NHẬN THẤY SỰ HAM HỌC HỎI CỦA CÁC BẠN HỌC SINH, TÔI ĐÃ TÌM HIỂU VÀ SƯU TẦM ĐƯỢC 20 ĐỀ VÀ ĐÁP ÁN HSG TOÁN 8 NÀY Nó rất hay và tôi mong các bạn học sinh, các thầy cô giáo dành thời gian để nghiên cứu về chuyên đề này
Trường THCS Nguyễn Thái Bình –Tuy An – Phú Yên BDHSG Toán - ĐỀ THI THỬ CẤP HUYỆN MƠN TỐN ( ĐỀ 1) Câu 1: Cho bốn số dương a, b, c, d Chứng minh rằng: 1< a b c d + + + Chứng minh 1 + ≥ 16 b) Áp dụng: Cho ba số dương a, b, c thoả mãn a + b + c =1 Chứng minh ac bc x2 + x + A= x2 + Câu 6: Tìm GTLN GTNN biểu thức: Câu 7: Cho hình bình hành ABCD đường thẳng xy khơng có điểm chung với hình bình hành Gọi AA’, BB’, CC’, DD’ đường vng góc kẻ từ A, B, C, D đến đường thẳng xy Tìm hệ thức liên hệ độ dài AA’, BB’, CC’ DD’ Câu 8: Cho tam giác ABC có G trọng tâm đường thẳng d không cắt cạnh tam giác Từ đỉnh A, B, C trọng tâm G ta kẻ đoạn AA’, BB’, CC’ GG’ vng góc với đường thẳng d Chứng minh hệ thức: AA’ + BB’ +CC’ = 3GG’ Câu 9: Cho tam giác ABC có ba đường cao AA’, BB’, CC’ Gọi H trực tâm tam giác a b HA ' HB ' HC ' + + =1 Chứng minh: AA' BB ' CC ' ; AA ' BB ' CC ' + + ≥9 Chứng minh: HA' HB ' HC ' ; Câu 10: Cho tam giác ABC (AC > AB) Lấy điểm D, E tùy ý theo thứ tự nằm cạnh AB, AC cho BD = CE Gọi K giao điểm đường thẳng DE, BC Cmr: Tỉ số KE : KD không phụ thuộc vào cách chọn điểm D E ………… HẾT………… -Giáo viên: Nguyễn Hồng Khanh Hãy chiến thắng Trang: Trường THCS Nguyễn Thái Bình –Tuy An – Phú Yên BDHSG Toán - ĐỀ THI THỬ CẤP HUYỆN MƠN TỐN ( ĐỀ 2) Câu 1: a) Chứng minh rằng: 21 + 39 chia hết cho 45 n+ n n +1 b Chứng minh rằng: Với số tự nhiên n ta có: + 26.5 + M59 30 M= 21 x5 − x + x3 − x − 3x + x2 + 2x − Câu 2: Cho biểu thức a Rút gọn M b Tìm giá trị x để giá trị biểu thức M Câu 3: Tìm giá trị nguyên x để giá trị biểu thức sau có giá trị số nguyên x3 + x + x + A= 2x + M = ( x − a) ( x − b) + ( x − b) ( x − c ) + ( x − c ) ( x − a ) + x2 Câu 4: Cho biểu thức 1 x = a+ b+ c 2 Tính M theo a, b, c biết ( 2x Câu 5: Giải phương trình: + x − 2016 ) + ( x − 3x − 1000 ) = ( x + x − 2016 ) ( x − 3x − 1000 ) 2 Câu 6: Tìm giá trị biến x để: P= Q= x2 + x + x + 2x + đạt giá trị lớn nhất x + 2x + đạt giá trị nhỏ nhất a) b) Câu 7: Cho hình vuông ABCD M điểm tuỳ ý đường chéo BD Kẻ ME ⊥ AB, MF ⊥ AD a) Chứng minh DE = CF; DE ⊥ CF b) Chứng minh ba đường thẳng DE, BF, CM đồng quy c) Xác định vị trí điểm M BD để diện tích tứ giác AEMF lớn nhất? Câu 8: Cho hình chữ nhật ABCD Kẻ BH ⊥ AC Gọi M trung điểm AH, K trung điểm CD, N trung điểm BH a) Chứng minh tứ giác MNCK hình bình hành; b) Tính góc BMK Câu 9: Cho tam giác ABC Gọi D trung điểm cạnh BC Trên hai cạnh AB AC lấy hai điểm E F.Chứng minh trị lớn nhất? S DEF ≤ S ABC Với vị trí hai điểm E F S DEF đạt giá Câu 10: Cho hình thang cân ABCD có đáy nhỏ AB, đáy lớn CD Qua A kẻ đường thẳng song song với BC cắt đường chéo BD E, qua B kẻ đường thẳng song song với AD cắt đường chéo AC F a) Chứng minh tứ giác DEFC hình thang cân; b) Tính độ dài EF biết AB = 5cm, CD = 10cm -Giáo viên: Nguyễn Hồng Khanh Hãy chiến thắng Trang: Trường THCS Nguyễn Thái Bình –Tuy An – Phú Yên BDHSG Toán - ……………HẾT ………… ĐỀ THI THỬ CẤP HUYỆN MƠN TỐN ( ĐỀ 3) ( x − 1) − 2x2 + x x2 + x R= − + : 3 x − x − x + x − ( ) x + x Câu 1: Cho biểu thức a Tìm điều kiện x để giá trị biểu thức R xác định; b Tìm giá trị x để giá trị R 0; R =1 c Tìm giá trị x để Câu 2: Chứng minh: 10 11 12 a) A = + + chia hết cho b) B = ( 6n + 1) ( n + ) − ( 3n + ) ( 2n − 1) chia hết cho 2, với n ∈ Z c) C = 5n + 15n + 10n chia hết cho 30, với n ∈ Z 2 a + b + c) d) Nếu a = x − yz; b = y − xz; c = z − xy D = ax + by + cz chia hết cho ( e) E = x − x − x + 12 x + bình phương số nguyên, với x ∈ Z F = ( x + x − 1) 2018 + ( x − x + 1) 2018 f) chia hết cho ( 8n 4n 2n n g) G = x + x + chia hết cho x + x + , với n ∈ N Câu 3: a) Tìm GTLN −2 x − 1) A= x−4 ( 2− x−4 ) b) Tìm GTNN biểu thức B= 9x + − x x , với < x < Câu 4: Cho tam giác ABC, trung tuyến AM Đường phân giác góc AMB cắt cạnh AB D, đường phân giác góc AMC cắt cạnh AC E a) Chứng minh DE // BC b) Gọi I giao điểm DE với AM Chứng minh ID = IE µ Câu 5: Cho tam giác vng cân ABC, A = 90 Trên cạnh AB lấy điểm M, kẻ BD ⊥ CM , BD cắt CA E Chứng minh rằng: a) EB.ED = EA.EC; b) BD.BE + CA.CE = BC · c) ADE = 45 Câu 6: Cho hình vng ABCD Gọi E điểm cạnh BC.Qua E kẻ tia Ax vng góc với AE, Ax cắt CD F.Trung tuyến AI tam giác AEF cắt CD K.