Nghiên cứu thấy rằng tổ hợp cũng thế, bên cạnh các bài chứng minh đòi hỏi sử dụng các lập luận logic, các nguyên lý tổ hợp một cách bài bản thì vẫn có các bài định lượng như thế. Mời các bạn tham khảo!
Tạp chí online cộng đồng người u Tốn PHÂN TÍCH VÀ MỞ RỘNG TRONG CÁC BÀI TỐN TỔ HỢP Lê Phúc Lữ (Tp HCM) Tóm tắt Như biết, tốn tổ hợp địi hỏi tư nhiều, tư trừu tượng, sáng tạo khơng theo lối mịn Trong phịng thi có thời gian ít, áp lực cao, có thí sinh dám mạo hiểm làm tổ hợp câu đại số, giải tích (thường có mơ hình sẵn) chưa xong Tuy nhiên, nói phải nói lại, tổ hợp hình học số học, bên cạnh nội dung định tính có câu định lượng Chẳng hạn xét riêng chủ đề hình phẳng, bạn học hình chưa tốt lại sử dụng tốt công cụ phụ trợ đại số, lượng giác, tọa độ, vào tốn cần tí cố gắng để đưa tốn định tính túy định lượng coi tự tin xử lý nhiều khó Tuy nhiên, lại câu chuyện dài khác Đi vào vấn đề chính, thấy tổ hợp thế, bên cạnh chứng minh đòi hỏi sử dụng lập luận logic, nguyên lý tổ hợp cách có định lượng Phân tích để tìm lời giải Trong phần này, xem xét số toán liên quan đến cực trị rời rạc thông qua đánh giá với số nhỏ, trường hợp đặc biệt để cố gắng phát quy luật từ giải vấn đề Chú ý có số nêu hướng xử lý không sâu vào lời giải chi tiết Bài tốn Trên bàn trịn, có n người ngồi Biết số họ, ln nói dối ln nói thật lúc 101 Tạp chí online cộng đồng người yêu Tốn này, họ nói rằng: “Cả người ngồi cạnh tơi kẻ nói dối” Hỏi bàn có nhiều người nói dối? Lời giải Đây phát triển từ câu đố vui dành cho học sinh Tiểu học trường hợp n = (hồn tồn thử trường hợp nhỏ) Tất nhiên toán khơng phải q dễ dàng để nhìn vào ngay, đòi hỏi phải xây dựng cách Chúng ta thử với trường hợp nhỏ để cố gắng tìm cách xử lý dễ dàng hình dung cách tiếp cận • Với n = = 2, max = (Chú ý phủ định với tồn tại!) • Với n = = 2, max = • Với n = = 3, max = Các giá trị đầu lớn nhỏ rồi, đồng nghĩa với việc tồn số lượng người nói dối bàn, khơng hợp lý lắm, ta thử tiếp tục: • Với n = = 3, max = • Với n = = 4, max = • Với n = = 4, max = • Với n = = 5, max = • Với n = 10 = 5, max = Đến bạn dễ dàng nhận quy luật hai dãy max Với dãy 2, 2, 3, 3, 4, 4, 5, dễ nhận Tuy nhiên, phải mô tả cơng thức tổng qt khơng thể dừng lại Một kinh nghiệm cho thấy thay đổi theo cụm có độ dài 90% cơng thức có dạng phần ngun hàm tuyến tính theo n chia cho Ta làm chậm chút: • Với n = 2k = k • Với n = 2k − = k 102 Tạp chí online cộng đồng người u Tốn Như thế, cơng thức viết gộp lại là: = Tương tự với dãy max, ta đoán max = 2n n+1 Như thế, đến đây, ta có tay? Nếu viết hết nội dung vào có điểm chưa? Thật khó nói có lẽ muốn có điểm ta phải cố gắng thêm Có thể chứng minh giá trị tốt điều không dễ trước mắt, việc xây dựng đơn giản Ta cần chia trường hợp "bắt chước" theo cách làm với số nhỏ Chẳng hạn trường hợp n = 2k cho người nói dối thật ngồi xen kẽ có kết Đây kinh nghiệm xử lý dạng Khi chứng minh điều kiện đủ, tức xây dựng cấu hình thỏa mãn phải chia trường hợp xét cho dễ Nếu để ngun cơng thức dạng phần ngun khó, nhiều khơng xây dựng Cịn phần chứng minh điều kiện cần tương đối nhẹ nhàng nói kết gợi ý cho phần Ta nêu nhận xét coi xong: Trong người liên tiếp, phải có người nói dối Trong người liên tiếp, phải có người nói thật Hai nhận xét hiển nhiên dễ nghĩ hay khơng tùy người Tính khó dễ đến khơng cịn khách quan chuyện rõ ràng Bài tốn Tèo dùng n hình bên dưới: que diêm để xếp thành số Hỏi số lớn số nhỏ mà Tèo nhận xếp que diêm bao nhiêu? 103 Tạp chí online cộng đồng người yêu Toán Lời giải Ở này, ta cần dùng ý tưởng tham lam (greedy strategy) đơn giản sau: số có nhiều chữ số lớn có chữ số nhỏ Nhờ mà trường hợp số lớn nhất, Tèo dễ dàng thực sau: • Nếu n chẵn xếp n số • Nếu n lẻ xếp số n−3 số Rõ ràng cách xếp cho nhiều chữ số hiển nhiên số tương ứng lớn Tuy nhiên, trường hợp nhỏ lại khơng đơn giản Mình phải viết đến n gần 30 dự đốn quy luật Cịn lí có khác lớn nhỏ dễ thơi, đặc điểm số lượng que diêm để xếp số Gọi f(n) số nhỏ thu Ta thử liệt kê kết xếp tay sau: f(2) = 1, f(3) = 7, f(4) = 4, f(5) = 2, f(6) = 0, f(7) = 8, f(8) = 10, f(9) = 18, f(10) = 22, f(11) = 22, f(12) = 28, f(13) = 80, f(14) = 88, f(15) = 108, f(16) = 188, f(17) = 200, f(18) = 208, f(19) = 288, f(20) = 688, f(21) = 888, f(22) = 1088, f(23) = 1888, f(24) = 2008 Đến ta thấy có quy luật bắt đầu rõ ràng từ 14 có chu kỳ Việc chứng minh mang tính hình thức (quy nạp) kết cụ thể Chúng ta thử sức với tương tự để thấy rõ ý nghĩa việc liệt kê này: Bài toán Cho số ngun dương n Tìm số ngun dương nhỏ có n chữ số chia hết đồng thời cho 2, 3, 5, Lời giải Chú ý số chia hết cho 2, 3, 5, chia hết cho 210 Cũng cách thử tương tự trên, ta gọi f(n) số thỏa mãn ứng với n cho trước có kết sau: f(1) = 0, f(2) không tồn tại, f(3) = 210, (4) = 1050, f(5) = 10080, f(6) = 100170, f(7) = 1000020, f(8) = 10000200, f(9) = 100000110, f(10) = 1000000050 104 Tạp chí online cộng đồng người u Tốn Đến đây, ta thấy đặc điểm số cần tìm gồm chữ số hàng cao nhất, loạt số 0, số cuối số hàng chục, hàng trăm thay đổi phù hợp để số chia hết cho Đến f(10), ta thấy quy luật quy giống f(4) Lý đơn giản 10k+6 − 10k = 10k (106 − 1) với k nguyên dương, theo định lý Fermat nhỏ Như vậy, việc xây dựng tính tuần hồn cơng thức, ta dễ dàng hồn tất tốn Ta xét ví dụ tiếp theo, cơng thức phức tạp nhiều: Bài tốn Có thỏ ăn n củ cà rốt số ngày theo quy luật sau: 1) Ngày ngày cuối cùng, phải ăn củ cải 2) Hai ngày liên tiếp nhau, thỏ phải ăn số củ cải chênh lệch không Hỏi số ngày mà thỏ ăn hết số củ cải bao nhiêu? Lời giải Mơ tả tốn rõ ràng việc xây dựng tương đối đơn giản, chí trường hợp n lớn Gọi f(n) số ngày cần tìm, ta có dãy sau: f(1) = 1, f(2) = 2, f(3) = 3, f(4) = 3, f(5) = 4, f(6) = 4, f(7) = 5, f(8) = 5, f(9) = 5, f(10) = 6, f(11) = 6, f(12) = 6, f(13) = 7, f(14) = 7, f(15) = 7, f(16) = 7, f(17) = 8, f(18) = Quan sát quy luật dãy số, ta thấy rằng: • Giá trị f thay đổi số có dạng k2 + • Trong khoảng từ (k − 1)2 + đến k2 , giá trị f thay đổi lần điểm Từ suy ra: • Với (k − 1)2 + (k − 1) + • Với k2 + n n k2 giá trị f(n) = 2k − k2 + k giá trị f(n) = 2k 105 Tạp chí online cộng đồng người yêu Toán Cách xây dựng dễ thấy ta dựa theo mơ hình tam giác Pascal lựa chọn cần phải có tam giác đỉnh nhọn, đỉnh phù hợp √ 4n − Nếu tìm cơng thức cách tổng qt ta có Rõ ràng lập luận thú vị đó, ta tìm cơng thức đây, việc hồn tồn làm cách thủ công thời gian không lâu Rõ ràng công việc đáng xem xét áp dụng! Ở ví dụ đây, việc kiểm tra kết trường hợp nhỏ cho cách chứng minh cho toán Bài toán Cho số nguyên dương n Xét dãy số nguyên dương hữu hạn (ak ) gồm k số hạng cho với i < j n tồn t với t k cho at = i, at+1 = j at = j, at+1 = i Hỏi giá trị nhỏ k bao nhiêu? Lời giải Bài toán phát biểu rắc rối ngẫm nghĩ kĩ chuyện tương đối rõ ràng (đề yêu cầu cặp số từ đến n phải hai số cạnh dãy) Ta thử xét trường hợp nhỏ: • Với n = k = • Với n = k = ứng với dãy 1, • Với n = k = ứng với dãy 1, 2, 3, • Với n = k = ứng với dãy 1, 2, 3, 4, 1, 3, 2, • Với n = 5thì k = 11 ứng với dãy 1, 2, 3, 4, 5, 1, 4, 2, 5, 3, Trong trình xây dựng này, ta gặp số vấn đề sau: Do có tất C2n cặp số có C22 = 1, C23 = nên dự đoán kết C2n + Trường hợp n = hoàn toàn hợp lý n = lại khơng xây