Nội dung bài viết này chỉ nêu lên ba phương pháp cơ bản nhất mà ta thường sử dụng để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một hàm số hay biểu thức nào đó. Tuỳ theo bài toán cụ thể mà ta có thể sử dụng một trong ba phương pháp trên một cách tối ưu hơn.( Đôi lúc có nhiều bài sử dụng vectơ, phương pháp tọa độ, lượng giác hóa…)
BẤT ĐẲNG THỨC VÀ GIÁ TRI LN NN x, y, z ≥ ! ! ! "x y z+ + = #$%& " " " ! ! ! " ! ! x y z y z x + + ≥ + + + GIẢI '()"* " " " ! ! ! ! ! ! + + + x y z y z x y z x + + + + + + + + !, " " ! ! ! - + . ! . ! ! ! x x y VT y y + ⇔ + = + + + + " " ! ! ! + . ! ! ! y y z z z + + + + + + " " ! ! ! + . ! ! ! z z x x x + + + + + + !, - - - " " " - " " " . ! - ! - ! - ! x y z VT + ≥ + + !, ! ! ! - " " " / + ! ! ! 0 ! ! ! VT x y z⇒ + ≥ + + = - " / " / " " ! ! ! ! ! ! ! ! ! VT VP⇒ ≥ − = − = = +1'% +23456$789:& ';:&7**<* 2)Cho x, y, z là các số thực dương lớn hơn 1 và thoả mãn điều kiện xy + yz + zx ≥ 2xyz Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = (x - 1)(y - 1)(z - 1). GIẢI '( ! !xy yz xz xyz x y z + + ≥ ⇔ + + ≥ = + + ! + y z y z x y z y z yz − − − − ≥ − + − = + ≥ >?$@'( + + ! +! x z x z y x z x z xz − − − − ≥ − + − = + ≥ + + ! +" x y x y y x y x y xy − − − − ≥ − + − = + ≥ ABC&B'D+E+!E+"1>F' + + + 0 x y z− − − ≤ G %7 * " 0 ! x y z⇔ = = = 3. Với mọi số thực x, y thỏa điều kiện ( ) ! ! ! x y xy+ = + . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức . . ! x y P xy + = + . G H t xy = '( ( ) ( ) ! ! ! . , xy x y xy xy xy+ = + − ≥ − ⇒ ≥ − ( ) ( ) ! ! ! . " xy x y xy xy xy+ = − + ≥ ⇒ ≤ I , " t− ≤ ≤ J49 ( ) ( ) ! ! ! ! ! ! ! K ! ! . ! x y x y t t P xy t + − − + + = = + + 21( ( ) ( ) ! ! K L ! ! t t P t − − = + E L + E + P t th t kth= ⇔ = = − ! , " , P P − = = ÷ ÷ ( ) . P = IMMN . N ! , +JM9=1O P , " − 4)Với mọi số thực dương P Px y z thỏa điều kiện x y z+ + ≤ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: !P x y z x y z = + + + + + ÷ . G QR$ST& ! 0 !x x + ≥ +23456$7U9:& " x = >?$@ ! 0 !y y + ≥ +! ! 0 !z z + ≥ +" V ( ) K Kx y z− + + ≥ − +.W$+E+!E+"E+.E'( /P ≥ / " P x y z= ⇔ = = = IM'DPN / 5. Chứng minh ( ) ! ! ! ! a b c ab bc ca a b c a b b c c a + + + + + ≥ + + + + + với mọi số dương P Pa b c . G '( ! ! ! a ab ab a a a ab a b a b ab = − ≥ − = − + + + >?$@ ! ! b b bc b c ≥ − + +!E ! ! c c ca c a ≥ − + +" W$+E+!E+"E'( ( ) ! ! ! ! a b c ab bc ca a b c a b b c c a + + + + + ≥ + + + + + 6)Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn . x y z + + = . CMR: ! ! !x y z x y z x y z + + ≤ + + + + + + )'( ! . ! .( ) x y z x y z ≤ + + + + P ! . ! ( ) x y z y x z ≤ + + + + P ! . ! ( ) x y z z y x ≤ + + + + )MO&'( + P 7 . 7 ≤ + + + P < . < ≤ + + + P 7 < . 7 < ≤ + + 'W$'X' 1>F'1'% K Cho a, b, c ≥ và ! ! ! "a b c+ + = . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức " " " ! ! ! a b c P b c a = + + + + + GIẢI '(Y)"* ! ! " ! ! " ! ! " a a c c c b b b a + + ++ + ++ + !. !! !. - ! ! ! ! " b b a b a P + + + + + =+⇔ !. !! ! ! ! ! " c c b c b + + + + + + !. !! ! ! ! ! " a a c a c + + + + + + " - " - " - !