Chuyển đổi mơ hình

b) Tiếp theo, ta đặt f(m, n) và g(m, n) lần lượt là số các bảng tốt m ×ncó chẵn và lẻ các số1.Xét một học sinh nữ tùy ý, đặt là

2.3. Chuyển đổi mơ hình

Trên thực tế, nhiều bài tốn có thể có sự chuyển đổi qua lại giữa việc phát biểu dạng tập hợp như trên và việc xây dựng mơ hình. Điển hình như bài tốn trong đề VMO ở trên có thể đã

Tạpchí chí onl ine của cộng đồng những người u T ốn

xuất phát từ một bài tốn trong đồ thị nào đó để xây dựng theo tình huống thực tế ở trên. Việc chuyển đổi mơ hình đó có tinh tế hay khơng tùy thuộc vào tình huống sử dụng tương đồng bao nhiêu so với bài toán gốc.

Xuất phát từ bài toán quen thuộc: “Chứng minh rằng khơng thể lát một nền nhà10×10bằng cách viên gạch1×4.”

Cách giải của bài này là tơ màu các ơ có dạng (lẻ, lẻ) trong bảng, như thế thì tơ được25ơ. Tuy nhiên, mỗi viên gạch1×4như trên phải chiếm 2ơ được tơ màu, tức là số ơ được tơ màu nằm trong đó phải chẵn. Điều mẫu thuẫn này cho thấy ta không thể lát gạch nền nhà theo cách trên được.

Bài toán này có thể thay số 10 (số chẵn nhưng khơng chia hết

cho 4) thành các số tương tự như 50, 2010, 2014, . . . thì vẫn cho

câu trả lời tương tự với cách giải tương tự.

Ta thử thay đổi bài toán theo kiểu nối các điểm trong mặt phẳng để thu được bài toán sau:

Bài toán 25. Trong mặt phẳng, cho tập hợp A gồm 20102 điểm phân biệt được đánh số từ1đến20102 sao cho ba điểm bất kì nào trong chúng cũng không thẳng hàng. Một tứ giác (lồi hoặc lõm)

được gọi là “đẹp” nếu các đỉnh của nó thuộc A và được đánh số bằng 4 số thỏa mãn một trong hai điều kiện sau:

• Đó là 4số tự nhiên cách nhau 2010đơn vị.

• Đó là 4số tự nhiên liên tiếp và nếu trong đó có chứa số chia hết cho2010 thì số đó phải là lớn nhất.

Nối tất cả các điểm thuộc tập hợp A lại với nhau sao cho điểm nào thuộc Acũng thuộc đúng một tứ giác. Tìm số lớn nhất tứ giác “đẹp” được tạo thành.

Rõ ràng cách nối các điểm như trên có thể được mơ phỏng bằng 4 số nằm trên một viên gạch1×4như trên.

Ta có thể giải chi tiết bài tốn này như sau:

Lời giải. Xét một bảng ơ vng gồm 2010 ×2010 ơ vng con được điền các số theo thứ tự từ trên xuống và từ trái sang (xem trang tiếp) như sau:

Tạpchí chí onl ine của cộng đồng những người u T ốn 1 2 3 . . . 2009 2010 2011 2012 2013 . . . 4019 4020 4021 4022 4023 . . . 6029 6030 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20102

Trước hết, ta sẽ chứng minh rằng không thể chia tất cả 20102 điểm đã cho thành các tứ giác “đẹp” được. Rõ ràng 4 số trên các đỉnh của các tứ giác “đẹp” tương ứng với 4số bị che đi trên bảng ơ vng khi đặt một mảnh bìa hình chữ nhật kích thước 1×4 vào đó. Ta sẽ chứng minh rằng khơng thể che hết toàn bộ bảng ơ vng này bằng các hình chữ nhật 1×4. Thật vậy, ta tô màu các ô vuông nằm ở cột chẵn và hàng chẵn. Do bảng có 20102 ơ vng nên số ô vuông bị tô màu là 20102

4 ,là số lẻ.

Giả sử ngược lại rằng ta có thể lấp kín được cả bảng ơ vng bằng các mảnh bìa. Khi đó, mỗi mảnh bìa sẽ che đi hoặc hai ơ vng hoặc khơng có ơ vng nào của bảng ơ vng, tức là ln có một số chẵn ơ vng bị che đi; do đó, số ơ vng bị che đi trên bảng là một số chẵn. Từ đó ta thấy có mâu thuẫn. Do đó, khơng thể che hết bảng ơ vng này bằng các hình chữ nhật 1×4 được.

