(TIỂU LUẬN) CHUYÊN đề hàm số bậc NHẤT và LIÊN QUAN

CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ LIÊN QUAN PHẦN I.TRỌNG TÂM CẦN ĐẠT A KHÁI NIỆM HÀM SỐ I Kiến thức trọng tâm - Nếu đại lượng y phụ thuộc vào đại lượng x (thay đổi), cho với giá trị x ta xác định giá trị tương ứng y y gọi (đgl) hàm sổ x, x đgl biến số + Kí hiệu: y = f + Khi x = x ( x ) , y = g ( x ), giá trị hàm số f ( x ) + Tập hợp giá trị x để hàm số y = f x f ( x0 ) Kí hiệu: y0 =f ( x0 ) ( x )xác định gọi tập xác định hàm số Kí hiệu: TXĐ = D + Khi giá trị x thay đổi, mà giá trị hàm số y = f ( x )không thay đổi (luôn nhận giá trị định), hàm số gọi hàm + Hàm số cho cơng thức y = f - Đồ thị hàm số y = f Oxy cho y0 = f ( x )hoặc bảng giá trị x, y tương ứng ( x )là tập hợp tất điếm M ( x0 ; y0 ) mặt phẳng toạ độ ( x0 ) + Điểm M ( x0 ; y0 )bất kỳ gọi thuộc đồ thị hàm số y = f ( x ) ⇔ f ( x0 ) = y0 + Điểm M ( x0 ; y0 )bất kỳ không thuộc đồ thị hàm số y = f ( x ) ⇔ f ( x0 ) ≠ y0 + Điểm M ( x0 ; y0 ): khoảng cách từ M đến trục Ox: d ( M/ Ox) = y0 d ( M/ Oy) =x Khoảng cách từ M đến gốc toạ độ - Sự đồng biến, nghịch biến hàm số: Cho hàm số y = f ( x ) xác định tập D Với x1, x2 khoảng + Nếu f ( a; b) x1 < x2 ( x1 ) < f ( x ) ⇔ f ( x ) − f ( x1 ) > THCS.TOANMATH.com O ( 0; 0) d ( M / O) = ; khoảng cách từ M đến trục Oy: x2 + y2  Hàm số y = f + Nếu f ( x )đồng biến khoảng ( a; b) ( x1 ) > f ( x ) ⇔ f ( x ) − f ( x1 ) <  Hàm số y = f ( x )nghịch biến khoảng ( a; b) + Việc chứng minh hàm sổ đồng biến, nghịch biến cịn sử dụng để tìm GTLN, GTNN hàm sổ khoảng giá trị cho trước biến SƠ ĐỒ: KHÁI NIỆM HÀM SỐ II Các dạng tốn Dạng 1: Tìm điều kiện xác định hàm số PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỐN Tìm điều kiện xác định hàm số tìm giá trị cho biểu thức hàm số có nghĩa Ở ta cần ý điểu kiện mẫu thức, biểu thức căn, Ví dụ minh họa 1: Tìm điều kiện xác định hàm số sau: 1x − a) y = − Hướng dẫn giải a) Hàm số y = − 2 x − xác định với x thuộc R THCS.TOANMATH.com b) Hàm số y = 2x + ≥   −x≥0 c) Hàm số y = x 2 − xác định với x thỏa mãn: x − ≠ ⇔ x ≠3⇔x≠± Bài 1: Với giá trị x hàm số sau xác định y x = a) − c) y = x Bài 2: Với giá trị x thức sau có nghĩa: a) y = x − − x + b) y = x + + − x HƯỚNG DẪN GIẢI Bài 1: Với giá trị x hàm số sau xác định a) Hàm số y = x3 2x − 2x b) Hàm số y = + x − xác định với x thuộc R x − ( ) ( x +1  ) xác định khi: x −3 x + 1)( x − + ≠ ⇔ ) ≠0 ⇔ x ≠ −1   x x −3  ≠ x ≠ c) Vì x − 2x + = ( x − 1)2 + > với x thuộc R − 2x + Do đó, hàm số y = d) Hàm số y = THCS.TOANMATH.com x−1≥0    − x ≠  x≥1  Điều kiện có nghĩa hàm số  Bài 2: Với giá trị x thức sau có nghĩa: x −5 − a) y = Điều kiện có nghĩa hàm số là: x +2 + b) y = Điều kiện có nghĩa hàm số là: Dạng Tính giá trị hàm số cho giá trị ẩn PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỐN Việc tính tốn theo kiểu giúp ta xác