Rèn luyện cho học sinh lớp 12 một số kĩ thuật sử dụng số phức liên hợp

1 MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài Căn vào chủ trương đường lối, sách pháp luật Đảng nhà nước Căn vào phương hướng, nhiệm vụ kế hoạch chuyên môn trường THPT Hà Trung năm học 2016-2017 Trong trình giảng dạy, nhà trường tin tưởng giao cho dạy lớp có học sinh khá, giỏi Chính việc giúp em nắm kiến thức tơi cịn phải bồi dưỡng cho em ôn thi đại học nhiệm vụ quan trọng số Trong nội dung thi Đại học – Cao đẳng phần số phức đóng vai trị quan trọng Những năm học trước phần số phức đề thi đại học câu đơn giản cho tất học sinh Tuy nhiên theo tình hình thi giáo dục phần số phức có từ câu đến câu chiếm khoảng 15% lượng điểm Vì có câu hỏi khó mức vận dụng cao địi hỏi học sinh phải có cách giải nhanh chóng phù hợp với hình thức thi trắc nghiệm Từ lý chọn đề tài, từ thực tiễn giảng dạy bồi dưỡng học sinh ôn thi đại học, ôn thi học sinh giỏi với kinh nghiệm q trình giảng dạy Tơi tổng hợp, khai thác thành chuyên đề: ‘‘Rèn luyện số kỹ thuật sử dụng số phức liên hợp’’ Hi vọng với đề tài nhỏ giúp bạn đồng nghiệp dạy học hiệu hơn, giúp em xử lý tốt không cảm thấy lúng túng việc giải toán trắc nghiệm số phức mức vận dụng cao 1.2 Mục đích nghiên cứu Qua nội dung đề tài mong muốn cung cấp cho học sinh phương pháp kỹ để học sinh giải tốn trắc nghiệm số phức mức vận dụng cao, tránh tình trạng em gặp phải tốn thường làm phức tạp vấn đề làm nhiều thời gian hay không giải Năm học này, với hình thức thi đại học trắc nghiệm mơn tốn áp lực thời gian vấn đề, địi hỏi học sinh có cách giải nhanh tập Hy vọng đề tài nhỏ đời giúp bạn đồng nghiệp học sinh có nhìn linh hoạt chủ động gặp toán số phức 1.3 Đối tượng nghiên cứu Học sinh thực nội dung học sinh lớp 12 Đối tượng nghiên cứu : phép tốn lấy số phức liên hợp tổng, hiệu, tích, thương hai số phức mở rộng cho nhiều số phức, môđun số phức 1.4 Phương pháp nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu lý luận : Nghiên cứu tài liệu liên quan sách giáo khoa, sách tập, sách tham khảo toán trắc nghiệm số phức mức vận dụng cao Phương pháp điều tra quan sát : Tìm hiểu việc vận dụng phương pháp dạy học tích cực số trường phổ thông Phương pháp tổng kết kinh nghiệm : Tham gia dự giờ, rút kinh nghiệm tổ môn, tham dự buổi họp chuyên đề, trao đổi ý kiến với đồng nghiệp Phương pháp thực nghiệm : Tiến hành thực nghiệm lớp 12I, 12K, 12M trường THPT Hà Trung 1.5 Những điểm sáng kiến Thơng thường học sinh giải tốn tập số phức cách gọi phần thực, phần ảo, việc sử dụng số phức liên hợp để giải tập tính tốn, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ tập số phức điều lạ học