Đường thẳng kẻ qua E,song song với AB cắt AI G Chứng minh rằng: a) AE = AF tứ giác EGKF hình thoi; b) ∆AKF : ∆CAF , AF = FK FC ; -Giáo viên: Nguyễn Hồng Khanh Hãy ln chiến thắng Trang: Trường THCS Nguyễn Thái Bình –Tuy An – Phú Yên BDHSG Toán - c) Khi E thay đổi BC, chứng minh: EK = BE + DK chu vi tam giác EKC không đổi Câu 7: Cho hai đoạn thẳng AB CD cắt E Các tia phân giác góc ACE DBE · · BAC + BDC · BKC = cắt K Chứng minh rằng: ………… HẾT………… ĐỀ THI THỬ CẤP HUYỆN MƠN TỐN ( ĐỀ ) a +b−c a +c −b b+c −a = = a , b , c c b a Câu 1: Cho ba số khác thỏa mãn đẳng thức: b c a P = + ÷1 + ÷ + ÷ a b c Tính giá trị biểu thức: Câu 2: Cho a1 , a2 , a3 , , a2018 2018 số thực thoả mãn Tính S2018 = a1 + a2 + a3 + + a2017 + a2018 Câu 3: a) Biết a≠ ak = 2k + (k +k) , với k = 1, 2,3, , 2018 −7 5a − b 3b − 2a ,b ≠ P= − 2a − b = Tính giá trị biểu thức 3a + 2b − b) Biết b ≠ ±3a 6a − 15ab + 5b = Tính giá trị biểu thức 2 Q= 2a − b 5b − a + 3a − b 3a + b Câu 4: a) Chứng minh với số thực x, y, z, t ta có bất đẳng thức sau: x2 + y + z + t ≥ x ( y + z + t ) Dấu đẳng thức xảy nào? 4 3 b) Chứng minh với x, y bất kỳ, ta có: x + y ≥ xy + x y Câu 5: Rút gọn: k k +2 k +1 a) M = 90.10 − 10 + 10 , k ∈ N ; b) N = ( 202 + 182 + + 22 ) − ( 192 + 17 + + 12 ) 15 14 13 12 Câu 6: Tính giá trị biểu thức P = x − 2018 x + 2018 x − 2018 x + − 2018 x + 2018 x − 2018 , với x = 2017 Câu 7: Cho hình thang ABCD có AB // CD, AB < CD Gọi O giao điểm hai đường chéo, K giao điểm AD BC Đường thẳng KO cắt AB, CD theo thứ tự M, N Cmr: MA MB = a) ND NC ; c) MA = MB, NC = ND MA MB = b) NC ND Câu 8: Cho hình thang ABCD (AB // CD) AB = 28, CD=70, AD=35, vẽ đường thẳng song song với hai cạnh đáy, cắt AD,BC theo thứ tự E F Tính độ dài EF, biết DE = 10 -Giáo viên: Nguyễn Hồng Khanh Hãy ln chiến thắng Trang: Trường THCS Nguyễn Thái Bình –Tuy An – Phú Yên BDHSG Toán - Câu 9: Cho tam giác ABC, đường trung tuyến AM Gọi I điểm bất kỳ cạnh BC Đường thẳng qua I song song với AC cắt AB K Đường thẳng qua I song song với AB cắt AM, AC theo thứ tự D, E Chứng minh DE =BK Câu 10: Tứ giác ABCD có E, F theo thứ tự trung điểm CD,CB Gọi O giao điểm AE OD = OF DF ; OA = 4OE; Chứng minh ABCD hình bình hành ………… HẾT………… ĐỀ THI THỬ CẤP HUYỆN MƠN TỐN ( ĐỀ 5) Câu 1: Tìm x, y biết : 2 a) x − x + y + y + = x + y ) ( x − xy + y ) = x − y ) ( x + xy + y ) = 16 ( ( b) x2 + 1 + y2 + = x y c) Câu 2: Giải biện luận nghiệm phương trình m x + = x + m theo m Câu 3: Giải phương trình: a) ( x + ) ( x − ) ( x − 10 ) = 72 2 x2 − x+2 x−2 3 + 25 − 20 ÷= ÷ ÷ x −1 x +1 x −1 b) Giải phương trình: Câu 4: Giải phương trình: x + 99 x − x + 99 x − x + 99 x − x + 99 x − x + 99 x − x + 99 x − + + = + + 99 98 97 96 95 94 a) 2− x 1− x x −1 = − 2018 2019 b) 2017 32 B = ( + 1) ( 32 + 1) ( 34 + 1) ( 38 + 1) ( 316 + 1) Câu 5: a) So sánh hai số A = − 20192 − 20182 2019 − 2018 D= 2019 + 2018 20192 + 20182 b) 2 Câu 6: Cho x, y hai số khác nhau, biết x − y = y − x 2 Tính giá trị biểu thức A = x + xy + y − x − y C= Câu 7: Đường thẳng qua trung điểm cạnh đối AB, CD tứ giác ABCD cắt đường IA KB = thẳng AD, BC theo thứ tự I, K Cmr: ID KC Câu 8: Qua M thuộc cạnh BC tam giác ABC vẽ đường thẳng song song với hai cạnh Chúng cắt đường thẳng AB, AC theo thứ tự H, K Cmr: AH AK + a)Tổng AB AC không phụ thuộc vào vị trí điểm M cạnh BC b)Xét trường hợp tương tự M chạy đường thẳng BC không thuộc đoạn thẳng BC -Giáo viên: Nguyễn Hồng Khanh Hãy chiến thắng Trang: Trường THCS Nguyễn Thái Bình –Tuy An – Phú Yên BDHSG Toán - Câu 9: Cho tam giác ABC cạnh a, M điểm bất kỳ tam giác ABC MA + MB + MC > a Chứng minh rằng: Câu 10: Cho hình vng ABCD Trên tia đối CB DC, lấy điểm M, N cho DN = BM Các đường thẳng song song kẻ từ M với AN từ N với AM cắt F Cmr: a Tứ giác ANFM hình vng; b c · · Điểm F nằm tia phân giác MCN ACF = 90 ; Ba điểm B, O, D thẳng hàng tứ giác BOFC hình thang ( O trung điểm AF ) …………… HẾT.