dựng với k = Để kiểm tra cẩn thận trực quan, thử vẽ mơ hình có số cạnh nối chúng cặp thỏa mãn điều kiện đề Từ phát tốn có liên hệ mật thiết với tốn chu trình Euler đồ thị đầy đủ dãy số (ak ) liệt kê thứ tự đỉnh chu trình 106 Tạp chí online cộng đồng người yêu Toán Việc cộng thêm dãy khơng tạo thành mơ hình khép kín nên cần liệt kê dư đỉnh Từ điều kiện tồn đường Euler, ta thấy cần phải chia thành trường hợp chẵn lẻ giải tốn Cụ thể là: • Nếu n lẻ tất đỉnh bậc chẵn nên thỏa mãn điều kiện có chu trình Euler, số k cần tìm C2n +1 = n −n+2 • Nếu n chẵn tất đỉnh bậc lẻ nên phải thêm vào n2 cạnh để có đa đồ thị có bậc chẵn số k cần tìm C2n + n2 = n2 Bài toán (VNTST, 2006) Trong không gian cho 2006 điểm mà khơng có điểm đồng phẳng Người ta nối tất điểm lại đoạn thẳng Số tự nhiên m gọi số tốt ta gán cho đoạn thẳng đoạn thẳng nối số tự nhiên không vượt m cho tam giác tạo ba điểm số điểm có hai cạnh gán hai số cạnh lại gán số lớn hai số Tìm số tốt có giá trị nhỏ Lời giải Cũng nhiều toán khác, này, ta thấy số 2006 khơng có ý nghĩa lớn thử tổng quát trường hợp n tùy ý Tư tưởng “chia nhị phân” đại diện quan trọng ứng dụng chiến lược chia để trị, thay xử lý tốn lớn, ta chia giải phần nhỏ Ở này, ta tình mà khơng phân tích thấu đáu, dựa theo xây dựng cục thử với vài số nhỏ, ta dễ dàng rơi vào ngộ nhận dẫn đến kết sai Ta tiến hành tương tự ví dụ nêu, xét tình với số nhỏ: • Với n = cần m = • Với n = cần đến số để đánh nên chọn m = • Với n = cần số nên m = • Với n = ta cần số m = Đến dễ thấy tồn cạnh đánh số 0, giả sử cạnh nối A B Ta chia n − đỉnh cịn lại thành 107 Tạp chí online cộng đồng người yêu Toán phần rõ ràng đỉnh phải nối với A B cạnh đánh số Ta lại chia chúng thành tập hợp: X chứa đỉnh nối với A cạnh đánh số 0, Y chứa đỉnh nối với B cạnh đánh số Khi ta cho: • Từ đỉnh tập X sang đỉnh tập Y, cạnh nối với đánh số • Từ đỉnh A sang tập Y từ đỉnh B sang tập X, cạnh nối với đánh số • Cịn lại X Y, ta cần sử dụng max f |X| , f |Y| nhiên, cần chọn nhỏ nên f(n) = + max f |X| , f |Y| Tuy Hơn nữa, f(n) hàm đơn điệu |X| + |Y| = n − nên max f |X| , f |Y| n−1 =f Từ đến kết luận: f(n) = + f n−1 Lập luận phù hợp đáng tiếc kết luận lại sai với phản ví dụ xây dựng trường hợp n = 7, n = 8, ta dễ dàng phát vấn đề nằm chỗ cách xây dựng mơ hình 108 Tạp chí online cộng đồng người u Tốn Trên thực tế, ta chia từ đầu không cần phải xét thêm điểm A, B công thức là: f(n) = + f n−1 Bạn đọc thử tự phân tích xem cơng thức truy hồi lại thay nhé! Bài cho ta thấy nhiều trường hợp, ta xây dựng mơ hình dựa theo kinh nghiệm có lúc cần phải xét giá trị cụ thể trường hợp nhỏ phát vấn đề Ngoài ra, việc xây dựng cho giá trị nhỏ tạo thành dãy tìm quy luật nêu không áp dụng cho dạng toán cực trị rời rạc mà số toán định tính khác Thử thử xét tốn kinh điển sau: Bài tốn Có hai người A, B chơi trị chơi bốc sỏi ban đầu có n viên sỏi, A trước Mỗi người bốc 2, viên bốc viên cuối thắng Nếu cịn viên người chơi lượt bốc thắng ln Hỏi với giá trị n A có chiến lược thắng? Lời giải Trước tiến hành xây dựng tương tự trên, bạn cần hai định nghĩa sau trò chơi tổ hợp cân (tức hai bên có cách chơi nhau): • Vị trí thắng: vị trí mà tồn cách đến vị trí thua (vị trí ý nói giá trị n tại, thắng người chơi đến số sỏi cịn lại sau lượt chơi đó) • Vị trí thua: vị trí mà ln phải đến vị trí thắng Có vẻ mơ hồ, ta thử phân tích với tốn cụ thể Đặt f(n) : N∗ → {0, 1} nhận giá trị A có chiến lược thắng, B có chiến lược thắng Hiển nhiên A thắng B thua ngược lại nên ta có f(1) = 1, f(2) = 1, f(3) = Đến để tính f(4), ta thấy A bốc dẫn đến vị trí thắng đối phương