Chuyên đề hình học 7

CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC Bài 1: Cho Tam giác ABC nhọn, AH đường cao, phía ngồi tam giác vẽ  ABE vuông cân B  ACF vuông cân C, Trên tia đối tia AH, lấy điểm I cho AI=BC CMR: a,  ABI=  BEC b, BI = CE BI vng góc với CE c, Ba đường thẳng AH, CE, BF cắt điểm Bài làm : I a, Ta có : ( IAB = 1800 − BAH = 1800 − 900 − ABC ) = 900 + ABC = EBC Và AB = BE , AI = BC = ABI = BEC (c.g.c) b, Theo câu a ta có : F ABI = BEC = BI = EC, ECB = BIA A hay ECB = BIH , Gọi M giao điểm của CE BI, Ta có : MBC + MCB = BIH + IBH = 900 => CE ⊥ BI c, Chứng minh tương tự: BF ⊥ AC , Trong BIC có AH, CE,BF đường cao Nên đồng quy điểm E M B C H Bài 2: Cho  ABC có ba góc nhọn, trung tuyến AM, nửa mặt phẳng chứa điểm C bờ đường thẳng AB, vẽ AE vng góc với AB AE=AB, nửa mặt phẳng bờ AC chứa điểm B vẽ AD vng góc với AC AD=AC a, CMR: BD=CE b, Trên tia đối tia MA lấy điểm N cho MN=MA, CMR :  ADE=  CAN AD2 + IE =1 c, Gọi I giao DE AM, CMR: A DI + AE a, Chứng minh ABD = AEC ( c.g.c ) => BD=EC b, Chứng minh CMN = BMA( c.g.c ) Bài làm: E I D =>CN=AB ABC = NCM , có: DAE = DAC + BAE − BAC = 900 + 900 − BAC = 1800 − BAC (1) Và ACN = ACM + MCN = ACB + ABC = 1800 − BAC (2) Từ (1) (2) ta có: DAE = ACN CM : ADE = CAN ( c.g.c ) B C M N c, ADE = CAN ( cmt ) = ADE = CAN mà DAN + CAN = 900 = DAN + ADE = 900 Hay DAI + ADI = 900 = AI ⊥ DE Áp dụng định lý py-ta-go cho AID AIE có: AD2 + IE AD2 − DI = AE − EI = AD2 + EI = AE + DI = =1 DI + AE GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức Bài 3: Cho  ABC, trung tuyến AM, vẽ tam giác các tam giác vuông cân A  ABD  ACE a, Trên tia đối tia MA lấy điểm F cho MF=AM, CMR: ABF = DAE b, CMR: DE = AM Bài làm: E a, Cm: AMC = FMB ( c.g.c ) = CAM = BFM = AC / / BF Do đó: ABF + BAC = 1800 (1) Và DAE + BAC = 1800 , DAB + EAC = 1800 Từ (1) (2) ta có: ABF = DAE D (2) A b, Chứng minh: ABF = DAE ( c.g.c ) = AF = CE ta có: AF = AE = DE = AM B C M Bài 4: Cho  ABC có A  1200 , Dừng bên ngồi các tam giác ABD, ACE F a, Gọi giao điểm BE CD, Tính BMC b, CMR: MA+MB=MD c, CMR: AMC = BMC Bài làm : E a, Ta có : ADC = ABE ( c.g.c ) = ADC = ABE Gọi F giao điểm AB CD Xét ADF BMF có : A D D = B, AFD = BFM = BMF = FAD = BMF = 600 P => BMC = 1200 F M b, Trên tia MD lấy điểm P cho BM=MP => BMP đều=> BP = BM , MBP = 600 B C Kết hợp với ABD = 600 = MBA = PBD = PDB = MBA ( c.g.c ) => AM = DP => AM + MB = DP + PM = DM c, Từ PBD = MBA = AMB = DPB , mà BPD = 1200 = BMA = 1200 => AMC = 1200 = AMC = BMC GV: Ngơ Thế Hồng _ THCS Hợp Đức Bài 5: Cho  ABC nhọn, nửa mp bờ AB khơng chứa C, dựng đoạn thẳng AD vng góc với AB