CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8: SỐ NGUYÊN TỐ - HỘP SỐ

CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN facebook: tailieutoan9999@gmail.com CHUYÊN ĐỀ SỐ NGUYÊN TỐ - HỢP SỐ I Lí Thuyết Ước bội: Nếu a b a la bội b b ước a Số nguyờn tố Định nghĩa a) Số nguyên tố số tự nhiên lớn 1, có ước số Ví dụ: 2, 3, 5, 11, 13,17, 19 b) Hợp số số tự nhiên lớn có nhiều ước Ví dụ: có ước số: ; nên hợp số c) Các số khơng phải só ngun tố hợp số d) Bất kỳ số tự nhiên lớn có ước số nguyên tố Một số định lý Định lý 1: Dãy số nguyên tố dãy số vơ hạn Chứng minh: Giả sử có hữu hạn số nguyên tố p 1; p2; p3; pn pn số lớn nguyên tố Xét số N = p1 p2 pn +1 N chia cho số nguyên tố pi (1  i  n) dư (1) Mặt khác N hợp số (vì lớn số nguyên tố lớn p n) N phải có ước nguyên tố đó, tức N chia hết cho số pi (1  i  n) (2) Ta thấy (2) mâu thuẫn (1) Vậy khơng thể có hữu hạn số ngun tố Định lý 2: Mọi số tự nhiên lớn phân tích thừa số nguyên tố cách (không kể thứ tự thừa số) Chứng minh: Mọi số tự nhiên lớn phân tích thừa số nguyên tố: Thật vậy: giả sử điều khẳng định với số m thoả mãn: chứng minh điều với n 1< m < n ta Nếu n nguyên tố, ta có điều phải chứng minh Nếu n hợp số, theo định nghĩa hợp số, ta có: n = a.b (với a, b < n) Theo giả thiết quy nạp: a b tích thừa số nhỏ n nên n tích cuả thừa số nguyên tố Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TỐN facebook: tailieutoan9999@gmail.com Sự phân tích nhất: Giả sử số m < n phân tích thừa số nguyên tố cách nhất, ta chứng minh điều với n: Nếu n số nguyên tố ta điều phải chứng minh Nếu n hợp số: Giả sử có cách phân tích n thừa số nguyên tố khác nhau: n = p.q.r n = p’.q’.r’ Trong p, q, r p’, q’, r’ số ngun tố khơng có số ngun tố có mặt hai phân tích (vì có số thoả mãn điều kiện trên, ta chia n cho số lúc thường nhỏ n, thương có hai cách phân tích thừa số nguyên tố khác nhau, trái với giả thiết quy nạp) Khơng tính tổng qt, ta giả thiết p p ’ số nguyên tố nhỏ phân tích thứ thứ hai Vì n hợp số nên n’ > p2 n > p’2 Do p = p’ => n > p.p’ Xét m = n - pp’ < n phân tích thừa số nguyên tố cách ta thấy: p | n => p | n – pp’ hay p | m p’| n => p’| n – pp’ hay p’| m Khi phân tích thừa số nguyên tố ta có: m = n - pp’ = pp’ P.Q với P, Q ∈ P ( P tập số nguyên tố)  pp’ | n = pp’ | p.q.r => p’ | q.r => p’ ước nguyên tố q.r Mà p’ không trùng với thừa số q,r (điều trái với gỉa thiết quy nạp số nhỏ n phân tích thừa số nguyên tố cách nhất) Vậy, điều giả sử không đúng, n hợp số mà n phải số nguyên tố (Định lý chứng minh) Cách nhận biết số nguyên tố Cách 1: Chia số cho nguyên tố từ nhỏ đến lớn: 2; 3; 5; Nếu có phép chia hết số khơng ngun tố Nếu thực phép chia lúc thương số nhỏ số chia mà phép chia có số dư số ngun tố Cách 2: Một số có hai ước số lớn số khơng phải số ngun tố Cho học sinh lớp học cách nhận biết số nguyên tố phương pháp thứ (nêu trên), dựa vào định lý bản: Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN facebook: tailieutoan9999@gmail.com Ước số nguyên tố nhỏ hợp số A số khôngvượt ♦A Đặc biệt: Với dãy 25 số nguyên tố nhỏ 100 nên cho học sinh học thuộc, nhiên găp số a (a < 100) muốn xét xem a số nguyên tố hay hợp số ta thử a có chia hết cho 2; 3; 5; hay không + Nếu a chia hết cho số a hợp số + Nếu a không chia hết cho số số a số ngun tố Với quy tắc khoản thời gian ngắn, với dấu hiệu chia hết học sinh nhanh chóng trả lời số có hai chữ số ngun tố hay khơng Hệ quả: Nếu có số A > khơng có ước số nguyên tố từ đến ♦A A nguyên tố (Do học sinh lớp chưa học khái niệm bậc hai nên ta không đặt vấn đề chứng minh định lý này, giới thiệu để học sinh tham khảo.) Số ước số tổng ước số số: Giả sử: A = p1X1 p2X2 pnXn Trong đó: pi ∈ P ; xi ∈ N ; i = 1, n a) Số ước số A tính cơng thức: T(A) = (x1 + 1)(x2 + 1) .