nên theo định nghĩa trên, vị trí thua f(4) = 109 Cứ thế, ta tính tiếp được: Tạp chí online cộng đồng người yêu Toán f(5) = 0, f(6) = 1, f(7) = 1, f(8) = 1, f(9) = 0, f(10) = 0, Dễ thấy quy luật: n chia dư 0, 1, A thắng; ngược lại B thắng Để nghĩ điều rõ ràng khơng dễ để đốn lại q dễ dàng Chứng minh thực cách nhanh chóng quy nạp Bài toán (Cuộc thi Brilliant.org) Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, xét tập hợp S gồm điểm thỏa mãn: (x, y) | x, y 999; x, y ∈ Z Hai bạn A, B chơi trò chơi sau: Ban đầu, có quân cờ vị trí thuộc tập hợp S họ di chuyển quân cờ theo cách sau: • Bạn A trước di chuyển quân cờ xuống đơn vị sang trái đơn vị • Bạn B sau di chuyển quân cờ xuống đơn vị sang trái đơn vị Hai bạn luân phiên chơi buộc phải di chuyển quân cờ khỏi góc phần tử thứ thua Hỏi có tất vị trí mà A có chiến lược để thắng trị chơi? Lời giải Ta thực kiểm tra trực tiếp vị trí gần gốc tọa độ để thử tìm quy luật đó: 110 Tạp chí online cộng đồng người yêu Toán Suy cho cùng, cách song ánh, chuyển đổi cách tiếp cận chất thế: bảng tốt ma trận cạnh kề đồ thị tổng hợp giá trị mà hàm nhận với giá trị c ∈ C Một nhận xét mang tính định hai ý a b toán là: Trong tập hợp tập hợp có n phần tử, số tập hợp có lẻ phần tử số tập hợp có chẵn phần tử 2n−1 Ý giải dễ dàng song ánh đếm trực tiếp dùng nhị thức Newton So sánh với toán năm gần đây, coi tốn mà phần a hỗ trợ tốt cho phần b với việc chia “trường hợp lớn” thành hai trường hợp nhỏ Phần a vừa có tác dụng gợi ý, vừa đóng góp phần vào lập luận phần b Cái khó tốn có lẽ chỗ sử dụng ý tưởng truy hồi quy nạp, đến Chúng ta đặt câu hỏi sau cách tự nhiên: “Có tất chương trình liên hoan văn nghệ?” Đây tốn khơng dễ khơng cho kết dạng tường minh có thí sinh mà thi mình, cố gắng đếm số lượng Ta giải nguyên lý bù trừ sau (ta xét bảng có m hàng n cột): Ta gọi bảng mà hàng có số bảng “tốt theo hàng”, gọi tập hợp bảng P Gọi A tập hợp bảng tốt theo hàng lại có cột khơng có số nào, Ai tập hợp bảng tốt theo hàng cột thứ i lại số Ta thấy: A = A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ · · · ∪ An Rõ ràng số bảng tốt cần tìm |P| − |A| Trước hết, ta tính số bảng tốt theo hàng Chú ý có hai cách điền nên hàng có n có 2n cách, nhiên, loại trừ trường hợp tất có 2n − cách Các hàng khác tương tự nên có tổng cộng (2n − 1)m bảng tốt theo hàng hay |P| = (2n − 1)m Do cột bình đẳng với nên ta đếm đại diện trường hợp để suy trường hợp cịn lại 124 Tạp chí online cộng đồng người u Tốn Giả sử có k cột cột 1, 2, 3, , n không chứa số với k < n Trên hàng lại n − k ô để điền vào số cho có số (do k ô thuộc cột điền số 0), số cách điền cho hàng m 2n−k − cho bảng (2n−k − 1) Từ đó, theo nguyên lý bù trừ, ta có n |A| = |A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ · · · ∪ An | = Ckn (−1)k 2n−k − m k=1 Do đó, ta số bảng tốt cần tìm là: n n n m k k n−k Cn (−1) (2 (2 − 1) − − 1) m m Ckn (−1)k (2n−k − 1) = k=0 k=1 Với tính bình đẳng m, n, ta suy kết sau: m n k k n−k Cn (−1) (2 − 1) m Ckm (−1)k 2m−k − = n k=0 k=0 Dưới số tập áp dụng: Bài toán 22 Cho số thực dương phân biệt x1 , x2 , x3 , , xn Chứng minh tồn số thực a cho tổng sau a + x1 , a + x2 , a + x3 , , a + xn số vơ tỉ Bài tốn 23 (Russia, 1996) Ở Duma, có 1600 đại biểu tham gia vào 16000 ủy ban ủy ban có 80 người tham gia Chứng minh rằng, ủy ban trên, có ủy ban mà có đại biểu tham gia chung Bài tốn 24 (CMO, 1996) Có ca sĩ tham gia văn nghệ với tổng cộng m buổi hòa nhạc Mỗi buổi có ca sĩ tham gia số lần tham gia cặp ca sĩ Tính giá trị nhỏ m 2.3 Chuyển đổi mơ hình Trên thực tế, nhiều tốn có chuyển đổi qua