Bài 5 DIỆN TÍCH HÌNH THOI

CHƯƠNG BÀI DIỆN TÍCH HÌNH THOI Mục tiêu  Kiến thức + Nắm cơng thức tính diện tích tứ giác có hai đường chéo vng góc + Nắm cơng thức tính diện tích hình thoi  Kĩ + Tính diện tích tứ giác có hai đường chéo vng góc + Tính diện tích hình thoi I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Cách tính diện tích tứ giác có hai đường chéo vng góc Diện tích tứ giác có hai đường chéo vng góc nửa tích độ dài hai đường chéo S ABCD  AC.BD Cơng thức tính diện tích hình thoi Diện tích hình thoi nửa tích độ dài hai đường chéo S  d1.d II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Tính diện tích tứ giác có hai đường chéo vng góc Phương pháp giải Ví dụ: Cho ABC nhọn có AH  12cm, BC  20cm Gọi E trung điểm AB, F trung điểm AC đường cao AH a  Chứng minh EF  AH b  Tính diện tích tứ giác AEHF Trang Hướng dẫn giải Bước Chứng minh tứ giác có hai đường chéo vng góc a  Xét ABC , ta có: E trung điểm AB (giả thiết) F trung điểm AC (giả thiết) Suy EF đường trung bình ABC Suy EF // BC Mà AH  BC (giả thiết) nên AH  EF Bước Sử dụng công thức tính diện tích: S  d1.d b  Ta có EF đường trung bình ABC (chứng minh trên)  EF  1 BC  20  10  cm  2 Diện tích tứ giác AEHF là: S AEHF  1 AH EF  12.10  60  cm2  2 Ví dụ mẫu Ví dụ Cho hình thang ABCD có AB // DC AB = cm, DC = 14 cm Gọi K trung điểm AD, M trung điểm BC AN đường cao hình thang a  Chứng minh KM  AN b  Biết hình thang ABCD có diện tích 77 cm2 Hãy tính diện tích tứ giác AKNM Hướng dẫn giải Trang a  Xét hình thang ABCD, ta có: K trung điểm AD (giả thiết), M trung điểm BC (giả thiết) Suy MK đường trung bình hình thang ABCD  MK // AB // DC Mà AN  DC (AN đường cao hình thang) nên KM  AN b  Diện tích hình thang ABCD S ABCD   77   AB  CD  AN 8  14  AN  AN  (cm) Ta có: KM đường trung bình hình thang ABCD (chứng minh trên)  KM  1  AB  CD   8  14   11 (cm) 2 Diện tích tứ giác AKNM S AKNM  1 KM AN  11.7  38,5 ( cm2 ) 2 Bài tập tự luyện dạng Câu 1: Một tứ giác có hai đường chéo vng góc với nhau, biết tổng hai đường chéo 19 cm hiệu hai đường chéo cm Diện tích tứ giác A 14 cm2 B 84 cm2 C 42 cm2 D 24 cm2 Câu 2: Cho tứ giác ABCD có AC  BD Diện tích tứ giác ABCD A S   AC  BD  B S  AC.BD C S  AC.BD D S  AC.BD Câu 3: Một tứ giác có hai đường chéo vng góc với nhau, biết tổng hai đường chéo 24 cm đường chéo lớn gấp ba lần đường chéo nhỏ Diện tích tứ giác A 36 cm2 B 48 cm2 C 24 cm2 D 54 cm2 Câu 4: Cho tam giác cân ABC có AM đường trung tuyến, biết AB = 15 cm, BC = 18 cm Gọi D điểm đối xứng với A qua BC Diện tích tứ giác ABCD A 108 cm2 B 216 cm2 C 270 cm2 D 66 cm2 Câu 5: Cho tam giác ABC cân A, trung tuyến AM D thuộc tia đối tia MA cho AD = 3AM Tính diện tích tứ giác ABCD, biết AB = cm, BC = cm Câu 6: Cho hình thang ABCD có AB // CD hai đường chéo AC, BD vng góc với Biết Trang AB = cm, CD = 12 cm, AC = 15 cm a) Qua B kẻ đường thẳng song song với AC cắt DC M Chứng minh tứ giác ABMC hình bình hành b) Tính diện tích hình thang ABCD ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN 1-C 2-C 3-D 4-B Câu 5: Xét ABC cân A, có: AM đường