thuật toán đạo hàm tăng cường giải bài toán cân bằng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊNTRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ------ PHÙNG THỊ THU HUYỀNTHUẬT TOÁN ĐẠO HÀM TĂNG CƯỜNG GIẢI BÀI TOÁN CÂN BẰNG Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số : 8 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

- -

PHÙNG THỊ THU HUYỀN

THUẬT TOÁN ĐẠO HÀM TĂNG CƯỜNG GIẢI BÀI TOÁN CÂN BẰNG

Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số : 8 46 01 12

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

TS Nguyễn Thị Thanh Huyền

THÁI NGUYÊN - 2022

Möc löc

1.1 Mët sè ki¸n thùc cì b£n v· Gi£i t½ch lçi 4 1.2 T½nh ìn i»u cõa song h m c¥n b¬ng 7 1.3 B i to¡n c¥n b¬ng v  c¡c b i to¡n li¶n quan 7 2 Thuªt to¡n ¤o h m t«ng c÷íng gi£i b i to¡n c¥n b¬ng 10 2.1 Thuªt to¡n 10 2.2 Sü hëi tö cõa thuªt to¡n 13 2.3 p döng cho b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n hén hñp a trà 25 2.4 V½ dö sè 27

i

Líi nâi ¦u

Cho K l  tªp con lçi âng kh¡c réng trong khæng gian n chi·u Rn v  f : K × K → Rn ∪ {+∞} l  mët song h m c¥n b¬ng, tùc l  thäa m¢n f (x, x) = 0 vîi måi x ∈ K X²t b i to¡n c¥n b¬ng theo ngh¾a L D Muu v  Oettli [9] câ d¤ng:

T¼m x∗ ∈ K sao cho f(x∗, y) ≥ 0 vîi måi y ∈ K.

B§t ¯ng thùc tr¶n ÷ñc H Nikaido v  K Isoda [10] sû döng l¦n ¦u ti¶n v o n«m 1955 trong khi nghi¶n cùu trá chìi khæng hñp t¡c N«m 1972, Ky Fan [7] gåi l  b§t ¯ng thùc minimax v  æng ¢ ÷a ra c¡c k¸t qu£ v· sü tçn t¤i nghi»m cõa b i to¡n n y Thuªt ngú b i to¡n c¥n b¬ng ÷ñc sû döng l¦n ¦u ti¶n bði L.D Muu v  W Oettli [9] n«m 1992 B i to¡n c¥n b¬ng bao h m nhi·u lîp b i to¡n quan trång nh÷ b i to¡n tèi ÷u, b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n, b i to¡n iºm b§t ëng Kakutani, b i to¡n c¥n b¬ng Nash trong lþ thuy¸t trá chìi khæng hñp t¡c, B i to¡n c¥n b¬ng ÷ñc nghi¶n cùu bði nhi·u nh  khoa håc trong v  ngo i n÷îc c£ v· sü tçn t¤i nghi»m v  ph÷ìng ph¡p gi£i Trong â, h÷îng nghi¶n cùu v· ph÷ìng ph¡p gi£i câ thº nâi l  ÷ñc quan t¥m nhi·u hìn.

Mët sè ph÷ìng ph¡p gi£i b i to¡n c¥n b¬ng câ thº kº ¸n l  ph÷ìng ph¡p iºm g¦n k·, ph÷ìng ph¡p iºm b§t ëng, C¡c ph÷ìng ph¡p n y düa tr¶n nguy¶n lþ b i to¡n phö Nguy¶n lþ b i to¡n phö, ÷ñc Cohen [3] giîi thi»u l¦n ¦u ti¶n cho b i to¡n tèi ÷u, sau â mð rëng cho b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n G¦n ¥y, Mastroeni [8] mð rëng nguy¶n lþ b i to¡n phö cho b i to¡n c¥n b¬ng vîi song h m c¥n b¬ng ìn i»u m¤nh thäa m¢n i·u ki»n Lipschitz Tuy nhi¶n, c¡c thuªt to¡n düa tr¶n nguy¶n lþ b i to¡n phö, trong tr÷íng hñp têng qu¡t khæng hëi tö cho b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n ìn i»u l  mët tr÷íng hñp °c bi»t cõa b i to¡n c¥n b¬ng ìn i»u º kh­c phöc nh÷ñc

1

iºm n y, c¡c t¡c gi£ trong t i li»u [11] ¢ sû döng nguy¶n lþ b i to¡n phö º mð rëng ph÷ìng ph¡p ¤o h m t«ng c÷íng gi£i b i to¡n c¥n b¬ng ìn i»u Trong â, ph÷ìng ph¡p ¤o h m t«ng c÷íng, ÷ñc giîi thi»u l¦n ¦u ti¶n bði Korpelevich [6] º t¼m iºm y¶n ngüa, ÷ñc sû döng º gi£i b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n ìn i»u.

