Toán 9 Bất đẳng thức và giá tri lớn nhất, nhỏ nhất42680

ĐẶNG VIỆT ANH-BR BẤT ĐẲNG THỨC VÀ GIÁ TRI LN NN 1)Cho x, y, z  x  y  z  Chứng minh: 2 x3  y2  y3  z2  z3  x2  2 GIẢI Ta có: VT + = ( x3 y3  y )( 1 y  z )( 1 z z3 1 x  x2 ) 0.25  VT  ( x3   y2 x3  y2   y2 y3 y3  z2 ) (   ) 2 4 2 1 z 1 z  x2 (   )  x2  x2 z3 z3 0.25 x6 y6 z6 3 VT  3 3 3 16 16 16 0.25 3  VT   ( x2  y  z )  2 23 2  VT  23  2  2  2   VP (đpcm) ( Dấu xảy x = y = z = 1) 2)Cho x, y, z số thực dương lớn thoả mãn điều kiện xy + yz + zx  2xyz Tìm giá trị lớn biểu thức A = (x - 1)(y - 1)(z - 1) GIẢI Ta có xy  yz  xz  xyz  1    nên x y z 1 y 1 z 1 ( y  1)( z  1)  1 1   2 (1) x y z y z yz Tương tự ta có 1 x 1 z 1 ( x  1)( z  1)  1 1   2 (2) y x z x z xz 1 x 1 y 1 ( x  1)( y  1)  1 1   2 (3) y x y x y xy Nhân vế với vế (1), (2), (3) ta ( x  1)( y  1)( z  1)  Amax = x yz ThuVienDeThi.com ĐẶNG VIỆT ANH-BR   Với số thực x, y thỏa điều kiện x  y  xy  Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ x4  y biểu thức P  xy  G   1 Và xy   x  y   xy  xy  xy  ĐK:   t  Đặt t  xy Ta có: xy   x  y   xy  4 xy  xy   2 x Suy : P  Do đó: P '   y2   2x y 2 xy   t  t 2t  1 2  7t  2t  2t  1 , P '   t  0(th), t  1(kth)  1 1 P 0   P   P    5   15  1 KL: GTLN GTNN ( HSLT đoạn  ;  ) 15  3 4)Với số thực dương x; y; z thỏa điều kiện x  y  z  Tìm giá trị nhỏ biểu 1 1 thức: P  x  y  z      x y z G  12 (1) Dấu xãy x  x 2 Tương tự: 18 y   12 (2) 18 z   12 (3) y z Mà: 17 x  y  z   17 (4) Cộng (1),(2),(3),(4), ta có: P  19 Áp dụng BĐT Cô-si : 18 x  P  19  x  y  z  Chứng minh KL: GTNN P 19 a2 b2 c2    ab bc ca  ab   bc  ca  a  b  c với số dương a; b; c G Ta có: a ab ab a a a ab (1) ab ab 2 ab b2 c2 b bc (2), c ca (3) bc ca a2 b2 c2 Cộng (1), (2), (3), ta có:    ab  bc  ca  a  b  c ab bc ca Tương tự:  6)Cho x, y, z số dương thỏa mãn  1 1 1    CMR:   1 x y z 2x  y  z x  2y  z x  y  2z ThuVienDeThi.com ĐẶNG VIỆT ANH-BR 1 1 1 1 1 1  (  );  (  );  (  ) 2x  y  z 2x y  z x  2y  z 2y x  z x  y  2z 2z y  x 1 1 + Lại có :  (  ); xy x y 1 1  (  ); yz y z 1 1  (  ); xz x z +Ta có : cộng BĐT ta đpcm 7) Cho a, b, c  a  b  c  Tìm giá trị nhỏ biểu thức a3 b3 c3 P    b2  c2  a2 GIẢI Ta có: P + =  P  a 1 b a  b2  1 b2  b 1 c a 2 1 b2 c  c2   1 a 1 b 2   a2 b3  c2  b2  c2   c2 1 a2 a6 b6 c6 3    3 3 3 16 16 16 2 1 a2 1 a2 3 9 3      P  (a  b  c )   P  2 23 2 26 2 2 2 Để PMin a = b = c = c3 c2 Cho số thực dương a,b,c thay đổi thoả mãn : a+b+c=1.Chứng minh : a  b2 b  