AD= AB, nửa mp bờ AC không chứa B, dừng AE vng góc AC AE=AC, vẽ AH vng góc với BC, đường thẳng HA cắt DE K, CMR: K trung điểm DE Bài làm : Trên AK lấy điểm H cho AH=BC Ta có : H KAE = ACH Vì phụ với góc HAC Nên EHA = ABC ( c.g.c ) E K = AB = HE ( Hai cạnh tương ứng) D Và HEA = BAC , A mà : BAC + DAE = 1800 = HEA + DAE = 1800 Do : AD//HE Khi : KAD = KHE ( g.c.g ) = KD = KE B C H Bài 6: Cho  ABC có góc A nhọn, phía ngồi tam giác ABC vẽ  BAD vng cân A  CAE vuông cân A, CMR: a, DC=BE DC vng góc với BE b, BD + CE = BC + DE c, Đường thẳng qua A vng góc với DE cắt BC K, CMR: K trung điểm BC a, ABE = ADC =>DC=BE Tự chứng minh DC ⊥ BE Bài làm: b, ta có: CE = ME + MC = DB = MD + MB DE = MD + ME = BC = MB + MC => BD + CE = ( MD + MB ) + ( ME + MC ) E Q D A => BC + DE = ( MB + MC ) + ( MD + ME ) M => BD + CE = BC + DE c, Trên AC lấy điểm P cho AP=DE, Ta cm: ADE = CPA => CP = AD = CP = AB, Chứng minh : P = BAK = ABK = PCK => CPK = BAK = BK = KC B C K P GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức Bài 7: Cho  ABC có A  900 , vẽ phía ngồi tam giác hai đoạn thẳng AD vng góc bằng AB, AE vng góc bằng AC, CMR: DC=BE DC vng góc BE D Bài làm: Ta có: E EAB = A1 + A2 = A2 + A3 = CAD => AEB = ACD ( c.g.c ) =>BE=CD A Gọi I giao CD với AB, K giao CD với BE Từ AEB = ACD ( c.g.c ) = D1 = B1 I K mà D1 + I1 = B1 + I = 900 => IK ⊥ KB = CD ⊥ BE B C Bài 8: Cho  ABC có A  900 , vẽ phía ngồi tam giác hai đoạn thẳng AD vng góc bằng AB, AE vng góc bằng AC, Gọi M trung điểm DE, kẻ MA, CMR: MA vuông góc với BC Bài làm: F Gọi H giao điểm AM BC Trên AM lấy điểm F cho MA= MF AME = FMD ( c.g.c ) = AE = DF D M =>DF//AE=> FDA + DAE = 1800 Mà: DAE + BAC = 1800 = FDA = BAC E = FDA = CAB ( c.g.c ) = DAM = ABC A Mà DAM + HAB = 900 = ABH + HAB = 900 => AHB vuông H C B H Bài 9: Cho  ABC có A  900 , vẽ phía ngồi tam giác hai đoạn thẳng AD vng góc bằng AB, AE vng góc bằng AC, Gọi H chân đường vng góc kẻ từ A đến BC, CMR: HA qua trung điểm DE Bài làm: D R Kẻ DR ⊥ AM , EQ ⊥ AM Chứng minh EQA = AHC = AH = EQ (1) M E Chứng minh DRA = AHB = AH = DR (2) Q Từ (1) (2) suy EQ=RD => EQM = DRM = ME = MD (đpcm) A C GV: Ngơ Thế Hồng _ THCS Hợp Đức H B Bài 10: Cho  ABC có A  900 , vẽ phía ngồi tam giác hai đoạn thẳng AD vng góc bằng AB, AE vng góc bằng AC, Gọi H trung điểm BC, CMR: HA vng góc với DE Bài làm: D Trên AH lấy N cho AH=HN => AHC = NHB ( c.g.c ) = BN = AC = AE ta có: EAD + CAB = 1800 , ABN + CAB = 1800 M E => EAD = NBA => EAD = NBA = N = E = A1 A1 Mà A1 + A2 = 900 = E + A2 = 900 = M = 900 = AM ⊥ ED C B H N Bài 11: Cho  ABC có ba góc nhọn, đường cao AH, miền ngồi tam giác ta vẽ tam giác vuông cân  ABE  ACF nhận A làm đỉnh góc vng, kẻ EM, FN vng góc với AH, (M, N thuộc AH) a, CMR: EM+HC=NH b, EN//FM Bài làm: a, Ta chứng minh  NAF=  HCA (Cạnh huyền góc nhọn) nên FN=AH NA=CH (1) Tương tự ta chứng minh  AHB=  EMA (Cạnh huyền góc nhọn) => AH=ME, F Nên EM+HC=AH+NA=NH( đpcm) b, Từ AH=FN =>ME=FN =>  FNI=  EMI (g.c.g) => IM=IN IF=IE M I N A =>  FIM=  EIN( c.g.c)=> F1 = E1 , lại vị trí so le nên EN//FM C GV: Ngơ Thế Hồng _ THCS Hợp Đức E B H Bài 12: Cho  ABC có góc A  900 , B, C nhọn, đường cao AH, vẽ các điểm D E cho AB trung trực HD, AC trung trực HE, Gọi I, K giao DE với AB, AC a, CMR:  ADE cân A b, Tính số đo AIC, AKB E Bài làm: A K a, Chứng minh AD=AH, AH=AE =>AD=AE=>  ADE cân A b,  IHK có IB tia phân giác góc ngồi KC tia phân giác góc ngồi cắt A Nên AH tia phân giác góc trong, I G1 D J1 hay AH tia phân giác góc IHK = H1 = H Lại có: B C H H1 = H , H1 + H + KHC + CHx = 180 , H + KHC = 90 0 = KHC = CHx => HC tia phân giác góc ngồi  IHK KC tia phân giác góc ngồi  IHK=> IC tia phân giác góc hay I = I = I + I = 900 hay AIC = 900 Chứng minh tương tự AKB = 900 Bài 13: Cho  ABC đường cao AH, vẽ tam giác tam giác vuông cân  ABD,  ACE cân B C a, Qua điểm C vẽ đường thẳng vng góc với BE cắt HA K, CMR : DC ⊥ BK b, đường thẳng Ah, BE CD đồng quy Bài làm: a, Ta có: B1 = K1 ( Cùng phụ với BCK ) K Tương tự ta có : C1 = E ( phụ với C2 ) =>  ECB=  CAK (g.c.g)=> AK=BC Chứng minh tương tự ta có :  DBC=  BAK => C3 = K2 mà : C3 + I1 = K2 = I = 900 => KM ⊥ MI hay DC ⊥ BK E A b,  KBC có ba đường cao nên đồng quy D M I 1 B GV: Ngơ Thế Hồng _ THCS Hợp Đức H C Bài 14: Cho  ABC có A  900 , vẽ phía ngồi tam giác hai đoạn thẳng AD vng góc bằng AB, AE vng góc bằng AC a, CMR: DC=BE DC vng góc BE b, Gọi N trung điểm DE, tia đối tia NA, lấy M cho NA=NM, CMR: AB=ME  ABC =  EMA M c, CMR: MA ⊥ BC E N D A C B H Bài 15: Cho  ABC cân A ba góc góc nhọn a, Về phía ngồi cảu tam giác vẽ  ABE vng cân B, Gọi H trung điểm BC, tia đối tia HA lấy điểm I cho AI=BC, CMR:  ABI=  BEC BI ⊥ CE b, Phân giác ABC, BDC cắt AB BC D M, Phân giác BDA cắt BC N, CMR: BD = MN I HD: Xét hai  AIB  BCE có: AI=BC(gt) BE=BA(gt) A IAB góc ngồi  ABH nên: IAB = ABH + AHB = ABH = 900 D E Ta có: EBC = EBA + ABC = ABC = 900 , Do đó: IAB = EBC Do đó:  ABI=  BEC(c.g.c) F C B H M Do  ABI=  BEC(c.g.c) nên AIB = BCE Trong  IHB vng H có AIB + IBH = 900 đó: BCE + IBH = 900 CE vng góc với BI b, Do tính chất đường phân giác ta có: DM ⊥ DN Gọi F trung điểm MN, ta có: FM=FD=FN  FDM cân F nên FMD = MDF FMD = MBD + BDM (Góc  ) = MBD + CDM => MBD = CDF (1) ta có: MBD = CDF + CFD (2) Do  ABC cân