(xn + 1) Ví dụ: 30 = 2.3.5 T(A) = (1 + 1)(1 + 1)(1 + 1) = Thật vậy: Ư(30) ={ 1;2;3;5;6;10;15;30} Ư(30) có phân tử Ứng dụng: Có thể khơng cần tìm Ư(A) biết A có ước thơng qua việc phân tích thừa số nguyên tố 3100 có (100 + 1) = 101 ước 000 000 000 = 109 = 29.59 có (9 + 1)(9+1) = 100 ước Ý nghĩa: Khi thông báo cho học sinh cách tính số ước số em tin tưởng viết tập hợp ước số khẳng định đủ hay chưa b) Tổng ước số A tính cơng thức: (A) = p1X1 + - p1 - p2X2 + - p2 - … pnXn + - pn - Hai số nguyên tố nhau: 1- Hai số tự nhiên gọi nguyên tố chúng có ước chung lớn (ƯCLN) a, b nguyên tố (a,b) = a,b ∈ N 2- Hai số tự nhiên liên tiếp nguyên tố Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN facebook: tailieutoan9999@gmail.com 3- Hai số nguyên tố khác nguyên tố 4- Các số a,b,c nguyên tố (a,b,c) = 5- a,b,c nguyên tố sánh chúng đôi nguyên tố a,b,c nguyên tố sánh đôi (a,b) = (b,c) = (c,a) = Một số định lý đặc biệt a) Định lý Đirichlet Tồn vơ số số ngun tố p có dạng: p = ax + b (x ∈ N, a, b số nguyên tố nhau) Việc chứng minh định lý phức tạp, trừ số trường hợp đặc biệt Ví dụ: Chứng minh có vơ số số nguyên tố dạng: 2x – 1; 3x – 1; 4x + 3; 6x + b) Định lý Tchebycheff Trong khoảng từ số tự nhiên n đến số tự nhiên 2n có số ngun tố (n > 2) c) Định lý Vinogradow Mọi số lẻ lớn 33 tổng số nguyên tố Các định lý ta giới thiệu cho học sinh tham khảo sử dụng để giải số tập Hợp số: Hợp số số tự nhiên lớn 1, có nhiều ước (để chứng minh số tự nhiên a > hợp số, cần ước khác a) Phân tích thừa số nguyên tố Phân tích số thừa số ngun tố viết số dạng tích thừa số nguyên tố 1000 (đặc biệt 14 43 = 2n.5n), ví dụ: 1000 = 23 53 nsè KIẾN THỨC NÂNG CAO Cách xác định số lượng ước số: Nếu số M phân tích thừa số nguyên tố M = a x by cz số lượng ước M là: (x + 1) (y + 1) (z + 1) Phân tích số thừa số nguyên tố, số phương chưa thừa số nguyên tố với số mũ chẵn Từ suy ra: - Số phương chia hết cho phải chia hết cho 22 - Số phương chia hết cho 23 phải chia hết cho 24 Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN facebook: tailieutoan9999@gmail.com - Số phương chia hết cho phải chia hết cho 32 - Số phương chia hết cho 33 phải chia hết cho 34 - Số phương chia hết cho phải chia hết cho 52 Tính chất chia hết liên quan đến số nguyên tố: Néu tích a.b chia hết cho số nguyên tố p a chia hết cho p b chia hết cho p Đặc biệt an chia hết cho p a chia hết cho p III- CHÚ Ý: - Số số không số nguyên tố không hợp số Các số nguyên tố nhỏ 10 là: 2, 3, 5, - Số nguyên tố nhỏ 2, hai số nguyên tố chẵn - Để kết luận số a > số nguyên tố, ta cần chứng tỏ khơng chia hết cho số ngun tố mà bình phương khơng vượt q a, tức p2 < a - Số nguyên tố ≠ có dạng: 6n + với n ∈N* B- CÁC DẠNG BÀI TẬP: Dạng 1: Tốn tìm số ngun tố Dạng 2: Chứng minh số số nguyên tố hay hợp số Dạng 3: Số nguyờn tố - hợp số Phõn tớch số thừa số nguyờn tố BÀI TẬP VẬN DỤNG DẠNG 1: Bài tập số 1:Tìm số nguyên tố p, cho p + p + số nguyên tố HD: Số p có dạng: 3k; 3k + 1; 3k + với (k ∈N*) - Nếu p = 3k p = (vì p số ngun tố), p + = 5, p + = số nguyên tố - Nếu p = 3k + p +2 = 3k + chia hết cho > nên p + hợp số (trái với giả thiết) - Nếu p = 3k + p + = 3k + chia hết cho > nên p + hợp số (trái với giả thiết) Bài tập số 2: Một số nguyên tố p chia cho 42 có số dư r, r hợp số Tìm r HD: Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN facebook: tailieutoan9999@gmail.com Ta có p = 42k + r = 2.3.7.k + r (k , r ∈N, < r < 42) Vì p số nguyên tố nên r không chia cho hết 2, 3, Các hợp số < 42 không chia hết cho 9, 15, 21, 25, 27, 33, 35, 39 Loại số chia hết cho 3, số chia hết cho ta r = 25 Vậy r = 25 Bài tập số 3: Tìm tất giá trị số nguyên tố p để: p + 10 p + 14 số nguyên tố HD: (Phương pháp: Chứng minh nhất) + Nếu