Cơ sở Grobner là gì?

Bài viết trình bày cơ sở Grobner là một tập hợp các đa thức nhiều biến có các tính chất mong muốn về giải thuật. Mỗi tập hợp các đa thức có thể biến đổi thành một cơ sở Grobner. Quá trình biến đổi này tổng quát hóa ba kỹ thuật quen thuộc: Phép khử Gauss để giải hệ phương trình tuyến tính, thuật toán Euclide để tính ước chung lớn nhất của hai đa thức một biến và thuật toán đơn hình trong qui hoạch tuyến tính.

¨ CƠ SỞ GROBNER LÀ GÌ? Bernd Sturmfels - Đại Học California, Berkeley, Mỹ Bài viết Nguyễn Vũ Duy Linh dịch từ báo “What is Groebner basis” giáo sư Bernd Sturmfels đăng tạp chí Notice of AMS, volume 52, number 10; 2005: Mt c s Grăobner tập hợp đa thức nhiều biến có tính chất mong muốn giải thuật Mỗi tập hợp đa thức biến đổi thành c s Grăobner Quỏ trỡnh bin i ny tng quỏt hóa ba kỹ thuật quen thuộc: Phép khử Gauss để giải hệ phương trình tuyến tính, thuật tốn Euclide để tính ước chung lớn hai đa thức biến thuật tốn đơn hình qui hoạch tuyến tính (xem Œ3) Chẳng hạn, đầu vào phép khử Gauss tập dạng tuyến tính sau D f2x C 3y C 4z 5; 3x C 4y C 5z 2g; V thut toỏn bin i thnh c s Grăobner % D fx z C 14; y C 2z 11g: Gọi K trường bất kỳ, chẳng hạn trường số thực K D R; trường số phức K D C; trường số hữu tỉ K D Q; trường hữu hạn K D Fp : Ta ký hiệu KŒx1 ; : : : ; xn  vành đa thức n biến xi với hệ số trường K: Nếu F tập hợp đa thức ideal sinh tập hợp h i bao gồm tổ hợp tuyến tính đa thức h i D fp1 f1 C C pr fr W f1 ; : : : ; fr p1 ; : : : ; pr KŒx1 ; : : : ; xn g: Trong vớ d ca chỳng ta, v c s Grăobner % sinh ideal h%i D h i: Theo định lý Hilbert sở, ideal KŒx1 ; x2 ; : : : ; xn  có dạng I D h i; nghĩa sinh tập hữu hạn đa thức Một thứ tự đơn thức KŒx1 ; x2 ; : : : ; xn  thứ tự toàn phần đơn thức x a D x1a1 x2a2 xnan với hai tính chất sau 1/ Nó nhân tính, nghĩa x a x b kéo theo x aCc 2/ Đơn thức nhỏ nhất, có nghĩa tập hợp tất x bCc với a; b; c Nn : x a với a Nn f0g: Một ví dụ thứ tự đơn thức (với n D 2/ thứ tự từ điển phân bậc x1 x2 x12 x1 x2 x22 x32 x12 x2 Nếu cố định thứ tự đơn thức ; đa thức có số hạng khởi đầu f / D x a : Đó đơn thức cực đại x a xuất khai triễn f với hệ số khác không Chúng ta viết số hạng f theo thứ tự giảm dần, thông thường gạch số hạng khởi đầu Chẳng hạn, đa thức bậc hai viết sau: f D 3x22 C 5x1 x2 C 7x12 C 11x1 C 13x2 C 17: 21 Tạp chí Epsilon, Số 08, 04/2016 Giả sử I ideal KŒx1 ; : : : ; xn : Khi ideal khởi đầu số hạng khởi đầu tất đa thức I W in I / D hin I / ideal sinh f / W f I i: Một tập hữu hạn % I s Grăobner tng ng vi th t theo s hng số hạng khởi đầu phần tử % đủ để sinh ideal khởi đầu: in I / D hin g/ W g %i: Khơng có u cầu tính tối tiểu