SKKN bất ĐẲNG THỨC cô SI và các kĩ THUẬT sử DỤNG

B BẤT ĐẲNG THỨC CÔ SI VÀ CÁC KĨ THUẬT SỬ DỤNG I KIẾN THỨC CẦN NHỚ: Bất đẳng thức AM – GM viết tắt “arithmetic and geometric means”, nghĩa trung bình cộng trung bình nhân Cách chứng minh hay sử dụng phương pháp quy nạp kiểu Cô si (Cauchy) nên nhiều người lầm tưởng Cô si phát bất đẳng thức này, hay gọi bất đẳng thức bất đẳng thức Cauchy (Cô si) Bất đẳng thức Cauchy tổng quát : Cho , a1 a2 , , n số thực không âm a n * Thơng thường chương trình THCS ta thường áp dụng bất đẳng thức Cô si cho hai ba số (tức n = n = 3) Cách chứng minh hai trường hợp cụ thể đơn giản Một vài hệ quan trọng: ( a1 Cho n Bất đẳng thức BCS Cho n số dương ( n ( a b 1a b Dấu “=‟ xảy Hệ quả(Bất đẳng thức Svác-xơ) Cho hai dãy số a , a , , a n v a ø b , b , , b n v ô ùi b i i 1, n ta ln có: Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ Max f D Min f D Các bất đẳng thức phụ hay dùng Với số thực a, b, c, x, y, z dương ta có: a a b c 1 a b x2 y2 d x e a y b f 2(a b) a3 b3 g a h b x2 y2 Ví dụ Ví dụ Cho x, y, z dương thỏa mãn x + y + z = Tìm giá trị lớn ca b y2z2 A xy x2 y2 zy z2 y2 x2 xz z2 * Phân tích: + Dự đốn dấu “=” xảy x = y = z = + Biểu thức cần tìm giá trị nhỏ bậc hai nên ta nghĩ đến bất đẳng thức AM – GM cho hai số + Dựa vào giải thiết, kết hợp với dầu “=” xảy đó, ta có : x2 y2 4xy,x yz * Giải: Áp dụng bất đẳng thức AM – GM, ta có: xy x2 zy z2 xz x2 Cộng vế ba bất đẳng thức trên, ta 2(x2 2A Dấu “=” xảy x = y = z = Ví dụ Chứng minh với a, b, c dương ta ln có: Giải: Ta có: a 1b b 1c ) Ta có: a 1b Tương tự với số hạng lại, suy BĐT cho tương đương với: a b 1c a 1 a b a b Hoàn toàn chứng minh BĐT cuối áp dụng BĐT Cô-si cho số dương Dấu “=” xảy a b c Ví dụ Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn a+ b + c = Tìm giá trị nhỏ * Phân tích: + Ln lưu ý dùng bất đẳng thức AM – GM bậc có xu hướng giảm + Do đó, để sử dụng giả thiết, suy nghĩ tự nhiên bình phương hai vế M lên trước dùng bất đẳng thức AM – GM * Giải: a M b Áp dụng bất đẳng thức AM – GM, ta có: a b bc c b c ac a c a ab b a2 M b a2 b a3 b Suy M Vậy maxM = a = b =c =1 Ví dụ Cho số thực dương a , b , c b Tìm giá trị nhỏ biểu thức (Đề thi HSG Tỉnh Thanh Hóa năm học 2014 - 2015) Giải : Từ: ta có: a2 b2 2ab Lại có bc a ( bc ) a b c ( a b bc a(2b Đặt t ab 3t2 Có t)2 (1 (t t (1 mà (t 2)( 7t2 t (1 t ) Dấu "=" xảy t = hay a Vậy giá trị nhỏ P Ví dụ Cho a, b, c số thục không âm thỏa mãn a + b + c = Tìm giá trị lớn * Phân tích: - Dự đốn dầu “=” xảy a = b = c = - Ta không áp dụng bất đẳng thức AM – GM tử bậc chúng “chênh” - Do đó, ta nghĩ đến mẫu * Giải ab2c3 A bc Vậy maxA = a = b = c = Trong khn khổ chương trình cấp 2, để vận dụng bất đẳng thức Cô – si hay bất đẳng thức khác phải chứng minh bất đẳng thức tổng quát áp dụng Tuy nhiên, khuôn khổ viết này, xin phép không chứng minh lại mà áp dụng bất đẳng thức số bất đẳng thức nói viết II CÁC KĨ THUẬT KHI SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CƠ SI VÀO CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC VÀ TÌM CỰC TRỊ ĐẠI SỐ - Kỹ thuật tách ghép số - Kỹ thuật đổi biến số - Phương pháp chọn điểm rơi - Kỹ thuật nhân thêm hệ số ... thức khác phải chứng minh bất đẳng thức tổng quát áp dụng Tuy nhiên, khuôn khổ viết này, xin phép không chứng minh lại mà áp dụng bất đẳng thức số bất đẳng thức nói viết II CÁC KĨ THUẬT KHI SỬ... bậc - Kỹ thuật cộng thêm - Kỹ thuật Cosi ngược dấu Kỹ thuật tách ghép số Đây kỹ thuật số kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức cô si Kỹ thuật giới thiệu cho học sinh trung bình trở lên 1.1 Kỹ thuật tách... KHI SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CÔ SI VÀO CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC VÀ TÌM CỰC TRỊ ĐẠI SỐ - Kỹ thuật tách ghép số - Kỹ thuật đổi biến số - Phương pháp chọn điểm rơi - Kỹ thuật nhân thêm hệ số - Kỹ thuật