p = p + 10 = + 10 = 13 p + 14 = + 14 = 17 số nguyên tố  p = giá trị cần tìm + Nếu p ≠ => p có dạng 3k + dạng 3k – * Nếu p = 3k + p + 14 = 3k + 15 = 3(k + 5) : * Nếu p = 3k – p + 10 = 3k + = 3(k + 3) : Vậy p ≠ p + 10 p + 14 hợp số => không thỏa mãn Do đó: giá trị cần tìm là: p = Bài tập số 4: Tìm số nguyên tố p để p + 2; p + 6; p + 18 số nguyên tố HD: Bằng cách giải tương tự tập số 1, học sinh dễ dàng tìm p = thoả mãn Xong không chứng minh p = giá trị dễ dàng thấy p = 11 thoả mãn Vậy với tập này, học sinh cần vài giá trị p thoả mãn đủ Bài tập số 5: Tìm k để 10 số tự nhiên liên tiếp: k + 1; k +2; k +3; k +10 có nhiều số nguyên tố HD: Giáo viên hướng dẫn học sinh rút nhận xét: Trong 10 số tự nhiên liên tiếp, có số chẵn số lẻ (trong số chẵn, có nhiều số nguyên tố chẵn 2) Vậy: 10 số có không số nguyên tố +) Nếu k = 0, từ đến 10 có số nguyên tố: 2; 3; 5; Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN facebook: tailieutoan9999@gmail.com +) Nếu k = từ đến 11 có số nguyên tố: 2; 3; 5; 7; 11 +) Nếu k > từ trở khơng có số chẵn số ngun tố Trong số lẻ liên tiếp, có số bội số đó, dãy có số ngun tố Vậy với k = 1, dãy tương ứng: k + 1; k + 2, k + 10 có chứa nhiều số nguyên tố (5 số nguyên tố) Bài tập số 6: Tìm tất số nguyên tố p để: 2p + p2 số nguyên tố HD: Xét hai trường hợp: +) p  p = p = * Nếu p = => 2p + p2 = 22 + 22 = ∉ P * Nếu p = => 2p + p2 = 22 + 32 = 17 ∈ P +) p > ta có 2p + p2=(p2 – 1) + (2p + 1) p lẻ => (2p + 1) M3 p2 – = (p + 1)(p – 1) M3 => 2p + p2 ∉ P Vậy: Có giá trị p = thoả mãn Bài tập số7: Tìm tất số nguyên tố cho: p | 2p + HD: Vì p ∈ P ,p | 2p + => p ≠ Ta thấy: |p p ≠ Theo định lý Fermatm ta có: p | 2p-1 – Mà p | 2p + (giả thiết) => p | 2.2p-1 – + => p | 2(2p-1 – 1) + => p | [vì p | 2(2p-1 – 1)] Vì p ∈ P p | => p = Vậy: p = số nguyên tố thoả mãn tính chất p | 2p + Tóm lại: Các tốn thuộc dạng: Tìm số nguyên tố thoả mãn điều kiện cho trước loại tốn khơng khó loại toán số nguyên tố Qua loại toán này, giáo viên cần cố gắng trang bị cho học sinh kiến thức số nguyên tố Đặc biệt giúp học sinh nắm vững: Số số nguyên tố chẵn nhỏ tập số nguyên tố Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN facebook: tailieutoan9999@gmail.com Dựa vào cách viết số nguyên tố dạng a.x + b, (a,b) = Rèn kỹ xét trường hợp xảy ra, phương pháp loại trừ trường hợp dẫn đến điều vơ lý Qua dạng tốn này, giáo viên cần giúp học sinh rèn luyện tư lôgic, tư sáng tạo, tính tích cực chủ động làm II- BÀI TẬP TỰ LUYỆN DẠNG 1: TỐN TÌM SỐ Bài tập 1: Tìm số nguyên tố p, cho số sau số nguyên tố: a) p + 94 p + 1994 Bài a) p + 10 p + 14 b) p + 2, p + 6, p + 8, p + 14 B ài a) p + p + 10 b) p + 10 p + 20 c) p + 2, p + 6, p + 8, p + 12, p + 14 Bài p p +3 Bài p + p +8 Bài a) 2p – 4p - b) 2p +1 4p +1 c) p +2, p + 8, p +14, p +26 d) p +2, p +8, 4p2 + Bài 8p2+ 8p2 – Bài tập 3.1: Tìm tất số nguyên tố p q cho số 7p + q pq + 11 số nguyên tố Bài tập 7.3: Tìm tất số nguyên tố p cho 4p + 11 số nguyên tố nhỏ 30 Đề (Bài5-Tốn 7): Tìm cặp số nguyên tố p q cho 52p + 1997 = 52p +q2 Bài 6.5: Tìm số nguyên dương n để số A = n3 – n2 + n – số nguyên tố Tìm n thuộc N sau để M = (n - 2) (n2 + n - 1) số nguyên tố Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TỐN facebook: tailieutoan9999@gmail.com Đề 20(Câu 3a): Tìm tất số tự nhiên n để số sau số nguyên tố n + 1, n + 3, n + 7, n + 9, n + 13, n + 15 Bài 8.6: Tìm số nguyên tố x, y, z thoả mãn phương trình: xy + = z Bài 9.1: Tìm số nguyên tố x, y thoả mãn: 824.y – 16x = 24 Bài 9.2: Tìm số nguyên tố x, y thoả mãn: 272.x = 11y + 29 Đề 17: Tìm số nguyên tố x, y thoả mãn: 59.x + 46.y = 2004 Đề 12: Tìm số nguyên tố x, y thoả mãn: 51.x + 26.y = 2000 Bài 9.3: Tìm số nguyên tố x, y thoả mãn: 690.x – 7.y = 3429 Đề 11: Tìm