để trở thnh mt c s Grăobner Nu % l mt c s Grăobner ca I thỡ mt hu hn I chứa % s Grăobner khc phc tớnh phi ti tiu ú, chỳng ta gi % l mt c s Grăobner rỳt gọn nếu: 1/ Với g % hệ số in 2/ Tập hợp fin g/ g 1: g/ W g %g tập nhỏ sinh in 3/ khơng có số hạng theo sau với g % nằm in I /; I /: Với định nghĩa này, ta có định lý sau đây: Nếu cố định thứ tự đơn thức KŒx1 ; : : : ; xn  cú mt c s Grăobner rỳt gn nht thỡ mi ideal I C s Grăobner rỳt gn % cú thể tính từ tập sinh I theo phương pháp giới thiệu luận án Bruno Buchberger năm 1965: Buchberger gọi phương pháp theo tờn ca ngi hng dn Wolfgang Grăobner Sau ú ngi ta nhn rng, ý tng v c s Grăobner có trước chẳng hạn viết Paul Gordan, nhà nghiên cứu bất biến Tuy nhiên Buchberger người đề gii thut tớnh c s Grăobner C s Grăobner tiện dụng để giải hệ phương trình đa thức Giả sử K  C; tập hữu hạn đa thức KŒx1 ; : : : ; xn : Đa tập tập tất không điểm phức chung / D f.z1 ; : : : ; zn / Cn W f z1 ; : : : ; zn / D với f g: Đa tạp không thay đổi ta thay tập đa thức sinh ideal KŒx1 ; : : : ; xn : Núi riờng, c s Grăobner gii hn % ideal h i có đa tạp: / D h i/ D h%i/ D %/: Ưu điểm % cho biết đặc tính hình học đa tạp, đặc tính khơng hiển lộ từ : Câu hỏi đặt liệu đa tạp / rỗng hay không Định lý không điểm Hilbert ngụ ý đa tạp / rỗng % f1g: Làm để đếm số không điểm hệ thống phương trình cho? Để trả lời cho câu hỏi này, cần thêm định nghĩa Cho ideal cố định I KŒx1 ; : : : ; xn  thứ tự đơn thức ; đơn thức x a D x1a1 x2a2 xnan gọi chuẩn trong ideal khởi đầu in I /: Số lượng đơn thức chuẩn hữu hạn xi xuất ˝ biến ˛ lũy thừa ideal khởi đầu Chẳng hạn, in I / D x ; x ; x ˝ ˛ có sáu mươi đơn thức chuẩn, in I / D x1 ; x2 ; x1 x3 tập hợp đơn thức chuẩn vô hạn Đa tạp I / hữu hạn tập hợp đơn thức chuẩn hữu hạn số lượng đơn thức chuẩn với lực lượng I / khơng điểm bội cấp k đếm k lần 22 Tạp chí Epsilon, Số 08, 04/2016 Khi n D Định lý Đại số, định lý phát biểu đa tạp f / đa thức biến f KŒx với bậc d bao gồm d số phức Ở tập hợp có phần tử ff g sở Grăobner, v cỏc n thc chun l 1; x; x ; : : : ; x d : Tiêu chuẩn việc định liệu đa tạp có hữu hạn hay khơng tổng qt hóa cơng thức sau cho số chiều đa tạp Xét tập S tập biến fx1 ; : : : ; xn g cho khơng có đơn thức S xuất in I /; giả sử S có lực lượng lớn số tập có tính chất Khi lực lượng tối đại jS j với số chiều I /: Tập hợp đơn thức chuẩn sở không gian vector trường số K cho vành thặng dư KŒx1 ; : : : ; xn =I: Ảnh đa thức p modulo I biểu diễn cách K tổ hợp tuyến tính đơn thức chuẩn Biểu thức dạng chuẩn p: Q trình tính dạng chuẩn thuật toán chia Trong trường hợp quen thuộc với biến x; mà I D hf i f có bậc d; thuật tốn chia biểu diễn đa