- " !- " !- " cba ++≥ - !!! " 0! / + !!! " !! " =++≥+⇒ cbaP ! " !! " !! / !! " !! / - " =−=−≥⇒ P ZY V& :&*5*'* 8. Cho các số thực dương a,b,c thay đổi luôn thoả mãn : a+b+c=1.Chứng minh rằng : ! ! ! ! a b b c c a b c c a a b + + + + + ≥ + + + GIẢI '(* ! ! ! + + a b c b c a A B b c c a a b b c c a a b + + + + + = + + + + + + + [ ] " " " + + + ! / " + + + " ! ! " ! A a b b c c a a b b c c a a b b c c a a b b c c a A + = + + + + + + + + + + ≥ + + + = + + + ⇒ ≥ ! ! ! ! ! + + + ! ! a b c a b c a b b c c a a b b c c a B B = + + ≤ + + + + + + + + + + ⇔ ≤ ⇔ ≥ [1('( " ! ! ! VP≥ + = = 2341\$#'789:&*5*'*" 9. Cho 3 số dương x, y, z thỏa mãn : x +3y+5z "≤ .Chứng minh rằng: !," . +zxy + ., . +xyz + .0, . +yzx ≥ 45 , xyz. GIẢI Bất đẳng thức ⇔ ! ! . x x + + ! ! / . / y y + + ! ! !, . !, z z + ≥ ., VT ≥+++++≥ !! , ! " !! +,"+ zyx zyx " ! ! " ,"+ "- ,"+/ zyx zyx + . H* " ! ,"+ zyx '( " ," ,"+ " " = ++ ≤ zyx zyx 1( ≤ &]4:&^_ ≤ `a %Tbc+* t/ ) t "- "- "- "- !K ! "- !Kt t t t t = + − ≥ − *45 23456$789:&t=1 x=1; y= " ; z= , . 10. Cho x, y, z là 3 số thực thuộc (0;1]. Chứng minh rằng , xy yz zx x y z + + ≤ + + + + + GIẢI Để ý rằng ( ) ( ) ( ) ( ) xy x y x y+ − + = − − ≥ ; và tương tự ta cũng có yz y z zx z x + ≥ + + ≥ + Vì vậy ta có: ( ) " <7) , , , x y z x y z xy yz zx yz zx xy x y z yz xy z z y x yz zx y xy z z y x z y y z + + + + ≤ + + + + + ÷ + + + + + + ≤ + + + + + = − − + ÷ + + + ≤ − − + ÷ + + = 11.Cho a, b, c là ba cạnh tam giác. Chứng minh ! ! " " ! " " b c a a b a c a b c a c a b + + + + < ÷ + + + + + + GIẢI dE5E'N 5'O%$&X'= a b c b c a c a b + > + > + > H ( ) E E E E E E ! ! a b c a x y a z x y z x y z y z x z x y + + = = = > ⇒ + > + > + > B9X&&BNO& ! " " ! a b a c a VT a c a b a b c x y z y z z x x y + + = + + + + + + = + + + + + '( ( ) ( ) ! ! z z x y z z x y z z x y x y z x y + > ⇔ + + < + ⇔ > + + + >?$@ ! ! P x x y y y z x y z z x x y z < < + + + + + + 21( ( ) ! ! x y z x y z y z z x x y x y z + + + + < = + + + + + #'N ! ! " " ! " " b c a a b a c a b c a c a b + + + + < ÷ + + + + + + 12. Cho hai số dương Ex y thỏa mãn: ,x y+ = . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: . ! . x y x y P xy + − = + GIẢI &Tb>?$ Ex y e%U ,x y+ = . ! . . . ! . . ! ! x y x y x y y x y P xy y x y x + − = + = + + − = + + + − ,y x= − 1>F' . , . , . , " ! ! . ! ! . ! . ! ! y x x y y P x x y x y x y x − = + + + − = + + + − ≥ + − = P 56$ " ! :& P .x y= = GV&Y* " ! Lưu ý: (Z ,y x= − T41(d%$&X9f5g3'D %Tb " , " , + +, . x x g x x x + − = + − 13. Cho x, y, z ≥ thoả mãn x+y+z > 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức ( ) " " " " -x y z P x y z + + = + + GIẢI 9>C'B'( ( ) " " " . x y x y + + ≥ +5&B1h&>?$1>?