CHUYÊN đề hàm số bậc NHẤT và LIÊN QUAN

CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ LIÊN QUAN PHẦN I.TRỌNG TÂM CẦN ĐẠT A KHÁI NIỆM HÀM SỐ I Kiến thức trọng tâm - Nếu đại lượng y phụ thuộc vào đại lượng x (thay đổi), cho với giá trị x ta xác định giá trị tương ứng y y gọi (đgl) hàm sổ x, x đgl biến số + Kí hiệu: y = f ( x), y = g (x ) , + Khi x = x giá trị hàm số f (x) x f (x0) Kí hiệu: y0 = f (x0) + Tập hợp giá trị x để hàm số y = f (x) xác định gọi tập xác định hàm số Kí hiệu: TXĐ = D + Khi giá trị x thay đổi, mà giá trị hàm số y = f (x) không thay đổi (luôn nhận giá trị định), hàm số gọi hàm + Hàm số cho cơng thức y = f (x) bảng giá trị x, y tương ứng - Đồ thị hàm số y = f (x) tập hợp tất điếm M (x0 ;y0) mặt phẳng toạ độ Oxy cho y0 = f (x0) + Điểm M (x0;y0) gọi thuộc đồ thị hàm số y = f (x) < > f (x0) = y0 + Điểm M (x0 ;y0) không thuộc đồ thị hàm số y = f ( )o ( )* yo x f x + Điểm M (x0;y0) : khoảng cách từ M đến trục Ox: d(M/Ox)=|y01; khoảng cách từ M đến trục Oy: (M/oy)=| Khoảng cách từ M đến gốc toạ độ ( ; ) d x o 0 d (M/o)=^x' + y0 - Sự đồng biến, nghịch biến hàm số: THCS.TOANMATH.com Cho hàm số y = f (x) xác định tập D Với XI, x2 khoảng (a;b) XI < x2 + Nếu f ( )< ( )^ ( 2) ( )> x f x f x -f x THCS.TOANMATH.com ^ Hàm số y = f (x) đồng biến khoảng (a; b) + Nếu f ( i )> ( )« ( )- ( i )< x f x f x f x ^ Hàm số y = f (x) nghịch biến khoảng (a; b) + Việc chứng minh hàm sổ đồng biến, nghịch biến sử dụng để tìm GTLN, GTNN hàm sổ khoảng giá trị cho trước biến Công thút » = Định nghĩa hám số , Tim điêu kiện iac đinh cũa hâm số Tập xác định X thố măn diều kiện k KHÁI NIÊM í XL À rxi uÀMcn HĂM so ' ĐÔ thị hàm SỖ Ị - \ 7X0 uét tìp Ppp gi In Đõ thi hãm số iá tập họp tẵt cá nhũng điẽm Ix I thoá mãn biếu thức » = /( Diém< -v«l thuộc đõ thị = f>é’m' k c khơng thuộc dơ thi • , T»l X=XỊ =>J| =/(XỊ) Tính giá trị cùa hàm số »= f(x} ỵ _“ , _ ' Im => 1; Cho hàm sỗ »-/(tivâ Xjỉx-5 - Vx + b) y = Vx + +V2-x HƯỚNG DẪN GIẢI Bài 1: Với giá trị x hàm số sau xác định a) Hàm số y = x3 - 2x2 + x -1 xác định với x thuộc R b) Hàm số y = ( )( ) + x x - xác định khi: ( + )( x x - ) /x *-1 x^ 3 c) Vì x2 - 2x + = ( x -1) + > với x thuộc R Do đó, hàm số y = ——2 -xác định với x thuộc R x - 2x + d) Hàm số y = 3x/x -1 | x | xác định khi: x -1 > [x > 11 x| - * °t| x| ■ 'x > 1 x* ±2 x* 'x > Điều kiện có nghĩa hàm số x* Bài 2: Với giá trị x thức sau có nghĩa: a) y = \lx -5 -Vx + 'x > : x >-3 Điều kiện có nghĩa hàm số là: b) y = y/x + +V2 - x Điều kiện có nghĩa hàm số là: Dạng Tính giá trị hàm số cho giá trị ẩn PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỐN Việc tính tốn theo kiểu giúp ta xác định toạ độ nhiều điểm thuộc đồ thị hàm số cách nhanh chóng Ngồi ra, phương pháp sử dụng kết hợp máy tính cầm tay (sử dụng Slove) giúp cải thiện thời gian cách hiệu Tính giá trị hàm số y = f (x) cho giá trị ẩn x ta thay giá trị x vào biểu thức y = f (x ) để tìm y0 = f (x0) Ví dụ minh họa 1: Cho hàm số f (x) = tx -1 í31 í3 n 1- 31 ; (- ) ; ( ) ; í ) ; 13 Tí h f f f f f Thay giá trị x vào hàm số ta giá trị tương ứng sau: rí ì_ í _ 1 - = - - 1= l 21 31 21 f (-1)=3 (-1)-1=-3 -1= — 1.0 -1 — —1 f —3-1—1——3 () J l_ 1 , — — —1 — 21 31 21 2 BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: a) Cho hàm sơ y — — x Tính: f (—3) ;f (—2 ) ;f (—1) ;f ( ) ;f (1) ;f (2 ) ;f (3) Tính: f (—3) ;f (—2 ) ;f (—1) ;f ( ) ;f (1) ;f (2 ) ;f (3) c) Có nhận xét hai hàm sơ nói trên? Bài 2: Cho hai hàm sô f (x) — x2 g (x) — — x (1 ^ — ,f (0) ,g (1) ,g (2) ,g (3) b) Xác định a để 2f (a) — g (a) / \ \ỉx +1 Bài 3: Cho hàm sô f x — A/X — () a) Tìm tập xác định hàm sơ ( b) Tính f — 5/3 c) ) Tìm x nguyên để f (x) sô nguyên HƯỚNG DẪN GIẢI Bài 1: a,b) Hàm sô y — — x hàm sô y — — x + 5 Tính f (-3) ;f (-2 ) ;f (-1) ;f ( ) ;f (1) ;f (2 ) ;f (3 ) x -3 -2 -1 y= -x — — — 3 y = -x + „ + „ + ~ + 0+ 2 5 — — — „ „ „ - + - + - + 5 c) Có nhận xét vê hai hàm sơ nói trên? 3 _ Hàm sô y = ^- x hàm sô y = ^ x + hai hàm sơ đơng biên giá trị x tăng giá trị tương ứng x tăng Với giá trị biên x giá trị hàm sô y = ^ x + luôn lớn giá trị hàm sô 3„ y = — x đơn vị Bài 2: Cho hàm sô f (x) = x2 g (x) = - x a) Tính f (-3) = (-3)2 = l-2)=(- ) = f f 1 ( )=( ) = 0 g (1) = -1 = g (2) = - = g (3) = - = b) Xác định a để a=1 2f (a) = g (a) o 2a = - a o 2a + a - = o (a -1)(2a + 3) = o 2 a=-— Vậy a = 1; a = ước nguyên Vx -1\P3 + 1) + +1 Ự3 f ^4 =2^3 Vậy với x = hàm |0;4;9 Ịx hàmx+số1 đạt giá trị nguyên.là số-nguyên c) Ta3: có: Bài Cho số vx-1=2 Vx = ựx y/x b) f - ^/3 ^4 - 2^3 -1 -ịj3 = x -1 đồ thị- -hàm số£ -1 - thuộc) Dạng 1=1 định điểm ■\/xthuộc = vx (không = vx3.