số nguyên tố x, y thoả mãn: 3x – 13 = y(x – 13) Bài tập 4.5: Tìm bốn số nguyên tố liên tiếp cho tổng chúng số nguyên tố Bài tập 4.8: Tìm hai số tự nhiên, cho tổng tích chúng số nguyên tố Bài tập 4.9: Tìm số ngun tố có ba chữ số biết viết số theo thứ tự ngược lại ta số lập phương số tự nhiên Bài 8.3: Tìm số nguyên tố p cho 2p + lập phương số tự nhiên Bài tập 4.10: Tìm số tự nhiên có bốn chữ số, chữ số hàng nghìn chữ số hàng đơn vị, chữ số hàng trăm chữ số hàng chục, số viết dạng tích ba số nguyên tố liên tiếp Bài tập 4.19: Tìm số ngun tố, biết số tổng hai số nguyên tố, hiệu hai số nguyên tố Bài tập 4.38: Tìm số nguyên tố ab (a>b>0) cho ab - ba số phương Đề 15: Tìm số ngun tố có hai chữ số khác dạng ab cho ba số nguyên tố ab - ba số phương Bài tập 9.8: Tìm số nguyên tố a, b, c cho abc = 3(a + b + c) Bài 2.11: Tìm số tự nhiên có chữ số giống cho có hai ước số nguyên tố TOÁN VỀ PHÉP CHIA Bài tập 4.17: Một số nguyên tố chia hết cho 30 có số dư r Tìm r biết rằng: r khơng số ngun tố Bài 1.1: Tìm số chia thương phép chia biết số bị chia 1339 số chia số tự nhiên có hai chữ số Bài 1.3: Tìm số chia thương phép chia biết số bị chia 213, số dư 10 Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TỐN facebook: tailieutoan9999@gmail.com Đề 23: : Tìm số chia thương phép chia biết số bị chia 145, dư 12, thương khác 1, số chia thương số tự nhiên Bài 1.2 : Tìm số a biết 559 chia hết cho a 20 < a < 100 III- BÀI TẬP VẬN DỤNG DẠNG 2: Bài tập số 1: Chứng minh số sau hợp số: a) + 27 + 311+ 513 + 717 + 1119 c) 42525 - 3715 b) 21123 + 23124 + 25125 d) 195354 - 15125 Bài làm: Nhận xét: + Các chữ số cuối 1n + Các chữ số cuối 5n với n > + Các chữ số cuối 2 lặp lại theo chu kỳ: 4k + m (với k ∈N, m = 0, 1, 2, 3), tức là: - n = 0, 4, 8, , 4k + có chung chữ số cuối - n = 1, 5, 9, , 4k + có chung chữ số cuối - n = 2, 6, 10, , 4k + có chung chữ số cuối - n = 3, 7, 11, , 4k + có chung chữ số cuối + Các chữ số cuối n lặp lại theo chu kỳ 4k + m (với k ∈N, m = 0, 1, 2, 3), tức là: - n = 0, 4, 8, , 4k + có chung chữ số cuối - n = 1, 5, 9, , 4k + có chung chữ số cuối - n = 2, 6, 10, , 4k + có chung chữ số cuối - n = 3, 7, 11, , 4k + có chung chữ số cuối + Các chữ số cuối n lặp lại theo chu kỳ 4k + m (với k ∈N, m = 0, 1, 2, 3), tức là: - n = 0, 4, 8, , 4k + có chung chữ số cuối - n = 1, 5, 9, , 4k + có chung chữ số cuối - n = 2, 6, 10, , 4k + có chung chữ số cuối Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 10 CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN facebook: tailieutoan9999@gmail.com - n = 3, 7, 11, , 4k + có chung chữ số cuối Vậy áp dụng điều ta có: a) + 27 + 311+ 513 + 717 + 1119 có chữ số tận => + 27 + 311+ 513 + 717 + 1119 chia hết cho Vậy hợp số b) 21123 + 23124 + 25125 có chữ số tận => 21123 + 23124 + 25125 chia hết cho Vậy hợp số c) 42525 - 3715 có chữ số tận => 42525 - 3715 chia hết cho Vậy hợp số d) 195354 - 15125có chữ số tận => 195354 - 15125chia hết cho Vậy hợp số Bài tập số 2: Cho biết p 8p - số nguyên tố, CMR: 8p + hợp số Bài làm: Ta xét trường hợp: + Nếu p = => 8p - = 15 hợp số (loại 8p - số nguyên tố) + Xét p > - Nếu p = 8p - = 23 số nguyên tố, lúc đó: 8p + = = 25 hợp số - Với p > ta xét tích (8p - 1).8p.