Đang tải... (xem toàn văn)
Toán kinh tế là môn khoa học nhằm vận dụng toán học trong phân tích các mô hình kinh tế để từ đó hiểu rõ hơn các nguyên tắc và các quy luật kinh tế của nền kinh tế thị trƣờng. Giáo trình Toán kinh tế được biên soạn để cung cấp cho sinh tài liệu để tham khảo nhằm đáp ứng nhu cầu học tập, nghiên cứu bộ môn này. Nội dung giáo trình gồm có 4 chương và được chia thành 2 phần, mời các bạn cùng tham khảo phần 1 giáo trình sau đây.
BỘ GIAO THÔNG VẬN TẢI TRƢỜNG CAO ĐẲNG GIAO THÔNG VẬN TẢI TRUNG ƢƠNG I GIÁO TRÌNH Mơn học: Tốn kinh tế NGHỀ: KẾ TỐN DOANH NGHIỆP TRÌNH ĐỘ: CAO ĐẲNG Hà Nội – 2017 MỤC LỤC Lời nói đầu………………………………………………………………………… Chương 1: Đại số tuyến tính Vectơ n chiều phép tính 1.1 Định nghĩa 1.2 Các phép toán vectơ 1.3 Độc lập phụ thuộc tuyến tính Ma trận 2.1 Các khái niệm 2.2 Các phép tính ma trận 2.3 Các phép biến đổi ma trận 11 Định thức 11 3.1 Cách xác định giá trị định thức 11 3.2 Tính chất định thức 13 Ma trận nghịch đảo 14 4.1 Định nghĩa 14 4.2 Cách tìm ma trận nghịch đảo 14 Hệ phƣơng trình tuyến tính 15 5.1 Khái niệm 15 5.2 Phƣơng pháp giải 16 Bài tập 19 Chương 2: Phương pháp đơn hình Bài tốn đối ngẫu 19 Các khái niệm, tính chất chung tốn quy hoạch tuyến tính 21 1.1 Một số ví dụ thực tế dẫn đến tốn quy hoạch tuyến tính 21 1.2 Bài toán quy hoạch tuyến tính dạng đặc biệt 25 1.3 Phƣơng án cực biên 30 1.4 Các tính chất chung tốn quy hoạch tuyến tính 31 Phƣơng pháp đơn hình 31 2.1 Nội dung sở phƣơng pháp 31 2.2 Thuật tốn phƣơng pháp đơn hình 33 2.3 Thuật toán mở rộng 38 Bài toán đối ngẫu 40 3.1 Định nghĩa 40 3.2 Sơ đồ viết toán đối ngẫu 41 4.Bài tập 45 Chương 3: Toán xác suất 50 Giải tích tổ hợp 50 1.1 Tính giai thừa, hoán vị 50 1.2 Tổ hợp, chỉnh hợp 51 Phép thử, loại biến cố xác suất biến cố 53 2.1 Phép thử, biến cố 53 2.2 Các loại biến cố 53 2.3 Xác suất biến cố 54 Định lý cộng xác suất 55 Định lý nhân xác suất 55 Công thức Bernoull 56 5.1 Định nghĩa 56 5.2.Công thức Bernoulli 57 Công thức xác suất đầy đủ Bayes 59 Biến ngẫu nhiên quy luật phân phối xác suất 61 7.1 Định nghĩa biến ngẫu nhiên quy luật phân phối xác suất 61 7.2 Biến ngẫu nhiên rời rạc bảng phân phối xác suất 61 7.3 Hàm phân bố xác suất 61 7.4 Hàm mật độ xác suất 62 Các tham số đặc trƣng biến ngẫu nhiên 63 8.1 Vọng toán (kỳ vọng toán) 63 8.2 Phƣơng sai 63 8.3 Độ lệch chuẩn 64 Một số quy luật phân phối xác suất thông dụng 65 9.1 Quy luật không - 65 9.2 Quy luật nhị thức- B(n,p) 65 9.3 Quy luật phân phối – U(a,b) 67 9.4 Quy luật phân phối chuẩn- N(µ,∂2) 68 9.5 Quy luật bình phƣơng 70 9.6 Quy luật Student Tn 70 10 Các định lý giới hạn 71 10.1 Bất đẳng thức Trêbƣsep 71 10.2 Định lý Trêbƣsep 71 11 Bài tập 71 Chương 4: Thống kê toán 75 1.Tổng thể nghiên cứu 75 1.1 Khái niệm 75 1.2 