Bài 3 QUY ĐỒNG mẫu THỨC NHIỀU PHÂN THỨC

CHƯƠNG 2: PHÂN THỨC ĐẠI SỐ BÀI 3: QUY ĐỒNG MẪU THỨC NHIỀU PHÂN THỨC Mục tiêu  Kiến thức + Xác định nhân tử chung trường hợp có nhân tử đối biết cách đổi dấu để lập mẫu thức chung + Vận dụng quy trình quy đồng mẫu nhiều phân thức + Vận dụng quy tắc cộng, trừ, nhân, chia phân thức đại số, thứ tự thực phép tính dãy có phép cộng trừ, nhân, chia  Kĩ + Biết cách nhận biết trường hợp cần đổi dấu thành thạo việc đổi dấu để xuất nhân tử chung tử mẫu + Biết cách tìm nhân tử phụ thành thạo bước nhân tử mẫu phân thức với nhân tử phụ tương ứng để phân thức có mẫu thức chung Trang I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Quy đồng mẫu thức nhiều phân thức Muốn quy đồng mẫu thức nhiều phân thức, ta thực theo ba bước sau: - Bước Phân tích mẫu thức thành nhân tử tìm mẫu thức chung  Phân tích mẫu thức phân thức cho thành nhân tử  Mẫu thức chung cần tìm tích mà nhân tử chọn sau + Thường chọn BCNN nhân tử số + Với lũy thừa biểu thức có mặt mẫu thức, ta chọn lũy thừa với số mũ cao - Bước Tìm nhân tử phụ mẫu thức - Bước Nhân tử mẫu phân thức với nhân tử phụ tương ứng Ví dụ: Quy đồng mẫu thức hai phân thức A 5x x B  , ta thực 3x  x  3x  sau: Phân tích mẫu thức thành nhân tử, ta 3x    x  1 x  1 ; x  3x    x  1 x   Suy MTC   x  1 x  1 x   Khi đó, ta có A 5x  x  2 5x  ; x  3  x  1 x  1 x   B x  x  1 x  x  x   x  1 x  1 x   II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Quy đồng mẫu thức phân thức Phương pháp giải Bước Phân tích mẫu thức thành nhân tử tìm mẫu thức chung Ví dụ: Quy đồng mẫu thức phân thức sau ; 3x  x  Hướng dẫn giải Bước Phân tích mẫu thức thành nhân tử 3x    x   x    x   x   Suy mẫu thức chung (MTC)  x   x   Bước Tìm nhân tử phụ mẫu thức Bước Nhân tử mẫu phân thức với nhân tử phụ tương ứng Bước Nhân tử phụ mẫu thức 3x  MTC  x   x     x  3x  3 x  2 Nhân tử phụ mẫu thức x2  MTC  x   x     x   x   x   Bước  x  2 7   ; 3x   x    x   x   3 3.3   x   x   x    x   x     x   x   Ví dụ mẫu Ví dụ Quy đồng mẫu thức phân thức sau Trang a) x xy ; 12 30 b) xy yz xz ; ; 12 24 c) ; 6x y d) xy yz zx ; ; 6z 4x y Hướng dẫn giải a) MTC  60 Nhân tử phụ mẫu thức 12 MTC 60   12 12 Nhân tử phụ mẫu thức 30 MTC 60   30 30 Khi đó, ta có x x.5 x   ; 12 12.5 60 xy xy.2 xy   30 30.2 60 b) MTC  24 Nhân tử phụ mẫu thức MTC 24   8 Nhân tử phụ mẫu thức 12 MTC 24   12 12 Nhân tử phụ mẫu thức 24 MTC 24   24 24 Khi đó, ta có: xy xy.3 3xy   ; 8.3 24 yz