trung tuyến (giả thiết) Suy AM đường cao ABC Suy AM  BC Xét ABM vng M, ta có : AM  BM  AB (định lí Py-ta-go)  BC  2  AM  AB  BM  AB       16   2 2  AM  16   cm   AD  AM  3.4  12  cm  Diện tích tứ giác ABCD : S ABCD  1 BC AD  6.12  36  cm  2 Câu 6: a  Xét tứ giác ABMC, ta có : BM // AC (giả thiết) AB // CM (AB // CD) Vậy tứ giác ABMC hình bình hành có hai cặp cạnh đối song song b  Ta có: Tứ giác ABMC hình bình hành (chứng minh trên)  CM  AB   cm   BM  AC  16 cm     Xét BDM vng B, ta có : BD  BM  DM Trang (định lí Py-ta-go)  BD2  DM  BM  202 162  144  BD  144  12  cm  Diện tích hình thang ABCD : S ABCD  1 AC.BD  16.12  96  cm2  2 Dạng 2: Tính diện tích hình thoi Phương pháp giải Bước Xác định độ lớn đường chéo Ví dụ : Cho hình thoi ABCD có độ dài cạnh AB = 6cm hình thoi BAD  60 Gọi O giao điểm hai đường Bước Sử dụng cơng thức tính diện tích: chéo S  d1.d a  Tính độ dài AC, BD b  Tính diện tích hình thoi ABCD a  Ta có: AB  AD (ABCD hình thoi)  ABD cân A Mà BAD  60 (giả thiết) nên ABD Suy BD  AB  (cm) Suy BO  1 BD   (cm) 2 Xét BAO vuông O, ta có : AB2  AO2  BO2 (định lí Py-ta-go)  62  AO2  32  AO2  27  AO  27  3 (cm) Trang  AC  AO  2.3  (cm) b  Diện tích hình thoi ABCD S ABCD  1 AC.BD  3.6  18  cm  2 Ví dụ mẫu Ví dụ Cho ABC vng A có AB = 12 cm, BC = 20 cm Gọi O trung điểm BC E đối xứng với O qua AC a  Chứng minh tứ giác AOCE hình thoi b  Tính diện tích hình thoi AOCE Hướng dẫn giải a  Ta có: ABC vng A (giả thiết) Mà AO đường trung tuyến (O trung điểm BC) nên AO  OC  BC  AO  AE Ta có: AC trung trực OE (E đối xứng với O qua AC)   CO  CE Lại có: AO  CO (chứng minh trên), suy AO  OC  CE  AE Vậy tứ giác AOCE hình thoi có bốn cạnh b  Xét ABC vuông A, ta có : AC  AB2  BC (định lí Py-ta-go)  AC  122  202  AC  400 144  256  AC  256  16 (cm) Xét tứ giác ABOE, ta có : AE // BO (tứ giác AOCE hình thoi) AB // OE (cùng vng góc với AC) Trang Suy tứ giác ABOE hình bình hành có hai cặp cạnh đối song song Do OE  AB  12 (cm) 1 AC.OE  16.12  96  cm  2 Diện tích hình thoi AOCE S AOCE  Bài tập tự luyện dạng Câu 1: Cho hình thoi ABCD, biết AC = 12 cm, BD = cm Tính diện tích hình thoi ABCD A S ABCD  17 cm2 B S ABCD  30 cm2 C S ABCD  34 cm2 D S ABCD  60 cm2 Câu 2: Cho hình vng ABCD có độ dài AC = cm Tính diện tích hình vuông A 16 cm2 C cm B 12 cm2 D cm2 Câu 3: Cho hình thoi ABCD, biết AC = cm, BD = 16 cm Diện tích hình thoi ABCD A S ABCD  24 cm2 B S ABCD  32 cm2 C S ABCD  20 cm2 D S ABCD  40 cm2 Câu 4: Một hình thoi có độ dài cạnh 12 cm có góc 120 Diện tích hình thoi A 24 cm2 C 12 cm2 B 144 cm2 D 72 cm2 Câu 5: Cho hình chữ nhật ABCD có độ dài cạnh AB = 20 cm BC = 12 cm Gọi I trung điểm AB Q đối xứng với I qua DC, IQ cắt DC M a) Chứng minh tứ giác ICQD hình thoi b) Tính diện tích tứ giác ICQD Câu 6: Cho hình thoi ABCD có độ dài cạnh AB = 12 cm Hai đường chéo cắt O Góc ABC  120 a) Chứng minh ABD b) Tính độ dài đường chéo AC c) Tính diện tích hình thoi ABCD Câu 7: Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 18 cm, AD = 10 cm Gọi M, N, P, Q trung điểm AB, BC, CD, AD a) Chứng minh: MP  NQ b) Chứng