab a b a2 a b ab b2 (I.2.10) Giả i Ta có 2ab a b a b ab a2 a b b2 ( a b) b)2 ( a ab a2 b2 Đúng ( a b) Đúng Suy 2ab a b a2 a b ab b2 (đpcm) Các bấ t đẳ ng thứ c mở rộ ng: Bài Vớ i a,b , ng minh rằ ng a3 b3 a4 b4 (I.2.11) Giả i : Lũy thừ a 12 hai vế bấ t đẳ ng thứ c ta nhậ n đư ợ c (a b3 )4 2(a b )3 Áp dụ ng kế t củ a bấ t đẳ ng thứ c (I.2.5.1) (a b3 )4 (1.a.a.a 1.b.b.b) (14 14 )(a Bài Vớ i a, b, c , ng minh rằ ng 13 ThuVienDeThi.com b4 ) 2(a b ) (đpcm) Chuyên đề Bấ t đẳ ng thứ c a5 b5 c5 a6 b6 c6 (I.2.12) Giả i Lũy thừ a 30 hai vế ta thu đư ợ c (a b5 c5 )6 3(a b6 c )5 Áp dụ ng kế t củ a bấ t đẳ ng thứ c (I.2.5.2) ta có (a b5 c5 )6 (1.a.a.a.a.a 1.b.b.b.b.b 1.c.c.c.c.c) (16 16 16 )(a b6 c ) (đpcm) Bài Vớ i a, b, c , ng minh rằ ng (1 a ) (1 b ) (1 c ) (1 ab ) (1 bc ) (1 ca ) ( a ) Hư ng dẫ n Ta có (1 a ) (1 b ) (1 c ) (1 ab ) (1 a ) (1 b ) (1 c ) (1 bc ) (1 a ) (1 b ) (1 c ) (1 ca ) Nhân vế củ a bấ t đẳ ng thứ ctrên ta thu đư ợ c đpcm Bài Vớ i a, b, c , ng minh rằ ng (1 a b ) (1 b c ) (1 c a3 ) (1 2abc) Hư ng dẫ n Sử dụ ng (1 a1 b1 ) (1 b1 c1 ) (1 c1 a1 ) (1 a1 a a3 Bài Vớ i a, b, c , ng minh rằ ng a2 b2 c2 (a b c) Hư ng dẫ n Sử dụ ng 14 ThuVienDeThi.com b1b2 b3 ) Chuyên đề Bấ t đẳ ng thứ c a12 Chọ n a1 a b12 a3 c12 c12 a, b2 b, b3 b12 1; b1 MỘ T SỐ a12 (a1 a2 a3 ) (b1 b2 c ta thu đpcm BẤ T ĐẲ NG THỨ C SUY RA TỪ BẤ T ĐẲ NG THỨ C CƠSI §1.Các bấ t đẳ ng thứ c suy từ ng trung bình I Ta có kế t sau Ví dụ 1.Vớ i A B ,chứ ng minh rằ ng : B AB A B A B AB (II.1.1) A Giả i Áp dụ ng kế t củ a bấ t đẳ ng thứ c (I.2.10) ta có AB A B A B AB Ta ng minh AB A B B B( A B) BA B B 2 AB AB AB B( A B) Đúng.( B 0, A Ta ng minh A B A A B 2A B A Đúng Vậ y bấ t đẳ ng thứ c đư ợ c ng minh 15 ThuVienDeThi.com B) b3 ) Chuyên đề Bấ t đẳ ng thứ c Ví dụ Vớ i A B ,chứ ng minh rằ ng B ( A B ) A ( B ) Giả i Dễ thấ y B ( A B ) A ( 1 B ) A Ta cầ n ng minh ( A B ) ( A B Đặ t A a, B b A ) a ,B A b a ,B b Khi ( A B a b ( ) ( Đặ t ) ( a b ) b a a b ( a b a b a b t (1 t ) ) a b ) b ( ) B ( A a Do a Đặ t t ( a b ) b a b ) t 2.( ) (0 t 1) 2.( ) 16 ThuVienDeThi.com A (1 ) (II.1.2) Chuyên đề Bấ t đẳ ng thứ c Xét f (t ) t f ' (t ) f ' (t ) , (0 t 1) (1 t ) t ( 1)(1 t ) t (1 t ) 1 t Bả ng biế n thiên t f ' (t ) - + f (t ) 2( ) Suy f (t ) 2( ) (đpcm) f( ) Các bấ t đẳ ng thứ c mở rộ ng: Bài Vớ i a, b, c , ng minh rằ ng a4 (ab bc ca) b4 c4 3(a b b 2c c a ) 2abc(a b c) Giả i Ta có a2 b2 2ab b2 c2 2bc c2 a2 2ca Cộ ng vế vớ i vế củ a bấ t đẳ ng thứ c ta thu đư ợ c a2 b2 c2 ab bc ca Suy 17 ThuVienDeThi.com (a b2 c2 ) Chuyên đề Bấ t đẳ ng thứ c (a ab bc ca c2 )2 (ab bc ca) 2 a4 (ab bc ca) b2 b4 c4 3(a b b 2c a2 b2 c2 c a ) 2abc(a b c) (a b2 c2 ) Bài Vớ i a, b, c , ng