lại việc phát biểu dạng tập hợp việc xây dựng mô hình Điển tốn đề VMO 125 Tạp chí online cộng đồng người yêu Toán xuất phát từ tốn đồ thị để xây dựng theo tình thực tế Việc chuyển đổi mơ hình có tinh tế hay khơng tùy thuộc vào tình sử dụng tương đồng so với toán gốc Xuất phát từ toán quen thuộc: “Chứng minh lát nhà 10 × 10 cách viên gạch × 4.” Cách giải tơ màu có dạng (lẻ, lẻ) bảng, tơ 25 Tuy nhiên, viên gạch 1×4 phải chiếm ô tô màu, tức số ô tô màu nằm phải chẵn Điều mẫu thuẫn cho thấy ta lát gạch nhà theo cách Bài tốn thay số 10 (số chẵn không chia hết cho 4) thành số tương tự 50, 2010, 2014, cho câu trả lời tương tự với cách giải tương tự Ta thử thay đổi toán theo kiểu nối điểm mặt phẳng để thu toán sau: Bài toán 25 Trong mặt phẳng, cho tập hợp A gồm 20102 điểm phân biệt đánh số từ đến 20102 cho ba điểm chúng khơng thẳng hàng Một tứ giác (lồi lõm) gọi “đẹp” đỉnh thuộc A đánh số số thỏa mãn hai điều kiện sau: • Đó số tự nhiên cách 2010 đơn vị • Đó số tự nhiên liên tiếp có chứa số chia hết cho 2010 số phải lớn Nối tất điểm thuộc tập hợp A lại với cho điểm thuộc A thuộc tứ giác Tìm số lớn tứ giác “đẹp” tạo thành Rõ ràng cách nối điểm mơ số nằm viên gạch × Ta giải chi tiết tốn sau: Lời giải Xét bảng vng gồm 2010 × 2010 vng điền số theo thứ tự từ xuống từ trái sang (xem trang tiếp) sau: 126 Tạp chí online cộng đồng người yêu Toán 2011 2012 2013 4021 4022 4023 2009 2010 4019 4020 6029 6030 20102 Trước hết, ta chứng minh chia tất 20102 điểm cho thành tứ giác “đẹp” Rõ ràng số đỉnh tứ giác “đẹp” tương ứng với số bị che bảng ô vuông đặt mảnh bìa hình chữ nhật kích thước × vào Ta chứng minh khơng thể che hết tồn bảng vng hình chữ nhật × Thật vậy, ta tô màu ô vuông nằm cột chẵn hàng chẵn Do bảng có 20102 vng nên số ô vuông bị tô màu 2010 , số lẻ Giả sử ngược lại ta lấp kín bảng vng mảnh bìa Khi đó, mảnh bìa che hai vng khơng có vng bảng vng, tức ln có số chẵn vng bị che đi; đó, số ô vuông bị che bảng số chẵn Từ ta thấy có mâu thuẫn Do đó, che hết bảng ô vuông hình chữ nhật × Bây giờ, gọi k số tứ giác đẹp lớn cần tìm k 1010024 Ta chứng minh k = 1010024 cách cách dùng mảnh bìa che kín bảng vng Thật vậy, chia bảng vng thành hai phần: • Phần gồm 2008 cột đầu, ta xếp mảnh bìa theo hàng, hàng có 502 mảnh bìa Khi đó, ta che kín hết phần mảnh bìa • Phần gồm cột cuối, ta xếp nối tiếp mảnh bìa từ xuống cuối cịn lại vng × góc bảng Như vậy, ta dùng 1010024 mảnh bìa che tối đa 20102 − ô vuông bảng Từ đó, ta thấy, số tứ giác “đẹp” lớn cần tìm k = 1010024 Chúng ta thử xét tốn sau: Có cách lát hình chữ nhật kích thước × n viên gạch: hình chữ I (hình chữ 127 Tạp chí online cộng đồng người yêu Tốn nhật kích thước × 2) hình chữ L (hình vng × bỏ ơ)? Nếu thay hình chữ nhật × n hình khác số cách lát thu bao nhiêu? Qua đó, ta thấy việc chuyển đổi mơ hình, từ điểm, hình mặt phẳng đến số tập hợp ngược lại giúp cho tốn có dáng vẻ thú vị Chúng ta thử nhắc đến tốn kì thi IMO 1983: Tơ tất điểm nằm cạnh tam giác hai màu xanh đỏ Hỏi với cách tô màu thế, có ln tồn tam giác vng có ba đỉnh tơ màu hay khơng? Bài tốn giải khơng q khó khăn cách xét điểm chia cạnh tam giác ABC theo tỉ số : 1, có nhiều tam giác vuông tạo thành từ điểm nhờ mà ta áp dụng ngun lí Dirichlet để giải tốn Tuy nhiên, thay đổi cách phát biểu thành tọa độ mặt phẳng tốn thú vị nhiều Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, √ tam giác ABC có tọa độ đỉnh A 0, , B −1, , C 1, phương √ trình đường thẳng chứa cạnh AB, AC viết 3x + √ y = 3, đường thẳng chứa cạnh BC trùng với trục Ox Hơn nữa, rõ ràng độ dài BC thay số khác nên ta có tốn