(Sáng kiến kinh nghiệm) bất ĐẲNG THỨC cô SI và các kĩ THUẬT sử DỤNG

B BẤT ĐẲNG THỨC CÔ SI VÀ CÁC KĨ THUẬT SỬ DỤNG I KIẾN THỨC CẦN NHỚ: Bất đẳng thức AM – GM viết tắt “arithmetic and geometric means”, nghĩa trung bình cộng trung bình nhân Cách chứng minh hay sử dụng phương pháp quy nạp kiểu Cô si (Cauchy) nên nhiều người lầm tưởng Cô si phát bất đẳng thức này, hay gọi bất đẳng thức bất đẳng thức Cauchy (Cô si) Bất đẳng thức Cauchy tổng quát : Cho a , a , , a n ( n 2) a2 a1 ta ln có  a2 an a a a n n n a1  an số thực không âm n Dấu “=” xảy * Thơng thường chương trình THCS ta thường áp dụng bất đẳng thức Cô si cho hai ba số (tức n = n = 3) Cách chứng minh hai trường hợp cụ thể đơn giản Một vài hệ quan trọng: a1 a2 a2 1 a1 a2 an 2n số dương ( n Cho n an ) ( a1   ( a1 b1 ) ( a n v ô ùi an n a1  0, i 1, n v ô ùi  a2 Z ,n b2 ) ( a n ): 0, i an 1, n a , a , , a n , b1 , b , , b n bn ) n a a a n n b b b n Bất đẳng thức BCS Cho 2n số dương ( n ( a b1 a b2 Dấu “=‟ xảy Z ,n  ): a nbn ) a1 a2 b1 b2 a , a , , a n , b1 , b , , b n 2 ( a1 a2 an  bn  ta có: a n ) ( b1 b2 ( q u y ùc n e áu b i  bn ) 0) Hệ quả(Bất đẳng thức Svác-xơ) Cho hai dãy số a , a , , a n v a ø b , b , , b n v ô ùi b i i 1, n ta ln có: ta có: 2 a1 a2 b1 b2 ( a1 an  bn Dấu “=‟ xảy b1 a1 a2 b1 b2 a2  an ) b2  bn an  bn Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ f ( x , x , , x n ) Cho hàm biến thực xác định D n f ( x1 , x , , x n ) M ax f M 0 0 ( x1 , x , , x n ) D m 0 ( x1 , x , , x n ) m 0 ( x1 , x , , x n ) D D D : f ( x1 , x , , x n ) f ( x1 , x , , x n ) M in f ( x1 , x , , x n ) M M D D : f ( x1 , x , , x n ) M Các bất đẳng thức phụ hay dùng Với số thực a, b, c, x, y, z dương ta có: a b c 1 a b ab 1 a b c x y a b a z b c xy yz zx d x e a f a g a y z 3( xy b b b 2(a yz zx ) b) 3 a c b ab bc ca a b y z b c c a h x y 2 y z 2 z x xyz x Ví dụ Ví dụ Cho x, y, z dương thỏa mãn x + y + z = Tìm giá trị lớn A xy x y 2 zy z y 2 xz x z 2 * Phân tích: + Dự đoán dấu “=” xảy x = y = z = + Biểu thức cần tìm giá trị nhỏ bậc hai nên ta nghĩ đến bất đẳng thức AM – GM cho hai số + Dựa vào giải thiết, kết hợp với dầu “=” xảy đó, ta có : x 2 y 4 xy, x yz * Giải: Áp dụng bất đẳng thức AM – GM, ta có: xy x y xy 2 x y 2 zy z y zy z y 2 xz x 2 z xz x 2 z 2 Cộng vế ba bất đẳng thức trên, ta 2(x 2A y z ) x y z 12 A Dấu “=” xảy x = y = z = Ví dụ Chứng minh với a, b, c dương ta ln có: 1 a b b c c a abc abc Giải: Ta có: a 1 b b 1 c c a abc a 1 abc b b c abc c a a (do abc ) Ta có: abc a 1 abc b a a b 1 a b ab a c b a b b c b Tương tự với số hạng lại, suy BĐT cho tương đương với: a b c b c a 1 a 1 a b a b a 1 b b a c a b b 1 b b c c b 1 c c c b c a c c a a a c Hoàn toàn chứng minh BĐT cuối áp dụng BĐT Cô-si cho