………… ĐỀ THI THỬ CẤP HUYỆN MƠN TỐN ( ĐỀ ) 3 2 Câu 1: Cho a + b + c = Chứng minh rằng: a + b + a c + b c − abc = 2 Câu 2: Cho x + y + z = 10 Tính giá trị biểu thức: P = ( xy + yz + zx ) + ( x − yz ) + ( y − xz ) + ( z − xy ) 2 2 Câu 3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 5 a) x + x + ; b) x + x + 8 c) x + x + ; d) x + x + 1 1 + + = Câu 4: Chứng minh ba số a, b, c thỏa mãn điều kiện: a + b + c = 2018 a b c 2018 ba số a, b, c phải có số 2018 Câu 5: Giải phương trình sau: b2 x2 + a = b2 − x x − b ( Phương trình ẩn x ) a) 1 10 + +L + = ( x + 2000 ) ( x + 2001) ( x + 2001) ( x + 2002 ) ( x + 2009 ) ( x + 2010 ) 11 x − a2 x − b) ( 2009 − x ) + ( 2009 − x ) ( x − 2010 ) + ( x − 2010 ) 2 2009 − x ) − ( 2009 − x ) ( x − 2010 ) + ( x − 2010 ) c) ( Câu 6: a) Cmr : = 19 49 ( x − 1) ( x − ) ( x − 3) ( x − ) ≥ −1 + ÷ + ÷ ≥ b) Cho số dương a b thỏa mãn điều kiện a + b = Cmr : a b Câu 7: Cho tam giác ABC vuông cân A, đường trung tuyến BM Lấy điểm D cạnh BC cho BD = 2DC Cmr: BM vng góc với AD Câu 8: Cho tam giác ABC vuông A ( AB < AC ), đường cao AH Trên tia HC lấy HD = HA -Giáo viên: Nguyễn Hồng Khanh Hãy chiến thắng Trang: Trường THCS Nguyễn Thái Bình –Tuy An – Phú Yên BDHSG Toán - Đường vng góc với BC D cắt AC E a Chứng minh : AE = AB ; b Gọi M trung điểm BE Tính ·AHM Câu 9:Cho tam giác ABC vng A, đường cao AH Gọi D E hình chiếu H AB, AC a Chứng minh: BD.CE.BC = AH ; b Giả sử diện tích tam giác ABC gấp đơi diện tích tứ giác ADHE, chứng tỏ tam giác ABC vuông cân Câu 10: Cho tam giác ABC nhọn, có trực tâm H, cạnh BH lấy điểm M đoạn CH lấy · · điểm N cho AMC = ANB = 90 Chứng minh rằng: AM = AN …………… HẾT ………… ĐỀ THI THỬ CẤP HUYỆN MƠN TỐN ( ĐỀ 7) Câu 1: Chứng minh rằng: 95 94 93 31 30 29 a) Đa thức M = x + x + x + + x + x + chia hết cho đa thức N = x + x + x + + x + x + b) Đa thức P ( x ) = 1985 x3 x2 x + 1979 + có giá trị nguyên với x số nguyên 3 Câu 2: a)Xác định số hữu tỉ k để đa thức A = x + y + z + kxyz chia hết cho đa thức x + y + z b) Tìm đa thức bậc ba dư P ( x) P ( −1) = −18 P= , biết chia P ( x) cho ( x − 1) , cho ( x − ) , cho ( x − 3) x +1 x2 + x − x2 : + + ÷ x2 − 2x + x x −1 x2 − x Câu 3: Cho biểu a) Tìm ĐKXĐ rút gọn P P= −1 b) Tìm x để c) Tìm giá trị nhỏ nhất P x > Câu 4: Rút gọn phân thức: A= a) (x B= x + y + z − 3xyz ( x − y) + ( y − z ) + ( z − x) 2 ; Câu 5: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: b) − y2 ) + ( y2 − z ) + ( z2 − x2 ) ( x − y) 3 + ( y − z ) + ( z − x) 3 ( a − x ) y − ( a − y ) x3 + ( x − y ) a Câu 6: Chứng minh rằng: -Giáo viên: Nguyễn Hồng Khanh Hãy chiến thắng Trang: Trường THCS Nguyễn Thái Bình –Tuy An – Phú Yên BDHSG Toán a b2 c c b a + 2+ 2≥ + + a b a c a) b c b) x − x + x − x + > Câu 7: Cho tam giác ABC vng A Vẽ phía ngồi tam giác tam giác ABD ACF vuông cân B C Gọi H giao điểm AB CD, K giao điểm AC BF Cmr: a) AH =AK ; b) AH = BH CK Câu 8: Cho tam giác ABC, đường thẳng cắt cạnh BC, AC theo thứ tự D E cắt cạnh BA F Vẽ hình bình hành BDEH Đường thẳng qua F song song với BC cắt AH I Cmr: FI = DC Câu 9: Cho tam giác ABC, đường phân giác AD đường trung tuyến AM Qua điểm I thuộc AD vẽ IH vng góc với AB, IK vng góc với AC Gọi N giao điểm HK AM Cmr : NI vng góc với BC Câu 10: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, trực tâm H Một đường thẳng qua H cắt cạnh AB, AC theo thứ tự P Q cho HP = HQ Gọi M trung điểm BC Cmr: HM vng góc với PQ …………… HẾT…………… ĐỀ THI THỬ CẤP HUYỆN MƠN TỐN ( ĐỀ 8) A = ( x + 1) + ( x + 1) + 21( x + 1) − x − 31 Câu 1: Chứng tỏ đa thức: giá trị biến x Câu 2: a) Rút gọn phân thức: A= không âm với x 40 + x 30 + x 20 + x10 + x 45 + x 40 + x35 + ×××+ x5 + B= x24 + x20 + x16 + + x4 + x26 + x24 + x22 + + x2 + 1 1 ( a + b + c ) + + ÷ = a b c Câu 3: Cho số a, b, c khác 0, thoả mãn 23 23 5 2019 2019 ( a +b ) ( a +b ) ( a +b ) b) Rút gọn phân thức: Tính giá trị biểu thức Câu 4: Giải phương trình sau: 1 2017 2017 2016 1 + + + ×××+ = + + ììì+ + + + ììì+ ữ.x = x ( x + 1) 2019 2018 2016 2017 ; b) 10 a) ( 1.2 + 2.3 + 3.4 + ×××+ 98.99 ) x = 2018 59 − x 57 − x 55 − x 53 − x 51 − x + + + + = −5 43 45 47 49 323400 c) 41 ; d) 1 1 + + + = e) x + x + x + x + 12 x + x + 20 x + 11x + 30 Câu 5: Cho x, y, z số dương thỏa mãn Chứng minh rằng: x = y = z ( x + y ) ( y + z ) ( z + x ) = 8xyz -Giáo viên: Nguyễn Hồng Khanh Hãy ln chiến thắng Trang: Trường THCS Nguyễn Thái Bình –Tuy An – Phú n BDHSG Tốn 2 2 2 Câu 6: Phân tích đa thức thành nhân tử: 2a b + 4ab − a c + ac − 4b c + 2bc − 4abc Câu 7: Hình chữ nhật ABCD có M, N theo thứ tự trung điểm AD BC Gọi E điểm bất kỳ thuộc tia đối tia DC, K giao điểm EM AC Cmr: MN tia phân giác góc KNE Câu 8: Cho hình thang ABCD, đáy lớn AB Từ đỉnh D kẻ đường thẳng song song với cạnh BC, cắt đường chéo AC M cắt cạnh đáy AB K Từ C kẻ đường thẳng song song với AD, cắt đường chéo BD I cắt cạnh AB F Qua F kẻ đường thẳng song song với AC, cắt cạnh bên BC P Cmr: a) MP / / AB b) Ba điểm M, I, P thẳng hàng c) DC = AB.MI Câu 9: Một đường thẳng qua đỉnh A hình bình hành ABCD cắt đường chéo BD E cắt đường thẳng BC, DC theo thứ tự K, G CMR: a) AE = EK EG ; 1 = + b) AE AK AG c) Khi đường thẳng thay đổi qua A tích BK.DG có giá trị khơng đổi Câu 10: Cho tam giác ABC đều, điểm D, E theo thứ tự thuộc cạnh AC, AB cho AD = BE Gọi M điểm bất kì thuộc cạnh BC Vẽ MH // CD, MK //BE (H ∈ AB; K ∈ AC) Cmr: Khi M chuyển động cạnh BC tổng MH + MK có giá trị khơng đổi …………… HẾT .