sinh Hệ thống tập dạng trắc nghiệm NỘI DUNG 2.1 Cơ sở lí luận Đẩy mạnh việc đổi dạy học (PPDH) diễn tất trường học, việc đổi phương pháp dạy học đem lại chất lượng hiệu cao giảng dạy Đổi PPDH trường THPT diễn theo bốn hướng chủ yếu sau : Phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động học tập học sinh Bồi dưỡng phương pháp tự học Rèn luyện kỹ lý thuyết vào thực tiễn Tác động đến tình cảm, đem lại niền vui, hứng thú học tập cho học sinh Trong hướng phát huy tích cực, tự giác, chủ động học tập học sinh xem chủ đạo, chi phối đến hướng lại 2.2 Thực trạng vấn đề Giải toán số phức phương pháp sử dụng số phức liên hợp tương đối lạ đa số học sinh lớp 12 Khi gặp toán vấn đề trên, học sinh nhiều thời gian để biến đổi toán Một số học sinh lực tư hạn chế chưa biết cách thường gọi dạng tổng quát số phức khó khăn việc giải khơng giải Chính người dạy phải hướng dẫn học sinh tìm cách giải đơn giản, thuận lợi để giải tốn cách nhanh chóng 2.3 Các giải pháp thực Khi tiếp cận toán, giáo viên phải giúp học sinh biết phải sử dụng lượng liên hợp số phức Sau giúp học sinh xây dựng phương pháp giải phù hợp Để giúp học sinh có cách giải phù hợp với toán số phức, trước hết giáo viên cần yêu cầu học sinh ôn tập kiến thức phép tốn tập số phức, tính chất mơđun số phức Sau giáo viên chọn số tốn điển hình để học sinh vận dụng Trong đề tài này, xin đưa số tập tương đối đầy đủ toán số phức sử dụng số phức liên hợp 2.3.1 Kiến thức tốn kỹ có liên quan - Các phép tốn tập số phức - Các tính chất mơđun số phức - Các tính chất số phức liên hợp tổng hiệu tích thương số phức - Kỹ sử dụng số phức liên hợp 2.3.2 Một số công thức liên quan.[1] z z 2a ( a phần thực số phức ), zz số thực không âm z z z số thực, z z z số ảo z z1 z2 z1 z z1 z2 , z zz , z z2 z 1 z z với z 0, zz zz z , z z z 2.3.3 Một số toán thường gặp phương pháp giải Dạng 1: Sử dụng số phức liên hợp để giải tập tìm số phức, số phức liên hợp, số phức nghịch đảo, môđun số phức Ví dụ Tìm số phức z thỏa mãn z i ( z 1)( z i) số thực.[3] A z z 2i B z i z 2i C z 2i z i D z z 2i Phân tích Khi gặp tốn thông thường ta giải Gọi z a bi a , b Theo đề z i a b 2 (1) Lại có ( z 1)( z i) số thực a bi a bi ia 1 b ab (2) 2 ( ) Từ (1) (2) ta có hệ a2 b 12 a 11 b ab Giải hệ phương trình ta tìm a , b Từ tìm z Tơi trình bày với cách giải sau ( z 1)( z i) số thực nên ta sử dụng tính chất ( số công thức liên quan ) z i ta sử dụng tính chất ( số công thức liên quan) Giải Từ giả thiết ( z 1)( z i) số thực nên ta có: (z 1)( z i ) z1 z i i z z z z 2i (1) Và z i z i 2 z i z i (2) u u2 u Đặt u z i , từ (1) (2) ta có (i 1)u (1 i ) Suy i u i i u u i u Suy z 1và z 2i Chọn đáp án A