yz.2 yz   ; 12 12.2 24 xz xz.1 xz   24 24.1 24 c) Rút gọn phân thức  8y 2y MTC  xy Nhân tử phụ mẫu thức 6x MTC xy   y 6x 6x Nhân tử phụ mẫu thức 2y MTC xy   3x 2y 2y Khi đó, ta có 1 y y   x x y xy 1.3x 3x    y y y.3x xy Trang d) Rút gọn phân thức xy xy yz yz  ;  6z 3z x x MTC  xyz Nhân tử phụ mẫu thức 3z MTC xyz   xy 3z 3z Nhân tử phụ mẫu thức 2x MTC xyz   yz 2x 2x Nhân tử phụ mẫu thức 2y MTC xyz   3xz 2y 2y Khi đó, ta có xy xy xy.2 xy x y    ; 6z 3z 3z.2 xy xyz Bình luận: Ở câu c, d, ta rút gọn phân thức trước yz yz yz.3 yz y z    ; x x x.3 yz xyz tìm mẫu thức chung làm cho toán đơn giản 2 zx zx.3xz 3x z   y y.3xz xyz Ví dụ Tìm phân thức phân thức cho có chung mẫu thức a) x  4x 2x  b) 2y  4y  3y  3y c) 2x  x2 ; x5 x  x  15 x  3x  10 2 Hướng dẫn giải a) Phân tích mẫu thức thành nhân tử x2  4x  x  x  4 ; 2x    x  4 Suy MTC  x  x   Nhân tử phụ mẫu thức x2  x Nhân tử phụ mẫu thức x  Do đó, ta có x  x  4 MTC   2 x  4x x  x  4 MTC x  x     x 2x   x  4 4 4.2    ; x  x x  x   x  x   2 x  x   5 5.x 5x    x   x    x   x x  x   Trang Vậy phân thức cần tìm 5x 2x  x  4 2x  x  4 b) Phân tích mẫu thức thành nhân tử y  y    y  y  1   y  1 ; y  y  y  y  1 Suy MTC  y  y  1 y  y  1 MTC Nhân tử phụ mẫu thức y  y    y 2 y  y  2  y  12 2 y  y  1 MTC Nhân tử phụ mẫu thức y  y    y  1 y  y y  y  1 2 Do đó, ta có 1 1.3 y 3y    ; 2 2 y  y  2  y  1  y  1 y y  y  1 2.2  y  1  y  1 2    y  y y  y  1 y  y  1  y  1 y  y  12 Vậy phân thức cần tìm 3y y  y  1  y  1 y  y  1 c) Rút gọn phân thức  x  3 2x    ; x  x  15  x  3 x  5 x  x2 x2   x  3x  10  x   x  5 x  Suy MTC  x  Do đó, ta có 2x   ; x  x  15 x  x2  ; x  3x  10 x  3  x5 x5 Vậy phân thức cần tìm ; x5 x5 x5 Ví dụ Đưa phân thức sau mẫu thức a) 11 144a b 36a 2b3 Trang b) 3x x  xy  y 2 x  x2 y x  3x y  3xy  y c) 3ab m 5n ; ; 2 a 3a  3b a  b Hướng dẫn giải a) MTC  144a4b3 Nhân tử phụ mẫu thức 144a4b2 MTC 144a 4b3   b 144a 4b2 144a 4b2 Nhân tử phụ mẫu thức 36a2b3 MTC 144a 4b3   4a 3 36a b 36a b Khi đó, ta có 11 11.b 11b   ; 4 144a b 144a b b 144a 4b3 7.4a 28a   36a 2b3 36a 2b3 4a 144a 4b3 b) Rút gọn phân thức  x  xy  y x  xy  y  x3  3x y  3xy  y  x  y 2   2 x  y  x  y  x y 3x 3x   x  x y x  x  y x  x  y Suy MTC  x  x  y  Nhân tử phụ mẫu thức x  y MTC x  x  y    x x y x y Nhân tử phụ mẫu thức x  x  y  Khi đó, ta có x x  y MTC   x x  y x  x  y x  xy  y 2 2x   ; 2 x  3x y  3xy  y x  y x x  y 3x 3.1    x  x y x  x  y  x  x  y  x  x  y  c) Rút gọn phân thức 