…………… ĐỀ THI THỬ CẤP HUYỆN MƠN TỐN ( ĐỀ 9) Câu 1: Phân tích thành nhân tử: a + b + c) a) ( + ( a − b + c ) − 4b 2 ; a ( b − c ) − b ( c − a ) + c ( a − b2 ) b) (a c) 2 2 + b2 ) + ( c − a ) − ( b2 + c ) 3 Câu 2: Thực phép tính: A= a) + 2.36 + 36 53 − − 23.36 − 23.53 ( 93 − 125 ) 183 − 103 b) B= x y + xy + xy x + y + x y + xy + x + y 3 3 a2 b2 c2 a b c + + =0 + + =1 Câu 3: Cho b + c c + a a + b Chứng minh rằng: b + c c + a a + b 1 1 1 + + =2 + + =2 Câu 4: Chứng minh a b c a + b + c = abc a b c Câu 5: a) Tìm số có hai chữ sơ mà bình phương lập phương tổng chữ số b)Tìm ba số tự nhiên liên tiếp biết cộng ba tích, tích hai ba số 26 c) Tìm bốn số nguyên dương liên tiếp, biết tích chúng 120 -Giáo viên: Nguyễn Hồng Khanh Hãy ln chiến thắng Trang: Trường THCS Nguyễn Thái Bình –Tuy An – Phú Yên BDHSG Toán a + b2 + c + ≥ a + b + c Câu 6: Cmr: a) 4 b) a + b + ≥ 4ab Câu 7: Cho tam giác ABC vng A có đường phân giác BD cắt đường cao AH I a Chứng minh: tam giác ADI cân b Chứng minh: AD.BD = BI DC c Từ D kẻ DK vng góc BC K Tứ giác ADKI hình gì? Chứng minh điều ấy Câu 8: Cho tam giác ABC vuông cân A, điểm D, E, F theo thứ tự chia cạnh AB, BC, CA theo tỉ số Cmr: AE = DF; AE ⊥ DF AB = CD Câu 9: Cho hình thang ABCD (AB//CD) có diện tích S, Gọi E,F theo thứ tự trung điểm AB,CD Gọi M giao điểm AF DE, N giao điểm BF CE Tính diện tích tứ giác EMFN theo S Câu 10: Cho hình bình hành ABCD, M trung điểm BC Điểm N cạnh CD cho CN =2 ND Gọi giao điểm AM, AN với BD P, Q Cmr: S APQ = S AMN ………… HẾT………… ĐỀ THI THỬ CẤP HUYỆN MƠN TỐN ( ĐỀ 10) Câu 1: Tìm GTNN của: a) A= x+ 16 + 2007, x > x−3 ; b) B= x − x + 2018 ,x ≠ 2018 x ; 5n − 11 4n − 13 số tự nhiên; Câu 2: a) Xác định n ∈ N để b) Chứng minh rằng: B = n + 6n − 19n − 24 chia hết cho 1 S ( n) = + + + 2.5 5.8 ( 3n − 1) ( 3n + ) c) C= x + 2000 ,x >0 x A= c) Tính tổng Câu 3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: (x a) x c) ( + x ) − ( x + x ) − 15 + x + 1) ( x + 3x + ) − ; ; (x b) x d) ( 2 + x ) + x + 18 x + 20 ; + x + ) ( x + 3) ( x + ) + 15 f k = k + 2k + 15 g k = k +3 Câu 4: Tìm tất số tự nhiên k để đa thức ( ) chia hết cho ( ) Câu 5: Cho hai số x y thoả mãn điều kiện: x + y = 2 Tìm giá trị nhỏ nhất biểu thức M = 3x + y ; b Tìm giá trị lớn nhất biểu thức N = xy a -Giáo viên: Nguyễn Hồng Khanh Hãy chiến thắng Trang: 10 Trường THCS Nguyễn Thái Bình –Tuy An – Phú n BDHSG Tốn d = UCLN ( 9n + 2,12n + 3) d ∈ N * Gọi , ( 9n + ) Md ( 36n + ) Md ⇒ ⇒ ( 36n + ) − ( 36n + ) Md ⇒ 1Md ⇔ d = 12n + 3) Md 36n + ) Md ( ( Khi đó, 12n + ( n ∈ N ) 9n + Vậy, hai số nguyên tố c) Chứng minh: số có dạng n − n + 2n + 2n với n ∈ N n > khơng phải số phương Ta có n − n + 2n3 + 2n = n ( n − n + 2n + ) = n n ( n − 1) ( n + 1) + ( n + 1) = n ( n + 1) ( n3 − n + ) = n2 ( n + 1) ( n3 + 1) − ( n − 1) = n ( n + 1) (n − 2n + ) n − 2n + = ( n − 1) + > ( n − 1) n − 2n + = n − ( n − 1) < n Với n ∈ N n > n − 1) Suy ( < n − 2n + < n 2 với n ∈ N n > n − 2n + khơng phải số phương Vậy, số có dạng n − n + 2n + 2n với n ∈ N n > khơng phải số phương Câu a) Chứng minh rằng: A = ( 2n − 1) ( n + 1) chia hết cho với số tự nhiên n n n Theo giả thiết n số tự nhiên nên − 1, , + ba số tự nhiên liên tiếp n (2 Vì tích ba số tự nhiên liên tiếp chia hết ( ,3) = nên ( − 1) ( + 1) M3 Mặt khác, A = ( − 1) ( + 1) Vậy, chia hết cho với số tự nhiên n n n n n − 1) 2n ( 2n + 1) M3 n n b) Tìm số nguyên n để B = n − n + 13 số phương? Ta có B số phương 4B số phương Đặt B = k , k ∈ N Khi đó, Vì B = 4n − 4n + 52 = k ⇔ ( 2n − + k ) ( 2n − − k ) = −51 ( 2n − + k ) > ( 2n − − k ) nên ta có trường hợp: 2n − + k = 2n − + k = 2n − + k = 51 2n − + k = 17 , , , 2n − − k = −51 2n − − k = −17 2n − − k = −1 2n − − k = −3 Giải ta được: n = −12, n = −3, n = 13, n = Vậy, n = −12 n = −3 n = 13 n = B = n − n + 13 số phương Câu Giải phương trình sau: a) x − x + − 3x − = -Giáo viên: Nguyễn Hồng Khanh Hãy ln chiến thắng Trang: 99 Trường THCS Nguyễn Thái Bình –Tuy An – Phú Yên BDHSG Toán 1 x −x+2=x− ÷ + >0 2 Ta có với x Do đó, x2 − x + − 3x − = ⇔ x − x + − 3x − = ⇔ x2 − x + − = ( ) ⇔ ( x − ) ( x + 1) = Vậy, x = ⇔ x = −1 S = { −1;5} b) x3 + x − x =1 x x−2 ĐKXĐ: x ≠ 0, x ≠ x3 + x − x = ⇒ x3 + x2 − x − x x − = x x−2 Ta có x = (loai ) x + x − 3x = ⇔ x ( x − 1) ( x + 3) = ⇔ x = x = −3 + Với x < , ta có pt x + x = ⇔ x ( x + 1) = ⇔ x = ( loai ) x>2 + Với , ta có pt Vậy, S = { −3;1} c) Ta có: x −1 + 2x + = x + ⇔ x −1 + 2x + − x = x = 1; x = −3 ; x=0 (*) Các giá trị đặc biệt : Lập bảng xét dấu bỏ giá trị tuyệt đối : x x −1 −3 − ( x − 1) x − ( x + 3) -x VT −2 x − 2x + + Xét x≤ − ( x − 1) − ( x − 1) x −1 2x + -x 2x + x 2x + x 2x + 4 2x + −3 , pt cho trở thành −2 x − = ⇔ x = −3 ( nhận ) −3 ≤x≤0 + Xét , pt cho trở thành x + = ⇔ x = ( nhận ) + Xét ≤ x ≤ , pt cho trở thành = ⇔ ≤ x ≤ ( nhận ) + Xét x ≥ , pt cho trở thành x + = ⇔ x = ( nhận ) KL : Pt cho có nghiệm : x = −3; ≤ x ≤ -Giáo viên: Nguyễn Hồng Khanh Hãy ln chiến thắng Trang: 100 Trường THCS Nguyễn Thái Bình –Tuy An – Phú Yên BDHSG Toán Câu Với a, b, c > Hãy chứng minh BĐT: ab bc + ≥ 2b a) c a ab bc > 0, > a > 0, b > 0, c > a Với nên c ab bc ab bc ab bc + ≥2 = b = 2b c a c a Áp dụng BĐT Cô-si cho hai số dương c a ta Dấu “=” ⇔ a = c > ab bc + ≥ 2b Vậy, c a với a, b, c > Dấu “=” ⇔ a = c > ab bc ca + + ≥ a+b+c b) c a b ab bc c + a ≥ 2b ab ac ≥ 2a ⇒ + b c bc ca ab bc ca + + ≥ a+b+c a + b ≥ 2c c a b Áp dụng kết câu a, ta có: Dấu “=” ⇔ a = b = c > ab bc ca + + ≥ a+b+c Vậy, c a b Dấu “=” ⇔ a = b = c > a + b b3 + c c + a + + ≥ a+b+c 2bc 2ca c) 2ab 3 3 3 2 a +b b +c c +a a b b2 c2 c2 a + + = + + + + + 2bc 2ca 2b 2a 2c 2b 2a 2c Ta có 2ab a2 c2 a 2c ac ≥2 = + 4b b 2b 2b 2 b c bc ≥ + 2a 2a c a b ab ≥ + c c c Áp dụng kết câu a, ta có: a + b3 b3 + c3 c + a ab bc ca + + ≥ + + ≥ a+b+c 2ab 2bc 2ca c a b Dấu “=” ⇔ a = b = c > ⇒ a + b3 b + c c + a + + ≥ a+b+c 2bc 2ca Vậy, 2ab Dấu “=” ⇔ a = b = c > x4 + x2 + E= x2 Câu a) Cho x − x + = Tính -Giáo viên: Nguyễn Hồng Khanh Hãy chiến thắng Trang: 101 Trường THCS Nguyễn Thái Bình –Tuy An – Phú n BDHSG Tốn x2 − x + x − x + = ⇒ x − x + = 3x ⇒ = 3, x ≠ x *Cách 1: Ta có E= x2 − x +1 2x x4 + x2 + x2 − x + x2 + x + x2 + x + = = = + ÷ = ( + ) = 15 x2 x x x x x x + x +1 = 15 x2 Vậy, x − x + = 2 x ) − x 15 x ( x + x + ( x + 1) − x E= = = = = 15, x ≠ x2 x2 x2 x *Cách 2: E= x2 x F = = a x + x + theo a b) Cho x − x + Tính + Xét x = a = ⇒ F = + Xét x ≠ a ≠ x2 x x x F= = × = a× ( 1) x + x +1 x − x +1 x + x +1 x + x +1 Ta có x2 + x + x2 − x + x 1 + 2a x2 a = + = + = ⇒ = ( 2) 2 x x x a a x + x + 1 + 2a Mặt khác, a a2 F = a × = + 2a + a Từ ( ) ( ) suy F= a2 x =a + 2a x − x + Vậy, Câu Tìm giá trị nhỏ nhất biểu thức P = − xy , x, y số thực thoả mãn điều kiện: x 2013 + y 2013 = x1006 y1006 x 2013 + y 2013 = x1006 y1006 ⇒ ( x 2013 + y 2013 ) = x 2012 y 2012 Ta có: Mặt khác: (x 2013 +y ) 2013 Từ (2) (3) suy ra: x ≥ x 2013 y 2013 2012 y 2012 ≥ 4x (2) (3) 2013 y 2013 2012 2012 Hay : x y (1 − xy ) ≥ Do P = − xy ≥ 2013 2013 Đẳng thức xảy khi: xy = ⇔ x y = (4) 2013 2013 =1 x = x y ⇔ 2013 2013 =2 y =1 x + y Từ (1) (4) ta có: Vậy Min (P) = x = y =1 BC > AB + AC ⇒ 3BC > AB + AC + BC = 18 ⇒ BC > ( 1) Câu Vì AB < AC < BC nên Theo BĐT tam giác ta có: BC < AB + AC ⇒ BC < AB + AC + BC = 18 ⇒ BC < ( ) Từ ( ) ( ) suy < BC < mà BC có độ dài số chẵn Do BC = 8cm Tương tự, c/m < AB < AC < AB + AC = 10 Suy AB = 3cm, AC = 7cm AB = 4cm, AC = 6cm -Giáo viên: Nguyễn Hồng Khanh Hãy ln chiến thắng Trang: 102 Trường THCS Nguyễn Thái Bình –Tuy An – Phú Yên BDHSG Toán Vậy, AB = 3cm, AC = 7cm, BC = 8cm AB = 4cm, AC = 6cm, BC = 8cm Câu Chứng minh AE//BC A E Gọi K giao điểm AC DE · · Vì: ADB = 30 ; ADK = 90 H · Suy KDC = 60 Và ∆ DEC K B C D DK AB = = DC AC Nên ∆ABC≅∆DKC (g.g) 1 KD DK = DC = DE Þ = (1) 3 KE Do KH DH = DE Þ = KD ; Kẻ CH⊥DE (H∈DE) Mặt khác AD//CH (cùng vng góc với DH) ; KC KH = = Nên theo Talet ta có: KA KD (2) · · Từ (1), (2) AKE = CKD nên theo Talet AE//CD Þ Câu Tính diện tích tam giác ABC + Gọi h khoảng cách từ K đến AB, ta có: S ∆AKE AE × h / AE AE = = ⇔ = S ∆BKE BE × h / BE BE S∆ACE = ⇔ S∆BCE = 2S ∆ACE S ∆ BCE + Suy ra: A 10 E S ∆AKM MA = = ⇔ S ∆AKM = S∆CKM S MB ∆ CKM + Tương tự: Đặt x = S ∆AKM = S ∆CKM , ta có: M 20 K S ABM = SCBM ⇔ 20 + 10 + x = x + S BCK ⇒ S BCK = 30 Do đó, S BCK + S BEK = 20 + 30 = 50 Mà BE = 2AE ⇒ S AEC = 25 ⇒ S ABC = 75 (đvdt) AM AN PQ + + = AB AC AQ Câu 10.a) Chứng minh rằng: Gọi E, F giao điểm NP, MP với BC Do NE//AB, MF//AC nên theo Thales ta có: AM FC AN BE = ; = AB BC AC BC PQ EQ FQ EQ + FQ EF = = = = AQ BQ QC BQ + QC BC AM AN PQ FC BE EF + + = + + =1 AB AC AQ BC BC BC Từ đó: (đpcm) B C D A N M P B E Q F C AM