số dương Dấu “=” xảy a b c Ví dụ Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn a+ b + c = Tìm giá trị nhỏ a M b b c c a * Phân tích: + Ln lưu ý dùng bất đẳng thức AM – GM bậc có xu hướng giảm + Do đó, để sử dụng giả thiết, suy nghĩ tự nhiên bình phương hai vế M lên trước dùng bất đẳng thức AM – GM * Giải: M a b b c c a b b a c c 2a a b 2b c c 2c a a b Áp dụng bất đẳng thức AM – GM, ta có: a b bc ab ac cb ab ac c b c a c a b M a b a b c c 2 ab ab cb ac a ab b b cb cb c 3a 3b 3c Suy M c ac ac a Vậy maxM = a = b =c =1 Ví dụ Cho số thực dương a,b,c thỏa mãn a b Tìm giá trị nhỏ biểu thức P bc a (2b b c a b ca c) a b (2a b a 4ab c) c(a b) (Đề thi HSG Tỉnh Thanh Hóa năm học 2014 - 2015) Giải : Từ: a b b a a c b b a c (a b )( a ab a b b ) 2(a 2 b ) ab ta có: a b 2ab c(a b )( a ab a b b ) 2(a 2 b ) c(a ab b) c(a ab b) ab Lại có bc ac a (2b c) b (2 a abc(a (b c ) c) b (ac) abc(2b c) c) a b b c (b c abc(2 a b c c a c) 2abc(a (ab a b c a ac) 2 c(a b bc ca ) c) b) 2abc(a b c) c(a b) bc ac a (2b c) b (2 a c) c (a ab b) bc ca ab c(a b) ab Đặt c(a t b) 3t P ab Có 3t (1 t) (t 3t t )( t t) t) 22t 12) t t) 22t 12) (với t ) t 7t 3 8t 32t t (1 t) 24 8 t (1 (1 2 (1 mà (t )( t t (1 t) t (t (0; ] )( t 22t t (1 Dấu "=" xảy t = hay Vậy giá trị nhỏ P a t) a b b c 12) 8 3 t (0; ] c Ví dụ Cho a, b, c số thục không âm thỏa mãn a + b + c = Tìm giá trị lớn A ab c b c bc a a ca b c b a * Phân tích: - Dự đoán dầu “=” xảy a = b = c = - Ta không áp dụng bất đẳng thức AM – GM tử bậc chúng “chênh” - Do đó, ta nghĩ đến mẫu * Giải ab c A b bc a c a b c a ca b c c b a b c a b ab c a 2 bc a c b c bc a ac ca b a c a b ba a b c b (ab bc ca ) (a b c) Vậy maxA = 3 a = b = c = Trong khn khổ chương trình cấp 2, để vận dụng bất đẳng thức Cô – si hay bất đẳng thức khác phải chứng minh bất đẳng thức tổng quát áp dụng Tuy nhiên, khuôn khổ viết này, xin phép không chứng minh lại mà áp dụng bất đẳng thức số bất đẳng thức nói viết II CÁC KĨ THUẬT KHI SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CÔ SI VÀO CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC VÀ TÌM CỰC TRỊ ĐẠI SỐ - Kỹ thuật tách ghép số - Kỹ thuật đổi biến số - Phương pháp chọn điểm rơi - Kỹ thuật nhân thêm hệ số - Kỹ thuật hạ bậc - Kỹ thuật cộng thêm - Kỹ thuật Cosi ngược dấu Kỹ thuật tách ghép số Đây kỹ thuật số kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức cô si Kỹ thuật giới thiệu cho học sinh trung bình trở lên Kỹ thuật tách ghép bản: 1.1 Ví dụ Cho số thực dương a, b, c Chứng minh rằng: a b b c c a abc Giải: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có: a b b c c a ab bc ac (đpcm) abc Ví dụ Cho số thực dương a, b, c, d Chứng minh rằng: ac bd a b c d Giải: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có: ac a bd b c a a d c b c d a b a c b c b c c a d a b d d Ví dụ Cho số thực dương a, b, c thỏa a c c d bd b b c ac a d b a b c d a b c d (đpcm) d c a c c b c Chứng minh rằng: ab Giải: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có: c a c c b c c b ab c a a c c b c c a c b c b c b a a c b c a c c a a a c b c b c 1 b (đpcm) ab Ví dụ Cho số thực dương a, b Chứng minh rằng: 16 ab a b a b a b b a a b Giải:Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có: 16 ab a b ab a b ab a b a b 2 ab Giải: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có: a b ab a ab b a b b a 2b 2a 2b 2a ab ab a 2b ab b 2a (đpcm) Ví dụ Cho số thực dương a, b Chứng minh rằng: a 2b b 2a a b (đpcm) a b 1.2 Kỹ thuật tách nghịch đảo Ví dụ Chứng minh với x > 1, ta có 4x x Dấu đẳng thức (dấu bằng) xảy ? Gợi ý: Trong tốn có chứa hai số hạng dạng nghịch đảo Vì có số hạng x nên phần lại phải biểu diễn thành thừa số x - Vậy ta phải viết lại vế trái sau: 4x 4(x x 1) (*) x Vì x > 1nên x – > Áp dụng bất đẳng thức Côsi (2) cho số dương 4(x-1) x 4x 4(x x 1) x 4(x 1 ) 1 x Dấu “=” xảy 4(x 1 1) x x , ta có: 1 (vì x > 1) Ví dụ Cho a, b, c dương a2 + b2 + c2 = Tìm giá trị nhỏ biểu thức a P b b c c a 3 Gợi ý b c c a 3 c c b b 3 a Ta có: a c 2 a b 13 2 b 3b 3 16 16 3 a a 3a 64 (1) (2), 3 c 16 Lấy (1) + (2) + (3) ta được: 3c 64 (3) a P 2 b c 16 a b c (4) Vì a2 + b2 + c2 =3 Từ (4) P giá trị nhỏ Ví dụ Chứng minh rằng: P a = b = c = a 2 , a a Giải: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: R a a 1 a a 2 a a a 2 a Ví dụ Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A (đpcm) a 2 a 2 a 2 , a Giải: A a 2 a 2a a a a 2 1 a 2 1 a a 1 a a Cauchy 1 a 2 2 a a Dấu “=” xảy a A 2 1 a Vậy GTNN hay 2 2 a 2 Ví dụ Chứng minh rằng: a a b b , a b Giải: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: b a a b b a b 1 b 2 a b b b b a b b a b b b 1.1.3 Kỹ thuật ghép đối xứng Trong kỹ thuật ghép đối xứng ta cần nắm số thao tác sau: a Phép cộng: a b b 2 a Phép nhân: b b abc c c 2 a ab a b c c a c bc ab b ca , bc b c c a,b,c a ca Ví dụ Cho ba số thực dương a, b, c thỏa abc Chứng minh b c c a a a b b a b c c Giải: b c c a a a b b bc c a c a a Ví dụ Cho ca ab a b c ab ab bc a b b c c a bc ca a b b ca ab b c c b b b c bc ca a a ca a c ab bc b b Vậy ca a c a b a b b c ab bc c a c c a a b b c c 3 c ABC , AB c , BC a , CA a b, p b c Chứng minh c p p a p b p c abc Giải: p a Ta có: p b p c p a p p a b p b p b p p b 2 p a c p p c p c p b p b c a a 2 p c a abc Ví dụ Cho a, b, c số dương Chứng minh : a b b c c c a a a b b c Gợi ý : Áp dụng BĐT Cơsi cho hai số thực dương ta có : a b b c c a b b c c a Tương tự , cho số hạng lại, cộng ba BĐT lại với ta điều phải chứng minh Nhận xét :* Phương