Nhận xét : Bài tốn ta giải theo cách thơng thường gọi z a bi a , b đưa hệ phương trình ẩn việc giải thời gian cách giải sử dụng số phức liên hợp Ví dụ Tìm số phức z thỏa mãn 2z 1 i z 11 i 2i [3] A z i B z i C z i D z i Phân tích Với cách giải thơng thường gọi z a bi a , b , tìm a , b thời gian thực phép nhân dễ nhầm lẫn Từ giả thiết ta nghĩ tới việc nhóm số hạng liên quan đến z lại, nhóm số hạng liên quan đến z với nhau, sau lấy số phức liên hợp hai vế phương trình đề cho ta hệ ẩn z z Giải Từ giả thiết 2z 1 i z 11 i 2i i z z i (1) Lấy liên hợp hai vế ta có i z 2z i (2) Nhân hai vế (1) với trừ (2) ta z 1i 1i z Chọn đáp án B 33 Ví dụ Tìm số phức z thỏa mãn z 4z [3] A z2 ; z2i B z ; z 2i ; z D z 2; z 2i ; z C z 2; z 2i ; z Phân tích Bài dạng tập trắc nghiệm ta giải cách bấm máy tính, thử đáp án, thời gian dễ gây nhầm lẫn Tuy nhiên ta giải cách đặt z a bi ( a , b ) Từ giả thiết z 4z ta có hệ phương trình : a3 3ab 4a a bi 4(a bi) Việc giải hệ phương trình nhiều thời gian.Ta giải cách khác sau : Từ giả thiết z 4z ta nghĩ tới việc môđun hai vế tìm z Sau nhân vế với z tạo z Giải Ta thấy z thỏa mãn phương trình Ta xét z z 4z z3 4z 4z z Từ z z z 4 zz z 16 z2 z2 z 2; z 2i Vậy ta chọn đáp án D Lưu ý : Ta nghĩ tới việc sử dụng kỹ sử dụng số phức liên hợp cho số phức đó, đề thường có yếu tố z z z Ví dụ Cho số phức z thỏa mãn z số ảo Tìm z ? A z B z C z D z Phân tích z Theo đề z số ảo ta sử dụng (tính chất (2) z z Giải z z z1 z Từ giả thiết ta có z 2z z ) z z 2=0 z z Chọn đáp án A Nhận xét : Với kỹ thuật sử dụng số phức liên hợp tốn giải trở nên dễ dàng Ví dụ Cho số phức z thỏa mãn z iz số ảo, tìm số phức nghịch đảo z ?[4] A z i B z i 25 25 25 25 1 C z i D z i 25 25 2 5 Phân tích : tương tự giống tập Giải 2bi b Từ giả thiết ta có iz (iz 4) iz i z ( Với b phần ảo số phức z ) z5 nên phần thực số phức z nên z Mà 4i ta chọn đáp án B Ví dụ Cho z số phức thực thỏa mãn Tính z ? A z B z Giải 25 25 i , có phần thực zz z z C D z Từ giả thiết ta có 1 z z 2z z z zz 1 z z (z z ) zz zz 18 z zz z Chọn đáp B z z2 Ví dụ Cho z số phức thực thỏa mãn z z2 môđun số phức z ?[4] z2 A Giải Ta có: z z z2 z z2 số thực Tìm z1 B 2z z z2 C z D 5 Để số thực z z z2 Tức là: hay z z z z z2 z z2 z z2 z z z z z zz z z Vậy ta chọn đáp án C Ví dụ Cho hai số phức phân biệt z1 , z2 z2 z z z z thỏa mãn điều kiện zz số ảo Khẳng định sau ? A z1 1, z2 Giải Do z1 z2 z1 z2 z1 z2 B z1 C z1 z2 D z1 z2 z2 Từ giả thiết z1 z2 số ảo suy ra: z1 z z1 z z z2 (z1 z2 ) z1 z z1 z2 (z1 z2 ) z1 z z1 z z1 z2 z1 z z1 z z1 z z1 z z1 z z1 z2 z1 z1 z z z1 z2 Chọn đáp án C Ví dụ Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z1 phần ảo số phức w z1 z2 ?