BÀI DIỆN TÍCH TAM GIÁC Mục tiêu Kiến thức + Nắm vững cơng thức tính diện tích tam giác + Chứng minh định lí diện tích tam giác Kĩ + Tính diện tích tam giác + Tính độ dài cạnh tam giác + Sử dụng cơng thức tính diện tích tam giác, chứng minh đẳng thức Trang I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Định lí Diện tích tam giác nửa diện tích cạnh với chiều cao tương ứng với cạnh S a.h (S diện tích, a cạnh tam giác, h chiều cao tương ứng với cạnh a) Hệ Diện tích tam giác vng nửa tích hai cạnh góc vng S b.c (S diện tích; b, c hai cạnh tam giác vuông) II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Tính tốn, chứng minh diện tích tam giác Phương pháp giải Ví dụ: Cho ABC có đường cao AH 5cm; BC 6cm Tính diện tích tam giác ABC Sử dụng cơng thức tính diện tích tam giác S a.h Trong h độ dài đường cao ứng với cạnh a Hướng dẫn giải Ta có S ABC 1 AH BC 5.6 15 cm2 2 Ví dụ mẫu Ví dụ Cho hình thang ABCD AB / / CD , hai đường chéo cắt O Chứng minh S AOD SBOC Hướng dẫn giải Do AB / /CD nên hai tam giác ADC, BDC có cạnh CD chung, đường cao kẻ từ A B đến CD nhau, suy S ADC SBDC Cùng trừ SODC ta S AOD SBOC Trang Ví dụ Cho tam giác nhọn ABC, đường cao AH Biết AB 26cm, AC 25cm, HB 10cm Tính diện tích tam giác ABC Hướng dẫn giải Ta có AH BC nên AHB 900 Suy HAB tam giác vuông H Áp dụng định lí Py-ta-go tam giác HAB ta có AH BH AB2 AH 262 102 AH 24cm Tương tự, tam giác HAC, ta có: AH HC AC HC 252 242 HC 7cm Ta lại có BC BH HC BC 10 17 cm S ABC 1 AH BC S ABC 24.17 204 cm2 2 Bài tập tự luyện dạng Câu 1: Diện tích tam giác ABC có độ dài đường cao AH h , độ dài cạnh đáy tương ứng BC a A SABC ah B S ABC ah C SABC 2ah D SABC ah Câu 2: Diện tích ABC cân A, có độ dài cạnh đáy a, độ dài cạnh bên b A S a 4b a 2 B S 2a 4b a C S a 4b a D S 4a 4b a Câu 3: Diện tích tam giác có cạnh a A S a2 B S 2a C S 4a D S a2 Câu 4: Cho ABC cân A, đường cao AH 4cm , cạnh bên AB 5cm Diện tích ABC A 12cm2 B 24cm2 C S 6cm2 D S 48cm2 Trang Câu 5: Cho tam giác ABC, có BC 10cm , đường trung tuyến BD CE cắt G có độ dài theo thứ tự 9cm 12cm Diện tích tam giác ABC A 16cm2 B 32cm2 C 72cm2 D 64cm2 Câu 6: Cho tam giác ABC, đường cao AH (H thuộc cạnh BC) Biết AB 15cm; AC 41cm; HB 12cm Tính diện tích tam giác ABC Câu 7: Cho tam giác ABC, biết AB 5cm; AC 6cm; S ABC 10cm2 Trên hai cạnh AB AC cho AD 3cm; AE 2cm Tính diện tích tam giác ABC HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN 1–B 2–C 3–D 4–A 5–C Câu Ta có AHB tam giác vng H nên AH HB AB (theo định lý Py-ta-go) AH 152 122 81 AH cm Ta lại có AHC tam giác vng H nên AH HC AC HC 412 92 1600 HC 40 cm Suy BC 12 40 52 cm Vậy S ABC 1 BC AH 52.9 234 cm 2 Câu Ta có ADE ADC có đường cao kẻ từ D, nên suy S ADE S ADC (1) Ta lại có ADC ABC có chiều cao kẻ từ C, nên suy S ADC S ABC (2) 1 Từ (1) (2), ta có S ADE S ABC 10 cm2 5 Dạng 2: Tính độ dài đoạn thẳng cách sử dụng cơng thức tính diện tích tam giác Phương pháp giải Trang Ví dụ: Cho ABC , có S ABC 30cm2 , đường cao AH 6cm Tính độ dài BC Hướng dẫn giải Từ cơng thức S 2S 2S a.h suy a ;h h a Ta có S ABC AH BC BC 2S ABC 2.30 BC 10 cm AH Ví dụ mẫu Ví dụ Cho tam giác ABC cân A, BC 30cm , đường cao AH 20cm Tính đường cao tương ứng với cạnh bên Hướng dẫn giải Tam giác ABC cân A, đường cao AH 20cm Suy H trung điểm BC BH HC 15cm Kẻ BK AC Ta có: AC AH HC (Py-ta-go) AC 202 152 625 cm AC 25cm 1 Lại có S ABC BC AH 30.20 300cm2 2 BK 2.S ABC 2.300 24cm AC 25 Vậy đường cao tương ứng với cạnh bên dài 24cm Ví dụ Cho tam giác ABC, D E hai điểm nằm hai cạnh AB AC cho AE 2cm; S ADE 2cm2 , AB 8cm, EC 1cm, S ABC 10cm2 Tính độ dài đoạn thẳng AD Hướng dẫn giải Xét tam giác ADE ADC , ta có S ADE AE 3 S ADC S ADE cm S ADC AC 2 Xét tam giác ADC ABC , ta có S ADC AD AD 8.3 AD 2, cm S ABC AB 10 10 Bài tập tự luyện dạng Trang Câu 1: Cho tam giác ABC trung tuyến AM Qua B kẻ đường thẳng song song với AM cắt CA E Gọi I giao điểm EM với AB Trong khẳng định sau, khẳng định sai A SIEA SBIM B SEAM SBAM C SAEB SMEB D SEMC 2.SABC Câu 2: Cho ABC , M trung điểm BC Trong khẳng định sau, khẳng định A S ABC 3S AMB B S AMB S AMC C S AMB S AMC D S AMB S AMC Câu 3:Cho tam giác ABC, đường trung tuyến BD CE Cho biết BC 10cm, BD 9cm, CE 12cm a) Chứng minh BD CE b) Tính diện tích tam giác ABC Câu 4: Cho tam giác ABC, biết BC 7,5cm; AB 3, 2cm , đường cao AH 2, 4cm Tính độ dài đường cao kẻ từ đỉnh C Câu 5: Cho tam giác ABC vuông A, AB 15cm, AC 20cm Điểm M di chuyển cạnh BC Gọi D, E theo thứ tự chân đường vng góc kẻ từ M đến AB, AC Tính độ dài nhỏ đoạn thẳng DE HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN 1–D 2–D Câu a) Gọi G giao điểm BD CE Khi G trọng tâm tam giác ABC Ta có BG 2 BD BG cm ; 3 2 CG CE CG 12 cm 3 Xét GBC , ta có: GB2 GC 62 82 100 BC Suy GBC vuông G hay BD CE b) Gọi H giao điểm AG BC H BC Trang 1 Ta có SGBC GB.GC SGBC 6.8 24 cm2 2 Ta có ABC GBC có chung cạnh nên S ABC AH 3 SGBC GH Do S ABC 3.SGBC 3.24 72 cm Câu Gọi CD chân đường cao kẻ từ đỉnh C tam giác ABC Xét ABC , ta có: S ABC 1 AH BC 2, 4.7,5 cm2 2 Ta lại có 2S 2.9 S ABC AB.CD CD ABC CD 5, 625 cm AB 3, Câu Gọi AH đường cao ABC Áp dụng định lý Py-ta-go tam giác ABC ta có BC AB2 AC BC 152 202 625 BC 25 cm Ta lại có AH BC AB AC S ABC AH AB AC 15.20 12 cm BC 25 Xét tứ giác ADME, ta có A D E 900 ADME hình chữ nhật DE AM Do DE nhỏ AM nhỏ nhất, mà AM nhỏ AM AH Vậy giá trị nhỏ DE 12(cm) Dạng Sử dụng cơng thức tính diện tích để chứng minh hệ thức Phương pháp giải Ví dụ: Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH H BC Chứng minh rằng: AH BC AB.AC Trang Bước Phát quan hệ diện tích hình Bước Sử dụng cơng