AN PQ = AB AC AQ 27 b) Xác định vị trí điểm Q để -Giáo viên: Nguyễn Hồng Khanh Hãy ln chiến thắng Trang: 103 Trường THCS Nguyễn Thái Bình –Tuy An – Phú n BDHSG Tốn AM AN PQ , , Áp dụng câu a) BĐT Cauchy cho số dương: AB AC AQ : AM AN PQ AM AN PQ AM AN PQ + + ≥ 33 ⇔ ≤ AB AC AQ AB AC AQ AB AC AQ 27 1= AM AN PQ ⇔ = = = AB AC AQ Dấu “=” xảy Khi MN//BC Vì AQ qua trung điểm MN nên Q trung điểm BC AM AN PQ = Vậy, Q trung điểm BC AB AC AQ 27 -HẾT -HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ 19 2 Câu a) Cho a + b ≤ Chứng minh rằng: a + b ≤ 2 2 Ta có a + b ≤ mà 2ab ≤ a + b ≤ a + b + 2ab ≤ + ⇔ ( a + b ) ≤ ⇔ a + b ≤ ⇔ −2 ≤ a + b ≤ 2 Do 2 Vậy, a + b ≤ a + b ≤ b) Cho a, b số tùy ý Chứng minh: 4a ( a + b ) ( a + 1) ( a + b + 1) + b ≥ B = 4a ( a + b ) ( a + 1) ( a + b + 1) + b = ( a + ab + a ) ( a + ab + a + b ) + b Đặt Đặt m = a + ab + a , ta có: B = 4m ( m + b ) + b = 4m2 + 4mb + b = ( 2m + b ) ≥ Vậy, 4a ( a + b ) ( a + 1) ( a + b + 1) + b ≥ Dấu “=” ⇔ 2m + b = ⇔ ( a + ab + a ) + b = c) Cho a, b,c độ dài ba cạnh tam giác ( )( )( ) Chứng minh: Đặt b + c − a = x > 0, a + c − b = y > 0, a + b − c = z > xyz > x + y = 2a, y + z = 2b, z + x = 2c abc ≥ b + c − a a + c − b a + b − c ( x + y ) ( y + z ) ( z + x ) ≥ xyz với x, y, z ≥ 2 x + y ) ≥ xy, ( y + z ) ≥ yz , ( z + x ) ≥ zx ( Thật vậy, ta có C/m BĐT phụ: ( x + y ) ( y + z ) ( z + x) Suy 2 ≥ 64 x y z ⇔ ( x + y ) ( y + z ) ( z + x ) ≥ ( xyz ) ⇔ ( x + y ) ( y + z ) ( z + x ) ≥ xyz Do đó, ( x + y ) ( y + z ) ( z + x ) ≥ xyz 2 ( hai vế không âm) với x, y, z ≥ Dấu “=” x = y = z ≥ ( 2a ) ( 2b ) ( 2c ) ≥ ( b + c − a ) ( a + c − b ) ( a + b − c ) ⇔ abc ≥ ( b + c − a ) ( a + c − b ) ( a + b − c ) abc ≥ ( b + c − a ) ( a + c − b ) ( a + b − c ) Vậy, Dấu “=” ⇔ a = b = c ⇔ tam giác cho Áp dụng BĐT trên, ta có Câu a) Ta có: A = x − a1 + x − a2 + + x − a2 m−1 + x − a2 m -Giáo viên: Nguyễn Hồng Khanh Hãy ln chiến thắng Trang: 104 Trường THCS Nguyễn Thái Bình –Tuy An – Phú Yên BDHSG Toán = x − a1 + x − a2 + + x − am + am +1 − x + am+ − x + + a2 m − x ≥ ( x − a1 ) + ( x − a2 ) + + ( x − am ) + ( am +1 − x ) + ( am + − x ) + + ( a2 m − x ) = ( am +1 + am + + + a2 m ) − ( a1 + a2 + + am ) Dấu “=” ⇔ am ≤ x ≤ am+1 Vậy, GTNN ( A ) = ( am +1 + am +2 + + a2 m ) − ( a1 + a2 + + am ) b) Ta có: Dấu “=” ⇔ am ≤ x ≤ am+1 B = x − a1 + x − a2 + + x − a2 m −2 + x − a2 m −1 = x − a1 + x − a2 + + x − am + am +1 − x + am + − x + + a2 m−1 − x ≥ ( x − a1 ) + ( x − a2 ) + + ( x − am −1 ) + + ( am +1 − x ) + ( am + − x ) + + ( a2 m −1 − x ) = ( am +1 + am + + + a2 m −1 ) − ( a1 + a2 + + am −1 ) Dấu “=” ⇔ x = am Vậy, GTNN ( B ) = ( am +1 + am + + + a2 m −1 ) − ( a1 + a2 + + am −1 ) (1 P= Câu Rút gọn biểu thức: (3 Dấu “=” ⇔ x = am + ) ( 54 + ) ( 94 + ) ( 214 + ) + ) ( 74 + ) ( 114 + ) ( 234 + ) 2 n + = ( n + ) − ( 2n ) = ( n − 2n + ) ( n + 2n + ) = ( n − 1) + 1 ( n + 1) + 1 Xét 14 + 54 + 94 + 214 + P= + + 114 + 234 + ( )( ( )( ( + 1) ( = ( + 1) ( Do đó, 2 2 )( )( + 1) ( + 1) ( 2 ) ( ) ) ( ) + 1) ( + 1) ( 20 + 1) ( + 1) ( 22 2 2 + 1) ( 22 + 1) + 1) ( 24 + 1) = 24 + = 577 2x 3x + =1 x − x + ( x2 − 5x + ) Câu Giải phương trình: 2x 3x 4x 3x + =1⇔ + =1 x − 4x + ( x − 5x + ) x − x + 14 x − 10 x + 14 Ta có: + Với x = khơng nghiệm phương trình + =1 14 14 x + − x + − 10 x x +Với x ≠ phương trình cho viết lại: 14 + =1 y = 2x + − x Đặt , phương trình viết lại theo ẩn y y + y − ⇒ ( y − 1) + ( y + 1) = ( y + 1) ( y − 1) y = ⇔ y2 − y = ⇔ y = + Với y = x − x + 14 = ( vô nghiệm ) x = x2 − 8x + = ⇔ ( nhân ) x = y ≠ + Với -Giáo viên: Nguyễn Hồng Khanh Hãy ln chiến thắng Trang: 105 Trường THCS Nguyễn Thái Bình –Tuy An – Phú Yên BDHSG Toán S = { 1;7} Vậy, 2 Câu Cho m, n số thực thay đổi cho m + n ≤ (1) Hãy tìm giá trị nhỏ nhất biểu thức: Q = m + n + mn + (2) 2Q = ( m + n ) + 2mn + Từ (2) ta có: 2 2 Do đó: 2Q + m + n = m + n + 2m + 2n + 2mn + = ( m + n + 1) + ≥ 2Q ≥ − m + n ≥ −4 Suy ra: (do (1)) ⇒ Q ≥ −2 m = −2 m2 + n = n = ⇔ ⇔ m = m + n + = n = −2 Dấu “=” xảy Vậy Min Q = -2 m =-2, n =1 m =1, n = -2 ( ) Câu 6.Tìm số nguyên tố p cho 7p + lập phương số tự nhiên Giả sử Khi p + = m3 ( m ∈ ¥ ) , mà p ≥ ⇒ m ≥ p = m3 − = ( m − 1) ( m + m + 1) (*) Vì 7, p số nguyên tố, m − > 1, m + m + > nên từ (*) suy m − = m + m + = a ) m − = ⇔ m = ⇒ p = 73; m3 = 512 = 7.73 + , b) m + m + = ⇔ m + m − = Giải ta m = m = -3 không thỏa mãn điều kiện m ≥ Vậy có số nguyên tố p = 73 số cần tìm Câu So sánh GA GB Gọi I trung điểm AB Nối EF, EI, IF, ta