minh: Tứ giác NMPQ hình thoi c) Tính diện tích hình thoi NMPQ Câu 8: Cho hình thoi ABCD có AC = 20 cm, AD = cm H, K, I, E trung điểm AB, BC, CD, AD a) Chứng minh tứ giác HKID hình chữ nhật b) Chứng minh tứ giác BHED hình thang cân c) Tính diện tích hình chữ nhật HKIE diện tích hình thoi ABCD ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN 1-B 2-D 3-B 4-D Trang Câu 5: a  Ta có: Q đối xứng với I qua DC (giả thiết)  DC đường trung trực IQ  DC  IQ  IQ  AB (AB // DC) Mà I trung điểm AB (giả thiết) nên IQ trung trực AB Hay IQ trung trực DC  ID  IC Suy  QD  QC Lại có DI = DQ (DC đường trung trực IQ) Suy ID  DQ  QC  IC Vậy tứ giác ICQD hình thoi có bốn cạnh b  Xét tứ giác AIMD, ta có AI // DM (ABCD hình chữ nhật) AD // IM   DC  Suy tứ giác AIMD hình bình hành có hai cặp cạnh đối song song  IM  AD  12  cm   IQ  2.IM  2.12  24  cm  Diện tích hình thoi ICQD S ICQD  1 IQ.DC  IQ AB  24.20  240  cm  2 Câu 6: a  Ta có: BD phân giác ABC (ABCD hình thoi)  ABD  1 ABC  120  60 2 Ta có AB = AD (ABCD hình thoi)  ABD cân A Mà ABD  60 (chứng minh trên) nên b  Xét ABD ABO vuông O, ta có AO2  BO2  AB2 (định lí Py-ta-go) Trang  BD  2  AO  AB  BO  AB     12   108   2 2  AO  108   cm   AC  AO  2.6  12  cm  c  Diện tích hình thoi ABCD là: S ABCD  1 AC.BD  12 3.6  36  cm2  2 Câu 7: a  Ta có: M trung điểm AB (giả thiết); P trung điểm DC (giả thiết) Mà ABCD hình chữ nhật (giả thiết) nên MP trục đối xứng hình chữ nhật ABCD Tương tự ta có QN trục đối xứng hình chữ nhật ABCD Do MP  QN b  Ta có MQ  MN , PQ  PN (MP trục đối xứng QN) Mà NM  NP (NQ trục đối xứng MP) nên MN  NP  PQ  QM Vậy tứ giác MNPQ hình thoi có bốn cạnh c  Diện tích hình thoi MNPQ là: SMNPQ  1 MP.QN  AD.QN  10.18  90  cm  2 Câu 8: a  Xét ABC , ta có: H trung điểm AB (giả thiết) K trung điểm BC (giả thiết) Suy HK đường trung bình ABC  HK // AC  Do đó,   HK  AC Trang  EI // AC  KI // BD   Chứng minh tương tự:   1 EI  AC KI  BD   2 Khi đó, HK  KI (vì AC  BD ) Xét tứ giác HKIE, ta có   HK // EI  // AC  ; HK  EI   AC    Do đó, tứ giác HKIE hình bình hành có hai cạnh đối song song Mà HKI  90  HK  KI  nên hình bình hành HKIE hình chữ nhật có góc vng b  Ta có HE // BD   AC  nên tứ giác BHED hình thang có hai cạnh đối song song Mà HBD  EDB (ABCD hình thoi) nên hình thang BHED hình thang cân có hai góc đáy c  Ta có HK  KI  1 AC  20  10  cm  2 1 BD    cm  2 Diện tích hình chữ nhật HKIE S HKIE  HK IK  10.4  40  cm  Diện tích hình thoi ABCD S ABCD  1 AC.BD  20.8  80  cm  2 Trang 10 ... 6cm hình thoi BAD  60 Gọi O giao điểm hai đường Bước Sử dụng cơng thức tính diện tích: chéo S  d1.d a  Tính độ dài AC, BD b  Tính diện tích hình thoi ABCD a  Ta có: AB  AD (ABCD hình thoi) ... 60 cm2 Câu 2: Cho hình vng ABCD có độ dài AC = cm Tính diện tích hình vng A 16 cm2 C cm B 12 cm2 D cm2 Câu 3: Cho hình thoi ABCD, biết AC = cm, BD = 16 cm Diện tích hình thoi ABCD A S ABCD... 12  cm  Diện tích hình thang ABCD : S ABCD  1 AC.BD  16.12  96  cm2  2 Dạng 2: Tính diện tích hình thoi Phương pháp giải Bước Xác định độ lớn đường chéo Ví dụ : Cho hình thoi ABCD có