[4] zz A Phần ảo Giải C Phần ảo -1 1 z2 nên z1 , z z z z 2 1 B Phần ảo D Phần ảo lớn z z 1, z1 z2 Tìm Vì z1 Ta có : z2 z 11 z1 z z z z z z1 z2 z1 z2 z z2 Vậy w số thực, ta chọn đáp án A Phân tích tốn: Nếu ta giải theo cách thông thường đặt z a bi , z a bi a b2 Từ giả thiết đề cho ta có: a b2 tìm phần ảo số phức 2 (a1 b1 ) ( a2 b2 )i cơng việc khơng đơn giản 1 ( a b i )(a 1 b i) 2 z1 Từ việc giả thiết cho z , 1z z2 ta nghĩ tới việc sử dụng tính chất w Mặt khác tốn u cầu tìm phần ảo số phức z1z2z1 z2 w z1 z1 z2 z2 Ta nghĩ việc tạo số phức liên hợp số phức z1 z z1 z2 Ví dụ 10 Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z1 z2 Tính z1 z2 ? A B.2 C D.3 Phân tích , cần tính z1 z2 Từ giả thiết z1 z2 ta cần tìm mối quan hệ hai lượng Ta có bổ đề sau z1 z2 2 z1 z2 Bổ đề 1: Cho hai số phức z1 , z2 z1 z2 Chứng minh: z1 z 2 z1 z 2 z1 z z1 z z1 z z1 z2 z1 z z z1 z z2 z1 z1 z1 z z z1 z z 2 z1 z1 z1 z2 Giải Áp dụng bổ đề vừa chứng minh ta có: z1 z 2 z1 z 2 z1 2 z z 2 z22 z1 z 2 z1 z22 z z2 z z 2 Vậy ta chọn đáp án A Nhận xét : Ta nhận thấy việc giải tốn có nhiều biến tập số phức việc rèn luyện kỹ sử dụng số phức liên hợp giúp cho học sinh có cách biến đổi nhanh chóng Ví dụ 11 Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z1 6, z 9, z1 z2 69 Tính z1 z2 ? A B 165 C 17 D 15 Giải Ta có: z1 z 2 z1 z 2 z1 z z1 z z1 z1 z z1 z z2 (1) z1 z z1 z z1 z1 z2 z1 z z2 (2) Lấy (1)+(2) ta z 2z1z222(z12z22)z z1 z 2 z1 z2 2z1 z2 Vậy z1 z2 165 Ta chọn đáp án B Ví dụ 12 Cho ba số phức z1 z z1 z3 z ,z ,z thỏa mãn điều kiện : z1 z z3 1.Tính z z3 z1 z2 2 z3 ?[2] D A B C Phân tích Bài tốn giải theo cách gọi z1 a1 b1i a1 , b1, z a2 b2i a2 , b2, z3 a3 b3i a3 , b3, thỏa mãn u cầu tốn thử hỏi ta có giải khơng, thời gian để làm câu trắc nghiệm Nên ta nghĩ tới việc thiết lập cơng thức quan hệ yếu tố ví dụ 10 z ,z ,z Bổ đề 2: Cho ba số phức z z 22 z z 1 z z2 2 Chứng minh: Ta có : z1 z 2 z z z z z z z z z1 2 z2 z2 z1 z2 Vậy nên z z z2 z 3 z 2 z1 z Suy z z 22 z2z z3 z3 z3 z 2z z2 z z z2 z z z z1 z z z z 2 z1 z z z1 z z z2 z 11 z 2 z z2 z z z z 1 2z z 3 z z 22 z1 z z1 z1 z1 z z z1 z z z z z z z z1 z3 z z1 z z3 z3 z1 z3 z2 z1 z 2 z3 z1 z z1 z3 z z1 z z3 z3 z1 z3 z2 z1 z z3 z2 z z 22 z z z2 z2 zz z 22 Ta chọn đáp án B Nhận xét: Bài có nhiều số phức, nhiều điều kiện, giải theo phương pháp gọi z a bi a , b việc giải phức tạp, để ta thấy tác dụng việc sử dụng kỹ sử dụng số phức liên hợp Tuy nhiên ta giải theo hướng chuẩn hóa đặt 3 z z z ,z ,z z1 z 2 i , z1 z3 2 i , , giải hệ tìm từ giải ví dụ, địi hỏi học sinh suy luận bước chuẩn hóa số phức gặp trở ngại đề cho môđun số phức số khác số Ví dụ 13 Cho ba số phức z1 z ,z ,z z2 thỏa mãn z z z3 1Đặt w z1 z z3 Hỏi khẳng định sau ?