-Xác -1 o x = (thỏa x>0 A/Xsố-xác =địnhGIẢI a/ Hàm với PHƯƠNG PHÁP Vx m = 3; m = -3 Vậy với m = ±3 (P) (d) cắt điểm có tung độ 2) Từ ý (1) suy ra: (P) (d) cắt hai điểm phân biệt m ^ Khi giao điểm thứ gốc tạo độ O (x = 0; y = 0) , giao điểm thứ điểm a có Khooảng cách hai giao điểm: AO = ^lm2 + m4 =^6 > m4 + m2 -6 = (1) Đặt t = m2;(t > 0) (1) < > t2 +1 - = > tj = (nhận); t2 = -2 (loại), Với = > m2 = > m = ±V3 (nhận) Vậy với m = ±5/3 (P) cắt (d) hai điểm có khoảng cách -ựó Bài 20 1.a) Để hàm số y = (m + 3) x + hàm số bậc m + ^ suy m ^ -3 Đồ thị hai hàm số cho hai đường thẳng cắt < a ^ a' Vậy với m ^ -3 m ^ -4 đồ thị hai hàm số cho hai đường thẳng cắt b) Đồ thị hàm số cho hai đường thẳng song song -± =ma+ =J a ~ À , ; > m = (thỏa mãn điêu kiện m ^ -3 ) < > * b * b’ Vậy với m = -4 đồ thị hai hàm số cho hai đường thẳng song song 2 Tìm giá trị a để đồ thị hàm số y = ax (a ^ 0) qua điểm M(-1;2) Vì đồ thị hàm số y = ax (a ^ 0) qua điểm M (—1;2) nên ta thay x = -1 y = vào hàm số ta có phương trình = a (-1)2 suy a = (thỏa mãn điều kiện a ^ ) Vậy với a = đồ thị hàm số y = ax (a ^ 0) qua điểm M (—1;2) Bài 21 Lời giải a Viết phương trình đường thẳng d Đường thẳng d với hệ số góc k có dạng y = kx + b Đường thẳng d qua điểm M (0;1) nên: = k.0 + b < > b = Vậy d : y = kx +1 b Phương trình hồnh độ giao điểm (P) v d: x2 = kx + ôã x2 + kx + = , có A = k2 — d cắt (P) hai điểm phân biệt A > k2 — > o k2 > o k2 > 22 o | k| > o k Bài 21 a) Với m = —1 (P) (d) trở thành y = — x2; y = x — Lúc phương trình hồnh độ giao điểm (P) (d) là: —x2 = x — «• x2 + x — = có a + b + c = +1 — = nên có hai nghiệm x = 1; x2 = —2 Với x = ^ y = —1 Với x2 = —2 ^ y2 = —4x Vậy tọa độ giao điểm (P) (d) (1;—1) (—2; —4) b) Phương trình hồnh độ giao điểm (P) (d) là: mx2 = (m - 2) x + m -1 ôã mx2 - (m - 2) x - m +1 = (*) Với m ^ (*) phương trình bậc hai ẩn x có: A = (m - 2)2 - 4m (-m +1) = m2 - 4m + + 4m2 - 4m = 5m2 + > với m Suy (*) ln có hai nghiệm phân biệt với m Hay với m ^ đường thẳng (d) cắt parabol (P) hai điểm phân biệt Bài 22 Đường thẳng (d) : y = 2x + m2 +1 song song với đường thẳng (d') : y = 2m2x + m2 + m khi: Phương trình hồnh độ giao điểm (d) (P) 1.2 _ 2= m2 = 2 m = -trình « bậc m hai có ac = -m2 -1 < với m nên x = 2x - m -11= phương 2m2x + m +1« x -«1 ° = -1 ln có hai nghiệm phân biệt với m Do (d) cắt (P) hai điểm phân biệt A B với m Cách 1: Kí hiệu xA : xB hoành độ điểm A điểm B xA : xB nghiệm phương trình: x — x — m — = Giải phương trình x2 - 2x - m2 -1 = A = + m2 +1 = m2 + > ^ -/Ã = *Jm2 + Phương trình có hai nghiệm xA = 1+ Do đó: xA V m + 2; x B = -y/ m2 + ( Vm + 2) + (1 - Vm + 2) = 14 + xB2 = 14 ô + 2 ôã + 2y/ m2 + + m2 + +1 - 2Ạ/ m2 + + m2 + = 14 « 2m2 + = 14 « 2m2 = « m2 = « m = ±2 Cách 2: Kí hiệu XA : XB hồnh độ điểm A điểm B XA : XB nghiệm phương trình S = XA + XB = X2 - 2X - m2 -1 2=do0đó, Áp < ta dụng có: hệ thức Viet ta P = X ,X„ = -m -1 có: X XA2 + XB2 = 14 o (XA AB + XB )2 - 2XA.XB = 14 o 22 - (-m2 -1) = 14 •» + 2m2 + = 14 •» m = ±2 Bài 23 a) Đường thẳng y = ax + b song song với đường thẳng y = 2X +1 nên: a = 2, b ^ Vì đường thẳng y = 2X + b qua điểm M (-1;2) nên ta có phương trình: 2(-1) + b = ôã b = (tha b ^ 1) Vậy a = 2, b = b) Ta có: A' = + m2 + 5m = (m +1) (m + 4) Để phương trình có nghiệm X, X ta có: A' > o m < -4 m > -1(*) Theo định lí Viet, ta có: Xj + X2 = -b = -4 Xj,X2 = — = -m2 - 5m a Ta có: Xi - X2| = O’ (X - X ( O’ 16 - -m2 - 5m a )2 = 16 ^ (X + X )2 - 4X-X = 16 ) = 16 O’ m + 5m = O’ m = m = -5 Kết hợp với điều kiện (*), ta có m = 0, m = -5 giá trị cần tìm Bài 24 - Bảng giá trị: X X y =2 -4 -2 2 - Đồ thị (P) đường parabol đỉnh O (0;0) nằm phía trục hồnh, nhận trục tung làm trục đối xứng qua điểm có tọa dộ cho bảng ị 2/ Cách 1: Vì (d) cắt (P) điểm A có hồnh độ nên x = thỏa mãn công thức hàm số (P) nên tung độ 12 điểm A là: y = — Do A Vậy với m = (d) : y = x - m cắt P điểm A có hồnh độ Khi tung độ yA = Cách 2: T"' 'ì '11'14.^- 4.* Ẳ ■>' 1X /TA\ X x Ta có phương trình hồnh độ giao điểm (d) (P) là: rx Để (d) cắt (P) điểm A có hồnh độ phương trình (P) có nghiệm ^ I2 - 2.1 + 2m = o m = — Vậy với m = (d) : y = x - m cắt P điểm A có hồnh độ Khi tung độ 12 A = ~=2 y Bài 25 (d) cắt (P) điểm « Phương trình hoành độ (d) (P): -x2 = mx + ôã x2 + mx + = cú nghiệm ZưA = x - m o x - 2x + 2m = (*) ^ A = m2 - = ôã m = 25/2 Vy giá trị m cần tìm m = ±25/2 ' A e( P) m =-(-2) ; - o < B e ( d) n = m + 2 m = -4 n = Vậy m = -4, n = -2 Nếu m = (d) thành: y = ^ khoảng cách từ O đến (d) = ^ OH = (Hình 1) í2J -Nếu m ^0 (d) cắt trục tung điểm A(0;2)và cắt trục hoành điểm B1 - — ;0 I (Hình 2) 1m1 ^ OA = 2; OB = 2_ HI ■ AOAB vng O có OH AB suy ra: OH2 "\lm2 +1 , + , =+ OA2 OB2 Vì m2 +1 > Vm * ^y/m2 + > ^ OH < So sánh hai trường hợp, ta có O^^ax = o m = m2 m2 +1 4 = —■— Bài 26: _Ẫ4, Đáp sô: a — —-,b — -5 Bài 27: a) HS tự làm b) Phương trình hồnh độ giao điểm ĩí ộ II t Vậy tọa độ giao điểm d P I ĩ-H II II ,H x+2 o II x2 = — X + X2 + X — = d P là: -2;4 , 1;1 Bài 28: P qua điểm A 3;—3 nên ta có —3 = 32.aOơ = —^ Vậy P = 1, 3x Bài 29: a) HS tự vẽ hình b) Đáp sô: m < Bài 30: Ta thấy hai đường thẳng dỴ' d cắt nhau: + Đường thẳng d cắt trục hoành điểm A 3'0 + Đường thẳng d cắt trục hoành điểm B k—2;0 + Để hai đường thẳng d'd cắt điểm trục hồnh k — = 3&k = Vậy k — Bài 31: Để hàm số bậc y = m — X + đồng biến R m — 2>Q^m >2 Bài 32: —2 y — 2x T Tọa độ I nghiệm hệ _y= -4x + l X = - 11 -'3 Do d qua điểm I nên 11 = —Ệ- m + +2m — lOm = Bài 33: a) Để đường thẳng d vng góc với đường thẳng d 4m + + l — m = ~ m = — m*2 1 > Ẵ 1-m , , ,„ b) Để hàm số y = -—-4- x+ — m m + m+2 l^->0«-2 SABDC = 3Ocm2 Suy S < 30cm (loại) ÂMB Trường hợp 2: M thuộc tia Dx M * D =■/?