(8p+1)  mà p 8p - hai số nguyên tố nên (8p+ 1)  8p + hợp số 2) a) số nguyên tố > có dạng 4n + (n ∈N*) b) CMR số nguyên tố > có dạng 6n + (n ∈N*) 2) a) Khi chia số tự nhiên A > cho số dư 0, 1, 2, Trường hợp có số dư A hợp số ta khơng xét, cịn trường hợp có số dư Với trường hợp số dư 1, ta có A = 4n + Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 11 CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN facebook: tailieutoan9999@gmail.com Với trường hợp số dư 3, ta có A = 4m + b) Khi chia số tự nhiên A cho ta có số dư 0, 1, 2, 3.4, Trường hợp số dư 0, 2, 3, ta có A  nên A hợp số với trường hợp dư 1, A = 6n + Với trường hợp số dư 1, A = 6n + Với trường hợp số dư 5, A = 6m + = 6m + - = 6(m+1)-1 = 6n-2 (với n = m+ 1) Bài tập số 3: CMR: Nếu 2n- (n > 2) 2n + hợp số Bài làm: Xét số A = (2n-1) 2n (2n+1) A tích ba số tự nhiên liên tiếp nên A  Mặt khác 2n - số nguyên tố (theo giả thiết) 2n không chia hết cho Vậy 2n+1 phải chia hết cho (đpcm) Bài tập số 4: Chứng minh rằng: (p – 1)! chia hết cho p p hợp số, không chia hết cho p p số nguyên tố Bài làm: +) Xét trường hợp p hợp số: Nếu p hợp số p tích thừa số ngun tố nhỏ p số mũ luỹ thừa khơng thể lớn số mũ luỹ thừa chứa (p – 1)! Vậy: (p – 1) !: p (điều phải chứng minh) +) Xét trường hợp p số nguyên tố: Vì p ∈ P => p nguyên tố với thừa số (p –1)! (vì p > p-1 => (p – 1)! : p (điều phải chứng minh) Bài tập số 5: Cho 2m – số nguyên tố Chứng minh m số nguyên tố Bài làm: Giả sử m hợp số => m = p.q ( p, q ∈ N; p, q > 1) Khi đó: 2m – = 2p,q - = (2p)q – Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 12 CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN facebook: tailieutoan9999@gmail.com = (2p – 1)(2p(q-1) + 2p(q-2) + .+ 1) p > (giả thiết) điều giả sử => 2p – > (2p(q-1) + 2p(q-2) + .+ 1) > Dẫn đến 2m – hợp số (trái với giả thiết 2m –1 số nguyên tố)  Điều giả sử xảy Vậy m phải số nguyên tố (điều phải chứng minh) Bài tập số 6: Chứng minh rằng: 1994! – có ước số nguyên tố lớn 1994 Bài làm: (Chứng minh phương pháp phản chứng) Gọi p ước số nguyên tố (1994! – 1) Giả sử p 1994 => 1994 1993 : p 1994! : p mà (1994! – 1) : p => : p (vô lý) Vậy: p nhỏ 1994 hay p > 1994 (điều phải chứng minh) Bài tập số 7: Chứng minh rằng: n > n n! có số ngun tố (từ suy có vơ số số ngun tố) Bài làm: Vì n > nên k = n! – > 1, k có ước số nguyên tố p Ta chứng minh p > n Thật vậy: p  n n! : p Mà k : p => (n! – 1) : p.Do đó: : p (vơ lý) Vậy: p > n=>n < p < n! – < n! (Điều phải chứng minh) IV- BÀI TẬP TỰ LUYỆN DẠNG 2: Bài tập 9.7: Chứng minh số sau hợp số a) 1211 + 1317 + 1719 e) 108 + 107 + b) + 2323 + 2929 + 25125 f) 175 + 244- 1321 c) 4525 + 3715 g) 175 + 244 - 1321 d) 95354 + 51 25 Bài 4.14: Cho p vaứ p + laứ caực soỏ nguyeõn toỏ (p > 3) Chửựng minh p + laứ hụùp soỏ Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 13 CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN facebook: tailieutoan9999@gmail.com Bài 6.2: Cho p vaứ p + 10 laứ caực soỏ nguyeõn toỏ Chửựng minh p + 32 laứ hụùp soỏ Bài 7.9: Cho p 8p + số nguyên tố (p > 3) Chửựng minh 4p + laứ hụùp soỏ Bài 8.1: Cho p 2p + số nguyên tố (p ≥ 5) Chửựng minh 4p + laứ hụùp soỏ Bài 8.2: Cho p 2p + số nguyên tố (p ≥ 5) Chửựng minh 4p + laứ hụùp soỏ Bài tập 2: a) Chứng minh rằng: 111 12111 hợp số với ∀ n ≥ n số n số b) Chứng minh rằng: số 2001.2002.2003.2004 + hợp số Bài tập 3: Chứng tỏ p số nguyên tố > 2p + số nguyên tố 4p + hợp số Bài tập 4: Cho p1 > p2 hai số nguyên tố liên tiếp Chứng minh p1 + p hợp số Bài tập 5: Cho p số nguyên tố lớn Biết p+2 số nguyên tố CMR: p+1 chia hết cho Bài tập 6: Cho n > không chia hết cho Chứng minh hai số n – n2 + đồng thời số nguyên tố Bài tập 7: Cho p số nguyên tố lớn a) Chứng minh p có dạng 6k + 6k + b) Biết 8p + số nguyên tố Chứng minh 4p + hợp số Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 14 CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN facebook: tailieutoan9999@gmail.com SỐ NGUYÊN TỐ – HỢP SỐ PHÂN TÍCH MỘT SỐ RA THỪA SỐ NGUYÊN TỐ A/ LÝ THUYẾT: + Số nguyên tố số tự nhiên lớn có hai ước + Hợp số số tự nhiên lớn có nhiều hai ước + Để chứng tỏ số tự nhiên a > hợp số, cần ước khác a Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 15 CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN facebook: tailieutoan9999@gmail.com Chú ý: 10n = 10….0 = 2n.5n n chữ số + Cách xác định số lượng ước số: Khi phân tích M thừa số nguyên tố, ta có M = ax.by….cz ước M (x + 1)(y + 1)…(z + 1) + Nếu ab MP với P số nguyên tố a MP b MP Đặc biệt: Nếu an MP a MP B/ VÍ DỤ: Ví dụ 1: Cho A = + 52 + 53 +……+5100 a) Số A số nguyên tố hay hợp số? b) Số A có phải số phương khơng? Giải: a) Có A > 5; A M5 ( Vì số hạng chia hết cho 5) nên A hợp số b) Có 52 M25, 53 M25;… ;5100M25, M25 nên A M25 Số A M5 A M25 nên A khơng số phương Ví dụ 2: Số 54 có ước Giải: Có: 54 = 33 Số ước 54 là: (1 + 1)(3 + 1) = 2.4 = ước Tập hợp ước 54 là: Ư(54) = { 1; 2;3; 6;9;18; 27;54} Ví dụ 3: Tìm số ngun tố p cho p + , p + số nguyên tố Giải: Vì p số nguyên tố nên p có ba dạng sau: 3k; 3k + 1; 3k + với k số tự nhiên Nếu p = 3k p = (Vì p số nguyên tố) => p + = 5; p + = số nguyên tố Nếu p = 3k + p + = 3k + chia hết cho lớn nên p + hợp số, trái với đề Nếu p = 3k + p + = 3k + chia hết cho lớn nên p + hợp số, trái với đề Vậy p = số nguyên tố cần tìm C/ BÀI TẬP: 1) Tổng số nguyên tố 1012 Tìm số nhỏ ba số đó? 2) Tổng hai số nguyên tố 2003 hay khơng? 3) Tìm số ngun tố p, cho số sau số nguyên tố a) p + p + 10 b) P + 10 p + 20 4) Cho p số nguyên tố lớn Biết p + số nguyên tố Chứng minh p + 1chia hết cho Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 16 CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN facebook: tailieutoan9999@gmail.com 5) Cho p p + số nguyên tố (p > 3).Chứng minh p + hợp số 6) Cho a, n ∈ N*, biết anM5 Chứng minh: a2 + 150 M25 Giải: 1) Tổng số nguyên tố 1012 số chẳn nên ba số nguyên tố phải có số chẳn số số số nhỏ ba số nguyên tố cho 2) Tổng hai số nguyên tố 2003 số lẽ nên hai số nguyên tố phải số số thứ hai là: 2003 – = 2001 chia hết hợp số Vậy không tồn tai hai số ngun tố có tổng 2003 3) a/ Vì p số nguyên tố nên p có ba dạng sau: 3k; 3k + 1; 3k + với k số tự nhiên Nếu p = 3k p = (Vì p số nguyên tố) => p + = 5; p + 10 = 13 số nguyên tố Nếu p = 3k + p + = 3k + chia hết cho lớn nên p + hợp số, trái với đề Nếu p = 3k + p + 10 = 3k + 12 chia hết cho lớn nên p + 10 hợp số, trái với đề Vậy p = số nguyên tố cần tìm b/ Vì p số nguyên tố nên p có ba dạng sau: 3k; 3k + 1; 3k + với k số tự nhiên Nếu p = 3k p = (Vì p số nguyên tố) => p + 10 = 13; p + 20 = 23 số nguyên tố Nếu p = 3k + p + 20 = 3k + 21 chia hết cho lớn nên p + 20 hợp số, trái với đề Nếu p = 3k + p + 10 = 3k + 12 chia hết cho lớn nên p + 10 hợp số, trái với đề Vậy p = số nguyên tố cần tìm 4) Do p số nguyên tố lớn nên p lẽ, => p + số chẵn nên p + M2 (1) p số nguyên tố lớn nên có dạng 3k + 3k + (k ∈ N) Dạng p = 3k + không xãy Dạng p = 3k + cho ta p + = 3k + M3 (2) Từ (1) (2) suy p + M6 Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 17 CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN facebook: tailieutoan9999@gmail.com 5) p số nguyên tố lớn nên p có dạng 3k + 3k + (k ∈ N) Nếu p = 3k + p + = 3k + chia hết hợp số, trái với đề Vậy p có dạng 3k + p + = 3k + chia hết p + hợp số 6) Có anM5 mà số nguyên tố nên a M5 => a2 M25 Mặt khác 150 M25 nên a2 + 150 M25 CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN SỐ NGUYÊN TỐ Bài tập số 1: Tìm số ngun tố cho tích chúng gấp lần tổng chúng Giải: Gọi số nguyên tố phải tìm là; a, b, c ta có: a.b.c = 5(a+b+c) => abc M5 Vì a, b, c có vai trị bình đẳng Giả sử: a M5, a ∈ P => a = Khi đó: 5bc = 5(5+b+c) 5+b+c = bc bc-b-c +1 = b(c-1) – (c-1) = Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 18 CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN facebook: tailieutoan9999@gmail.com (c-1)(b-1) = Do vậy: Và b-1 = => b=2 c-1 = c=7 b-1 = => b=3 c-1 = c=4 (loại c = ∉ P) Vai trị a, b, c, bình đẳng Vậy số (a ;b ;c) cần tìm (2 ;5 ;7) Bài tập