thức tùy ý p KŒx dạng K tổ hợp tuyến tính 1; x; x ; : : : ; x d : Tuy nhiên thuật toán chia áp dụng cho mt c s Grăobner tựy ý % vi s lng biến tùy ý Làm thử nghiệm liệu tập đa thức cho trước l mt c s Grăobner 0 hay khụng? Xét hai đa thức tùy ý g g %: Thành lập S đa thức m g mg : Ở m 0 m hai đa thức bậc nhỏ cho m in g/ D m in g /: S đa thức 0 m g mg nằm ideal h%i: Chúng ta áp dụng thuật toán chia s Grăobner tm 0 thi % cho m g mg : Dạng chuẩn thu nhận K tổ hợp tuyến tính đơn thức khơng có đơn thức chia hết cho đơn thức khởi đầu từ %: Điều kiện cần để % l mt c s Grăobner l normalform% m g 0 mg / D với g; g %: Tiêu chuẩn Buchberger phát biểu điều kiện cần điều kiên đủ: Một tập hp % cỏc a thc l mt c s Grăobner S đa thức có dạng chuẩn zero Từ tiêu chuẩn này, người ta đề thuật tốn Buchberger Œ1 để tính sở Grăobner rỳt gn % t mt hp u bt k Túm li, cỏc c s Grăobner v thut tốn Buchberger để tìm chúng khái niệm đại số Chúng cung cấp cách tính tốn tiên tiến hình học đại số, chẳng hạn lý thuyết khử, tính đối đồng điều, giải tính kỳ dị, Cũng mơ hình đa thức có mặt khắp nơi từ khoa học đến kỹ thut, cỏc c s Grăobner c cỏc nh nghiờn cu sử dụng tối ưu hóa, lập trình, robotics, lý thuyết điều khiển, thống kê, sinh học phân tử nhiều ngành khác Chúng mời bạn đọc thử dùng qua cài đặt thuật toán Buchberger (chẳng hạn CoCoA, Macaulay2, Magma, Maple, Mathematica, hay Singular) Tài liệu tham khảo [1] DAVID COX, JOHN LITTLE, and DONAL O’ SHEA, Ideals, Varieties and Algorithms An Introduction to Computational Algebraic Geometry and Commutative Algebra, second ed Undergraduate Texts in Mathematics, Springer-Verlag, New York, 1997: [2] NIELS LAURITZEN, Concrete Abstract Algebra: From Numbers to Grăobner Bases, Cambridge University Press, 2003: 23 Tạp chí Epsilon, Số 08, 04/2016 [3] BERND STURMFELS, Two Lectures on Grăobner Bases, New Horizons in Undergraduate Mathematics, VMath Lecture Series, Mathematical Sciences Research Institute, Berkeley, California, 2005; http://www.msri.org/communications/vmath/special_ productions/ 24 ... Buchberger gọi phương pháp theo tờn ca ngi hng dn Wolfgang Grăobner Sau ú người ta nhận rằng, ý tưởng sở Grăobner ó cú trc ú chng hn mt bi viết Paul Gordan, nhà nghiên cứu bất biến Tuy nhiên Buchberger... Câu hỏi đặt liệu đa tạp / rỗng hay không Định lý không điểm Hilbert ngụ ý đa tạp / rỗng % f1g: Làm để đếm số không điểm hệ thống phương trình cho? Để trả lời cho câu hỏi này, cần thêm định nghĩa... chun l 1; x; x ; : : : ; x d : Tiêu chuẩn việc định liệu đa tạp có hữu hạn hay khơng tổng qt hóa cơng thức sau cho số chiều đa tạp Xét tập S tập biến fx1 ; : : : ; xn g cho khơng có đơn thức S