Bây giờ, gọi klà số tứ giác đẹp lớn nhất cần tìm thì k61010024. Ta sẽ chứng minh k = 1010024 bằng cách chỉ ra cách dùng các mảnh bìa che kín bảng ơ vng. Thật vậy, chia bảng ơ vng thành hai phần:

• Phần 1 gồm 2008 cột đầu, ta xếp các mảnh bìa theo các hàng, mỗi hàng có đúng502 mảnh bìa. Khi đó, ta sẽ có thể che kín hết phần 1 bởi các mảnh bìa.

• Phần2gồm2cột cuối, ta xếp nối tiếp các mảnh bìa từ trên xuống dưới thì cuối cùng sẽ cịn lại một ơ vng 2×2ở góc dưới cùng của bảng.

Như vậy, ta dùng 1010024 mảnh bìa che được tối đa 20102−4 ơ vng của bảng. Từ đó, ta thấy, số tứ giác “đẹp” lớn nhất cần tìm làk=1010024.

Chúng ta thử xét bài tốn sau: Có bao nhiêu cách lát một hình chữ nhật kích thước 2×nbởi các viên gạch: hình chữI (hình chữ

Tạpchí chí onl ine của cộng đồng những người u T ốn nhật kích thước 1×2) và hình chữ L (hình vng 2×2 bỏ đi một ơ)? Nếu thay hình chữ nhật2×nbằng một hình khác thì số cách lát thu được sẽ là bao nhiêu?

Qua đó, ta thấy rằng việc chuyển đổi các mơ hình, từ các điểm, các hình trong mặt phẳng đến các số trong một tập hợp và ngược lại giúp cho bài tốn có một dáng vẻ mới khá thú vị. Chúng ta thử nhắc đến một bài toán trong kì thi IMO 1983: Tơ tất cả các điểm nằm trên cạnh của tam giác đều bởi hai màu là xanh và đỏ. Hỏi với mọi cách tơ màu như thế, có ln tồn tại một tam giác vng có ba đỉnh được tơ cùng màu hay khơng?

Bài tốn này có thể giải quyết khơng q khó khăn bằng cách xét các điểm chia các cạnh của tam giác ABC theo tỉ số2:1,có khá nhiều tam giác vuông được tạo thành từ 6điểm này và nhờ vậy mà ta có thể áp dụng ngun lí Dirichlet để giải quyết bài toán. Tuy nhiên, nếu chúng ta thay đổi cách phát biểu thành tọa độ trong mặt phẳng thì bài tốn sẽ thú vị hơn nhiều.

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, một tam giác đều ABC có tọa độ của các đỉnh lần lượt là A 0,√

3

, B −1, 0

, C 1, 0

thì phương trình đường thẳng chứa các cạnh AB, AC có thể viết là √

3x

+

y=√

3,đường thẳng chứa cạnh BCtrùng với trụcOx.Hơn nữa, rõ ràng độ dài của BC có thể thay bằng một số bất kì nào khác nên ta có bài toán sau:

Bài toán 26. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, xét phần mặt phẳng

giới hạn bởi đồ thị của y = √

3(a−|x|), trong đó a > 0 và trục hồnh. Gọi S là tập hợp các điểm nằm trên biên của miền đó.

Tạpchí chí onl ine của cộng đồng những người u T ốn

Chứng minh rằng với mọi cách chia S thành hai tập hợp con rời nhau thì ln tồn tại ba điểm là đỉnh của một tam giác vuông.

Cách giải bài này cũng hoàn toàn tương tự như bài kia. Vấn đề mấu chốt ở đây là nhìn nhận được bao lồi ở trên thực chất là một tam giác đều và cách chia tập con cũng giống như việc tô các điểm bởi hai màu.

Xuất phát từ bài toán phân hoạch số nguyên: “Hỏi có bao nhiêu cách biểu diễn số nguyên dương n thành tổng có tính thứ tự các

của các số ngun dương khơng vượt q k?”, ta có thể phát

biểu thành một bài toán khá thú vị như sau:

Bài toán 27. Cho một cây k-phân đầy đủ mà mỗi đỉnh khơng

phải lá đều có đúngk đỉnh con. Mỗi cạnh nối1 đỉnh với các đỉnh con của nó được đánh số từ1đếnk. Hỏi có bao nhiêu đường đi từ

gốc đến lá sao cho tổng các số đánh trên các cạnh thuộc đường đi đúng bằng n?

Tất nhiên có nhiều cách để chuyển mơ hình mà cách đặc sắc, thú vị nhất vẫn là chuyển đổi theo graph, tuy nhiên, đó là một câu chuyện dài khác. Ở đây, ta chỉ xét một số mơ hình chuyển đổi và bài tốn mơ phỏng một góc độ nào đó của vấn đề này.