Các phƣơng pháp mô tả tổng thể 75 1.3 Các tham số đặc trƣng mẫu ngẫu nhiên 76 Quy luật phân phối xác suất số thống kê đặc trƣng mẫu 77 2.1 Biến ngẫu nhiên X phân phối theo quy luật chuẩn 77 2.2 Biến ngẫu nhiên X phân phối theo quy luật không - 78 Ƣớc lƣợng tham số 78 3.1 Ƣớc lƣợng điểm cho kỳ vọng, phƣơng sai xác suất 78 3.2 Ƣớc lƣợng khoảng tin cậy cho tham số P biến ngẫu nhiên phân phối theo quy luật - 81 3.3 Ƣớc lƣợng kỳ vọng toán biến ngẫu nhiên phân phối theo quy luật chuẩn 81 3.4 Ƣớc lƣợng phƣơng sai biến ngẫu nhiên phân phối theo quy luật chuẩn 82 Kiểm định giả thuyết thống kê 84 4.1 Khái niệm 84 4.2 Kiểm định tham số P biến ngẫu nhiên phân phối không - 85 4.3 Kiểm định giả thuyết kỳ vọng toán biến ngẫu nhiên phân phối theo quy luật chuẩn 87 4.4 Kiểm định giả thuyết phƣơng sai biến ngẫu nhiên phân phối theo quy luật chuẩn 90 Tài liệu tham khảo………………………………………………………………….93 Lời nói đầu Tốn kinh tế mơn khoa học nhằm vận dụng tốn học phân tích mơ hình kinh tế để từ hiểu rõ nguyên tắc quy luật kinh tế kinh tế thị trƣờng Toán kinh tế cung cấp cho nhà quản lý kiến thức để họ vận dụng vào việc định sản xuất Toán kinh tế (tiếng Anh Mathematical Economics) lĩnh vực Kinh tế, sử dụng công cụ phƣơng pháp tốn học để phân tích, đánh giá vấn đề kinh tế, kinh doanh Công cụ tốn học cho phép nhà kinh tế phân tích suy luận định lƣợng xây dựng mơ hình đánh giá, dự báo kinh tế, kinh doanh tƣơng lai Ngành Toán kinh tế ngành đào tạo cao đẳng, cử nhân đại học ngành Toán kinh tế có phẩm chất trị, đạo đức sức khỏe tốt; có kiến thức kinh tế - xã hội, quản lý quản trị kinh doanh; có kiến thức chuyên sâu Toán ứng dụng kinh tế, quản lý quản trị kinh doanh; có tƣ nghiên cứu độc lập; có lực tự học tập bổ sung kiến thức, nâng cao trình độ chuyên mơn thích nghi với thay đổi mơi trƣờng làm việc Chương 1: Đại số tuyến tính Vectơ n chiều phép tính 1.1 Định nghĩa Ta gọi tập hợp bao gồm n số thực từ x1, x2, …, xn y1, y2, yn đƣợc xếp theo thứ tự định (theo hàng theo cột) gọi véc tơ n chiều đƣợc ký hiệu X, Y, Z X = [ x1, x2,…, xn ] Y = [ y1, y2, , yn ] Ví dụ: X1 = [1, 2, 3, -1] X2 = [-1, 4, 4, 0] 1 X3 = 3 1 / 2 - Nếu xếp theo chiều ngang gọi véc tơ hàng (ví dụ X1, X2) - Nếu xếp theo chiều dọc gọi véc tơ cột (ví dụ X3) Chú ý: x1, x2, …, xn gọi thành phần véc tơ X Các xi gọi thành phần thứ i véc tơ X Nếu X = Y tức véc tơ X = véc tơ Y 1.2 Các phép toán véc tơ a Phép nhân véc tơ với số Cho véc tơ X = [x1, x2, …, xn ] số k (k R) tích k X k.X = [ k.x1, k.x2, k.xn] Ví dụ: cho véc tơ X = [1, 2, 3, -1] k = tính tích k.X k.X = [2 x 1, x 2, x 3, x -1] = [ 2, 4, 6, -2] Chú ý: Nếu k = -1 k.X = -X( véc tơ đối X) Nếu k = 0.X = b Tổng hiệu hai vec tơ Cho véc tơ X = [x1, x2, …, xn ] có n chiều, véc tơ Y= [y1, y2, …, yn ] có