minh rằ ng 2(a b c) ab bc ca a b c Giả i Ta ng minh bổ đề sau a Ta có b c a b c ( a b c )2 (1 1)(a b c) a b c a b c Vậ y 3(a b c) Suy a b c a b c ( a c )2 b ( a b c )2 4(a b c) 2( ab 2(a b c) ab bc ca a bc b ca ) c §2 Các bấ t đẳ ng thứ c suy từ bấ t đẳ ng thứ c Cô si nhờ hằ ng đẳ ng thứ c Xuấ t phát từ ý tư ng n giả n : Nế u có A B bấ t đẳ ng thứ c (1 )( A B ) 1) mạ nh hơ n tùy thuộ c vào độ gầ n củ a (0 Chúng ta xây dự ng mộ t số BĐT nhờ việ c đư a tham số vào bấ t đẳ ng thứ c trư ng hợ p đặ c biệ t củ a Ví dụ Vớ i a) a b , , 2ab b) a b c , ng minh rằ ng ( a b) (II.2.1.1) ab bc ca ( a b) 2 Giả i 18 ThuVienDeThi.com (b c) 2 (c a ) (II.2.1.2) Chuyên đề Bấ t đẳ ng thứ c a) a2 b2 2ab (a b2 2ab) (a b) (1 ( a b) ) ( a b) 0 b) Áp dụ ng kế t củ a câu a ta có : a2 b2 2ab ( a b) b2 c2 2bc (b c) c2 a2 2ca (c a ) Công vế vớ i vế củ a bấ t đẳ ng thứ c ta thu đư ợ c a2 b2 c2 ab bc ca Ví dụ Vớ i a, b, c 0;0 , , a2 b (a b c) b2 c c2 a ( a b) 2 (b c) 2 (c a ) , ng minh rằ ng b ( a b) (b c) c a (c a ) (II.2.2) Giả i Ta ng minh a2 b b 2 a b 2a 2ab b ( a b) (a b) Đúng.( theo II.2.1.1) Cộ ng từ ng vế củ a bấ t đẳ ng thứ c a2 b b 2a b2 c c 2b a 2c b c ( a b) (b c) 2 c a a (c a ) Ta thu đư ợ c a2 b b2 c c2 a (a b c) 2( a b c ) a2 b b2 c c2 a (a b c) ( a b) b 19 ThuVienDeThi.com b c ( a b) (b c) c a (b c) a (c a ) (c a ) (đpcm) Chuyên đề Bấ t đẳ ng thứ c Ví dụ Vớ i m, n số tự nhiên; a, b, c , ng minh rằ ng am n bm m (a n b m )(a n bn ) (a m b m )(a n bn ) (II.2.3) Giả i Ta ng minh bổ đề sau : Vớ i m, n số tự nhiên ; a,b (a m b m )(a n b n ) Thậ t vậ y: Nế u a b Nế u a b am bm n n a b am bm n n a b (a m b m )(a n bn ) Đúng (a m b m )(a n bn ) Đúng Áp dụ ng kế t củ a bổ đề ,ta có (II.2.3) )(a m (1 b m )(a n bn ) Đúng Ví dụ Vớ i a, b 0; m, n số tự nhiên, ng minh rằ ng am n bm n ( a b m ) n (a m b m )(a n bn ) (II.2.4) Giả i Áp dụ ng bấ t đẳ ng thứ c (II.2.3) ta có am bm n n m (a b m )(a n bn ) (a m b m )(a n bn ) Suy am n bm n (Do m (a Ví dụ Vớ i a,b 0;0 ( a b m ) b m )(a n n bn ) (a m ( b m )(a n a b m ) n b n ) (đpcm) ) , ng minh rằ ng 20 ThuVienDeThi.com ... c) a b c a b c Vậ y 3(a b c) Suy a b c a b c ( a c )2 b ( a b c )2 4(a b c) 2( ab 2(a b c) ab bc ca a bc b ca ) c §2 Các bấ t đẳ ng thứ c suy từ bấ t đẳ ng thứ c Cô si nhờ hằ ng đẳ ng thứ c Xuấ... 1; b1 MỘ T SỐ a12 (a1 a2 a3 ) (b1 b2 c ta thu đpcm BẤ T ĐẲ NG THỨ C SUY RA TỪ BẤ T ĐẲ NG THỨ C C? ?SI §1 .Các bấ t đẳ ng thứ c suy từ ng trung bình I Ta có kế t sau Ví dụ 1.Vớ i A B ,chứ ng minh...Chuyên đề Bấ t đẳ ng thứ c PHẦ N NỘ I DUNG §1 Bấ t đẳ ng thứ c C? ?si Trong mụ c giớ i thiệ u bấ t đẳ ng thứ c C? ?si mộ t số ví dụ minh họ a Trư c hế t xét trư ng hợ p n giả n n Vớ i a,