số 2: Tìm p, q ∈ P cho p2 = 8q + Giải: Ta có: p2 = 8q + => 8q = p2 – 8q = (p+1)(p-1) (1) Do p2 = 8q + lẻ => p2 lẻ => p lẻ Đặt p = 2k + (2) Thay (2) vào (1) ta có: 8q = 2k(2k + 2) 2q = k(k + 1) (3) Nếu q = => = k(k+1) => khơng tìm k Vậy q ≠ 2, q ∈ P , q ≠ => (2,q) = Từ (3) ta có: k = q = k + => k = q = Thay kết vào (2) ta có: p = 2.2 + = Hoặc q = k = k + q=1 (không thoả mãn)  k=1 Vậy cặp số (q,p) (5;3) cặp số cần tìm Tóm lại: Ngồi dạng tập số nguyên tố Phần số ngun tố cịn có nhiều tập dạng khác mà giải chúng học sinh cần phải vận dụng cách linh hoạt kiến thức có liên quan: ước số, bội số, chia hết phải xét khả xẩy Khi giảng dạy giáo viên cần giúp học sinh giải theo dạng để củng cố khắc sâu kỹ giải loại I Các tập có hướng dẫn: Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 19 CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN facebook: tailieutoan9999@gmail.com Bài 1: Ta biết có 25 số nguyên tố nhỏ 100 Tổng 25 số nguyên tố nhỏ 100 số chẵn hay số lẻ HD: Trong 25 số nguyên tố nhỏ 100 có chứa số nguyên tố chẵn 2, 24 số nguyên tố lại số lẻ Do tổng 25 số nguyên tố số chẵn Bài 2: Tổng số nguyên tố 1012 Tìm số nguyên tố nhỏ ba số ngun tố HD: Vì tổng số nguyên tố 1012, nên số ngun tố tồn số ngun tố chẵn Mà số nguyên tố chẵn số nguyên tố nhỏ Vậy số nguyên tố nhỏ số nguyên tố Bài 3: Tổng số nguyên tố 2003 hay khơng? Vì sao? HD: Vì tổng số nguyên tố 2003, nên số nguyên tố tồn số nguyên tố chẵn Mà số nguyên tố chẵn Do số ngun tố cịn lại 2001 Do 2001 chia hết cho 2001 > Suy 2001 số nguyên tố Bài 4: Tìm số nguyên tố p, cho p + p + số nguyên tố HD: Giả sử p số nguyên tố - Nếu p = p + = p + = số nguyên tố - Nếu p ≥ số nguyên tố p có dạng: 3k, 3k + 1, 3k + với k ∈ N* +) Nếu p = 3k ⇒ p = ⇒ p + = p + = số nguyên tố +) Nếu p = 3k +1 p + = 3k + = 3(k + 1) ⇒ p + M3 p + > Do p + hợp số +) Nếu p = 3k + p + = 3k + = 3(k + 2) ⇒ p + M3 p + > Do p + hợp số Vậy với p = p + p + số nguyên tố Bài 5: Cho p p + số nguyên tố (p > 3) Chứng minh p + hợp số HD: Vì p số nguyên tố p > 3, nên số nguyên tố p có dạng: 3k + 1, 3k + với k ∈ N* - Nếu p = 3k + p + = 3k + = 3(k + 2) ⇒ p + M3 p + > Do p + hợp số ( Trái với đề p + số nguyên tố) - Nếu p = 3k + p + = 3k + = 3(k + 3) ⇒ p + M3 p + > Do p + hợp số Vậy số nguyên tố p có dạng: p = 3k + p + hợp số Bài 6: Chứng minh số nguyên tố lớn có dạng 4n +1 4n – HD: Mỗi số tự nhiên n chia cho có số dư: 0; 1; 2; Do số tự nhiên n viết dạng: 4k, 4k + 1, 4k + 2,4k +3 với k ∈ N* - Nếu n = 4k ⇒ n M4 ⇒ n hợp số Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 20 CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN facebook: tailieutoan9999@gmail.com - Nếu n = 4k + ⇒ n M2 ⇒ n hợp số Vậy số nguyên tố lớn có dạng 4k + 4k – Hay số nguyên tố lớn có dạng 4n + 4n – với n ∈ N* Bài 7: Tìm số nguyên tố, biết số tổng hai số nguyên tố hiệu hai số nguyên tố HD: Gi¶ sử a, b, c, d, e số nguyên tè vµ d >e Theo bµi ra: a =b +c =d - e (*) Tõ (*) ⇒ a >2 ⇒ a số nguyên tố lẻ b +c d - e số lẻ Do b, d số nguyên tố b, d số lẻ c, e số chẵ n c =e =2 (do c, e số nguyên tè) ⇒ a =b +2 =d - ⇒ d =b +4 Vậy ta cần tì m số nguyên tố b cho b +2 vµ b +4 cịng lµ số nguyên tố Bi 8: Tỡm tt c cỏc số nguyên tố x, y cho: x2 – 6y2 = HD: Ta cã: x2 − 6y2 = 1⇒ x2 − = 6y2 ⇒ (x − 1)(x + 1) = 6y2 Do 6y2 M2 ⇒ (x − 1)(x + 1)M2 Mµ x - +x +1 =2x ⇒ x - vµ x +1 cã cï ng tÝnh chẵ n lẻ x - x +1 hai số chẵ n liên tiếp (x − 1)(x + 1)M ⇒ 6y2 M ⇒ 3y2 M4 ⇒ y2 M2 ⇒ yM2 ⇒ y = ⇒ x = Bài 9: Cho p p + số nguyên tố (p > 3) Chứng minh p + M6 HD: Vì p số nguyên tố p > 3, nên số nguyên tố p có dạng: 3k + 1, 3k + với k ∈ N* - Nếu p = 3k + p + = 3k + = 3(k + 1) ⇒ p + M3 p + > Do p + hợp số ( Trái với đề p + số nguyên tố) - Nếu p = 3k + p + = 3k + = 3(k + 1) (1) Do p số nguyên