GV: Đỗ Văn Kỷ: sđt 0382106289 Facbook: Gmail: dokythanuyen@gmai.com doky07031977@gmail.com KIẾN THỨC TRỌNG TÂM: A Định nghĩa: số tự nhiên a chia hết cho stn q≠0 tự nhiên b≠0 tồn số cho a=b.q +) Khi a=bq ta nói a a bội b, b ước a +) Kí hiệu a Mb Các tính chất suy luận trực tiếp từ định nghĩa: 0Ma∀a ≠ a Ma∀a ≠ (1) (2) ka Ma∀a ≠ (dấu hiệu chia hết tích.) (3) Các dấu hiệu đặc biệt: a Dấu hiệu chia hết tổng: a1 Mm a Mm ⇒ ( a1 ± a2 ± an ) Mm M an Mm (4) +) Chú ý: Điều ngược lại chưa Chứng minh: Do a1 Mm ⇒ a1 = k1m , a2 Mm ⇒ a2 = k2 m ( a1 ± a2 ± an ) = ( k1 ± k2 ± ± kn ) m = kmMm ,… an Mm ⇒ an = kn m (Dấu hiệu 3) 3.2 Các dấu hiệu chia hết cho 2, cho3, cho 4, cho 5, cho6, cho 7, cho 8, … 3.3 Dấu hiệu nâng cao: a) b) a Mm ⇒ a n Mm (5) a Mm ⇒ abMmn b Mn Chứng minh: (6) a Mm ⇒ a n Mm (5) hoàn toàn suy luận từ (3) GV: Đỗ Văn Kỷ: sđt 0382106289 Facbook: Gmail: dokythanuyen@gmai.com doky07031977@gmail.com Chứng minh : Ta có a Mm ⇒ a = km ab Mmn Vậy ta có c) a Mm ⇒ ab Mmn b Mn , ta dựa vào tính chất (3): b Mn ⇒ b = ln , ab =(kl)mn=h(mn) (đpcm) a Mm ⇒ a MBCNN (m, n) a Mn (7) Chứng minh: a Mm ⇒ a ∈ B(m) ⇒ a ∈ BC (m, n) ⇒ a MBCNN(m, n) a Mn ⇒ a ∈ B (n) Do: • HQ: a Mm a Mn ⇒ a Mmn (m, n) = (8) Chứng minh: Theo tính chất (7): a Mm ⇒ a MBCNN (m, n) a Mn (*) Mặt khác: (m, n)=1(gt) nên BCNN(m,n)=mn (**) Từ (*) (**) ta có đpcm d) aMp aMp ⇒ ntố bMp pnguyê * HQ: (9) an Mp ⇒ aMp n tố pnguyê (10) e) Nếu số a chia hết cho số đơi ngun tố a chia hết cho tích chúng 3.4 Các bổ đề cần lưu ý: GV: Đỗ Văn Kỷ: sđt 0382106289 Facbook: Gmail: dokythanuyen@gmai.com doky07031977@gmail.com Bổ đề 1: Tích n số nguyên liên tiếp chia hết cho n Bổ đề 2: Tích ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 2, cho 3, chia hết cho Bổ đề 3: Tích năm số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 3, cho 5, cho chia hết cho 120 Bổ đề 4: Hai số nguyên liên chẵn liên tiếp có số chia hết cho Chứng minh Bổ đề 2: Tích ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 2, cho 3, chia hết cho Giả sử ta có ba số ngun liên tiếp tích • ( a − 1) a( a + 1) M2 +) Với +) Với a = 2kM2 a = 2k + nên a-1 = a = 2k 2kM2 nên • Từ hai kết ta có , tức Một số kiến thức khác cần lưu ý aM2.3 4.1 HĐT: = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc a2 + b2 = ( a + b) − 2ab ( a = 2k + ( a − 1) a( a+ 1) M2 Tương tự xét phép chia số a cho ( a + b + c) ( a − 1) a( a + 1) M2 • , ta phải chứng minh Xét phép chia số a cho 2, ta có a = 2k ( a − 1) ; a; ( a + 1) ) an − bn = ( a − b) an−1 + an−2b + + bn−1 aM6 (do (2,6) =1) GV: Đỗ Văn Kỷ: sđt 0382106289 Facbook: Gmail: dokythanuyen@gmai.com doky07031977@gmail.com ( ) a2n − b2n = ( a + b) a2n−1 − a2n−2b + − b2n−1 ( ) a2n+1 + b2n+1 = ( a + b) a2n − a2n−1b + a2n−2b2 − + b2n 4.1 Nhị thức Niuton (Newton I.1643-1727) Tổ hợp Chỉnh hợp 4.3 Định lí Bơdu (Bezout 1739-1783) 4.4 Lược đồ Hoocne Horner W G 1786-1837) + Mục đích: Tính hệ số đa thức thương dư phép chia đa thức f(x) cho nhị thức x –a + Chú ý: Trên dơi, ngang nhân, chéo cộng …………….HẾT…………… ... liên tiếp chia hết cho n Bổ đề 2: Tích ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 2, cho 3, chia hết cho Bổ đề 3: Tích năm số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 3, cho 5, cho chia hết cho 120 Bổ đề 4: Hai... 120 Bổ đề 4: Hai số ngun liên chẵn liên tiếp có số chia hết cho Chứng minh Bổ đề 2: Tích ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 2, cho 3, chia hết cho Giả sử ta có ba số nguyên liên tiếp tích •... Nếu số a chia hết cho số đôi nguyên tố a chia hết cho tích chúng 3.4 Các bổ đề cần lưu ý: GV: Đỗ Văn Kỷ: sđt 0382106289 Facbook: Gmail: dokythanuyen@gmai.com doky07031977@gmail.com Bổ đề 1: Tích