3ab 3b  a2 a Phân tích mẫu thức thành nhân tử aa 3a  3b   a  b  a  b   a  b  a  b  Suy MTC  3a  a  b  a  b  Trang Nhân tử phụ mẫu thức a MTC 3a  a  b  a  b     a  b  a  b  a a Nhân tử phụ mẫu thức 3a  3b 3a  a  b  a  b  MTC   a  a  b 3a  3b 3 a  b Nhân tử phụ mẫu thức a  b2 MTC 3a  a  b  a  b    3a a  b2  a  b  a  b  Do đó, ta có 3ab 3b 3b.3  a  b  a  b  9b  a  b  a  b     ; a2 a a.3  a  b  a  b  3a  a  b  a  b  m.a  a  b  ma  a  b  m m    ; 3a  3b  a  b   a  b  a  a  b  3a  a  b  a  b  5n 5n 5n.3a 15na    2 a b  a  b  a  b   a  b  a  b  3a 3a  a  b  a  b  Bình luận: Ở câu b, ta rút gọn phân thức trước quy đồng làm cho toán đơn giản Bài tập tự luyện dạng Bài tập Câu Quy đồng mẫu thức phân thức sau a) 3x  y  ; 12 x3 y 18 x y b) 3b 5b ; b  6b  2b  6b c) 3x ; ; x 1 x  x 1 Bài tập nâng cao Câu Quy đồng mẫu thức phân thức sau a) x  2x 2x  b) 3x  x  4x  x  3x x2  x 5x ; ;3x c) x  x  4x2  4x Dạng 2: Một số toán đố khác Phương pháp giải Sử dụng phương pháp: Phân tích đa thức thành nhân tử, chia đa thức, rút gọn, tìm mẫu thức chung, quy đồng mẫu thức,… để giải số toán đố 13x3 x  x ; x  3x3 x3  x Khi quy đồng mẫu thức, bạn Quang Hải chọn MTC  x  x  3 x  3 , bạn Tiến Dũng nói: “Đơn giản, chọn MTC  x  ” Đố em biết bạn chọn đúng? Ví dụ: Cho hai phân thức Trang Hướng dẫn giải Cả hai bạn đúng, - Bạn Quang Hải phân tích mẫu thức thành nhân tử x  x  x  x  3 ; x3  x  x  x    x  x  3 x  3 Suy MTC  x  x  3 x  3 - Bạn Tiến Dũng rút gọn phân thức cho trước tìm mẫu thức chung Tức 13x3 13x3 13   ; 3 x  3x x  x  3 x  x  x  3 x2  x   x  x x  x  3 x  3 x  Suy MTC  x  Ví dụ mẫu Ví dụ Cho đa thức A  x3  x2  x  hai phân thức x2 x ; x 1 x  x  a) Chia đa thức A cho mẫu thức x2 1; x2  x  2, từ suy chọn đa thứ A làm mẫu thức chung để quy đồng mẫu thức hai phân thức cho b) Quy đồng mẫu thức hai phân thức cho Hướng dẫn giải a)  x3  x  x  x  x2 x3 x  2x2 2 2 2x x3  x  x  x  x   x 1 x  x2  2x  x2  x  x2  x  Vì đa thức A chia hết cho mẫu thức x2 1; x2  x  nên chọn đa thức A làm mẫu thức chung để quy đồng mẫu thức hai phân thức cho b) MTC  A  x3  2x2  x  Khi đó, nhân tử phụ tương ứng với mẫu thức thương phép chia đa thức A cho mẫu thức Trang Do đó, ta có x   x   x   x2    ; x   x  1  x   x  x  x  x  x  1 x x2  x   x  x   x  x    x  1 x  x  x  Ví dụ Cho hai phân thức 2x  2x  ; Chứng minh  x  x    x    x    x  x  3 chọn đa thức B  x3  3x2  x  12 làm mẫu thức chung để quy đồng mẫu thức hai phân thức cho Hãy