định toạ độ nhiều điểm thuộc đồ thị hàm số cách nhanh chóng Ngồi ra, phương pháp sử dụng kết hợp máy tính cầm tay (sử dụng Slove) giúp cải thiện thời gian cách hiệu Tính giá trị hàm số y = f y=f ( x )để tìm y =f ( x ) cho giá trị ẩn x0 ( x0 ) Ví dụ minh họa 1: Cho hàm số f ta thay giá trị x0 vào biểu thức Thay giá trị x vào hàm số ta giá trị tương ứng sau:  3 f − 2   f (− )= ( − )− THCS.TOANMATH.com =− 3− =− f( )= f ( )= 3 1 − − =− =−  3 f 2   BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: a) Cho hàm số y = Tính: f b) y = Tính: f 5x ( −3 ) ; f ( −2 ) ; f ( −1) ; f ( ) ; f (1) ; f ( ) ; f ( ) 5x+2 ( −3 ) ; f ( −2 ) ; f ( −1) ; f ( ) ; f (1) ; f ( ) ; f ( ) c) Có nhận xét hai hàm số nói trên? Bài 2: Cho hai hàm số f ( x ) = x2 g ( x ) = − x   a) Tính f ( − ), f − , f ( ) ,g (1 ) ,g ( ) ,g    2 b) Xác định a để 2f Bài 3: Cho hàm số f (a )=g (a ) (x )= x +1 x −1 a) Tìm tập xác định hàm số b) Tính f (4−2 ) c) Tìm x nguyên để f ( x ) số nguyên HƯỚNG DẪN GIẢI Bài 1: a,b) Hàm số y = x hàm số y = THCS.TOANMATH.com 5x+2 (3 ) ( ( ) −3 Tính f ;f x = y x y= x+ c) Có nhận xét hai hàm số nói trên? Hàm số y = tương 3 x hàm số y = x + hai hàm số đồng biến giá trị x tăng giá trị ứng x tăng Với giá trị biến x giá trị hàm số y = y= 3 x + luôn lớn giá trị hàm số x đơn vị Bài 2: Cho hàm số f a) Tính f ( x ) = x2 (−3 )= (−3 ) g (x )=3−x =9  f −  f ( ) = ( )2 =0 g (1) = − = g (2 )=3−2=1 g (3 )=3−3=0 b) Xác định a để a = 2f ( a ) = g ( a ) ⇔ 2a = − a ⇔ 2a + a − = ⇔ ( a − ) ( 2a + ) = ⇔  THCS.TOANMATH.com Vậy a = 1; a = − Bài 3: Cho hàm số f x ( )= a/ Hàm số xác định với b) f (4−2 c) Ta có:  ( f x ( )= ) x −1 ước nguyên  x −1   x −1 =1 ⇔  x −1 =−1  Vậy với x = { 0; 4; 9} hàm số đạt giá trị nguyên Dạng Xác định điểm thuộc (khơng thuộc) đồ thị hàm số PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỐN  x −1  a = − Cho đồ thị hàm số y = f Một điểm ( x ) ( x ; y0 ) gọi thuộc đồ thị hàm số ta thay giá trị toạ độ điểm vào phương trình hàm số thoả mãn  y=f ( x ) = y0 Một điểm ( x ; y0 )được gọi không thuộc đồ thị hàm số ta thay giá trị toạ độ điểm vào phương trình hàm số mà khơng thoả mãn ⇔ y = f Ví dụ minh họa 1: Xác định điểm sau hệ trục toạ độ Oxy THCS.TOANMATH.com ( x ) ≠ y0 A ( 0; −3 ) ; B ( l; ) ,C ( −2; −2 ) ; D ( 2; ) ; M ( 0; ) Hướng dẫn giải A ( 0; −3 ) ; B ( l; ) ,C ( −2; −2 ) ; D ( 2; ) ; M ( 0; ) Ví dụ minh họa 2: Cho hàm số y = f Trong điểm A (x )= x ( 4;2) , B( 2;1) , C( 9;3), D( 8;2 ), điểm thuộc điểm không thuộc đồ thị hàm số Hướng dẫn giải: Thay toạ độ điểm cho vào phương trình y = f (x )= x + xA = thay vào hàm số: f (4 )= = = yA , suy A thuộc đồ thị hàm số + xB = thay vào hàm số: f (2 )= ≠ yB , suy B không thuộc đồ thị hàm số + xC = thay vào hàm số: f (9 )= = = yC , suy C thuộc đồ thị hàm số + xD = thay vào hàm số: f (8 )= = 2 = yD , suy D thuộc đồ thị hàm số