n chiều điều kiện để hai véc tơ cộng trừ cho chúng phải chiều (hay hƣớng) X Y = = [x1 y1, x2 y2, …, xn yn] Ví dụ: Cho véc tơ X = [1, 2, 3, -1] véc tơ Y= [2, 2, 6, -2] tính X + Y X + Y = [ + 2, + 2, + 6, -1 + -2] = [ 3, 4, 9, -3] Các tính chất: 1, X + Y = Y + X 2, X – Y = Y – X (X – Y) X 3, X – Y Y – X (X + Y) 1.3 Độc lập phụ thuộc tuyến tính a Định nghĩa: Cho V không gian véc tơ; S = {x1, x2, ,xn} V Xét điều kiện: α1x1 + α2x2 + + αnxn = (*) Nếu điều kiện (*) xẩy α1 = 0, α2 = 0, ,αn = S gọi hệ véc tơ độc lập tuyến tính S khơng độc lập tuyến tính S gọi phụ thuộc tuyến tính, tức αi mà điều kiện (*) xẩy b Tính chất - Hệ có véc tơ vec tơ độc lập tuyến tính - Mọi hệ hệ độc lập tuyến tính độc lập tuyến tính - Hệ vec tơ chứa hệ phụ thuộc tuyến tính phụ thuộc tuyến tính - Hệ vec tơ chứa véc tơ tổ hợp tuyến tính véc tơ cịn lại phụ thuộc tuyến tính Ma trận 2.1 Các khái niệm - Khái niệm ma trận: Ngƣời ta gọi bảng gồm m x n số thực đƣợc xếp thành m hàng n cột gọi ma trận cấp m x n a11 Ký hiệu: A = a21 am1 a a 12 22 a m2 2n amn a a 1n Trong đó: - Mỗi số nằm ma trận đƣợc gọi phần tử, phần tử nằm ô hàng i, cột j đƣợc ký hiệu j - a11, a22, …, amn đƣợc gọi đƣờng chéo ma trận - mn: Đƣợc gọi cấp ,a trận - a11, a12, …, a1n đƣợc gọi hàng thứ ma trận Ma trận viết dƣới dạng tổng quát là: A = (ai j) m x n - Khái niệm ma trận vuông: Ma trận vng ma trận có số hàng số cột ( m = n) - Ma trận có tất phần tử gọi ma trận không, ký hiệu - Ma trận đối: Cho ma trận A = (ai j) m x n ma trận – A = (-ai j) mxn gọi ma trận đối ma trận A - Ma trận chuyển vị: Cho ma trận A = (ai j) m x n , ma trận chuyển vị ma trận A la At (aj i) m x n ( nghĩa ta đổi hàng thành cột cột thành hàng ta đƣợc ma trận chuyển vị At) 1 1 t Ví dụ: Cho ma trận A = A = 2 1 0 5 - Ma trận nhau: Cho ma trận A = (ai j) j = bi j, i 1, m ; J 1, n - Ma trận tam giác: Là ma trận vng có 2.2 Các phép tính ma trận a Phép nhân ma trận với số m x n; B = (bi j) m x n, ma trận A = B Cho ma trận A = (ai j) m x n k R ; tích k.A ma trận cấp m x n xác định bởi: k.A = (k.ai j) m x n 1 5 Ví dụ: Cho ma trận A = k = Hãy tính k.A 0 1.2 3.2 5.2 2 10 k.A = = 4.2 1.2 0.2 8 * Các tính chất k(A + B) = k.A + k.B (k + h).A = kA + hA k(h.A) = (k.h)A 1.A = A 0.A = b Phép nhân hai ma trận Cho hai ma trận A = (ai j) m x n B = (bi j) p x n (số cột ma trận A số hàng ma trận B) Tích A B ma trận C = A.B cấp m x n, phần tử C i j C đƣợc xác định nhƣ sau: Ci j = ai1 b1j + ai2 b2j + +aip bpj Nhƣ muốn tìm phần tử dịng i, cột j ma trận tích, ta nhân phần tử dòng i ma trận đứng trƣớc với phần tử tƣơng ứng cột j ma trận đứng sau cộng tích lại với 1 1 3 Ví dụ: cho ma trận A = ; B = 2 tính tích A.B 3 1 0 1.1 2.(1) 3.3 1.1 2.2 3.0 5 A.B = = 3.1 2.