[4] A w số thực không âm B w=0 Giải C w số ảo D w số thực dương 1 w z z z 2 z1z2 z2 z3 z1z3 z z z 123 3z 2z1 z2 z3 (z1 z2 z3 ) z1 z2 z3 z1 z2 z3 Vậy ta chọn đáp án B z , z , z Ví dụ 14 Cho số phức z z z z 1999 z z 3 z z z thỏa mãn điều kiện Tính P z1 z z z3 z3 z1 [4] z1 z z D 5997 C 19992 B P 999,5 A P 1999 Phân tích Khi đề cho nhiều số phức, liên quan đến môdun số phức, ta nghĩ tới việc sử dụng tính chất z z z Giải Ta có zz z z zz z z2 z z z z P 2 31 2331 z1 z z3 z1 z2 z3 Mặt khác: z1 z2 z3 1999z1 z1 z z z3 z3 1999 z z2 z z2 19992 z Suy P2 19992 z1 1999 19992 19992 19992 19992 z1 z1 z z2 z3 z3 z1 z1 z2 z3 19992 19992 z2 z2 z3 z3 2 1999 1999 1999 z1 z2 z3 z1 19992 Vậy P 1999 Chọn đáp án A z a bi a , bthì Nhận xét: Để làm theo phương pháp gọi phức tạp tất nhiều thời gian học sinh lúng túng việc giải Tuy nhiên học sinh giải theo cách chuẩn hóa chọn z1 1999( i) , z z 1999( 2 i) , 1999 Mở rộng toán z1 z2 z3 k z1 z z z3 z1 z3 k z1 z z3 Dạng 2: Sử dụng số phức liên hợp để giải tập tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ Ví dụ 15 Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z Giá trị lớn z giá trị nhỏ z là.[2] A B C D Phân tích Từ giả thiết z ta nghĩ tới việc sử dụng tính chất z z biến đổi z 2z z Giải Ta có: z1 1z z 122 z z z4 z z z z từ z z z2z 2 z2 z zz + z z z zz zz zz z z 4z z 2 z z2 z2 z2 z2 z zz + Ta tiếp tục biến đổi đưa z z z z 1 z 2z2z4zz22z21z44z2 1zz z 4 z 2 z 2 3 z Vậy nên ta chọn đáp án B Nhận xét: Ta thấy việc tạo số phức liên hợp sử dụng tính chất zz z kết hợp với việc biến đổi, từ giả thiết yêu cầu đề Tuy nhiên ta phải làm quen tiếp cận với phương pháp việc biến đổi dễ dàng Nhận thấy toán với cách gọi z a bi a , b dùng phương pháp đại số phương pháp hình học khơng đơn giản Ví dụ 16 Cho số phức z thỏa mãn z Giá trị lớn giá trị nhỏ P z z z2 là.[2] A 13 13 C Phân tích B 15 15 D 10 Từ yêu cầu tìm giá trị lớn nhỏ P z z z2 Ta đặt t z dễ dàng tìm điều kiện t cần phải biến đổi lượng z z2 theo t từ ta có cách giải sau Giải Gọi z x iy; x, y Từ giả thiết z và đặt t z z z z z z=1 z t 0; Ta có : t2 z z z z zz z 2x x t2 Mặt khác z x2 y2 x2 y2 1t22 Khi z z2 t2 nên P z z z2 f (t) t t t t 23 t f (t) t t y2 y2 t t 4 t2 (t 0; ) Suy giá trị lớn P 13 z i 15 8 Giá trị nhỏ P z i Chọn đáp án A 2 z Gọi M m giá trị Ví dụ 17 Cho số phức z thỏa mãn điều kiện lớn nhỏ biểu thức P z3 3z z z z Tính M +m.