Vậy, điểm A, C, D thuộc đồ thị, điểm B không thuộc đồ thị THCS.TOANMATH.com Vì đồ thị hàm số y = ax ( a ≠ 0) qua điểm M ( −1;2) nên ta thay x = −1 y = vào hàm số ta có phương trình = a ( −1)2 suy a = (thỏa mãn điều kiện a ≠ ) Vậy với a = đồ thị hàm số y = ax ( a ≠ 0) qua điểm M ( −1;2) Bài 21 Lời giải a Viết phương trình đường thẳng d Đường thẳng d với hệ số góc k có dạng y = kx + b Đường thẳng d qua điểm M ( 0;1) nên: = k + b  b=1 Vậy d : y = kx +1 b Phương trình hồnh độ giao điểm (P) d:  −4 x = kx + ⇔ x + kx + = , có ∆ = k2 d cắt (P) hai điểm phân biệt ∆ >  k < −2 k2 − > ⇔ k > ⇔ k > 2 ⇔ k > ⇔  > k Bài 21 a) Với m = −1 (P) (d) trở thành y = − x ; y = x − Lúc phương trình hồnh độ giao điểm (P) (d) là:  x = x − ⇔ x + x − = có a + b + c = + − = nên có hai nghiệm x1 = 1; x2 = −2 Với x1 = ⇒ y1 = −1 Với x = − ⇒ y2 = −4x Vậy tọa độ giao điểm (P) (d) ( 1; −1) ( − 2; −4) b) Phương trình hồnh độ giao điểm (P) (d) là: 55 THCS.TOANMATH.com mx = ( m − ) x + m − ⇔ mx − ( m − ) x − m + = ( * ) Với m ≠ (*) phương trình bậc hai ẩn x có:  = ( m − ) − m ( − m + 1) = m − m + + m − m = 5m2 + > với m Suy (*) ln có hai nghiệm phân biệt với m Hay với m ≠ đường thẳng (d) cắt parabol (P) hai điểm phân biệt Bài 22 Đường thẳng ( d ) : y = x + m2 +1 song song với đường thẳng ( d ′ ) : y = 2m x + m + m khi:  = 2m2   m + ≠ m + m  Phương trình hoành độ giao điểm (d) (P) x = x + m + ⇔ x − x − m2 − = phương trình bậc hai có ac = − m2 − < với m nên có hai nghiệm phân biệt với m Do (d) cắt (P) hai điểm phân biệt A B với m Cách 1: Kí hiệu x A : xB hoành độ điểm A điểm B x A : xB nghiệm phương trình: x − x − m2 − = Giải phương trình x − x − m2 − = ∆′ = + m + = m2 + > ⇒ ∆ ′ = m2 + Phương trình có hai nghiệm x Do đó: x A + xB = 14 ⇔ (1 + A = + m + 2; x m2 + B = − m2 + ) + (1 − m2 +  + m + + m + + − m + + m2 + = 14  m2 + = 14 ⇔ m =8⇔m = ⇔ m = ±2 ) = 14 56 THCS.TOANMATH.com Cách 2: Kí hiệu x A : xB hồnh độ điểm A điểm B x A : xB x − x − m2 − = x A +x B = 14 ⇔ ( x A + x B )2 − x A xB = 14 ⇔ 2 − ( − m2 − ) = 14 ⇔ + m + = 14 ⇔ m = ±2 Bài 23 a) Đường thẳng y = ax + b song song với đường thẳng y = x +1 nên: a = 2, b ≠ Vì đường thẳng y = 2x + b qua điểm M ( −1;2) nên ta có phương trình: ( − 1) + b = ⇔ b = (thỏa mãn b ≠ 1) Vậy a = 2, b = b) Ta có: ∆ ′ = + m + 5m = ( m + 1)( m + 4) Để phương trình có nghiệm x1 , x2 ∆ ′ ≥ ⇔ m ≤ −4 m ≥ −1 Ta có: x1 − x  16 − =4⇔ ( x1 − x2 ) ta có: (*) = 16 ⇔ ( x1 + x )2 − x1 x2 = 16 ( − m − 5m ) = 16 ⇔ m + 5m = ⇔ m = m = −5 Kết hợp với điều kiện (*), ta có m = 0, m = −5 giá trị cần tìm Bài 24 - Bảng giá trị: X x2 y= - Đồ thị (P) đường parabol đỉnh O ( 0;0) nằm phía trục hồnh, nhận trục tung làm trục đối xứng qua điểm có tọa dộ cho bảng 57 THCS.TOANMATH.com 2/ Cách 1: Vì (d) cắt (P) điểm A có hồnh độ nên x = thỏa mãn công thức hàm số (P) nên tung độ 1 điểm A là: yA = =  Do 1  