pháp mà làm toán người ta thường gọi phương pháp tách gép cặp BĐT Cơsi Vì lại 10 a b c c c a a b c 1 a b b 1 b c c a a b c a b a b 3 4 c a b 3 c abc 3 4 (đpcm) Ví dụ Cho số thực dương a, b, c Chứng minh bất đẳng thức sau: a b bc ca c a ab b c Giải: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: a b bc c a 44 c bc c b c c b (1) , 4a ca c a a (2), 4b a ab b b (3) 4c Cộng theo vế bất đẳng thức (1), (2) (3) ta được: a bc b ca 4 c a ab b c a b a c bc b ca c ab a b c (đpcm) Ví dụ Cho số thực dương a, b, c Chứng minh bất đẳng thức sau: ab c a bc b a ca b c b c a 1 1 a b c Giải: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: ab c bc a b a a c bc c ab ab b b b c a a b c b ab b ca (2) ; a c a ca a (1) c (3) b Cộng theo vế bất đẳng thức (1), (2) (3) ta được: ab c a bc b a ca b c ab c a b a c b a b a b b ca c b c a ca c b c b ab a bc a c bc ab b a c c bc ca b b c c c a a 1 a b c 1 1 1 1 4b 4a 4c 4b 4a 4c a b c 1 1 a b c b 1 Ví dụ Cho số thực dương a, b, c thỏa a a 42 (đpcm) a b c Chứng minh rằng: Giải: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: a b a b c c b c a c c a (1) ; c (2) ; b a b b b c a a a c a b b (3) c Cộng theo vế bất đẳng thức (1), (2) (3) ta được: a b 3 b c c c a ab a b Mặt khác ta có: m Chọn n a a c b ca a b c (1' ) a m n m b n c m n m a b n m b c n c m a n ta được: b bc ab c bc ca ab bc ca (2' ) 2 Cộng theo vế bất đẳng thức (1‟)và (2‟) ta được: a b c a c b b a c a b c c bc b c a ab a b a ca a b b c a b c ab bc 2 c ca (đpcm) Ví dụ 10 Cho số thực dương a, b, c Chứng minh bất đẳng thức sau: a b b c c a a b c Giải: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: a b ab 2 a b ab 2a (1) ; b c bc 2b c (2) ; a Cộng theo vế bất đẳng thức (1), (2) (3) ta được: a b b c c a ab Mặt khác ta có: Chọn m n 2 bc a m n ta được: ca b a m a n c b m n c 3 b a m ab c b n (1' ) b bc m c n c ca m a (2' ) Cộng theo vế bất đẳng thức (1‟)và (2‟) ta được: 43 n ca 2c (3) a b 5 b 2 c a b c b c ab a ca c 2 bc a a b 3 b c a b c ab bc ca (đpcm) c a Ví dụ 11 Cho số thực dương a, b, c Chứng minh bất đẳng thức sau: a a b 2b b c 2c c 2a a 2 b c Giải: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: a a a a 2b 2b b b b b a 2c 2c a 2 2b 2b a (1) ; c (2) ; b a a c c c 2b 2b (3) c Cộng theo vế bất đẳng thức (1), (2) (3) ta được: a a b 2b b 2c a a c c b 2b b m c 2c n a b 2 m b c 2 2a n ab ca ab bc m a b c ca b bc c a a a b c (1' ) n m c n a m b n b m c n c m a n ta được: c a 2a Mặt khác ta có: Chọn b ab c bc ca 2 ab bc ca (2' ) Cộng theo vế bất đẳng thức (1‟)và (2‟) ta được: a a b 2b a a b c 2c b 2b b c 2a c 2c c ab bc ca b 2a a a b c c a b c 2 (đpcm) Ví dụ 12 Cho số thực dương a, b, c Chứng minh bất đẳng thức sau: b c a c a b a b c 2 2 a b c