[4] A Phân tích 13 B C 15 D Từ giả thiết P z3 3z z z z Nhìn vào biểu thức P ta nghĩ tới việc biến đổi z3 3z z z z2 z mà z 1, từ ta đặt t z z Giải Ta có : z z z Đặt t z z 0;2, t z z z z 11 t2 Lại có z 3z z z z z z z z2 z2 z 2 z z z 2 z z t t P t t Vậy M = t = 2, m t Nhận xét : Khi đề cho nhiều giả thiết liên quan đến môđun số phức, giải tốn phương pháp thơng thường gọi số phức z a bi a,b mà khơng giải kỹ thuật sử dụng số phức liên hợp phương pháp quan trọng mà ta nghĩ tới 2z i Ví dụ 18 Cho số phức z thỏa mãn điều kiện Tìm giá trị lớn iz z ? A B C D Phân tích 2z i dễ dàng biến đổi 2z i 2z i 2z i Từ giả thiết iz iz iz iz Giải Từ giả thiết suy 2z i 2z i zi iz iz iz 2z i 2z i iz iz iz zz Vậy giá trị lớn z Ta chọn đáp án A Nhận xét : Với việc sử dụng thành thạo tính chất số phức liên hợp toán trở nên đơn giản 10 Ví dụ 19 Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z1 z2 P 4z1 3z2 3z1 4z2 2016 Tính giá trị nhỏ A 2984 B 2884 C 2894 D 24 Phân tích 12 Từ giả thiết 3z1 4z2 2016 , P 4z1 3z2 , có phần tương quan hệ số z1 z2 Mặt khác cho môđun số phức ta nghĩ tới việc sử dụng tính chất zz z Vậy ta có cách giải tốn sau Giải Ta có: z Đặt N zz 3z1 4z2 , P N 3z1 4z 2 4z1 3z2 3z1 4z 3z1 4z2 z1 12z1 z 12z z1 16 z2 P 4z1 3z2 4z1 3z 4z1 3z2 16 z1 12z1 z 12z2 z1 z2 2 2 N2 P2 25 z 25 z 5000 Mặt khác: N 3z1 4z 22016 N 2016 2984 P2 2984 P Vậy giá trị nhỏ P 2984 , chọn đáp án A Ví dụ 20 Cho hai số phức z1 , z2 Tìm giá trị lớn P z1 z2 thỏa mãn z1 z 6i z1 z2 A.5 B 26 C.4 D.34 Phân tích z1 z2 z1 z 6i Với điều kiện đề cho yêu cầu tìm giá z z trị lớn P dạng quen thuộc dạng nên ta dễ dàng suy luận mối quan hệ yếu tố Giải Bổ đề 1: cho hai số phức z1 , z2 ta ln có z1 z 2 ( chứng minh ví dụ 10 ) 2 z1 z z1 2 z2 104 Áp dụng bổ đề ta z1 z2 z1 z2 z1 z2 Mặt khác theo bất đẳng thức bunhiacopxki z1 z 2 Vậy nên P 104 2 2 z1 104 z2 26 Ta chọn đáp án B Ví dụ 21 Cho ba số phức z , P biểu thức A z z z z z z , z3 thỏa mãn 1 2 z z z z z z zz 3 1 Tính giá trị nhỏ [4] zz B C.2 D Phân tích 13 Cần tìm giá trị nhỏ P z1 z z1 z z z z2 z3 z3 z z z2 Ta nghĩ tới việc sử dụng bất đẳng thức cauchy để biến đổi Giải z1 z 2 z z3 z3 z1 z1 z z1 z z z3 z z3 z3 z1 z3 z1 z1 z z3 z1 z2 z3 z1 z2 z3 Theo BĐT Cauchy P z z z z z 2z P z z z z 3 z1 z Do P 9 z1 z 2 z z3 z3 z z 2 z3 z1 z1 z z3 Ta chọn đáp án D Lời bình: ta thấy việc giải tốn cho nhiều số phức việc tính tốn khó, mà tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức nhiều biến tập số phức thật không đơn giản Với việc tạo kỹ sử dụng số phức liên hợp việc giải toán phương án tối ưu Bài tập tương tự Bài Với số phức z , ta có z 12 ? A z 2 z B z z z z C z z D z z Bài Cho số phức thực z Hỏi số sau số thực ? A w z z B w z z C w z z D w z z z z 2i Bài Cho số phức z thỏa mãn z Hỏi mệnh đề sau ? A z số thực z C z Bài Cho z số phức thỏa mãn B z số ảo D z z z z z số thực Tính z ? z A z z2 B Bài Cho ba số