$ ( ) ( ) ! x y x y⇔ ⇔ − + ≥ H7))<*I&1( ( ) ( ) ( ) " " " " " " " " . x y z a z z P t t a a + + − + ≥ = = − + +C&* z a E t ≤ ≤ `g %Tbc+*+i " ) " C& [ ] P∈ ( ( ) [ ] ! ! L+ " E L+ P / f t t t f t t = − − = ⇔ = ∈ MG58$5&B&= ( ) [ ] P &c 0 t M t ∈ ⇒ = ⇒ 'DYN - 0 1O1>F':&7**.<j 14. Chứng minh: ( ) !x y z x y z + + + + ≤ ÷ với mọi số thực x , y , z thuộc đoạn [ ] P" . GIẢI '( ( ) ( ) ! " " " . " .t t t t t t t ≤ ≤ ↔ − − ≤ ↔ − + ≤ ↔ + ≤ J49 " " " . P . P .x y z x y z + ≤ + ≤ + ≤ ( ) " !Q x y z x y z → = + + + + + ≤ ÷ ( ) ( ) " - ! ! Q x y z x y z x y z x y z + + + + ≤ ≤ → + + + + ≤ ÷ ÷ 15.Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số ( ) y x ln x = − . GIẢI ` ( ) PD = +∞ P L N x y x x − = + k* x ↔ = P+*d N x y x x − = + N J I&_7_ L y → < P:&7j L y → > IM%&* x ↔ = 16. Cho x, y, z là 3 số thực thuộc (0;1]. Chứng minh rằng , xy yz zx x y z + + ≤ + + + + + GIẢI Zl96$ ( ) ( ) ( ) ( ) xy x y x y+ − + = − − ≥ P >?$@'m$'( yz y z zx z x + ≥ + + ≥ + dG'( ( ) " <7) , , , x y z x y z xy yz zx yz zx xy x y z yz xy z z y x yz zx y xy z z y x z y y z + + + + ≤ + + + + + ÷ + + + + + + ≤ + + + + + = − − + ÷ + + + ≤ − − + ÷ + + = vv 17. Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn: x 2 + y 2 + z 2 ≤ 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P xy yz zx = + + + + + Giải !'( [ ] + + + / xy yz zx xy yz zx + + + + + + + ≥ ÷ + + + ! ! ! / / " " P xy yz zx x y z ⇔ ≥ ≥ + + + + + + GN P %& * " ! :&x*y*z ⇒ / " - ! P ≥ = 18. Cho a, b, c là các số thực thoả mãn "a b c + + = Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức . / - / - . - . / a b c a b c a b c M = + + + + + + + + GIẢI 'SiT&'( " ! ! ! ! " ! - b c a b c+ + + + ≥ = >?$@n H ( ) ( ) ( ) ! P" P. E ! P" P. Eo ! P" P. o a b c c a b b c a u v M u v= = = ⇒ = + + r r uur r r uur ( ) ( ) ( ) ! ! ! o ! ! ! " " " . . . a b c a b c a b c M u v≥ + + = + + + + + + + + r r uur G " !/M ≥ 23456$789:& a b c = = = 19. Cho x, y, z ≥ thoả mãn x+y+z > 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức ( ) " " " " -x y z P x y z + + = + + GIẢI 9>C'B'( ( ) " " " . x y x y + + ≥ ( ) ( ) ! x y x y⇔ ⇔ − + ≥ H7))<*I&1( ( ) ( ) ( ) " " " " " " " " . x y z a z z P t t a a + + − + ≥ = = − + +C&* z a E t ≤ ≤ `g %Tbc+*+i " ) " C& [ ] P∈ ( ( ) [ ] ! ! L+ " E L+ P / f t t t f t t = − − = ⇔ = ∈ MG58$5&B&= ( ) [ ] P &c 0 t M t ∈ ⇒ = ⇒ 'DYN - 0 1O1>F':&7**.<j 20.Xét các số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện x + y + z = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: ! ! ! 7 + < +< 7 < +7 Y < <7 7< + + + = + + GIẢI '( ! ! ! ! ! ! 7 7 < < Y < < 7 7 = + + + + + +p G37 ! ) ! i7≥7∀7E∈ ¡ 21(7 " ) " ≥7+7)∀7Ej ! ! 7 7 7 + ≥ + ∀7Ej >?$@E'( ! ! < < < + ≥ + ∀E<j ! ! < 7 < 7 7 < + ≥ + ∀7E<j W$[$B5531\$#'[G1>F'q9=E:BFC&+pE1>F' Y≥!+7))<*!∀7EE<j 7))<* ?rENO&'(Y*!:&7**<* " dGE%&Y*! 21. Cho x, y, z ≥ thoả mãn x+y+z > 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức ( ) " " " " -x y z P x y z + + = + + 9>C'B'( ( ) " " " . x y x y + + ≥ +5&B1h&>?