Giải: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: 44 ab bc ca b c a c a b b c c a b c a b a (2) ; c b b c (1) ; a a b (3) c Cộng theo vế bất đẳng thức (1), (2) (3) ta được: b c a c a b b c b c Mà ta có: a 1 a b 4 a b b b c a (3' ) b c a 4 a ab ; c 4 a b c (1' ) ; (2' ) b 1 c a c (4' ) a Cộng theo vế bất đẳng thức (1‟), (2‟), (3‟) (4‟) ta được: b c a c a b b c a a b c c a a a b b c b b c 2 c a b c a 2 4 a b c a b c a b b c c (đpcm) Ví dụ 13 Cho số thực dương a, b, c Chứng minh bất đẳng thức sau: a b b 2 4c c a 3b , Dấu “=” bất đẳng thức xảy a b 2c a Giải: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: a b a b b 2a b (1); b 4c 4b 4c (2) ; c a 4c (3) a Cộng theo vế bất đẳng thức từ (1), (2) (3) ta được: a b b 4c c a b 4c 2a 4b a 4c a b b 4c c a 3b (đpcm) a Ví dụ 14 Cho số thực dương a, b, c Chứng minh bất đẳng thức sau: a b b c c 16 c a a b 64 c a b Gợi ý: Dấu “=” bất đẳng thức xảy a b 2c Giải: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: a b b c c 4a b (1); c c a a 4b (2) ; 16 c a a b Cộng theo vế bất đẳng thức từ (1), (2) (3) ta được: 45 b 8c (3) a a b a b b c b c c 16 c a a 16 c c a a 13 b b b a c 64 c a a b 8c (đpcm) b Kỹ thuật Cosi ngược dấu Đối với kỹ thuật này, học sinh khó vận dụng tư giải tốn Với kỹ thuật ta giải số toán lời giải độc đáo sau sử dụng bất đẳng thức Cô si mà tốn khó có cacxhs giải khác cách giải dài! Xét tốn sau: Cho số thực dương a, b, c có tổng thỏa điều kiện : a Bài toán: Chứng minh bất đẳng thức sau: a b 1 c b c Phân tích giải: Ta khơng thể dùng trực tiếp bất đẳng thức Cauchy với mẫu bất đẳng thức sau đổi chiều: a 1 1 Do 33 2a 2b 2c 2a 1 b 1 abc a b c 1 1 2a 2b 2c 2b 2c c Đến bị lúng túng cách giải Ở ta sử dụng lại bất đẳng thức Cauchy theo cách khác: a a 1 a a b a 2a Tương tự ta có: 2 (1) b (2) ; c 1 c (3) Cộng theo vế (1), (2), (3) ta được: a 1 b 1 c a b c (đpcm) Nhận xét: Kỹ thuật Cauchy ngược dấu hiểu ta lấy nghịch đảo hai vế bất đẳng thức Cauchy sau nhân hai vế với -1 Khi dấu bất đẳng thức ban đầu không đổi chiều - Kỹ thuật Cô si ngược dấu cho lời giải đẹp Ví dụ Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện : a 46 b c Chứng minh bất đẳng thức sau: 1 Giải: Ta có: ab ab 1 ab bc bc ab ab Tương tự ta có: 1 bc ca ab ab ; (2) (1) ca 1 (3) ca Cộng theo vế (1), (2), (3) ta được: 1 ab 1 bc 1 ca ab bc ca a b b c c a a b c 3 2 (đpcm) Ví dụ Cho số thực dương a, b, c có tổng thỏa điều kiện : a a Chứng minh bất đẳng thức sau: b a Giải: Ta có: b b b Tương tự ta có: c ab a c bc 2 ca c a b 2 c (3) a b (1) c Cộng theo vế (1), (2), (3) ta được: c ; (2) a ab a c 2b b ab a b b c a a b ab c bc ca (1 ' ) Mặt khác ta có: ab bc ca a b b 2 ab bc ca a c c 2 b c a a b c a b c - ab bc ca 2 (2' ) a Từ (1‟) (2‟) ta có: b