c2 c  a    bc ca ab GIẢI 2 a b c b c a   )(   )  A B Ta có :VT = ( bc ca ab bc ca ab A3  1 1    (a  b)  (b  c)  (c  a)  a  b b  c c  a  1 1  3 (a  b)(b  c)(c  a )3  ab bc ca  A ThuVienDeThi.com ĐẶNG VIỆT ANH-BR a2 b2 c2 2  (a  b  c)  (   )(a  b  b  c  c  a ) ab bc ca   B.2  B  Từ tacó VT     VP 2 Dấu đẳng thức xảy a=b=c=1/3 Cho số dương x, y, z thỏa mãn : x +3y+5z  Chứng minh rằng: xy 625 z  + 15 yz x  + zx 81 y   45 xyz GIẢI Bất đẳng thức 4  x  + y  + 25 z   x 9y 25 z 45 2 2 36 VT  ( x  y  z )  (   )  9(.3 x.3 y.5 z )  x y 5z ( x.3 y.5 z ) Đặt t = ( x.3 y.5 z ) ta có  x  y  5z  ( x.3 y.5 z )     t    Điều kiện < t  XÐ hàm số f(t)= 9t + Dấu xảy khi: t=1 hay x=1; y= 36 36 36  36t   27t  36t  27 =45 t t t 1 ; z= 10 Cho x, y, z số thực thuộc (0;1] Chứng minh 1    xy  yz  zx  x  y  z Để ý xy  1  x  y   1  x 1  y   ; GIẢI  yz   y  z tương tự ta có   zx   z  x Vì ta có: ThuVienDeThi.com ĐẶNG VIỆT ANH-BR  x y z 1      111 x  y  z    xy  yz  zx   yz  zx  xy   x y z   3 yz  zx+y xy  z  z y   x   5  yz  zx  y xy  z   z y   x 1   5  z y yz 5 11.Cho a, b, c ba cạnh tam giác Chứng minh b c   a    2   3a  b 3a  c 2a  b  c  3a  c 3a  b GIẢI a  b  c  Vì a, b, c ba cạnh tam giác nên: b  c  a c  a  b  ab ca  x,  y , a  z  x, y , z    x  y  z , y  z  x, z  x  y 2 Vế trái viết lại: ab ac 2a VT    3a  c 3a  b 2a  b  c x y z    yz zx x y 2z z  Ta có: x  y  z  z x  y  z   z x  y   x yz x y x 2x y 2y  ;  Tương tự: yz x yz zx x yz x  y  z  x y z     Do đó: yz zx x y x yz b c      2 Tức là: a    3a  b 3a  c 2a  b  c  3a  c 3a  b Đặt 12 Cho hai số dương x, y thỏa mãn: x  y  Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P  Cho hai số dương x, y thỏa mãn: x  y  P 4x  y 2x  y  xy GIẢI 4x  y 2x  y x y y x y           xy y x y x 2 Thay y   x được: P  y x 5 x y y         x    x   2 2 y x y x y x ThuVienDeThi.com ĐẶNG VIỆT ANH-BR P Lưu ý: 3 x  1; y  Vậy Min P = 2 Có thể thay y   x sau tìm giá trị bé hàm số g ( x)  3x  3x   x(5  x) 13 Cho x, y, z  thoả mãn x+y+z > Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  x3  y  16 z x  y  z  GIẢI x  y  Trước hết ta có: x3  y  (biến đổi tương đương)   x  y  x  y   x  y  4P  Đặt x + y + z = a Khi a a  z    64 z 3 a  64 z 3  1  t   64t 3 z ,  t 1) a Xét hàm số f(t) = (1 – t)3 + 64t3 với t  0;1 Có (với t = f '(t )  64t  1  t   , f '(t )   t   0;1   Lập bảng biến thiên 64 16  Minf t    GTNN P đạt x = y = 4z > 81 81 t0;1 1 1 14 Chứng minh: x  y  z      12 với số