phức z1 , z2 , z3 thỏa mãn z1 z C z z z D z1 z2 z3 Mệnh đề đúng? A z1 z 2 z z3 z1 z3 số ảo B z1 z 2 z z3 z1 z3 số nguyên tố C z1 z 2 z z3 z1 z3 số thực âm D z1 z 2 z z3 z1 z3 số 14 Bài Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z1 A z 1, C Bài Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z i Tính z1 z2 Tính z1 z2 z1 z2 B D 3iz , z1 z2 ? A B C Bài Tính mơđun số phức z , biết z iz z i 13 A ? B D z 1 i C D 3 Bài Cho số phức a , b, c, z thỏa mãn az bz c a Gọi z1 , z2 lượt hai nghiệm phương trình bậc hai cho Tính giá trị biểu thức P z1 z 2 z1 z 2 z1 z2 lần c c c D P c B P C.P a a a 2a Bài 10 Cho ba số phức a , b, c ( a 0) thỏa mãn a b c Số phức z nghiệm phương trình az bz c Giá trị lớn nhỏ z 5 2 A B 22 2 C D 2 2 2 12 Bài 11 Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z Giá trị lớn giá A P z trị nhỏ z A B C 3 D Bài 12 Cho số a , b (b 0) Các nghiệm phương trình z az b2 có mơđun Chọn khẳng định a A a số ảo B số thực b b C b số ảo D b số thực a a Bài 13 Cho số phức z thỏa mãn z Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ P z z z2 A B C D 15 Bài 14 Cho số phức z cho z số thực w z thực Tính giá trị biểu thức z số z2 z 1 A B C D Bài 15 Cho số phức z z Tìm phần thực số phức A B C 1 z ? D 2.4 Hiệu sáng kiến Năm học 2016-2017 giao nhiệm vụ giảng dạy mơn Tốn lớp : 12I, 12K, 12M Trong ba lớp đa số học sinh chăm ngoan có ý thức học, đặc biệt em có hứng thú học giải tốn Tuy nhiên gặp số phức mức vận dụng cao giải phương pháp sử dụng số phức liên hợp em lúng túng biến đổi hay tạo lượng liên hợp số phức cho đúng, cho phù hợp Sau tiến hành thực nghiệm sáng kiến lớp dạy mình, tơi thu nhiều kết khả quan Hoạt động học tập học sinh diễn sôi nổi, đa số học sinh hiểu vận dụng vào giải toán Một số học sinh giỏi biết tự tìm tịi, nghiên cứu thêm đề thi sách tham khảo để hệ thống hóa, đào sâu kiến thức Kết kiểm tra: Điểm yếu Điểm TB Điểm Điểm giỏi Lớp Số % Số % Số % Số % 12I 2,1 12,7 20 42,6 20 42,6 12K 10 10 20 25 50 10 20 12M 14,2 15 30,6 21 42,9 12,3 Như số học sinh đạt điểm trung bình trở lên chiếm 91% có 69,9% học sinh đạt điểm khá, giỏi KẾT LUẬN 3.1 Kết luận Trong trình giảng dạy, nhận thấy rằng: sau đưa hệ thống tập trên, học sinh biết vận dụng cách linh hoạt, vào toán khác nhau, từ đơn giản đến phức tạp Học sinh khơng cịn tâm lý e ngại gặp toán Mặt khác, hiệu áp dụng tương đối cao, giải trở nên sáng sủa, ngắn gọn hầu hết em vận dụng tốt Mặc dù có nhiều cố gắng song tránh khỏi sơ suất, thiếu sót Kính mong hội đồng khoa học cấp bạn bè đồng nghiệp góp ý, xây dựng, bổ sung cho kinh nghiệm đạt chất lượng tốt 16 3.2 Kiến nghị - Đề nghị cấp lãnh đạo tạo điều kiện giúp đỡ học