(1) 1.3 3.1 2.2 1.0 4 8 Chú ý: - Phép nhân ma trận A, B thực đƣợc số cột ma trận A số dòng ma trận B A.B thực đƣợc B.A chƣa thực đƣợc Trong trƣờng hợp A, B hai ma trận vuông cấp, A ma trận cấp m x n, B ma trận cấp n x m A.B B.A thực đƣợc nhƣng nói chung A.B B.A - A.B = A = B = * Tính chất 1, A(B+C) = AB + ÂC 2, (B + C)A = BA + CA 10 3, k(B.C) = (kB).C = B(kC) c Tổng hiệu hai ma trận Cho ma trận A = (ai j) m x n B = (bi j) m x n hai ma trận cấp m x n: A + B = (ai j + bi j) m x n tức ( A + B+)i j = j + bi j Nhƣ muốn cộng ma trận cuàng cấp, ta cộng phần tử vị trí hai ma trận thành phần 2 1 (1) 0 5 A + B = = 0 0 1 Ví dụ: Cho ma trận A = B = 4 * Tính chất: 1, A + B = B + A 2, A + = + A = A 3, A + (-A) = 4, (A+B) + C = A + (B + C) 2.3 Các phép biến đổi ma trận - Đổi chỗ hai dòng cột - Nhân tất phần tử dòng (hoặc cột) với số khác không - Cộng vào phần tử dòng (cột) phần tử tƣơng ứng dòng (cột) khác sau nhân với số Mỗi ma trận cấp m x n đƣợc xem hệ gồm m vec tơ dòng n vec tơ cột, phép biến đổi sơ cấp ma trận thực chất phép biến đổi sơ cấp hệ vec tơ dòng hệ vec tơ cột ma trận Định thức 3.1 Cách xác định giá trị định thức 3.1.1 Ma trận a11 Cho A ma trận vuông cấp n: A = a21 an1 a a 12 22 a n2 2n ann a a 1n Nếu ta bỏ dòng cột chứa phần tử j, tức bỏ dòng i cột j ma trận A ta thu đƣợc ma trận vng cấp n -1 ký hiệu Mi j gọi ma trận tƣơng ứng với j a11 Ví dụ: Cho ma trận A = a21 a 31 a a a 12 22 32 23 33 a a a 13 11 - Chọn vec tơ đƣa khỏi sở Quy tắc áp dụng chung cho hai trƣờng hợp: Bài tốn có f(x) Min tốn có f(x) Max Tính = Giả sử = x x x Min J x x i , is 0 j , js r với r J0, xr s > 0), vec tơ Ar bị loại khỏi sở, phần tử trục rs phép biến đổi xrs, bảng đóng khung phần tử - Biến đổi bảng: Lập mẫu bảng đơn hình mới, vị trí xr ghi xs ghi Tính dịng bảng đơn hình (bắt đầu từ cột thứ trở đi) theo quy tắc sau: + Để tính dịng ứng với vec tơ đƣa vào (ứng với xs) bảng ta lấy dòng ứng với vec tơ loại (ứng với xr) bảng cũ chia cho phần tử trục Dòng đƣợc gọi dòng chuẩn + Để tính dịng ứng với xj bảng mới, ta lấy dòng xj bảng cũ trừ dịng chuẩn sau nhân (dịng chuẩn) với xjs + Để tính dịng cuối bảng mới, ta lấy dòng cuối bảng cũ trừ dòng chuẩn sau nhân (dịng chuẩn) với Δs Kết trình biến đổi cho ta bảng đơn hình ứng với phƣơng án cực biên x1, tốt x0 Sau bƣớc điều chỉnh h Àm mục tiêu f(x) thany đổi lƣợng Δs Đỗi với x1 quay trở lại bƣớc quy trình lặp lại sau số h u hạn bƣớc kết luận tốn khơng giải đƣợc hàm mục tiêu khơng bị chặn tìm đƣợc phƣơng án biến đổi tối ƣu Chú ý trình tính tốn, bảng đơn hình đƣợc lập kế hoạch tiếp để thuận tiện cho việc biến đổi b Các ý áp dụng thuật toán - Nếu việc ghi nhớ dấu hiệu lúc hai trƣờng hợp tốn có f(x) Min tốn có f(x) Max khơng thuận tiện ta cần ghi nhớ trƣờng hợp, ví dụ trƣờng hợp tốn có f(x) Min Khi cần giải tốn