thực x , y , z thuộc đoạn 1;3 x y z GIẢI Ta có:  t   t  1t  3   t  4t    t   t 3 Suy : x   ; y   ; z   x y z 1 1  Q  x  y  z        12 x y z 1 1 Q 1 1 x  y  z        x  y  z      12 x y z x y z 15.Tìm giá trị nhỏ hàm số y  x  1ln x GIẢI x 1 x x 1 y’=  x  ; y(1) = y  ln x  HSĐB x Khi < x <  y '  ; x >  y '  TXĐ: D  0;    ; y '  ln x  ThuVienDeThi.com ĐẶNG VIỆT ANH-BR KL: miny =  x  16 Cho x, y, z số thực thuộc (0;1] Chứng minh 1    xy  yz  zx  x  y  z GIẢI Để ý xy  1  x  y   1  x 1  y   ;  yz   y  z tương tự ta có   zx   z  x Vì ta có:  x y z 1      111 x  y  z    xy  yz  zx   yz  zx  xy   x y z   3 yz  zx+y xy  z  z y   x     vv  yz  zx  y xy  z   z y   x 1   5  z y yz 5 17 Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn: x2 + y2 + z2  Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P 1    xy  yz  zx Giải  1    9   xy  yz  zx  2/ Ta có: (1  xy )  (1  yz )  (1  zx)  P 9   xy  yz  zx  x  y  z Vậy GTNN Pmin =  P x = y = z  18 Cho a, b, c số thực thoả mãn a  b  c  Tìm giá trị nhỏ biểu thức M  4a  9b  16c  9a  16b  4c  16a  4b  9c GIẢI Theo – si có 22  2b  2c  2a  b  c  Tương tự …       Đặt u  2a ;3b ; 4c , v  2c ;3a ; 4b , w  2b ;3c ; 4a  M  u  v  w     M  uvw       2a  2b  2c   3a  3b  3c   4a  4b  4c  2 ThuVienDeThi.com ĐẶNG VIỆT ANH-BR Vậy M  29 Dấu xảy a  b  c  19 Cho x, y, z  thoả mãn x+y+z > Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  x3  y  16 z x  y  z  GIẢI x  y  Trước hết ta có: x3  y  Đặt x + y + z = a Khi x  y  4P  a   x  y  x  y   a  z    64 z 3 a  64 z 3  1  t   64t 3 z ,  t 1) a Xét hàm số f(t) = (1 – t)3 + 64t3 với t  0;1 Có (với t = f '(t )  64t  1  t   , f '(t )   t   0;1   Lập bảng biến thiên 16 64 đạt x = y = 4z >  Minf t    GTNN P 81 81 t0;1 20.Xét số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện x + y + z = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P x (y  z) y (z  x) z (x  y)   yz zx xz GIẢI 2 2 2 x x y y z z      (*) y z z x x y Nhận thấy : x2 + y2 – xy  xy x, y  ฀ Ta có : P  Do : x3 + y3  xy(x + y) x, y > x y2   x  y x, y > y x hay y2 z2   y  z y, z > z y Tương tự, ta có : z2 x   z  x x, z > x z Cộng vế ba bất đẳng thức vừa nhận trên, kết hợp với (*), ta được: P  2(x + y + z) = x, y, z > x + y + z = 1 Hơn nữa, ta lại có P = x = y = z = Vì vậy, minP = 21 Cho x, y, z  thoả mãn x+y+z > Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  x  y   Trước hết ta có: x  y 3 x  y  z  (biến đổi tương đương)   x  y  x  y   x  y  