sau: Bài toán 26 Trong mặt phẳng √ tọa độ Oxy, xét phần mặt phẳng giới hạn đồ thị y = (a − |x|) , a > trục hoành Gọi S tập hợp điểm nằm biên miền 128 Tạp chí online cộng đồng người yêu Toán Chứng minh với cách chia S thành hai tập hợp rời ln tồn ba điểm đỉnh tam giác vuông Cách giải hoàn toàn tương tự Vấn đề mấu chốt nhìn nhận bao lồi thực chất tam giác cách chia tập giống việc tô điểm hai màu Xuất phát từ toán phân hoạch số nguyên: “Hỏi có cách biểu diễn số ngun dương n thành tổng có tính thứ tự số nguyên dương không vượt k?”, ta phát biểu thành tốn thú vị sau: Bài toán 27 Cho k-phân đầy đủ mà đỉnh có k đỉnh Mỗi cạnh nối đỉnh với đỉnh đánh số từ đến k Hỏi có đường từ gốc đến cho tổng số đánh cạnh thuộc đường n? Tất nhiên có nhiều cách để chuyển mơ hình mà cách đặc sắc, thú vị chuyển đổi theo graph, nhiên, câu chuyện dài khác Ở đây, ta xét số mơ hình chuyển đổi tốn mơ góc độ vấn đề Khai thác mở rộng toán Trong phần này, ta xét số tốn đơn giản từ phát triển lên thành khó dạng liên quan Khai thác tốn ln giúp ta chủ động q trình xử lý tốn, khơng sợ gặp dạng Tốn lạ tìm liên kết tốn với hiểu biết có sẵn Bài tốn 28 (Một số vấn đề tô màu điền số) d 1) Bàn cờ × có điền số −1, Hỏi có xảy trường hợp tổng số hàng, cột đường chéo phân biệt hay không? Không thể xảy giá trị tổng nhận từ −7 đến 7, có 15 số; giá trị cần phân biệt hàng, cột đường chéo có đến 16 129 Tạp chí online cộng đồng người u Tốn 2) Câu hỏi tương tự khơng tính hai đường chéo Ta chứng minh trường hợp xảy tổng nhận giá trị lẻ từ −7 đến Rõ ràng có tất giá trị −7, −5, −3, −1, 1, 3, 5, 3) Tương tự 2) tìm số giá trị phân biệt lớn mà tổng hàng cột nhận Ta xây dựng bảng để tồn bảng số nhận giá trị liệt kê sau: 1 1 1 1 1 1 −1 1 1 −1 −1 −1 1 −1 −1 −1 1 −1 −1 −1 −1 1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 Ta thấy cột đầu nhận giá trị lẻ từ đến −3, cột cuối nhận giá trị −7; đó, hàng cuối nhận giá trị −5 nên thỏa mãn 4) Câu hỏi tương tự 3) thay bảng × 2015 × 2015 Từ toán trên, ta dự đoán kết 2016 Vấn đề phân bố số thích hợp cho đảm bảo nhận đủ 2016 số Ta áp dụng ý tưởng xây dựng cho bảng × vào toán này; cụ thể cho cột nhận giá trị thích hợp từ 2015 đến −2011, thêm số −2015 cột cuối Chú ý số lại −2013 tạo thành 2014 số −1 số xếp cho xuất hàng cuối cách đưa số −1 cột xuống cuối hoàn tất 5) Vẫn vấn đề điền số vào bảng × ta quan tâm đến tích Hỏi xảy trường hợp tích số thuộc hàng cột −1 hay khơng? Khơng lấy tích hàng nhân lại với A = −1; cịn lấy tích số cột nhân 130 Tạp chí online cộng đồng người yêu Tốn lại với B = Tuy nhiên, A, B lại tích tất số bảng nên vô lý 6) Câu hỏi tương tự 5) thay điều kiện thành tích hàng cột Hỏi có bảng thế? Ta thấy tình này, bảng tồn (vì nhất, ta có bảng gồm toàn số 1) Quan sát cách điền vào bảng với kích thước nhỏ hơn, chẳng hạn × 3, × 4, ta thấy việc điền số phụ thuộc vào bảng góc bên trái; hàng cuối cột cuối điền cách xác định (chú ý ô cuối điền được) Từ suy số bảng cần tìm 236 (do bảng có hai cách điền −1) 7) (Đề thi thử VMO Viện Tốn) Cho bảng m × n với m, n ∈ Z+ Hỏi có cách tơ màu ô vuông bảng cho số lượng ô tô cột hàng chẵn? Rõ ràng với một, chẳng qua khác cách xây dựng vấn đề Bằng cách lặp lại lập luận tương tự, ta có đáp số 2(m−1)×(n−1) 8) (Colombia MO) Có cách điền số vào bàn cờ kích thước × số −1 cho tổng số hình vng × 0? Tương tự ý tưởng hai đây, yếu tố định không phụ thuộc vào bảng ô vuông mà lại hàng bảng, chẳng hạn hàng Nếu hàng có số −1, xen kẽ rõ ràng hàng cịn lại điền tương tự ngược lại hàng có hai cách điền, ta có 28 cách điền Trong trường hợp tồn hai số giống đứng cạnh dễ thấy số lại xác định theo hàng đó, ta có 28 − cách điền (loại hai cách điền xen kẽ) Vậy tổng cộng có 28 + 28 − = 510 cách điền 131 Tạp chí online cộng đồng người u Tốn Cịn lại hai tập tự luyện: 9) Có cách điền số vào bàn cờ × số −1 cho tổng số hàng cột 0? 