b c Lưu ý: Ta sử dụng kết c a a ab bc 3 2 b c (đpcm) ca chứng minh tốn khác Vậy tương tự ta chứng minh bất đẳng thức với biến khơng? Ta có tốn sau: Nếu a, b, c, d số thực dương thỏa mãn điều kiện a a + b + c + d = ta ln có b b 47 c c d d a 2 Ví dụ Cho số thực dương a, b, c có tổng thỏa điều kiện : a a Chứng minh bất đẳng thức sau: b a Giải: Ta có: b a a 1 b b Tương tự ta có: c b 1 c a a a 1 b c c ; (2) a a ab b (1) 2 c 2b c 1 bc b b 2 b c ca a (3) Cộng theo vế (1), (2), (3) ta được: a b b 1 c c 1 a a a b c a b c b c ab 3 b - b b c c 1 a ca bc ca a a bc 2 Vậy ab c 3 2 - 3 Ví dụ Cho số thực dương a, b, c Chứng minh bất đẳng thức sau: a a a Giải: Ta có: a b b b b a b Tương tự ta có: b ab a c c c ab a c b c b 2 a a b a c ; c c 2 ab (2) b (1) a a c (3) Cộng theo vế (1), (2), (3) ta được: a a b b b c c c a a b c a b c a b c (đpcm) Ta có toán mở rộng với số dương a, b, c, d ta ln có: a a b b b c c c d d d a 2 Ví dụ Cho số thực dương a, b, c có tổng thỏa điều kiện : a Chứng minh bất đẳng thức sau: a b c b Giải: Ta có: 48 c a c a b b c a ab a b c c ab a b c 2b a b c b c a ac a b a a c ab b c a ab a ac abc (1) b c a Tương tự ta có: bc abc c ; (2) 1 c a b ca abc (3) Cộng theo vế (1), (2), (3) áp dụng bất đẳng thức sau a b c 3 ab bc a b Suy bc 3 ab c 3 abc a abc 4 b b c c c a ca ca a b (đpcm) Ví dụ Cho số thực dương a, b, c có tổng thỏa điều kiện Chứng minh bất đẳng thức sau: 2b a Giải: Ta có: 2b b b Tương tự ta có: 2c c 1 bc 2c 3b (2) 2a ab a bc ca 1 (1) c ; 1 ab a b b b 3 ab a a ab 2a ca c (3) Cộng theo vế (1), (2), (3) ta được: 2b a b c 3 2c 2a a b ab c bc ca a b c (1' ) a b Mặt khác ta có: c ab bc ca a b c ab bc ca (2' ) Cộng theo vế (1‟) (2‟) ta được: 2b a b c 3 2c 2a a b c a b c 1 2b a b c 3 2c 2a 1 Ví dụ Cho số thực dương a, b, c Chứng minh rằng: a a a Giải: Ta có: a 2 b ab b ab b 2 b a b a a c bc ab ab c 2 b 49 a c a ca ab a ab a b b c a a b 2a b (1) b Tương tự ta có: b 2b bc c c a Cộng theo vế (1), (2), (3) a c ab b b 2c ca a bc c c Chứng minh bất đẳng thức sau: a a Giải: Ta có: a 2b a b Tương tự ta có: b 2c b b b c 2c c 2 ab b 2b 2 ab a b a a 3 bc ab c c b c 2 ab (1) c ; (2) a b 2 2a a a ca Ví dụ Cho số thực dương a, b, c có tổng thỏa điều kiện a (3) c a b c ; (2) 2a c ca (3) Cộng theo vế (1), (2), (3) ta được: a a b 2b b 2 c 2c c 2a a b c ab bc ca 3 ab bc ca (*) Mặt khác ta có: ab a a ab b ab b (1‟) Tương tự: b bc bc c (2‟) ; c ca ca a (3‟) Cộng theo vế (1‟), (2‟) (3‟) ta có ab bc 2 ca a b c a b c 3 ab bc ab bc ca a b 2 ca c 3 3 3 3 - (**) a Từ (*) (**) ta có: a b 2b b c 2c c 2a Ví dụ Cho số thực dương a, b, c thỏa điều kiện a minh bất đẳng thức sau: a a Giải: Ta có: a 2b Tương tự ta có: b b a b 2b b 3 b a 2 c 2c c a 2a (1) 2c (đpcm) b c 3 b (2) c ; c 50 2a c a 3 c (3) b c Chứng Cộng theo vế (1), (2), (3) ta được: a a b 2b b c 2c c 2 a 2a b c b a c b a c 3 b a c b a c (*) Mặt khác ta có: b a b a a a b a 2a b Tương tự ta có: c ab b bc b (1' ) c (2' ) ; a ca c a (3' ) Cộng theo vế (1‟), (2‟), (3‟) ta được: b a c b a c a b c ab a bc ca b c a b c a Từ (*) (**) ta có: a 3 b 2b (**) b c 2c c 2a (đpcm) Như việc sử dụng bất đẳng thức Cosi kĩ thuật sử dụng bất đẳng thức Cosi chứng minh bất đẳng thức tìm cực trị thật khơng giản đơn, đòi hỏi người học nắm bắt kĩ thuật sử dụng linh hoạt, sáng tạo toán III BÀI TẬP RÈN LUYỆN Bài tập : Bài : Cho a, b dương Chứng minh 8 a b 128ab a b Bài : Cho a, b số dương Tìm giá trị nhỏ biểu thức M a b ab ab (a a b b) Gợi ý : Sử dụng BĐT Cô si tử mẫu M = Bài : Cho a, b, c dương Chứng minh a b 2 c a b a (b Gợi ý : Sử dụng BĐT Cô si : a b c a 2 (b c) 2 a (b c) 2 51 a (b c) a (b c) c) Bài : Chứng minh a (2016 b ) b 2016 a Bài : Cho a, b hai số dương thỏa mãn a b a abc Chứng minh ab 1 b 1 c Chứng minh a Gợi ý: Từ giả thiết ta có 1 a a b c (a 1) ( c 1) Bài tập nâng cao : Bài : Cho a, b, c số dương thỏa mãn a > b ab + (a+b)c + c2 = Tìm giá trị nhỏ biểu thức P 1 a b a c b c Gợi ý : Biến đổi biểu thức P 1 a b a 2 c b a c a b b Bài : Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn : a+ b+ c = Tìm giá trị nhỏ biểu thức 3a 3b 3c P abc Gợi ý : Đưa biểu thức tử đồng bậc, – 3a = a+4b+4c = 1+ 3b + 3c 3 b c Bài : Cho a, b, c số thực dương Tìm giá trị nhỏ biểu thức a Q a c b 2c 3c a b 5a 2a b c a b 3c 2b z 2x Gợi ý : Đổi biến a Đặt b 2a a Khi b b 2c x a y c y b 5x 3c z c z y z x y 4x z 3y x y y z Q a 2x b c 52 Bài : Cho a, b, c số dương thỏa mãn 2016 với x > x x Bài : Cho a, b, c số dương Chứng minh a 3a b 6b a c a 6c b b c a c b c Gợi ý :BĐt cần chứng minh 2a a b a c a 2a + a b + a a a c c a a 3c c a b a b b b a c 3b b b a 3b c a b c a b a c 3b b c b Bài : (Dự bị B - 2010) Cho x, y, z thực dương Tìm giá trị lớn biểu thức yz x yx xz P yz y xz z yx Gợi ý:Xét x P 2 x y yz x x y z xz y y z x z yx z y z x y z Bài 6: Cho x, y, z ba số thỏa mãn điều kiện Tìm giá trị lớn biểu thức Bài : Cho ba số dương x, y, z thỏa mãn x xy yz y xy xz 12 A z zx x y z m in 1 x y z 2 x y, z Chứng minh: III KẾT LUẬN Khi sử dụng bất đẳng thức AM – GM chứng minh bất đẳng thức toán cực trị Đại số, cần ý: Khi áp dụng bđt AM - GM số phải số không âm 53 BĐT AM - GM thường áp dụng bđt cần chứng minh có tổng tích Điều kiện xảy dấu „=‟, đặc biệt ý tốn tìm cực trị Chú ý tới điều kiện đề cho để lựa chọn điểm rơi, để biến đổi bất đẳng thức cực trị Cần kết hợp với bất đẳng thức khác, đẳng thức giải tốn Đơi đánh giá bất đẳng thức trực tiếp AM – GM khơng hiệu quả, cần kết hợp biến đổi điều kiện toán bất đẳng thức cần chứng