có IE đường trung bình ∆ABC ⇒ IE // BC Mà GF ⊥ BC ⇒ GF⊥ IE (1) Chứng minh tương tự GE ⊥ IF (2) Từ (1) (2) ⇒ G trực tâm ∆EIF ⇒ IG ⊥ EF (3) Dễ chứng minh EF // AB Từ (3) (4) ⇒ IG ⊥ AB A I B G F E (4) D C Vậy ∆AGB cân G ⇒ GA = GB -Giáo viên: Nguyễn Hồng Khanh Hãy ln chiến thắng Trang: 106 Trường THCS Nguyễn Thái Bình –Tuy An – Phú Yên BDHSG Toán BH A >1 Câu Chứng minh rằng: CD Kẻ DK vuông góc với AC D, K ∈ AB , kẻ DL vng góc với BC L, Gọi O giao điểm DL BH · · · µ DBC = DBH + HBC = ·AKD + 900 − C Ta có µ = 900 − 1800 − 2C µ + 900 − C µ = 450 = 900 − µA + 900 − C 2 Suy tam giác BDL vuông cân L ⇒ BL = DL ( ) ( D K ) O ( ) C/m: Suy BO = DC Mà BH = BO + OH > BO Do đó, BH > DC ∆BLO = ∆DLC cgv − gnk B L C BH >1 Suy CD (đpcm) a b c + + ≥ Câu 9.a) Cho số dương a, b, c Chứng minh rằng: b + c c + a a + b ( Xem câu 3b đề 14) k a kb k c + + h hb hc a b) Tìm giá trị bé nhất biểu thức Đặt BC = a, AC = b, AC = b S ABC = a.ha ( 1) Ta có S ABC = S ABD + S ADC = ( b + c ) k a ( ) Mặt khác, ka a = Từ (1) (2) suy b + c kb k b c = , c = Tương tự, hb c + a hc a + b k a kb k c a b c + + = + + ≥ Suy hb hc b + c c + a a + b ( theo câu a) k k k GTNN a + b + c ÷ = ⇔ a = b = c hb hc Suy F' kc E F D' kb ka B A' D E' C Lúc tam giác ABC Câu 10 ABCD hình bình hành nên N · · DAB + CDA = 1800 Từ giả thiết ta lại có · · · · MAN + DAB = MAB + DAN = 1800 · · Suy MAN = CDA Từ ∆MAN = ∆CDA (c.g c) · · · Do AMN = DCA = BAC A B A C D -Giáo viên: Nguyễn Hồng Khanh Hãy chiến thắng Trang: 107 M Trường THCS Nguyễn Thái Bình –Tuy An – Phú n BDHSG Tốn Lại có AB ⊥ AM Suy MN ⊥ AC -HẾT - HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ 20 PHÒNG GD&ĐT HUYỆN TUY AN TRƯỜNG THCS NGUYỄN THÁI BÌNH ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG LỚP THCS NĂM HỌC 2018-2019 Mơn thi: TỐN Thời gian: 150 phút (khơng kể thời gian phát đề) ***** HƯỚNG DẪN CHẤM (Bảng hướng dẫn chấm gồm trang) I- Hướng dẫn chung: 1- Nếu thí sinh làm khơng theo cách nêu đáp án mà cho đủ điểm phần hướng dẫn quy định 2- Việc chi tiết hố thang điểm (nếu có) so với thang điểm hướng dẫn chấm phải bảo đảm không sai lệch với hướng dẫn chấm thống nhất thực Hội đồng chấm thi 3- Điểm tồn thi khơng làm tròn số II- Đáp án thang điểm: CÂU Câu ĐÁP ÁN ĐIỂ M 4,00 đ -Giáo viên: Nguyễn Hồng Khanh Hãy chiến thắng Trang: 108 Trường THCS Nguyễn Thái Bình –Tuy An – Phú Yên BDHSG Toán 1,00 đ 10 − x x M = + + : x − + ÷ ÷ x+2 x − 2− x x + a) Rút gọn 0,25 đ ĐKXĐ: x ≠ ±2 x − ( x + 2) + ( x − 2) −6 x+2 M= : = × = 0,50 đ x − 2) ( x + 2) x + ( x − 2) ( x + 2) 2− x ( Ta có: 0,25 đ M= , x ≠ ±2 2− x Vậy, x = 1,00 đ b) Tính giá trị M , biết 0,25 đ 1 −1 x = ⇔x= x= 2 Ta có: 0,25 đ M= = 1 2− x= 2 ( thỏa ĐKXĐ) + Với 0,25 đ M= = −1 2+ x= 2 ( thỏa ĐKXĐ) + Với 0,25 đ 2 x = M= M= Vậy, 1,00 đ c) Tìm giá trị x để M < 0,50đ M 2− x Ta có: (thỏa ĐKXĐ) 0,50 đ M < ⇔ x > Vậy, 1,00 đ d) Tìm giá trị nguyên x để M có giá trị nguyên 0,50đ M= − x ∈ U = − 1;1 ( ) { } − x có giá trị nguyên x nguyên x ≠ ±2 Để 0,25 đ Giải x = x = ( thỏa ĐKXĐ) 0,25 đ x ∈ { 1;3} Suy M có giá trị ngun Câu 4,00 đ 3 a) Phân tích đa thức A = a + b + c − 3abc thành nhân tử Từ suy điều kiện 1,00 đ a, b, c để a + b + c = 3abc A = a + b3 + c − 3abc = Ta có: 3 Để a + b + c = 3abc 2 ( a + b + c ) ( a − b ) + ( b − c ) + ( c − a ) ⇔ a + b3 + c3 − 3abc = 2 ⇔ ( a + b + c ) ( a − b ) + ( b − c ) + ( c − a ) = 0,50 đ 0,25 đ 0,25 đ a + b + c = ⇔ a = b = c -Giáo viên: Nguyễn Hồng Khanh Hãy chiến thắng Trang: 109 Trường THCS Nguyễn Thái Bình –Tuy An – Phú Yên BDHSG Toán 1 yz zx xy + + =0 B= + + 1,00 đ x y z b) Cho x y z Tính giá trị biểu thức sau: 1 1 1 + + =0 + + = 3 y z xyz ( ĐKXĐ: x, y, z ≠ ) Áp dụng câu a), x y z nên x yz zx xy xyz xyz xyz B= + + = + + x y z x y z Ta có: 1 1 = xyz + + ÷ = xyz.3 =3 y z xyz x 1 + + =0 x y z B = Vậy, 3 c) Cho x, y , z ba số thực khác 0, thỏa mãn x + y + z ≠ x + y + z = xyz x 2019 + y 2019 + z 2019 C= 2019 ( x + y + z) Tính Áp dụng câu a), x, y , z ba số thực khác 0, thỏa mãn x + y + z ≠ x3 + y + z = xyz nên x = y = z ≠ x 2019 + y 2019 + z 2019 3.x 2019 C= = = 2018 2019 2019 ( x + y + z) ( 3x ) Do đó, C = 2018 Vậy, với x, y , z ba số thực khác 0, thỏa mãn x + y + z ≠ 3 x + y + z = xyz 3 ( x - 2018) +( x - 2019) - ( x - 4037) = d) Giải phương trình: 3 x - 2018) +( x - 2019) - ( x - 4037 ) = ( Ta có: ⇔ ( x − 2018 ) + ( x − 2019 ) + ( 4037 − x ) = Vì 3 ( x − 2018) + ( x − 2019 ) + ( 4037 − x ) = nên theo câu a) ta có: ( x − 2018) + ( x − 