A nên MCD = 2MBD (3) Từ (1), (2) (3) suy ra: MBD = DFC hay  DBF cân D, đó: BD = DF = MN GV: Ngơ Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức N Bài 16: Cho  ABC Vẽ phía ngồi tam giác các  ABM  CAN vuông cân A, Gọi D, E, F trung điểm Mb, BC CN, CMR: a, BN=CM N b, BN vuông góc với CM c,  DEF tam giác vng cân M A F I D B C E Bài 17: Cho  ABC có đường cao AH, nửa mp bờ BC có chứa điểm A, lấy hai điểm D E cho  ABD  ACE vuông cân B C, tia đối tia AH lấy điểm K cho AK=BC, CMR: a,  ABK=  BDC K b, CD ⊥ BK BE ⊥ CK c, Ba đường thẳng AH, BE CD đồng quy E A N D M B C H Bài 18: Cho  ABC, vẽ phía tam giác  ABM  ACN vng cân A, gọi D, E, F trung điểm cảu MB, BC, CN, CMR: N a, BN=CM b, BN vng góc với CM c,  DEF tam giác vuông cân M A F D B GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức E C Bài 19:  ABC vuông A, đường cao AH, trung tuyến AM, tia đối tia MA lấy điểm D Sao cho DM=MA, tia đối CD lấy I cho CI=CA, Qua I vẽ đường thẳng song song với AC, cắt AH E, CMR : AE =BC Bài làm: E Đường thẳng AB cắt EI F, ABM = DCM , vì: F AM=DM(gt), MB=MC(gt) AMB = DMC (đ2) => BAM = CDM = FB / / ID = ID ⊥ AC FAI = CIA (so le) (1) I (2) IE / / AC = FAI = CIA Từ (1) (2) => CIA = FIA có AI chung => IC = AC = AF (3) A Và EFA = 90 (4) Mặt khác : EAF = BAH (đ ) M (5) BAH = ACB ( phụ ABC ) => EAF = ACB C B H Từ (3),(4) (5) ta có : AFE = CAB = AE = BC D Bài 20: Cho  ABC đều, tam giác lấy điểm M cho MB=MC BMC = 900 a, CMR:  AMB=  AMC b,  BMC lấy điểm E cho EBC = ECM = 300 , CMR:  MCE cân c, Giả sử điểm M nằm tam giác ABC cho MA:MB:MC=3:4:5, Tính AMB Bài làm: a, AMB = AMC ( c.c.c ) A b, Từ câu a suy ra: BAM = CAM = 30 => CAM = EBC (1) Do MBC vuông cân nên MBC = 450 , ECB = 150 nên ECB = 15 = ECB = MCA (2) Lại có: AC=BC nên ACM = BCE ( c.g.c) N M => CE = CM , hay MCE cân C c, Vẽ MBN đều, Đặt MA=3a, MB=4a MC=5a => MN=BN=4a Ta : ABN = CBM ( c.g.c ) = AN = CM = 5a Xét AMN có AM=3a, AN=5a, MN=4a nên AMN vuông M, mà BMN = 600 = AMB = 1500 GV: Ngơ Thế Hồng _ THCS Hợp Đức C B Bài 21: Cho  ABC, M trung điểm BC, tia đối tia MA lấy điểm E cho ME=MA CMR: a, AC=EB AC//BE b, Gọi I điểm AC, K điểm EB cho AI=EK, CMR: I, M, K thẳng hàng c, Từ E kẻ EH vng góc với BC , biết HBE = 500 , MEB = 250 , Tính HEM , BME Bài làm: A a, AMC = EMB có AM=EM(gt)=> AMC = EMB (đ ) BM=MC(gt) nên AMC = EMB ( c.g.c ) =>AC=EB I Vì AMC = EMB = MAC = MEB = AC / / BE b, Xét AMI EMK có AM=EM(gt) MAI = MEK , AI = EK ( gt ) = AMI = EMK (c.g.c) B M H C => AMI = EMK , mà AMI + IME = 1800 = EMK + IME = 1800 Vạy I, M, K thẳng hàng ( ) c, Trong BHE H = 900 , HBE = 500 = HBE = 900 − HBE = 400 K => HEM = HEB − MEB = 400 − 250 = 150 BME góc ngồi đỉnh M HEM nên BME = HEM + MHE = 150 + 900 = 1050 E Bài 22: Cho  ABC cân A, cạnh BC lấy hai điểm M N cho BM=MN=NC, Gọi H trung điểm BC a, CMR: AM=AN AH vng góc với BC A b, Tính độ dài AM AB=5cm, BC=6cm c, CM: MAN  BAM = CAN Bài làm: a, Cm: ABM = ACN = AM = AN => AHB = AHC = 900 B M H C N b, Tính AH = AB − BH = 16 = AH = Tính AM = AH + MH = 17 = AM = 17 c, Trên AM lấy điểm K cho AM=MK => AMN = KMB ( c.g.c ) K => MAN = BKM AN=AM=BK Do BA>AM=>BA>BK=> BKA  BAK = MAN  BAM = CAN GV: Ngơ Thế Hồng _ THCS Hợp Đức 10 Bài 108: Cho  ABC vuông cân A, trung tuyến AM Kẻ đường thẳng d qua A cho B C nằm phía d, kẻ BH CK vng góc với d (H K thuộc d) a, CM: AH=CK b, CM:  MHK vuông cân c, Gọi P giao điểm AB MH, Q giao điểm AC MK, CM: PQ// d K A H Q d P B C M Bài 109: Cho  ABC vuông A, có AB=AC, qua A kẻ đường thẳng xy cho B C nằm phía đường thẳng xy, vẽ BD ⊥ xy D, CE ⊥ xy E a, CMR:  ABD=  ACE b, CM: DE=BD+CE E A D x B C Bài 110: Cho  ABC có A = 600 , tia phân giác góc B cắt AC D, tia pân giác góc C cắt AB E, các tia phân giác cắt I, CMR: ID=IE Bài làm: B Kẻ IH tia phân giác BIC ta chứng minh : BIC = A = 1200 H 0 0 E => BIH = 60 = BIE = 180 − BIC = 60 = CID = 60 Xét BIE BIH có : I B1 = B2 , I1 = I Bi cạnh chung =>IE=IH C A Chưng minh tương tự: IH=ID nên IE=ID D GV: Ngơ Thế Hồng _ THCS Hợp Đức 47 y Bài 111: Cho  ABC có tia phân giác góc ABC cắt cạnh AC D, tia phân giác ACB cắt cạnh AB E, Tính số đo góc A biết BE+CD=BC A Trên BC lấy điểm I cho BI =BE Do BE+CD=BC nên IC=DC D E Ta có:  EOB=  IOB(c-g-c)=> EOB = IOB O Và  DOC =  IOC (c-g-c)=> DOC = IOC Mà EOB = DOC (đ2)=> EOB = IOB = DOC = IOC 1800 = 600 = BOC = 1200 Vậy : IOB = DOC = IOC = B C I Tính góc A = 600 Bài 112: Cho  ABC cân A có A = 1000 , M điểm nằm tam giác cho MBC = 100 , MCB = 200 , CA lấy điểm E cho CE =CB a, CMR:  MCB =  MCE b, Chứng minh  EMB tam giác E c, Tính AMB A M 20 10 B C Bài 113: Cho  ABC vng A, vẽ AH vng góc với BC H, Tia phân giác BAH cắt Bh D, CMR: CAD = CDA A B GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức D H C 48 Bài 114: Cho  ABC có BAC = 750 , ABC = 350 , phân giác BAC cắt BC D, đường thẳng qua A vng góc với AD cắt BC E, Gọi M trung điểm DE, CMR: a,  ACM tam giác cân AD + AE b, AB  A c, Chu vi  ABC bằng độ dài đoạn thẳng BE E M D 35 C B Bài 115: Cho  ABC cân A có A = 300 , M điểm nằm tam giác cho ABM = ACM = 150 , CMR: a,  MBC b, AM phân giác BAC A c, M giao điểm đường trung trực  ABC M B C Bài 116: Cho  ABC vuông A, cạnh CB lấy điểm D cho CD=CA, tia phân giác C cắt AB E a, CMR:  ACE=  DCE, So sánh FA ED A b, CMR: BED = ACB