tố p > ⇒ p lẻ ⇒ k lẻ ⇒ k + chẵn ⇒ k + M2 (2) Từ (1) (2) ⇒ p + M6 II Bài tập vận dụng: Bài 1: Tìm số nguyên tố p cho số sau số nguyên tố: a) p + p + 10 Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 21 CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN facebook: tailieutoan9999@gmail.com b) p + 10 p + 20 c) p + 10 p + 14 d) p + 14 p + 20 e) p + 2và p + f) p + p + 14 g) p + p + 10 h) p + p + 10 Bài 2: Tìm số nguyên tố p cho số sau số nguyên tố: a) b) c) d) e) f) g) Bài 3: p + 2, p + 8, p + 12, p + 14 p + 2, p + 6, p + 8, p + 14 p + 6, p + 8, p + 12, p + 14 p + 2, p + 6, p + 8, p + 12, p + 14 p + 6, p + 12, p + 18, p + 24 p + 18, p + 24, p + 26, p + 32 p + 4, p + 6, p + 10, p + 12, p+16 a) Cho p p + số nguyên tố (p > 3) Chứng minh rằng: p + hợp số b) Cho p 2p + số nguyên tố (p > 3) Chứng minh rằng: 4p + hợp số c) Cho p 10p + số nguyên tố (p > 3) C minh rằng: 5p + hợp số d) Cho p p + số nguyên tố (p > 3) Chứng minh rằng: p + hợp số e) Cho p 4p + số nguyên tố (p > 3) Chứng minh rằng: 2p + hợp số f) Cho p 5p + số nguyên tố (p > 3) C minh rằng: 10p + hợp số g) Cho p 8p + số nguyên tố (p > 3) Chứng minh rằng: 8p - hợp số h) Cho p 8p - số nguyên tố (p > 3) Chứng minh rằng: 8p + hợp số i) Cho p 8p2 - số nguyên tố (p > 3) Chứng minh rằng: 8p2 + hợp số j) Cho p 8p2 + số nguyên tố (p > 3) Chứng minh rằng: 8p2 - hợp số Bài 4: Chứng minh rằng: a) Nếu p q hai số nguyên tố lớn p2 – q2 M24 b) Nếu a, a + k, a + 2k (a, k ∈ N*) số nguyên tố lớn k M6 Bài 5: a) Một số nguyên tố chia cho 42 có số dư r hợp số Tìm số dư r b) Một số nguyên tố chia cho 30 có số dư r Tìm số dư r biết r không số nguyên tố Bài 6: Hai số nguyên tố gọi sinh đôi chúng hai số nguyên tố lẻ liên tiếp Chứng minh số tự nhiên lớn nằm hai số ngun tố sinh đơi chia hết cho Bài 7: Cho số nguyên tố lớn 3, số sau lớn số trước d đơn vị Chứng minh d chia hết cho Bài 8: Tìm số ngun tố có ba chữ số, biết viết số theo thứ tự ngược lại ta số lập phương số tự nhiên Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 22 CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN facebook: tailieutoan9999@gmail.com Bài 9: Tìm số tự nhiên có chữ số, chữ số hàng nghìn chữ số hàng đơn vị, chữ số hàng trăm chữ số hàng chục số viết dạng tích số nguyên tố liên tiếp Bài 10: Tìm số nguyên tố lẻ liên tiếp số nguyên tố Bài 11: Tìm số nguyên tố liên tiếp p, q, r cho p2 + q2 + r2 số nguyên tố Bài 12: Tìm tất ba số nguyên tố a, b, c cho a.b.c < a.b + b.c + c.a Bài 13: Tìm số nguyên tố p, q, r cho pq + qp = r Bài 14: Tìm số nguyên tố x, y, z thoả mãn xy + = z Bài 15: Tìm số nguyên tố abcd cho ab, ac số nguyên tố vµ b2 = cd + b − c Bài 16: Cho số p = bc + a, q = ab + c, r = ca + b (a, b, c ∈ N*) số nguyên tố Chứng minh số p, q, r có hai số Bài 17: Tìm tất số nguyên tố x, y cho: a) x2 – 12y2 = b) 3x2 + = 19y2 c) 5x2 – 11y2 = d) 7x2 – 3y2 = e) 13x2 – y2 = f) x2 = 8y + Bài 18: Tìm số nguyên tố cho tích chúng gấp lần tổng chúng Bài 19: Chứng minh điều kiện cần đủ để p 8p2 + số nguyên tố p = Bài 20: Chứng minh rằng: Nếu a2 – b2 số nguyên tố a2 – b2 = a + b Bài 21: Chứng minh số nguyên tố lớn có dạng 6n + 6n – Bài 22: Chứng minh tổng bình phương số nguyên tố lớn số nguyên tố Bài 23: Cho số tự nhiên n ≥ Gọi p1, p2, , pn số nguyên tố cho pn ≤ n + Đặt A = p 1.p2 pn Chứng minh dãy số số tự nhiên liên tiếp: A + 2, A + 3, , A + (n + 1) Không chứa số nguyên tố Bài 24: Chứng minh rằng: Nếu p số nguyên tố 2.3.4 (p – 3)(p – 2) - Mp Bài 25: Chứng minh rằng: Nếu p số nguyên tố 2.3.4 (p – 2)(p – 1) + Mp Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 23 CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN facebook: tailieutoan9999@gmail.com Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 24