có f(x) Max chuyển giải toán với hàm g(x) = - f(x) Min ( đổi dấu hệ số hàm mục tiêu), ý fmax = - gmin - Nếu chọn vec tơ đƣa vào sở, đƣa khỏi sở có nhiều vec tơ thuộc diện lựa chọn ta tùy trọn số 35 - Trƣờng hợp tốn suy biến = 0, = thực thuật tốn cách bình thƣờng, nghĩa vec tơ ứng với bị loại khỏi sở - Khi áp dụng thuật toán cần lƣy ý hai trƣờng hợp + Phƣơng án cực biên x0 có sở J0 sở đơn vị, lúc ma trận hệ số phân tích [b|A] theo sở đơn vị nên ta lập đƣợc bảng đơn hình Bài tốn dạng chuẩn toán cho phƣơng án cực biên với sở sở đơn vị, nên từ tốn ta lập đƣợc bảng đơn hình ứng với phƣơng án cực biên + Khi J0 khơng phải sở đơn vị ta lập bảng đơn hình, trƣớc hết cần phải tìm ma trận hệ số phân tích [A|b] theo J0 Để làm điều này, mặt thực hành tính tốn, ta viết ma trận mở rộng [A|b] coi nhƣ bảng số liệu Sau thực phép biến đổi dòng bảng giống nhƣ phép biến đổi bảng đơn hình – biến đổi cho vec tơ sở trở thành vec tơ đơn vị khác – ma trận mở rộng trở thành ma trận hệ số phân tích Ví dụ 1: Giải phƣơng pháp đơn hình tốn: f(x) = 4x1 – 2x2 – x3 – 3x4 Min x1 + x3 + x4 + 3x5 = 16 2x1 – 3x2 – 2x3 + 2x5 ≤ 52 x2 + x3 - 2x5 ≤ 24 xj ≥ (J = 1,4 ) Trƣớc hết đƣa toán dạng tắc cách cộng vào ràng buộc hai ba biến phụ x6 x7 Ta có: f(x) = 4x1 – 2x2 – x3 – 3x4 Min x1 + x3 + x4 + 3x5 = 16 2x1 – 3x2 – 2x3 + 2x5 + x6 = 52 x2 + x3 - 2x5 + x7 = 24 xj ≥ (J = 1,7 ) Bài tốn có chuẩn, biến cô lập x4, x6, x7 nên phƣơng án cực biên tƣơng ứng x0 = (0, 0, 0, 16, 0, 52, 24), sở là: {A4, A6, A7} = {e1, e2, e3}, ta lập đƣợc bảng đơn hình ứng với phƣơng án cực biên x0 Tồn q trình giải bảng Từ bảng đơn hình đầu, ta thấy phƣơng án tƣơng ứng chƣa tối ƣu Vec tơ đƣa vào sở A2 ứng với Δ2 = 2, = 20/1 nên vec tơ A7 bị loại khỏi sở, phần tử trục đƣợc đóng khung bảng 36 CJ J XJ -2 X1 x2 x3 -3 x4 0 x5 x6 x7 -3 X4 16 1 0 x6 52 -3 -2 0 x7 24 [1] -2 f(x) -48 -7 -4 -9 0 -3 X4 16 1 0 x6 124 -4 x2 24 1 -2 f(x) -96 -7 -6 -5 -2 Qua bƣớc điều chỉnh, bảng thứ ta thấy Δk ≤ ( k J ), phƣơng án tƣơng * ứng tối ƣu: x* = (0, 24, 0, 16, 0, 124, 0) trị tối ƣu hàm mục tiêu f* = 96 Vì Δk < ( k J ) nên x* phƣơng án tối ƣu * Ví dụ 2: Giải tốn QHTT: 1 f x x1 x2 x3 3x4 x5 x6 x1 x2 x4 x6 15 2 x1 x3 x6 4 x x x x 3x j 0; j 1,6 1 1 A 0 2 0 3 Bảng đơn hình: 37 CJ J 1 -7 1 XJ 1 -7 x1 x2 x3 x4 x5 x6 x2 x3 x5 f x 15 -1 -2 0 -1 0 (1) -2 -3 26 x6 x3 x5 f x 15 39 47 1 -5 -1 -4 2 3 0 4 -2 -1 -2 -1 5 0 6 (3) 0 -19 -2 -3 (1) 0 Vì max j 1, mà 0, 1,2,1 tốn khơng có phƣơng án tối ƣu 2.3 Thuật tốn mở rộng Chú ý thuật tốn đơn hình mở rộng Nếu gặp tốn dạng tắc chƣa phải dạng chuẩn ta dùng ẩn giả để đƣa toán dạng chuẩn Nếu tốn mở rộng khơng có phƣơng án tối ƣu tốn xuất phát khơng có phƣơng án tối ƣu Nếu tốn mở rộng có phƣơng án tối ƣu mà ẩn giả 0, bỏ phần ẩn giả ta cịn