A 1;  2 Vậy với m = Cách 2: Ta có phương trình hồnh độ giao điểm (d) (P) là: x2 = x − m ⇔ x2 − x + m = (*)2 Để (d) cắt (P) điểm A có hồnh độ phương trình (P) có nghiệm  I − 2.1 + m = ⇔ m = Vậy với m = 12 = y A = Bài 25 (d) cắt (P) điểm ⇔ Phương trình hồnh độ (d) (P): ∈(d ) (d −x = mx + ⇔ x + mx + = có nghiệm 58 THCS.TOANMATH.com m − = ⇔ m = ±2 Vậy giá trị m cần tìm m = ±2 Vậy m = −4, n = −2 Nếu m = (d) thành: y = ⇒ khoảng cách từ O đến (Hình 1) - Nếu m ≠ (d) cắt trục tung điểm  OA=2;OB= − 2 m = m ∆OAB vng O có OH ⊥ AB suy ra: ⇒OH= So sánh hai trường hợp, ta có OH max = ⇔ m = ( d ) = ⇒ OH = 59 THCS.TOANMATH.com Bài 26: Đáp số: a Bài 27: a) HS tự làm b) Phương trình hồnh độ giao điểm d P là: x x Vậy tọa độ giao điểm Bài 28: P qua điểm A 3; Vậy P Bài 29: a) HS tự vẽ hình b) Đáp số: m Bài 30: Ta thấy hai đường thẳng d1 ;d2 cắt nhau: + Đường thẳng d1 cắt trục hoành điểm A 3;0 + Đường thẳng d2 cắt trục hoành điểm B k 2;0 + Để hai đường thẳng d1 ;d2 cắt điểm trục hoành k k Vậy k 60 THCS.TOANMATH.com Bài 31: Để hàm số bậc y Bài 32: Tọa độ I nghiệm hệ Do d Bài 33: a) Để đường thẳng m m b) Để hàm số y Bài 34: a) Ta có y mx Khi đường thẳng y b) Ta có x m y 13 Vậy m Bài 35: Ta có A a 61 THCS.TOANMATH.com Bài 36: a) HS tự vẽ b) Phương trình hồnh độ giao điểm d P là: x Giao điểm d Bài 37: a) HS tự làm b) Giao điểm Gọi M m;0 thuộc tia Ox m Xét hai trường hợp: hình chiếu A B Ox Trường hợp 1: M thuộc đoạn OD: Ta có: S AMB S S ACM BDM Có ABDC hình thang, AC 30 S ABDC Suy S AMB Trường hợp 2: M thuộc tia Dx M Ta có: S AMB S ABDC 30cm2 S ABDC AC S ACM 62 THCS.TOANMATH.com S BDM 30cm S AMB Vậy M 6;0 Bài 38: a) Phương trình hồnh độ giao điểm: x 4m2 Ta có: Vậy parabol ln cắt đường thẳng hai điểm phân biệt b) Vì x1 , x2 Mặt khác nghiệm phương trình (*) y y Ta có: x y x x1 x2 x2 xx 1 m 4m2 Vậy m 7m Bài 39: a) HS tự làm b) Phương trình hồnh độ giao điểm d P là: x2xmx22x2m012 63 THCS.TOANMATH.com d cắt P hai điểm phân biệt ch 2m c) Giả sử A x1 ; y1 , B x ; y2 x1 x2 x1 x 2 2m Ta có: y1 Theo giả thiết: AB x x 8m Bài 40: a) HS tự làm b) Phương trình hồnh độ giao điểm d P là: x2 2m 1x Nhận thấy a x1 1; x d cắt x 2m P hai điểm phân biệt v x Để x1 Kết hợp với điều kiện (*) suy m 64 THCS.TOANMATH.com x ... −2; b = −3 Hàm số có hệ số b) Hàm số y = − a =− < nên hàm số nghịch biến R x hàm số bậc nhất, a = − Hàm số có hệ số a = − 3 4;b=0 < nên hàm số nghịch biến R c) Hàm số y = −3x + hàm số bậc 15 THCS.TOANMATH.com... > − hàm số cho hàm số bậc b) y = x m − 4m + − = x (m −2 )2 − = x m − − ; Có hệ số m − > với số m # Vậy m ≠ hàm số cho hàm số bậc − ⇔ Vậy với m ≠ ±1 hàm số cho hàm số bậc Bài Cho hàm sổ bậc y... hàm số: y = ax + b hàm số bậc ⇔ Ví dụ minh họa : Cho hàm số: y = a ≠ ( − m )x − (1) Tìm giá trị m để hàm số (1) hàm số bậc Hướng dẫn giải: Hàm số (1) bậc ⇔ b Tính chất: m − ≠ ⇔ m ≠ Hàm số bậc