minh hay tìm giá trị lớn (nhỏ nhất) để đưa toán đơn giản Bài toán với biểu thức cồng kềnh, ta đặt ẩn phụ để toán trở nên đơn giản Bất đẳng thức AM – GM ngồi hai ứng dụng trên, cịn ứng dụng khác giải tốn, : Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ toán hình học, giải phương trình, hệ phương trình, chứng minh mệnh đề tốn học… 54 CỘNG HỒ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập - Tự - Hạnh phúc ĐƠN U CẦU CƠNG NHẬN SÁNG KIẾN Kính gửi: Sở GD – DDT Nam Định - Tên : Tơ Thị Bình - Ngày tháng năm sinh: 18/04/1983 - Nơi công tác : Trường THCS Giao Thủy - Chức danh: Bí thư chi Đồn trường THCS Giao Thủy - Trình độ chun mơn: Đại học sư phạm Tốn - Tỷ lệ (%) đóng góp vào việc tạo sáng kiến: 96% - Là tác giả (nhóm tác giả) đề nghị xét công nhận sáng kiến: “KĨ THUẬT SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC COSI TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC VÀ TÌM CỰC TRỊ ĐẠI SỐ” - Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Giáo dục - Ngày sáng kiến áp dụng lần đầu áp dụng thử: Năm học 2012 2013 - Mô tả chất sáng kiến: Giúp học sinh vận dụng bất đẳng thức Cosi tình tốn bất đẳng thức tìm cực trị Đại số - Những điều kiện cân thiết để áp dụng sáng kiến: Có học sinh để giảng dạy - Đánh giá lợi ích thu dự kiến thu áp dụng sáng kiến theo ý kiến tác giả: chun đề góp phần tích cực hóa hoạt động học sinh đồng thời nâng cao chất lượng dạy học thầy trò, cụ thể: Kết thi học sinh giỏi năm học 2012 – 2013, có em đạt giải nhì, em đạt giải ba, em đạt giải khuyến khích , năm học 2013 – 2014: em đạt giải nhì, em đạt giải ba, khuyến khích Năm học 2014 – 2015: em đạt giải nhì em đạt giải ba Năm học 2015 – 2016, có em giải nhì, em giải ba em đạt giải khuyến khích Danh sách người tham gia áp dụng thử áp dụng lần đầu (nếu có): Học sinh lớp 9B, 9C, 9D, 9B 9D năm học từ 2012 – 2013 đến năm học 2015 – 2016 Tôi xin cam đoan thông tin đơn trung thực, thật hoàn toàn chịu trách nhiệm trước pháp luật Giao Thủy, ngày 24 tháng 12 năm 2016 Người nộp đơn Tô Thị Bình 55 56 ... (đpcm) Như việc sử dụng bất đẳng thức Cosi kĩ thuật sử dụng bất đẳng thức Cosi chứng minh bất đẳng thức tìm cực trị thật khơng giản đơn, địi hỏi người học nắm bắt kĩ thuật sử dụng linh hoạt,... dụng bất đẳng thức số bất đẳng thức nói viết II CÁC KĨ THUẬT KHI SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CÔ SI VÀO CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC VÀ TÌM CỰC TRỊ ĐẠI SỐ - Kỹ thuật tách ghép số - Kỹ thuật đổi biến số - Phương... thuật nhân thêm hệ số - Kỹ thuật hạ bậc - Kỹ thuật cộng thêm - Kỹ thuật Cosi ngược dấu Kỹ thuật tách ghép số Đây kỹ thuật số kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức cô si Kỹ thuật giới thiệu cho học sinh