2019 ) + ( 4037 − x ) = 0,25 đ 0,50 đ 0,25 đ 1,00 đ 0,25 đ 0,50 đ 0,25 đ 1,00 đ 0,25 đ 0,25 đ ⇔ ( x − 2018 ) ( x − 2019 ) ( 4037 − x ) = x = 2018 x − 2018 = ⇔ x − 2019 = ⇔ x = 2019 4037 − x = 4037 x = 0,25 đ 0,25 đ 4037 S = 2018; 2019; Vậy phương trình cho có tập nghiệm : Câu a) Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn biểu thức K= − 4x x2 + 4,00 đ 2,00 đ -Giáo viên: Nguyễn Hồng Khanh Hãy ln chiến thắng Trang: 110 Trường THCS Nguyễn Thái Bình –Tuy An – Phú Yên BDHSG Toán 2 − x x − x + − x − ( x − ) − ( x + 1) ( x − ) −1 0,50 đ K= = = = − ≥ 2x + 2 ( x + 1) ( x + 1) ( x + 1) 2 Ta có: 0,25 đ Dấu “=” ⇔ x − = ⇔ x = 0,25 đ −1 GTNN ( K ) = ⇔x=2 Suy 2 0,50 đ − x x + − x − x − ( x + ) − ( x + x + 1) K= = = 2x + 2 ( x + 1) ( x + 1) Ta có: 2 ( x + 1) − ( x + 1) x + 1) ( = = 2− ≤2 ( x + 1) ( x + 1) 0,25 đ −1 Dấu “=” −1 GTLN ( K ) = ⇔ x = Suy ⇔ 2x +1 = ⇔ x = 0,25 đ f ( x ) = x + ax + b b) Xác định hệ số hữu tỉ a b cho chia hết cho g ( x) = x − x +1 f ( x ) = x + ax + b g ( x ) = x2 − x + Phép chia hết cho có đa thức thương dạng h ( x ) = x + cx + b x + ax + b = ( x − x + 1) ( x + cx + b ) Ta viết với x 2 ( x − x + 1) ( x + cx + b ) = x + c3 x + bx − x3 − cx2 − bx + x + cx + b Ta có: = x + ( c − 1) x + ( b − c + 1) x + ( −b + c ) x + b x + ax + b = x + ( c − 1) x + ( b − c + 1) x + ( −b + c ) x + b Suy Đồng nhất thức hai vế, ta được: c − = 0, b − c + = a, − b + c = Suy a = b = c = Vậy, a = b = Câu A B I với x 2,00 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 3,00 đ E D H M a) Chứng minh: AB = AD C 1,00 đ -Giáo viên: Nguyễn Hồng Khanh Hãy ln chiến thắng Trang: 111 Trường THCS Nguyễn Thái Bình –Tuy An – Phú Yên BDHSG Toán Ta có: AB = 2AI (Vì I trung điểm AB ) (1) 0,25 đ ·ADI = IDC · ·ADC Ta lại có: ( Vì DI phân giác ), 0,50 đ ·AID = IDC · mà ( Vì AB // DC, slt) 0,25 đ AD = AI ( ) Do đó, ·ADI = ·AID suy ∆ADI cân A nên Từ (1) (2) suy AB = AD 1,50 đ b) Kẻ AH ⊥ DC ( H ∈ DC ) Chứng minh: DI = AH Gọi M trung điểm DC, E giao điểm AM DI DA = DM = AB ÷ ·ADM = 600 nên tam giác ADM Ta có Suy DI đường phân giác nên đường cao Do đó, DI ⊥ AM E AH = DE ( 3) Vì ∆ADM có AH, DE hai đường cao nên DI = DE ( ) Vì ∆ADI cân A, có AE ⊥ DI E nên Từ (3) (4) suy DI = AH c) Chứng minh: AC ⊥ AD AM = DM = DC · Xét tam giác ADC có AM đường trung tuyến nên DAC = 90 Vậy, AC ⊥ AD Câu B 0,50 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,50 đ 0,50 đ 3,00 đ A E 0,50 đ D C F a) Chứng minh hệ thức: AB = AE.AF Ta có : BD / / FC ( vng góc với AC ) AD AB = Suy AC AF (1) Ta lại có: AB = AC AE = AD (?) (2) AE AB = Từ (1) (2) suy AB AF , AB = AE.AF CE BE = b) Chứng minh: CF BF 1,50 đ 0,50 đ 0,50 đ 0,50 đ 1,50 đ -Giáo viên: Nguyễn Hồng Khanh Hãy ln chiến thắng Trang: 112 Trường THCS Nguyễn Thái Bình –Tuy An – Phú Yên BDHSG Toán ∆BCE = ∆CBD ( ch − gn ) + C/m : 0,50 đ · · BCE = DBC Suy · · + Mặt khác, DBC = BCF ( Vì BD // FC, slt ) 0,50 đ · · Suy BCE = BCF 0,50 đ Khi CB đường phân giác ∆ECF CE BE = Suy CF BF ( đpcm ) Câu 2,00 đ B A H K M D C Chứng minh: BM ⊥ MD Gọi K trung điểm DH C/m: MK đường trung bình ∆DHC KM = DC ( 1) Suy KM / / DC AB = DC Ta lại có: AB // DC (gt) (2) Từ (1) (2) suy AB = KM AB / / KM Do đó, ABMK hình bình hành, cho ta BM / / AK (3) Vì MK / / AB AB ⊥ AD( gt ) nên MK ⊥ AD Trong tam giác ADM có MK ⊥ AD DH ⊥ AM nên K trực tâm tam giác ADM, AK ⊥ DM (4) Từ (3) (4) suy BM ⊥ MD (đpcm) 0,50 đ 0,50 đ 0,50 đ 0,50 đ -Giáo viên: Nguyễn Hồng Khanh Hãy ln chiến thắng Trang: 113 ... PHÚC=100k 220 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG TOÁN 8= 120k; 50 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG CÁC HUYỆN CỦA VĨNH PHÚC=100k 250 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG TOÁN HUYỆN=150k; 200 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG TOÁN CẤP TỈNH=100k 70 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG TOÁN (201 9 -202 0)=100k;... 201 9 ……… HẾT………… BỘ ĐỀ ĐÁP ÁN HSG MƠN TỐN FILE WORD Zalo 09460951 98 160 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG TOÁN 6=100k; 60 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG CÁC HUYỆN CỦA VĨNH PHÚC=100k 250 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG TOÁN 7=150k; 60 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG. .. − ÷ 201 8 201 9 201 7 201 8 201 9 b) Ta có: 201 7 201 9 − x 201 9 − x 201 9 − x 1 = + ⇔ ( 201 9 − x ) − − ÷= 201 7 201 8 201 9 201 7 201 8 201 9 1 − − ≠0 ⇔ 201 9 − x = ( Vì 201 7 201 8 201 9