quy đồng mẫu thức hai phân thức cho Hướng dẫn giải  x  1 2x  2    x  x    x    x  1 x   x    x   x    x  1 2x  2    x    x  x  3  x   x  1 x  3  x   x  3 Cách 1: Chia đa thức B cho mẫu thức  x   x    x  4;  x   x  3  x  x   x  3x  x  12 x  x3 x3  4x  3x  12  12 3x x3  3x  x  12 x  x   x2 x  x2  6x  x  x  12 x  x  12 Vì đa thức B chia hết cho mẫu thức x2  4; x2  x  nên chọn đa thức B  x3  3x2  x  12 làm mẫu thức chung để quy đồng mẫu thức hai phân thức cho MTC  B  x3  3x2  x 12 Nhân tử phụ mẫu thức x2  MTC B   x  x 4 x 4 Nhân tử phụ mẫu thức x2  x  MTC B   x  x  x6 x  x6 Do đó, ta có Trang  x  3 2x  2   ;  x  x    x    x   x    x   x   x  3  x  2 2x  2    x    x  x  3  x   x  3  x   x   x  3 Cách Phân tích đa thức B thành nhân tử B  x3  3x  x  12   x3  3x    x  12   x  x  3   x  3   x  3  x     x  3 x   x   Suy đa thức B chia hết cho mẫu thức  x   x   ;  x   x  3 nên chọn đa thức B làm mẫu thức chung để quy đồng mẫu thức hai phân thức cho Bình luận: MTC   x   x   x  3 - Trước quy đồng mẫu thức, ta ln Do  x  3 2x  2    x  x    x    x   x    x   x   x  3 2  x  2 2x  2    x    x  x  3  x   x  3  x   x   x  3 cần xem phân thức có rút gọn khơng Cách gọn gàng hơn, nhanh cách Bài tập tự luyện dạng Bài tập Câu Cho đa thức A  x4  5x2  phân thức x ; x  3x  x  3x  2 a) Chia đa thức A cho mẫu thức x2  3x  2; x2  3x  2, từ suy chọn đa thức A làm mẫu thức chung để quy đồng mẫu thức hai phân thức cho b) Quy đồng mẫu thức hai phân thức cho Bài tập nâng cao Câu Cho hai phân thức x  10 x  x  16 ; Chứng minh chọn đa thức x3  3x  x  x3  x  x  M  x2  làm mẫu thức chung để quy đồng mẫu thức hai phân thức cho Hãy quy đồng mẫu thức hai phân thức cho Trang 10 ĐÁP ÁN BÀI QUY ĐỒNG MẪU THỨC NHIỀU PHÂN THỨC Bài tập tự luyện dạng Bài tập Câu a) MTC  36 x3 y Do đó, ta có 3x  y  3x  1 y  x  y  1  ;  12 x3 y 36 x3 y 18 x y 36 x3 y b) Phân tích mẫu thức thành nhân tử b  6b    b  3 ; 2b  6b  2b  b  3 5b  b  3 3b 6b 5b  ;  Suy MTC  2b  b  3 Do b  6b  2b  b  32 2b  6b 2b  b  32 c) Phân tích mẫu thức thành nhân tử x3    x  1  x  x  1 Suy MTC   x  1  x  x  1 Do đó, ta có 4  ; x   x  1  x  x  1 3 x  x  1 3x  ; x  x   x  1  x  x  1 2  x  1  x  x  1  x  1  x2  x  1 Bài tập nâng cao Câu a) Phân tích mẫu thức thành nhân tử x3  x  x  x   2x    x  2 Suy MTC  x  x   Nhân tử phụ mẫu thức x3  x x2  x  2 MTC   x3  x x2  x  2 MTC x  x     x2 Nhân tử phụ mẫu thức x  2x   x  2 Trang 11 Do đó, ta có 3 3.2    ; x  2x x  x   