thức tính diện tích Hướng dẫn giải - Tam giác ABC vng A nên ta có S AB AC (1) - Tam giác ABC có đường cao AH nên ta có: S AH BC (2) Từ (1) (2), suy ra: AB AC AH BC Ví dụ mẫu Ví dụ Chứng minh tổng khoảng cách từ điểm tam giác đến ba cạnh tam giác khơng phụ thuộc vào vị trí điểm tam giác Hướng dẫn giải Gọi M điểm tam giác ABC Kẻ MH BC, MI AC, MK AB H BC , I AC , K AB Gọi AN chiều cao tam giác ABC Đặt AB AC BC a, AN h Ta có: S AMB S AMC SBMC S ABC Suy ra: 1 1 a.MK a.MI a.MH a.h 2 2 MK MI MH h Vậy khoảng cách từ điểm tam giác đến ba cạnh khơng phụ thuộc vào vị trí điểm tam giác Bài tập tự luyện dạng Câu Chứng minh trung tuyến tam giác chia tam giác thành hai phần có diện tích Câu Cho hình chữ nhật ABCD M điểm đối xứng với D qua C Chứng minh S ABCD S AMD Câu Cho tam giác ABC có M, N trung điểm AB, AC Chứng minh rằng: S ABC 4S AMN Câu Trang a) Cho tam giác ABC DBC Kẻ đường cao AH tam giác ABC Kẻ đường cao DK tam giác DBC Gọi S diện tích tam giác ABC Gọi S diện tích tam giác DBC Chứng minh rằng: S DK S AH b) Cho tam giác ABC điểm M nằm tam giác Kẻ đường cao tam giác AD, BE CF Đường thẳng qua điểm M song song với AD cắt cạnh BC H Đường thẳng qua điểm M song song với BE cắt cạnh AC K Đường thẳng qua điểm M song song với CF cắt cạnh BA T Chứng minh rằng: MH MK MT 1 AD BE CF HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu Ta xét tam giác ABC, M trung điểm BC, AH đường cao +) Ta có S AMB 1 BM AH , S AMC MC AH 2 +) Ta lại có BM MC (giả thuyết) S AMB S AMC Vậy trung tuyến tam giác chia tam giác thành hai phần có diện tích Câu Xét hình chữ nhật ABCD, ta có: S ABCD AD.DC Xét AMD , ta có 1 AD.DM AD.2.DC AD.DC 2 Vậy S ABCD S ADM S AMD Câu +) Ta có BN đường trung tuyến ABC nên S ANB S BNC S ABC (chung đường cao, đáy tương ứng nhau) +) Tương tự NM trung tuyến ANB nên S AMN S BNM S ANB Do S AMN S ABC hay S ABC 4S AMN (điều phải chứng minh) Câu Trang a) +) Xét tam giác ABC, ta có S +) Xét tam giác DBC, ta có S Do AH BC DK BC S DK S AH b) Gọi S , S1 , S2 , S3 diện tích tam giác ABC, MBC, MCA, MAB ta có S S1 S2 S3 Theo câu a ta có S1 MH S2 MK S3 MT ; ; S AD S BE S CF MH MK MT S1 S2 S3 1 AD BE CF S S S Trang 10 ... TÂM Định lí Diện tích tam giác nửa diện tích cạnh với chiều cao tương ứng với cạnh S a.h (S diện tích, a cạnh tam giác, h chiều cao tương ứng với cạnh a) Hệ Diện tích tam giác vng nửa tích hai... (S diện tích; b, c hai cạnh tam giác vng) II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Tính tốn, chứng minh diện tích tam giác Phương pháp giải Ví dụ: Cho ABC có đường cao AH 5cm; BC 6cm Tính diện tích tam. .. Cho tam giác ABC có M, N trung điểm AB, AC Chứng minh rằng: S ABC 4S AMN Câu Trang a) Cho tam giác ABC DBC Kẻ đường cao AH tam giác ABC Kẻ đường cao DK tam giác DBC Gọi S diện tích tam giác