tia phân giác BED ⊥ EC E 1 B C D x GV: Ngơ Thế Hồng _ THCS Hợp Đức 49 Bài 117: Cho  ABC vuông A, vẽ AH ⊥ BC , tia phân giác HAC cắt HC D, E điểm cạnh AB cho BE=BH CMR: EH//AD A E B H C D Bài 118: Cho  ABC (AB MD + ME = BF + BH Mà BH không đổi nên MD+ME không đổi H F D Q B P c, Vẽ DP ⊥ BC, KQ ⊥ BC , Gọi I giao điểm DK BC Chứng minh BD=FM=EH=CK Chứng minh  BDP=  CKQ(ch-gn)=>DP=KQ M I C K Chứng minh IDP = IKQ = DPI = KQI (g.c.g)=>ID=IK.(dpcm) Bài 126: Cho  ABC, gọi G, H, O trọng tâm, trực tâm giao ba đường trung trực ba cạnh tam giác, chứng minh rằng: a, Độ dài AH bằng lần khoảng cách từ O đến BC b, Ba điểm H, G, O thẳng hàng GH=2GO A H G O B GV: Ngơ Thế Hồng _ THCS Hợp Đức C 53 Bài 127: Cho  ABC cân A, A  900 , tia đối tia AB, lấy D cho AD=AB, kẻ đường cao AF  ACD, AC cắt BF G a, CMR: F trung điểm DC G trọng tâm  BDC, CMR: BD=6 AG b, Kẻ CH ⊥ BD, DK ⊥ CA , chứng minh các đoạn thẳng AF, CH DK đồng quy c, KF cắt AD I, biết: BAC = 45 , So sánh các đoạn thẳng: CH, HI ID D K I A F G H C B Bài 128: Cho  ABC vuông A, Đường cao AH, gọi E, I, K theo thứ tự giao điểm các đường phân giác  ABC,  ABH,  ACH, CMR: a, ABH = CAH A b, BI ⊥ AK E K I B C H Bài 129: Cho  ABC cân A, Trung tuyến BB’ CC’ cắt M, Kẻ BH ⊥ CC ', CK ⊥ BB ' Gọi giao điểm tia BH CK D, CMR: a,  BHC’=  CKB’ A b,  HMK cân HK//BC c, Trọng tâm  ABC đồng thời trực tâm  BDC d, Tìm điều kiện  ABC để  DHK D C' B' K H M B GV: Ngơ Thế Hồng _ THCS Hợp Đức C 54 Bài 130: Cho  ABC vuông A, có ABC = 750 , cạnh AC lấy điểm E P cho ABE = EBP = PBC , Gọi I chân đường vuông góc hạ từ C xuống đường thẳng BP, đường thẳng CI cắt BE F a, CMR:  ECF cân b, Trên tia đối tia EB lấy điểm K cho EK=BC, tính số đo các góc  BCK c, Gọi H hình chiếu vng góc vủa C BK, D trung điểm đoạn CH, L hình chiếu vng góc H BD, CM KL vng góc với LC K F H I A E D P L B C Bài 131: Cho  ABC điểm M bất kỳ nằm tam giác: CMR: 2(MA+MB+MC)>AB+AC+BC Bài làm: Ta có: MBC có: MB+MC>BC A Tương tự : MC+MA>AC, MA+MB>AB Cộng theo vế ta được: ( MA + MB + MC )  AB + AC + BC M C B Bài 132: Cho  ABC, AN, BP CQ ba đường trung tuyến, CMR: ( AN + BP + CQ )  AB + AC + BC Bài làm: Gọi M trọng tâm tam giác, Theo 21 ta có: A (GA + GB + GC )  AB + AC + BC Mà, GA = 2 AN ,GB = BP, GC = CQ 3 2 2  Thay vào ta có:  AN + BP + CQ   AB + AC + BC 3 3  = ( AN + BP + CQ )  AB + AC + BC GV: Ngơ Thế Hồng _ THCS Hợp Đức G B C 55 Bài 133: Nếu M điểm nằm tam giác ABC thì: ( AB + BC + CA)  MA + MB + MC  AB + BC + CA Bài làm : A AMB = MA + MB  AB AMC = MA + MC  AC BMC = MB + MC  BC Cộng theo vế ta được: 2(MA+MB+MC)>AB+AC+BC => ( AB + AC + BC )  MA + MB + MC Mặt khác : MA