4P  Đặt x + y + z = a Khi x3  y  16 z a  64 z 3 a  z   a  64 z 3 ThuVienDeThi.com  1  t   64t 3 ĐẶNG VIỆT ANH-BR z (với t = ,  t  ) a Xét hàm số f(t) = (1 – t)3 + 64t3 với t  0;1 Có f '(t )  64t  1  t   , f '(t )   t   0;1   Lập bảng biến thiên 16 64 đạt x = y = 4z >  Minf t    GTNN P 81 81 t0;1  a1  b1  c1   23  b a c  c b a  a c b   22.Cho a,b,c ba số thực dương Chứng minh: a  b3  c  * Ta cm với a, b > có a3 + b3  a2b + ab2 (*) Thật vậy: (*)  (a + b)(a2 -ab + b2) - ab(a + b)   (a + b)(a - b)2  Đẳng thức xẩy a = b * Từ (*)  a3 + b3  ab(a + b) b3 + c3  bc(b + c) c3 + a3  ca(c + a) 3  2(a + b + c3 )  ab(a + b) + bc(b + c) + ca(c + a) * Áp dụng BĐT co si cho số dương ta có: 1 1 1 + +  33 3 = abc a a a a b c * Nhân vế với vế (1) (2) ta BĐT cần cm Đẳng thức xẩy a = b = c 3 (1) (2) 23 Cho x, y, z ba số thực dương thay đổi thỏa mãn: x  y  z  xyz Hãy tìm giá trị lớn biểu P thức: P x y z   x  yz y  zx z  xy x y z   x  xy y  zx z  xy Vì x; y; z  , Áp dụng BĐT Côsi ta có: P  x 2 x yz   y 2 y zx  z z xy  2     yz zx xy   1 1 1   yz  zx  xy   x  y  z             y z z x x y   xyz xyz  2  xyz      xyz   ThuVienDeThi.com    = ĐẶNG VIỆT ANH-BR Dấu xảy  x  y  z  Vậy MaxP = x 24 Cho x,y  R x, y > Tìm giá trị nhỏ P  Đặt t = x + y ; t > Áp dụng BĐT 4xy  (x + y)2 ta có xy  P  y  x  y  ( x  1)( y  1) t t2 t  t  xy (3t  2) Do 3t - >  xy   nên ta có xy  t  t (3t  2) t2  P t2 t2  t 1 t2 t  4t Xét hàm số f (t )  ; f '(t )  ; f’(t) =  t = v t = t2 (t  2) t f’(t) + f(t) + t3  t2  + + x  y  x   Do P = f (t ) = f(4) = đạt  (2; )  xy  y  25.Cho x  0, y  0, x  y  Tìm giá trị nhỏ biểu thức T x y  1 x 1 y     2 cos a sin a cos3 a  sin a sin a  cos a 1  sin a.cos a  T    sin a cos a sina.cos a sin a.cos a  t2 1  Đặt t  sin a  cos a  sin  a    sin a.cos a  4  Đặt x  cos a; y  sin a  a   0; Với  a   1 t  2 t  3t Khi T   f t ; t 1 t  f ' t   2   f t   f  t  1; t  1    ThuVienDeThi.com ĐẶNG VIỆT ANH-BR   1 Vậy f t   f  x  y  Hay T  x  y  t1;  2 f (t)  t  2t  1, t  f '(t)  t    t  2  f (t)  f ( )  16 Vậy : A  x  y  16 26.Cho số thực không âm x, y thay đổi thỏa mãn x + y = Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức S = (4x2 + 3y)(4y2 + 3x) + 25xy S = (4x2 + 3y)(4y2 + 3x) + 25xy = 16x2y2 + 12(x3 + y3) + 34xy = 16x2y2 + 12[(x + y)3 – 3xy(x + y)] + 34xy = 16x2y2 + 12(1 – 3xy) + 34xy = 16x2y2 – 2xy + 12 Đặt t = x.y, x, y  x + y = nên  t  ¼ Khi S = 16t2 – 2t + 12 S’ = 32t – ; S’ =  t = 16 25 191 S(0) = 