phƣơng án tối ƣu tốn xuất phát Nếu tốn mở rộng có phƣơng án tối ƣu mà cịn ẩn giả > 0, tốn xuất phát khơng có phƣơng án tối ƣu Ví dụ 1: f x x1 x x _ x 3x3 x 0 x x3 5x x5 , A 0 1 x1 x x x x 3 3 9 1 7 5 2 x j 0; j 1,5 Từ toán ta sử dụng biến giả để đƣa toán dạng chuẩn nhƣ sau f(x) = x1 + 2x2 + x4 – 5x5 + Mx6 + Mx7 → Min 38 -3x3 – 9x4 = x2 – 7x3 – 5x4 – 2x5 = x1 – 1/3x2 + 2/3x3 + 3/4x4 + 1/5x5 = 2/3 xj ≥ 0, j = 1,7 Bảng đơn hình: CJ J XJ -5 x1 x2 x3 x4 x5 M x6 0 -3 -9 M x7 (1) -7 -5 -2 x1 2/3 -1/3 2/3 4/3 1/3 1 2 3 4 5 f x 5M+2/3 (-7/3+M) 2/3-10M 1/3-14M 16/3-2M x6 0 -3 -9 x2 -7 -5 -2 x1 7/3 -5/3 -1/3 -1/3 37/3 0 -47/3-3M -34/3-9M 2/3 f x Ở bảng đơn hình thứ ta thấy max j M x2 thay cho x7 Ở phƣơng án thứ max j 0, 1 0,2, 0 tốn khơng có 3 phƣơng án tối ƣu Ví dụ 2: 1 f x 16 x x x 1 x x x 2 3 5x 5x 3x j 1 0 0; j 1,3 Từ toán ta sử dụng biến giả để đƣa toán dạng chuẩn nhƣ sau: 39 1 f x 16 x1 x x3 Mx4 1 x1 x x3 2 3 x1 x x 3x j 0; j 1,4 A 0 1 Bảng đơn hình: CJ J XJ -16 x1 x2 x3 x3 1/3 -2/3 -1/3 M x4 -5 (5) 1 2 3 f x 7M+3 10-5M (-10+5M) x3 12/15 -1 x2 7/5 -1 f x 17 0 Ở phƣơng án ban đầu: max j 10 5M x2 thay cho x4 Phƣơng án cuối cùng: j 0, j ta có phƣơng án tối ƣu là: x1, x2 , x3 0, , 12 15 Giá trị phƣơng án: fx 17 Bài toán đối ngẫu 3.1 Định nghĩa Bên cạnh toán QHT – gọi toán gốc – xây dựng toán QHTT khác theo quy tắc định gọi toán đối ngẫu tốn gốc Nhƣ vậy, ta ln có cặp toán QHTT đƣợc gọi cặp toán 40 đối ngẫu Gi a hai toán cặp có mối quan hệ khăng khít với nhau, từ nh ng thơng tin nhận đƣợc tốn ta có nh ng kết luận tƣơng ứng tốn cịn lại 3.2 Sơ đồ viết toán đối ngẫu a Cặp toán đối ngẫu khơng đối xứng Xét tốn dạng tắc (I) n f(x) = c x j 1 j j Min (Max) (1.5) n a x b j 1 ij j i (i = 1, m ) (1.6) xj (j = 1, n ) (1.7) ta gọi toán toán gốc Chú ý hệ phƣơng trình ràng buộc tốn cịn viết dƣới rạng n x b Ax = b, A ma trận j 1 j j điều kiện Aj vec tơ điều kiện Dựa vào cấu trúc toán gốc (I), ta xây dựng toán quy hoạch tuyến tính khác gọi tốn đối ngẫu tốn gốc (I) có dạng nhƣ sau: m g(y) = b y i 1 m a y i 1 ij i i i Min (Max) () ci (i = 1, n ) (1.14) (1.15) Ký hiệu toán ( I ) Cặp toán (I, I ) gọi cấp toán đối ngẫu khơng đối xứng Phân tích cấu trúc tốn, ta rút nh ng nhận xét đồng thời nh ng nguyên tắc thành lập toán đối ngẫu - Nếu f( ) Min g(y) Ma hệ ràng buộc tốn đối ngẫu có rạng “≤” - Nếu f( ) Max g(y) Min hệ ràng buộc tốn đối ngẫu có rạng “≥” - Số ràng buộc(khơng kể ràng buộc dấu) tốn số biến số tốn kia, từ thấy tương ứng với ràng buộc toán biến số toán - Hệ số hàm mục tiêu toán vế phải hệ ràng buộc toán - Ma trận điều kiên toán chuyển vị 41 - Các biến số tốn đối ngẫu khơng có ràng buộc dấu b Cặp toán đối ngẫu đối xứng Xét toán (II): n c x f(x) = j Min (Max) j () bi (i = 1, m ) j j 1 n a x j 1 ij xj (j = 1, n ) Đƣa tốn dạng tắc, ký hiệu ( II , ): n f(x) = c x j 1 j j Min (Max) n a x ( ) x j 1 ij j n 1 (1.5) bi (i = 1, m ) (1.6) xj (j = 1, n m ) Bài toán đối ngẫu ( II ) đối ngẫu (II) có dạng: , m g(y) = b y i 1 i i m a y i 1 ij i Min (Max) (1.14) () c j (j = 1, m ) yi ≥ (i = 1, m ) Ký hiệu toán ( II ) Do đặc điểm cấu trúc hai toán, ta goi (II) ( II ) cặp tốn đối ngẫu đối xứng Hai tốn có n + m cặp ràng buộc đối ngẫu sau: m xj ≥ aij yi () c j (j = 1, n ) i 1 n a x j 1 ij j () bi yi ≥ (i = 1, m ) 42 Sơ đồ viết toán đối ngẫu c Bài toán gốc n F(x) = c x j 1 j j Bài toán đối ngẫu a x b j 1 a x j 1 ij i j () bi (i I2) j () bi (i I3) n a x j 1 ij (i I1) j n g(y) = b y i 1 n ij m Min (Max) xj khơng có ràng buộc đâu Max (Min) (i I1) yi ≥ (i I2) yi ≤ (i I3) m a y ij i 1 (j J2) i m a y ij i 1 xj ≤ i yi khơng có ràng buộc đâu (j J1) xj ≥ i (j J3) ij i 1 (j J1) i ( ) c j (j J2) i ( ) c j (j J3) m a y ci Từ lƣợc đồ tổng quát rút nhận xét h u ích cho thực hành là: Nếu biến số khơng có ràng buộc dấu tốn ràng buộc tƣơng ứng tốn có dấu ngƣợc lại; biến số có ràng buộc dấu tốn ràng buộc tƣơng ứng tốn có dấu bất đẳng thức ngƣợc lại, nhiên cần ý chiều bất đẳng thức toán đối ngẫu đƣợc định hàm mục tiêu phải đạt cực tiểu hay cực đại Ví dụ: Viết tốn đối ngẫu toán sau cặp ràng buộc đối ngẫu: f(x) = -4x1 + x2 + 5x3 + 3x5 Min 3x1 - 6x2 - x3 + 2x4 + 4x5 ≥ -15 (1) -2x1 + 3x2 + 4x3 - 5x4 + x5 ≤ (2) - 6x2 + 3x3 + 8x4 - 4x5 = 3x1 + 2x2 - 3x4 + x5 ≥ 24 (3) x1 ≥ (4); x3 ≤ (6) (5); x5 ≥ Bài toán đối ngẫu: g(y) = -15y1 + 8y2 + 9y3 + 24y4 Max 3y1 – 2y2 + 3y4 ≤ (7) -6y1 + 3y2 – 6y3 + 2y4 = 43 - y1 + 4y2 + 3y3 ≥ (8) 2y1 – 5y2 + 8y3 – 3y4 = 4y1 + y2 - 4y3 + y4 ≤ - y1 ≤ (10); y2 ≤ (9) (11) ; -y4 ≤ (12) Các cặp ràng buộc đối ngẫu là: (1), (10); (2),(11); (3),(12); (4),(7); (5),(8); (6),(9) Ví dụ: Tìm tốn đối ngẫu toán 1 f x x1 x2 x3 3x4 x 3 x1 x2 x3 x4 x 80 x x x x x 10 2 x1 x2 x3 x4 x 30 x1 x3 3x1 0, x2 , x3 0, 3 1 1 A 3 1 3 4 1 AT 1 3 0 1 0 1 0 1 0 Bài toán g ( y ) 1g y 80 y1 10 y2 30 y3 y4 max 3 y1 y2 y3 y4 y y y 1 22 y1 y2 y3 y4 y1 y2 y3 y1 y2 y3 6 3 y2 y3 , y d Các tính chất định nghĩa đối ngẫu Mối quan hệ gi a hai toán cặp toán đối ngẫu mà quan tâm tồn phƣơng án, phƣơng án tối ƣu liên hệ gi a phƣơng án Mối quan hệ đặc biệt đƣợc thể qua tính chất định lý đối ngẫu Xét cặp toán đối ngẫu (tổng quát) với hàm mục tiêu: 44 f(x) Min(Max) g(y) Max(Min) Tính chất 1: Với cặp phƣơng án x y hai tốn đối ngẫu ta ln ln có: f(x) ≤ (≥) g(y) Tính chất 2: Nếu hai phƣơng án x* y* ta ln có f(x*) = g(y*) x* y* tƣơng ứng hai phƣơng án tối ƣu Định lý 1(đối ngẫu): Nếu hai tốn đối ngẫu giải đƣợc tốn giải đƣợc với cặp phƣơng án tối ƣu x* y* ta ln có f(x*) = g(y*) Định lý 2(đối ngẫu):Điều kiện cần đủ để hai phƣơng án x y cặp toán đối