$1>?$ ( ) ( ) ! x y x y⇔ ⇔ − + ≥ H7))<*I&1( ( ) ( ) ( ) " " " " " " " " . x y z a z z P t t a a + + − + ≥ = = − + +C&* z a E t ≤ ≤ `g %Tbc+*+i " ) " C& [ ] P∈ ( ( ) [ ] ! ! L+ " E L+ P / f t t t f t t = − − = ⇔ = ∈ MG58$5&B&= ( ) [ ] P &c 0 t M t ∈ ⇒ = ⇒ 'DYN - 0 1O1>F':&7**.<j 22.Cho a,b,c là ba số thực dương. Chứng minh: ( ) " " " " " " " ! b c c a a b a b c a b c a b c + + + + + + + ≥ + + ÷ ÷ p'%C&E5j'( " )5 " ≥ ! 5)5 ! +p GG+p ⇔ +)5+ ! 5)5 ! 5+)5 ≥ ⇔ +)5+5 ! ≥ 1s$ \$#'7t9:&*5 p[+p ⇒ " )5 " ≥ 5+)5 5 " )' " ≥ 5'+5)' ' " ) " ≥ '+') ⇒ !+ " )5 " )' " ≥ 5+)5)5'+5)')'+')+ pQR$'T&'"Tb>?$'( " a ) " a ) " a ≥ " " " " " a b c * 3 abc +! pABC&B'D+ +!1>F''u'% \$#'7t9:&*5*' 23. Cho x, y, z là ba số thực dương thay đổi và thỏa mãn: xyzzyx ≤++ !!! . Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: xyz z zxy y yzx x P + + + + + = !!! . xyz z zxy y xyx x P + + + + + = !!! d PP >zyx EQR$ST&'( xyz z zxy y yzx x P !!! !!! ++≤ * ++= xyzxyz !!! . ++ ≤ ++ = +++++≤ xyz zyx xyz xyzxyz yxxzzy !!! ! ! . ! ! = ≤ xyz xyz 23456$789 "===⇔ zyx GV7Y* ! 24. Cho x,y ∈ R và x, y > 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của ( ) ( ) " " ! ! + + x y x y P x y + − + = − − H*7)Pj!QR$.7≤+7) ! '( ! . t xy ≤ " ! +" ! t t xy t P xy t − − − = − + 2"!j ! . t xy− ≥ − ='( ! " ! ! ! +" ! . ! . t t t t t P t t t − − − ≥ = − − + `g %Tb ! ! ! . + P L+ P ! + ! t t t f t f t t t − = = − − ck+*⇔**. !. )∞ ck+ ) c+ )∞ )∞ 0 21(%&Y* +!P %& + f t +∞ *c+.*01O1>F':& . ! . ! x y x xy y + = = ⇔ = = 25.Cho E E x y x y > > + = . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức x y T x y = + − − H ! ! 'T P T& P ! x a y a a π = = ⇒ ∈ ÷ :&1( ( ) ( ) ! ! " " T& 'T T& 'T 'T T& 'T T& T& 'T T&'T T& 'T a a a a a a a a T a a a a a + − + = + = = H ! T& 'T !T& T& 'T . ! t t a a a a a π − = + = + ⇒ = ÷ C& ! ! a t π < < ⇒ < ≤ I&1( ( ) " ! " t t T f t t − − = = − P ( ) ( ) ( ( ) ( ) . ! ! " L P ! ! ! t f t t f t f t − − = < ∀ ∈ ⇒ ≥ = − [...]... x = y = z = 8 2 http://thay-do.net 30 Cho x, y, z là 3 số thực dơng thỏa mãn xyz=1 Chứng minh rằng 1 1 1 + + 1 x + y +1 y + z +1 z + x +1 Đặt x=a3 y=b3 z=c3 thì x, y, z >0 và abc=1.Ta có a3 + b3=(a+b)(a2+b2-ab) (a+b)ab, do a+b>0 và a2+b2-ab ab a3 + b3+1 (a+b)ab+abc=ab(a+b+c)>0 1 1 3 a + b + 1 ab ( a + b + c ) 3 Tơng tự ta có 1 1 , 3 b + c + 1 bc ( a + b + c ) 3 1 1 3 c + a + 1 ca ( a + b + c . BẤT ĐẲNG THỨC VÀ GIÁ TRI LN NN x, y, z ≥ ! ! ! "x y z+ + = #$%& " " " !. :& 7 - ! = = = 26.Cho các số thực không âm x, y thay đổi và thỏa mãn x + y = 1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức S = (4x 2 + 3y)(4y 2 + 3x) + 25xy. G. J*+.7 ! )"+. ! )"7)!,7*-7 ! ! )!+7 " ) " )".7 *-7 ! ! )!v+7) " i"7+7)w)".7*-7 ! ! )!+i"7)".7 *-7 ! ! i!7)! H*7Ed7E≥. = 3. Với mọi số thực x, y thỏa điều kiện ( ) ! ! ! x y xy+ = + . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức . . ! x y P xy + = + . G H t xy = '( ( ) ( ) !