10) (AIME, 2007) Có cách tơ màu 12 bảng × cho hàng có hai cột có ba ô tô? Bài toán 29 (Về tập hoán vị) d 1) Cho tập hợp S = {1, 2, 3, , 2n} Hỏi có tập T S cho T không chứa hai phần tử a, b mà |a − b| = n? Ta chia số vào bảng bên dưới: n+1 n+2 n+3 n 2n Rõ ràng cột cho ta cách tạo tập là: chọn số trên, chọn số không chọn số Chú ý thêm chúng có yếu tố quan trọng cột độc lập với nên đáp số toán 3n 2) Câu hỏi tương tự thay điều kiện a + b = 2n + Xây dựng bảng tương tự đổi việc ghép cặp cột lại (các số i 2n + − i ghép với nhau), đáp số toán 3n 3) Câu hỏi tương tự 1) thay 2n số n tùy ý, cụ thể là: Cho tập hợp S = {1, 2, 3, n} Hỏi có tập T S cho T không chứa hai phần tử a, b mà |a − b| = n2 ? Ta xét hai trường hợp: • Nếu n = 2m số chẵn tương tự 1, đáp số 3m • Cịn n = 2m + số lẻ rõ ràng số (1, m + 1, 2m + 1) có liên hệ với nhau; ta thấy có cách chọn cho số này: chọn số không chọn số chọn số 2m + 1; số lại cũ Đáp số · 3m−1 132 Tạp chí online cộng đồng người yêu Toán 4) Câu hỏi tương tự 2) thay 2n n tùy ý Trong trường hợp chẵn, đáp số cũ; n = 2m + lẻ, ta thấy số m + có chọn vào tập hay không không ảnh hưởng nên đáp số · 3m 5) Giải lại câu cách sử dụng nguyên lý bù trừ Ta thấy ý tưởng chia bảng dạng xây dựng mơ hình tốt Tuy nhiên, ta hồn tồn sử dụng cách đếm tự nhiên dùng nguyên lý bù trừ để thực công việc Gọi A tập hợp tập chứa cặp số (a, b) mà |a − b| = n Gọi Ai tập có chứa cặp (i, i + n) với i n Khi đó, ta có A = A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ · · · ∪ An Theo nguyên lý bù trừ thì: |A| = |Ai | − set sets |Ai ∩ Aj | + sets |Ai ∩ Aj ∩ Ak | − · · · Tuy nhiên, tính bình đẳng nên ta cần tính đại diện tập hợp Ta có |A1 | = 22n−2 (do cố định hai số n + vào tập con, phần tử cịn lại có cách chọn thuộc tập không) Tương tự |A1 ∩ A2 | = 22n−4 Khi đó, số tập hợp cần tính là: n 22n − |A| = 22n − C1n 22n−2 + C2n 22n−4 − C3n 22n−6 + · · · + Cn n (−1) Chú ý tổng cuối khai triển nhị thức Newton n (22 − 1) = 3n 6) (IMO, 1989) Câu hỏi tương tự thay tập hai phần tử liên tiếp hoán vị Chứng minh số hoán vị nhiều số hốn vị khơng thỏa mãn tính chất tương ứng Ta thực việc đặt tương tự kết C1n · · (2n − 1)! − C2n · 22 · (2n − 2)! + C3n · 23 · (2n − 3)! − · · · 133 Tạp chí online cộng đồng người yêu Toán Tuy nhiên, để đánh giá trực tiếp cho tổng khơng dễ Ta “cắt” tổng đoạn trừ đưa đánh giá: C1n · · (2n − 1)! − C2n · 22 · (2n − 2)! > · (2n!) Tuy nhiên, điều thực dễ dàng biến đổi đại số 7) Với n 2, tính số hốn vị a1 , a2 , a3 , , an số {1, 2, 3, , n} thỏa ai+1 − với i = 1, 2, 3, , n − Gọi Sn số hoán vị dạng Giả sử = n điều kiện ai+1 − nên ai−1 = n − thế, suy a1 = n − i, số lại 1, 2, 3, , n − i − tạo thành hoán vị thỏa mãn điều kiện cho có n − i − phần tử Sn−i−1 Do i n nên ta có n−1 Sn = i=0 Sn−i = S1 + S2 + S3 + · · · + Sn−1 Ta có S1 = 0, S2 = nên quy nạp, ta chứng minh Sn = 2n−1 với n 8) (Đề chọn đội tuyển KHTN, 2010) Câu hỏi tương tự 7) bổ sung thêm điều kiện = i với i = 1, 2, 3, , n Đây khó để tìm đáp số vô rắc rối Để giải quyết, ta đếm hoán vị thỏa mãn điều kiện 7) không thỏa mãn điều kiện 8), đặt điều kiện T , tức hoán vị có số i mà = i Ta thấy tồn i = j mà = i, aj = j với k mà i k j ak = k Gọi x, y số nhỏ nhất, lớn thỏa mãn = i, i n với x < y n Ta nhận xét với số ak mà k < x nhận giá trị từ y + đến n; tương tự, với số