ngẫu tối ƣu cặp ràng buộc đối ngẫu ràng buộc thỏa mãn với dấu bất đẳng thức thực (lỏng) ràng buộc phải thỏa mãn với dấu (chặt) 4.Bài tập Bài 1: Giải phƣơng pháp đơn hình toán sau a f(x) = -4x1 + x2 + 5x3 + 3x5 Min 3x1 - 6x2 - x3 + 2x4 + 4x5 ≥= -15 -2x1 + 3x2 + 4x3 - 5x4 + x5 = - 6x2 + 3x3 + 8x4 - 4x5 = 3x1 + 2x2 - 3x4 + x5 = 24 xj ≥ (j = 1,4 ) b f(x) = 2x1 + 7x2 - 5x3 + 9/2x4 Min x1 - x2 - x3 + 3x4 = 14 x2 - 4x3 + x4 ≤ x2 - 2x3 + 3x4 ≥ -20 xj ≥ (j = 1,4 ) c f(x) = 3x2 - x3 - 2x5 Max x1 - x2 + 3x3 + 2x5 = 4x2 - 2x3 + x4 = 12 3x2 - 4x3 + 8x5 ≤ 10 xj ≥ (j = 1,5 ) d f(x) = -4x1 + 3x2 + x3 Max 2x1 - 2x2 + 3x3 + 2x5 = x2 - 2x3 + x4 = 10 45 2x1 - 4x3 + 4x5 ≤ xj ≥ (j = 1,5 ) Bài Giải toán QHTT: 1 f x 10 x1 3x2 x3 x4 x5 x6 max x1 x2 x3 x5 x6 2 x1 x3 x4 x5 x6 4 x x x 3x x 18 3x j 0; j 1,6 Bài Giải toán QHTT: 1 f x x1 x2 x3 x4 x1 x x3 x 2 x 3x3 x x3 x 3x j 0; j 1,4 Bài Giải toán QHTT: 1 f x x1 3x2 x3 x 3 x1 x x3 x 2 x1 x3 3x x 4x 2x 4 3x j 0; j 1,4 Bài Giải toán QHTT: 46 1 f x x1 x x3 x1 x x3 2 x1 x x3 3 x x x 14 3x j 0; j 1,3 Bài Giải toán QHTT: 1 f x x1 3x2 x3 x4 6 x1 x2 x3 x4 57 2 x1 3x2 x3 16 x x x 12 3x j 0; j 1,4 Bài Giải toán QHTT: 1 f x x1 x x3 x 3 x1 x x3 x 2 x1 3x x3 5 x1 x x3 12 3x j 0; j 1,4 Bài Giải toán QHTT: 1 f x x1 10 x x3 x max x1 x x 16 2 x1 x x3 x 4 x x3 x 3x j 0; j 1,4 Bài 47 Giải toán QHTT: 1 f x x1 x x3 x1 x x3 2 x1 x x3 2x x 2x 3x j 0; j 1,3 Bài 10: Cho toán sau a f(x) = -4x1 + x2 + 5x3 + 3x5 Min 3x1 - 6x2 - x3 + 2x4 + 4x5 ≥= -15 -2x1 + 3x2 + 4x3 - 5x4 + x5 = - 6x2 + 3x3 + 8x4 - 4x5 = 3x1 + 2x2 - 3x4 + x5 = 24 x1 ≥ ; x3 ≤ b ; x5 ≥ f(x) = 2x1 + 7x2 - 5x3 + 9/2x4 Min x1 - x2 - x3 + 3x4 = 14 x2 - 4x3 + x4 ≤ x2 - 2x3 + 3x4 ≥ -20 x2 ≥ ; x1 ≤ c ; x4 ≥ f(x) = 3x2 - x3 - 2x5 Max x1 - x2 + 3x3 + 2x5 = 4x2 - 2x3 + x4 = 12 3x2 - 4x3 + 8x5 ≤ 10 x1 ≥ ; x3 ≤ d ; x5 ≥ f(x) = -4x1 + 3x2 + x3 Max 2x1 - 2x2 + 3x3 + 2x5 = x2 - 2x3 + x4 = 10 2x1 - 4x3 + 4x5 ≤ X2 ≥ ; x4 ≤ ; x3 ≥ Yêu cầu: 1.Viết toán đối ngẫu cặp ràng buộc đối ngẫu 48 Tìm phƣơng án tối ƣu toán suy nghiệm cho toán đối ngẫu Phƣơng án tối ƣu tốn có nghiệm khơng ? Nếu khơng tìm phƣơng án tối ƣu khác cực biên 49 ... x j ? ?1 j n a x b j ? ?1 ij j (1. 2) i (i I2 ) (1. 3) (i I3 ) (1. 4) n a x b j ? ?1 ij (1. 1) (i I1 ) a x b ij Min (Max) i j n j ? ?1 j j i Trong I1 , I2 , I3 tập số (I1 , I2 , I3 khơng giao nhau);... khác g? ?i toán đ? ?i ngẫu toán gốc (I) có dạng nhƣ sau: m g(y) = b y i ? ?1 m a y i ? ?1 ij i i i Min (Max) () ci (i = 1, n ) (1. 14) (1. 15) Ký hiệu toán ( I ) Cặp toán (I, I ) g? ?i cấp tốn đ? ?i ngẫu... B? ?i toán đ? ?i ngẫu ( II ) đ? ?i ngẫu (II) có dạng: , m g(y) = b y i ? ?1 i i m a y i ? ?1 ij i Min (Max) (1. 14) () c j (j = 1, m ) yi ≥ (i = 1, m ) Ký hiệu toán ( II ) Do đặc ? ?i? ??m cấu trúc hai toán,