sinh giáo viên có nhiều tài liệu sách tham khảo đổi phòng thư viện để nghiên cứu học tập nâng cao kiến thức chuyên môn nghiệp vụ - Nhà trường cần tổ chức bổi trao đổi phương pháp giảng dạy Có tủ sách lưu lại tài liệu chuyên đề bồi dưỡng ôn tập giáo viên hàng năm để làm sở nghiên cứu phát triển chuyên đề - Các sáng kiến kinh nghiệm xếp loại cấp Tỉnh cần phổ biến rộng rãi cần áp dụng nhiều giảng dạy cho đồng nghiệp học tập - Học sinh cần tăng cường học tập trao đổi, học nhóm nâng cao chất lượng Tơi xin chân thành cảm ơn! XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 25 tháng năm 2017 Tơi xin cam đoan SKKN viết không chép nội dung người khác Chữ ký Lê Thị Liên 17 TÀI LIỆU THAM KHẢO Sách giáo khoa giải tích 12; tác giả Đồn Quỳnh, Nguyễn Huy Đoan chủ biên, Trần Phương Dung, Nguyễn Xuân Liêm, Đặng Hùng Thắng, NXB Giáo Dục năm 2010 Hướng dẫn giải tập vận dụng – vân dụng cao…tác giả TS Lê Thị Hương, ThS Nguyễn Kiếm, ThS Hồ Xuân Thắng, NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội, xuất năm 2016 Tài liệu ôn thi THPT quốc gia, tác giả Nguyễn Tất Thu, NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội, xuất năm 2015 Nguồn khác: http://www.toanmath.com 18 MỤC LỤC MỞ ĐẦU….….……………………………………… ……… …… 1.1 Lý chọn đề tài……………………………………………………… 1.2 Mục đích nghiên cứu…………………………………………….…… 1.3 Đối tượng nghiên cứu…………………………………………….…… 1.4 Phương pháp nghiên cứu………………………………………… ….1-2 1.5 Những điểm sáng kiến ……………………………….……….2 NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM…………….… …2 2.1 Cơ sở lí luận 2.2 Thực trạng vấn đề……… ……………………………………… … 2.3 Các giải pháp thực hiện……… ………………………………… … 2.4 Hiệu sáng kiến………… ……………………………… 16 KẾT LUẬN…………… …………………… ……….… .… ….16 3.1 Kết luận 16 3.2 Kiến nghị 17 TÀI LIỆU THAM KHẢO 18 SỞ GIÁO DỤC VÀ TẠO THANH HÓA TRƯỜNG THPT HÀ TRUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM RÈN LUYỆN CHO HỌC SINH LỚP 12 MỘT SỐ KỸ THUẬT SỬ DỤNG SỐ PHỨC LIÊN HỢP Người thực hiện: Lê Thị Liên Chức vụ: Giáo viên SKKN thuộc lĩnh vực (mơn): Tốn 20 THANH HĨA NĂM 2017 21 ... , z z z 2.3.3 Một số toán thường gặp phương pháp giải Dạng 1: Sử dụng số phức liên hợp để giải tập tìm số phức, số phức liên hợp, số phức nghịch đảo, mơđun số phức Ví dụ Tìm số phức z thỏa mãn... Toán lớp : 12I, 12K, 12M Trong ba lớp đa số học sinh chăm ngoan có ý thức học, đặc biệt em có hứng thú học giải toán Tuy nhiên gặp số phức mức vận dụng cao giải phương pháp sử dụng số phức liên hợp. .. tới việc sử dụng kỹ sử dụng số phức liên hợp cho số phức đó, đề thường có yếu tố z z z Ví dụ Cho số phức z thỏa mãn z số ảo Tìm z ? A z B z C z D z Phân tích z Theo đề z số ảo ta sử dụng (tính