/> Ta có: S AMB SABDC=30cm2 $ABDC ~ sACM $BDM 25 SACM = AC.CM = m + =m + on Sfír,M = 4BD.DM = 4.8 m — =4 m — crn IB,M => SAMB = 30cm2 SACM = S'BDM ^m + = m-4 ^m=6 Vậy M 6;0 Bài 38: a) Phương trình hồnh độ giao điểm: x2 — 2m — x + m- = * Ta có: A = 4m2 — 8m + = m —12+5>5>0 với m Vậy parabol cắt đường thẳng hai điểm phân biệt b) Vì x,x nghiệm phương trình (*) nên theo hệ thức Vi-ét ta có: _ V Mặt khác >’| = - I 72 = -v22 Xj + x2 = 2m — XjX2 = m — Ta có: x1y1 + x2y2 = o xf + x| = o xỉ+ x2 x^ — xỉx2 + xỊ = X-L + x2 — X1 + x2 — 3X1X2 X.2 — X1X2 +x2 = 2m—1=0 m=— 4m2-7m + = -1 Vậy m — — Bài 39: a) HS tự làm là^x2 = X trình + m ohồnh X2 —độ 2xgiao — 2m = 01 b) Phương điểm d P d cắt P hai điểm phân biệt phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt o > o + 2m > o m > — Ậ c) Giả sử A Xj;y ,B x2;y , với x,x hai nghiệm phương trình (1) Theo định lí Vi-ét có: Xj + x2 = XjX2 = — 2m Ta có: y = Xj + m;y2 — x2 +m Theo giả thiết: AB — 6-^2 44- ự Xj — x2 + — y2 = 6^2 44- ^2 Xj — x2 = 65/2 44» ự Xj — x2 = 44 X2 — 2XJX2 + x2 = 36 44 xt + x2 — 4.v|x2 = 36 44 + 8m = 36 44 m = (thỏa mãn) Bài 40: a) HS tự làm b) Phương trình hồnh độ giao điểm d P là: x2 = 2m —ỉ X— 2m + X2 — 2m — X + 2m — = (1) Nhận thấy a + b +c = I f 2m — ] + 2m —2 =0 nên phương trình (1) có hai nghiệm x = l;x2 = 2m — d cắt P hai điểm phân biệt phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt 44 X, X, 44 2m — 2^m^ — * 2 Để x < — < xQ = 2m — 2> — Om> — 2 2 A, A _ Kết hợp với điều kiện (*) suy m > — •X • '' T ... a) Hàm số y = -2x - hàm số bậc nhất, a = -2; b = -3 Hàm số có hệ số a = -2 < nên hàm số nghịch biến R 3_ b) Hàm số y = -— x hàm số bậc nhất, a = - — ;b = „ Hàm số có hệ số a = - — < nên hàm số. .. riêng cho hàm số bậc nhất: y = ax + b + Hàm số đồng biến o a > + Hàm số nghịch biến o a < BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài Trong hàm số sau, hàm số hàm sổ bậc nhất? Hãy xác định hệ số a, b xét xem hàm số đồng... hàm số: y = ax + b hàm số bậc o a ^ Ví dụ minh họa : Cho hàm số: y = (3 - m) x - (1) Tìm giá trị m để hàm số (1) hàm số bậc Hướng dẫn giải: Hàm số (1) bậc o - m ^ o m ^ b Tính chất: Hàm số bậc