12; S(¼) = ;S( )= Vì S liên tục [0; ¼ ] nên : 16 16 25 Max S = x = y = 2   2 2 x  x   191   4 Min S =  hay  3   16 y  y    4 G 27.Chứng minh với số thực dương x, y, z thoả mãn x(x + y + z) = 3yz, ta có: 3 x  y   x  z   x  y x  z y  z   y  z  Giải: Từ giả thiết ta có: x2 + xy + xz = 3yz  (x + y)(x + z) = 4yz Đặt a = x + y b = x + z Ta có: (a – b)2 = (y – z)2 ab = 4yz Mặt khác a3 + b3 = (a + b) (a2 – ab + b)2  2(a  b ) a  b   ab    = (a  b)  2ab  a  b   ab    = 2 (y  z)  2yz  y  z   4yz    ThuVienDeThi.com ĐẶNG VIỆT ANH-BR (y  z)  4yz  y  z  =  4(y  z) y  z   2(y  z) (1) Ta lại có: 3(x + y)(y +z)(z + x) = 12yz(y + z)  3(y + z)2 (y + z) = 3(y + z)3 (2) Cộng vế (1) (2) ta có điều phải chứng minh 28 Cho a, b, c  a  b  c  Tìm giá trị nhỏ biểu thức a3 b3 c3 P    b2  c2  a2 Ta có: P + =  P  a3 1 b a  b2  1 b2  b3 1 c a 2 1 b2 c3  c2   1 a 1 b 2   a2 b3  c2  b2  c2   c2 a6 b6 c6 1 a2  33  33  33 16 16 16 2 1 a2 1 a2 9 3 3      P  (a  b  c )   P  2 2 2 2 23 2 26 Để PMin a = b = c =  c3  c2  29.Cho x, y, z số thực dương lớn thoả mãn điều kiện Tìm giá trị lớn biểu thức A = (x - 1)(y - 1)(z - 1) 1 Ta có    nên x y z 1 y 1 z 1 ( y  1)( z  1)  1 1   2 (1) x y z y z yz Tương tự ta có 1 x 1 z 1 ( x  1)( z  1)  1 1   2 (2) y x z x z xz 1 x 1 y 1 ( x  1)( y  1)  1 1   2 (3) y x y x y xy Nhân vế với vế (1), (2), (3) ta ( x  1)( y  1)( z  1)  ThuVienDeThi.com 1   2 x y z ĐẶNG VIỆT ANH-BR Amax =  x  y  z  30 Cho x, y, z số thực dương thỏa m·n xyz=1 Chøng minh r»ng 1   1 x  y 1 y  z 1 z x Đặt x=a3 y=b3 z=c3 x, y, z >0 vµ abc=1.Ta cã a3 + b3=(a+b)(a2+b2-ab)  (a+b)ab, a+b>0 vµ a2+b2-ab  ab  a3 + b3+1  (a+b)ab+abc=ab(a+b+c)>0  1  a  b  ab a  b  c  T¬ng tù ta cã 1  , b  c  bc a  b  c  1  c  a  ca a  b  c  Céng theo vÕ ta cã 1 1 1   = + + 3 x  y 1 y  z 1 z  x 1 a  b 1 b  c 1 c  a3 1  1 1   c  a  b      = a  b  c   ab bc ca  a  b  c  DÊu b»ng x¶y x=y=z=1 ThuVienDeThi.com ... VIỆT ANH-BR   Với số thực x, y thỏa điều kiện x  y  xy  Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ x4  y biểu thức P  xy  G   1 Và xy   x  y   xy  xy  xy  ĐK:   t  Đặt t  xy Ta... VP 2 Dấu đẳng thức xảy a=b=c=1/3 Cho số dương x, y, z thỏa mãn : x +3y+5z  Chứng minh rằng: xy 625 z  + 15 yz x  + zx 81 y   45 xyz GIẢI Bất đẳng thức 4  x  + y  + 25 z   x 9y 25 z 45... P x = y = z  18 Cho a, b, c số thực thoả mãn a  b  c  Tìm giá trị nhỏ biểu thức M  4a  9b  16c  9a  16b  4c  16a  4b  9c GIẢI Theo – si có 22  2b  2c  2a  b  c  Tương tự …