x  x   2 x  x   7 7.x x2    x   x    x   x 2 x  x   b) Rút gọn phân thức  x  1 3x  3   x  x   x  1 x  3 x  Phân tích mẫu thức thành nhân tử x   x  x  x  x  x  3 Suy MTC  x  x  3 Nhân tử phụ mẫu thức x  MTC x  x  3   x x3 x3 Nhân tử phụ mẫu thức x  x  3 Do đó, ta có x  x  3 MTC   x  x x  x  3 3x  3 3.x 3x 2    ;  x  x  x   x   x x  x   x  x x  x   c) Rút gọn phân thức x  x  2 x2  2x x 5x 5x   ;   2 x   x   x   x  x  x  x x  x  x    x  2 Suy MTC   x   MTC  x     x  Nhân tử phụ mẫu thức x  x2 x2  x    MTC Nhân tử phụ mẫu thức  x    x  x   x  2 2 x  x  2 x2  2x x 5x 3x 3x  x   Do đó, ta có   ;  ;3x   2 2 x  x   x  2 x  4x  4x  x  2  x  2 Bài tập tự luyện dạng Bài tập Câu a) Thực phép chia đa thức A cho mẫu thức x2  3x  2; x2  3x  Trang 12   5x2 x4  x  3x  x  3x  x  3x3  x  3x3  x +4 3x3  x  x  x2  x  x2  x  Suy A :  x  3x    x  3x  Do A chia hết cho mẫu thức x2  3x  2; x2  3x  nên chọn đa thức A làm mẫu thức chung để quy đồng mẫu thức hai phân thức cho b) Quy đồng Nhân tử phụ mẫu thức x2  3x  MTC A   x  3x  x  3x  x  3x  Nhân tử phụ mẫu thức x2  3x  MTC A   x  3x  x  3x  x  3x  2 2  x  3x    x  3x   Khi đó, ta có   ; x  3x   x  3x   x  3x   x  5x2  x  x  3x   x  x  3x   x   x  3x   x  3x   x  3x   x  5x  Bài tập nâng cao Câu Rút gọn phân thức  x2  5x  4  x2  5x  4  x2  5x   x  10 x      2 2 x  3x  x   x  8   3x  x   x    x  x    3x  x    x    x  x   x   x2  4  x   x   x  16   2 x  x  x   x  8   x  x   x    x  x    x  x     x   x    x  2  x  4x  4   x   x    x   x    x2 Suy MTC   x   x   Mà M  x    x   x   Vậy chọn đa thức M  x2  làm mẫu thức chung để quy đồng mẫu thức hai phân thức cho Quy đồng Trang 13 Nhân tử phụ mẫu thức x  MTC  x   x     x  x2 x2 Nhân tử phụ mẫu thức x  MTC  x   x     x  x2 x2 Khi đó, ta có  x  2  x  2 x  10 x  x  16   ;   3 x  3x  x  x   x   x   x  x  x  x   x   x   Trang 14 ... TÂM Quy đồng mẫu thức nhiều phân thức Muốn quy đồng mẫu thức nhiều phân thức, ta thực theo ba bước sau: - Bước Phân tích mẫu thức thành nhân tử tìm mẫu thức chung  Phân tích mẫu thức phân thức. ..  x2  làm mẫu thức chung để quy đồng mẫu thức hai phân thức cho Hãy quy đồng mẫu thức hai phân thức cho Trang 10 ĐÁP ÁN BÀI QUY ĐỒNG MẪU THỨC NHIỀU PHÂN THỨC Bài tập tự luyện dạng Bài tập Câu... chọn đa thức A làm mẫu thức chung để quy đồng mẫu thức hai phân thức cho b) Quy đồng mẫu thức hai phân thức cho Bài tập nâng cao Câu Cho hai phân thức x  10 x  x  16 ; Chứng minh chọn đa thức