ak mà k > y nhận giá trị từ đến x − Khi đó, dễ thấy hai đại lượng x − 1, n − y khác khơng thể tồn cách xếp nên ta phải ln có x − = n − y hay x + y = n + 134 Tạp chí online cộng đồng người yêu Toán n+1 Với x mà x , tương tự cách tính số hốn vị thỏa mãn điều kiện 7) trên, ta thấy số hoán vị thỏa mãn 22(x−2) x x = Khi đó, số hốn vị thỏa mãn điều kiện T là: [ n+1 ] [ n+1 ] 2(x−2) 1+ x−2 =1+ i=2 i=2 n+1 n+1 4[ ] + 4[ ] − =1+ = 3 Vậy số hốn vị cần tìm là: n−1 n+1 4[ ]−1 + − 9) (VMO, 2009) Cho số nguyên dương n > Kí hiệu T tập hợp 2n số nguyên dương Hỏi có tập S T thỏa mãn tính chất: S khơng tồn hai số a, b mà |a − b| ∈ {1, n}? Đáp số toán là: √ n √ √ √ 3+ 1+ + 3− 1− n − 2(−1)n Bài toán 30 (Một số tốn đếm hình học) d 1) Cho bảng vng × Có hình chữ nhật? Chỉ cần chọn hàng, cột bảng hình chữ nhật, đáp số (C26 ) 2) Câu hỏi tương tự thay hình chữ nhật hình vng Đếm loại hình vng kích thước × 1, × 2, , × để phát quy luật số lượng chúng 62 , 52 , 42 , , 12 cộng lại 3) Câu hỏi tương tự 1) hình chữ nhật thay tam giác vuông, tam giác vuông cân Chú ý số lượng hình vng gấp lần số tam giác vng cân số lượng hình chữ nhật gấp lần số tam giác vuông thông thường 135 Tạp chí online cộng đồng người u Tốn 4) Câu hỏi tương tự thay hình vng có cạnh khơng thiết song song với cạnh hình vng ban đầu Chú ý có số hình vng nghiêng, chúng nội tiếp hình vng thơng thường Ta cần tính xem với hình vng thơng thường, có tất hình vng nghiêng có câu trả lời 5) Cho lưới tam giác hình vẽ bên Hỏi có hình bình hành? Ta chiếu điểm lên đường thẳng song song với cạnh tam giác cho, giả sử cạnh BC Đếm hình bình hành có cạnh song song với cạnh lại tam giác ban đầu, giả sử AB, AC cách chọn điểm theo thứ tự đường thẳng chiếu Rõ ràng với tam giác có cạnh chia thành n phần số cách C4n+2 nên tổng cộng có tất 3C4n+2 6) Cũng lưới tam giác trên, hỏi có tam giác đều? Đếm truy hồi bù trừ, đặt Sn số tam giác trường hợp chia cạnh thành n phần ta có cơng thức là: S(2n) = · S(2n − 1) − · S(2n − 2) + S(2n − 3) + S(2n + 1) = · S(2n) − · S(2n − 1) + S(2n − 2) + 136 Tạp chí online cộng đồng người u Tốn Cơng thức hiểu dễ dàng việc thu nhỏ số cạnh lại đơn vị tương ứng với đỉnh, ta có tam giác; thực cộng số tam giác đỉnh có phần chung, trừ ra, lại bù vào Sau cùng, ta cộng thêm tam giác lớn Tuy nhiên, ý trường hợp số chẵn, tam giác tạo trung điểm cạnh chưa xét vào nên thay cộng 1, ta cộng thêm Đáp số toán là: n(n + 2)(2n + 1) S(n) = , n ≡ (mod 2) S(n) = n(n + 2)(2n + 1) − , n ≡ (mod 2) 7) Câu hỏi tương tự 6) cho phép vẽ thêm cạnh Đáp số toán thú vị Số tam giác số hình bình hành C4n+2 8) Khi chia đa giác lồi lõm có n cạnh thành tam giác có tam giác tổng cộng? Đáp số tốn n − Có thể chứng minh quy nạp 9) Hỏi có cách chia đa giác lồi thành tam giác cách tùy ý? Đây toán rắc rối, chứng minh quy nạp Cn đáp số số Catalan tiếng n+1 2n 10) Câu hỏi tương tự 9) thay tam giác tùy ý tam giác có cạnh cạnh đa giác ban đầu? 137 Tạp chí online cộng đồng người yêu Toán d 138 ... chia đơi số trường hợp lại cộng vào số cách chia cần tìm Cơng thức hồn tồn kiểm tra với giá trị n nhỏ Dựa vào phân tích trên, bạn thử giải tốn sau: “Có cách phân hoạch tập hợp S gồm n phần tử... phát từ toán phân hoạch số nguyên: “Hỏi có cách biểu diễn số nguyên dương n thành tổng có tính thứ tự số ngun dương khơng vượt q k?”, ta phát biểu thành toán thú vị sau: Bài toán 27 Cho k -phân đầy... nhiều toán chứng minh tốn đếm tổ hợp Ý tưởng phương pháp thay đổi cách tiếp cận đề đường, cách nhìn khác có đặc điểm tương đồng với giả thiết ban đầu mà với nó, ta dễ dàng xử lí Dưới đây, phân tích