Luªn v«n tªp trung tr¼nh b y ph÷ìng ph¡p ¤o h m t«ng c÷íng gi£i b i to¡n c¥n b¬ng ìn i»u tr¶n cì sð åc hiºu v  tr¼nh b y l¤i mët c¡ch chi ti¸t nëi dung cõa b i b¡o [11] Luªn v«n gçm câ 2 ch÷ìng gçm nhúng nëi dung sau:

Trong ch÷ìng 1, chóng tæi tr¼nh b y mët sè kh¡i ni»m v· Gi£i t½ch lçi nh÷ tªp lçi, h m lçi, h m lçi m¤nh Ti¸p theo chóng tæi tr¼nh b y t½nh ìn i»u cõa song h m nh÷ ìn i»u m¤nh, ìn i»u, gi£ ìn i»u v  mèi quan h» giúa chóng Chóng tæi công tr¼nh b y v· b i to¡n c¥n b¬ng v  c¡c b i to¡n li¶n quan Nëi dung ch½nh cõa ch÷ìng n y ÷ñc vi¸t düa tr¶n c¡c t i li»u [2, 4, 5] Trong ch÷ìng 2 cõa luªn v«n, chóng tæi tr¼nh b y thuªt to¡n ¤o h m t«ng c÷íng gi£i b i to¡n c¥n b¬ng Nëi dung ch½nh cõa ch÷ìng n y ÷ñc tham kh£o chõ y¸u tø t i li»u [11].

Luªn v«n n y ÷ñc thüc hi»n t¤i tr÷íng ¤i håc Khoa håc - ¤i håc Th¡i Nguy¶n v  ho n th nh d÷îi sü h÷îng d¨n cõa TS Nguy¹n Thà Thanh Huy·n Tæi xin ÷ñc b y tä láng bi¸t ìn ch¥n th nh v  s¥u s­c tîi Cæ, ng÷íi ¢ d nh nhi·u thíi gian h÷îng d¨n, tªn t¼nh ch¿ b£o cho tæi trong qu¡ tr¼nh thüc hi»n · t i n y.

Tæi xin tr¥n trång c£m ìn Ban gi¡m hi»u tr÷íng ¤i håc Khoa håc - ¤i håc Th¡i Nguy¶n, Ban chõ nhi»m khoa To¡n - Tin còng c¡c th¦y cæ ¢ tham gia gi£ng d¤y v  t¤o måi i·u ki»n tèt nh§t º tæi håc tªp v  nghi¶n cùu.

çng thíi, tæi xin gûi líi c£m ìn tîi gia ¼nh th¥n y¶u, c£m ìn c¡c b¤n v  çng nghi»p ¢ luæn ëng vi¶n kh½ch l» tæi trong suèt qu¡ tr¼nh thüc hi»n · t i Sau còng, tæi xin k½nh chóc to n thº th¦y cæ tr÷íng ¤i håc Khoa håc -¤i håc Th¡i Nguy¶n thªt dçi d o sùc khäe º ti¸p töc sù m»nh cao quþ trong sü nghi»p trçng ng÷íi Tæi xin ch¥n th nh c£m ìn.

Danh möc kþ hi»u

Rn khæng gian vec tì thüc Euclide n chi·u AT ma trªn chuyºn và cõa ma trªn A (P EP ) B i to¡n c¥n b¬ng

(DEP ) B i to¡n c¥n b¬ng èi ng¨u

K∗ Tªp nghi»m cõa b i to¡n c¥n b¬ng

Kd Tªp nghi»m cõa b i to¡n c¥n b¬ng èi ng¨u ∇G(x) gradient cõa h m G(x)

∇2L(x, x) gradient cõa h m L(x, ) t¤i x

∂2f (x, y) D÷îi vi ph¥n theo bi¸n thù 2 cõa h m f(x, ) t¤i y NK(x) Nân ph¡p tuy¸n cõa tªp K t¤i x

3

Ch֓ng 1

Mët sè ki¸n thùc chu©n bà

Trong ch÷ìng n y, chóng tæi tr¼nh b y mët sè ki¸n thùc cì b£n v· tªp lçi, h m lçi, h m lçi m¤nh Ti¸p theo, chóng tæi tr¼nh b y v· t½nh ìn i»u cõa song h m; b i to¡n c¥n b¬ng v  mët sè b i to¡n li¶n quan Nëi dung ch½nh cõa ch÷ìng ÷ñc tham kh£o trong c¡c t i li»u [1, 2, 4, 5].

1.1 Mët sè ki¸n thùc cì b£n v· Gi£i t½ch lçi

Cho x v  y l  hai ph¦n tû thuëc Rn, kho£ng âng [x, y] ÷ñc ành ngh¾a nh÷ sau:

[x, y] := {λx + (1 − λ)y : λ ∈ [0, 1]}.

ành ngh¾a 1.1 [2, 4] Mët tªp con Ω cõa R ÷ñc gåi l  tªp lçi n¸u [x, y] ⊆ Ω khi m  x, y ∈ Ω Nâi c¡ch kh¡c, tªp Ω ÷ñc gåi l  tªp lçi n¸u λx+(1−λ)y ∈ Ω,

Vªy Ω2 l  tªp lçi.

ành ngh¾a 1.2 [1] Cho K ⊆ Rn l  mët tªp lçi v  mët iºm x ∈ K Nân ph¡p tuy¸n (ngo i) cõa K t¤i x x¡c ành bði

NK(x) = {v ∈ Rn : ⟨v, x − x⟩ ≤ 0, ∀x ∈ K}.

ành ngh¾a 1.3 [2] Cho f : Ω → R = R ∪ {+∞} l  mët h m nhªn gi¡ trà trong tªp sè thüc mð rëng x¡c ành tr¶n tªp con lçi Ω cõa Rn H m f ÷ñc gåi l  h m lçi tr¶n Ω n¸u

ành ngh¾a 1.4 [5] Cho Ω l  tªp con lçi trong Rn, mët h m g : Ω → R ÷ñc gåi l  lçi m¤nh vîi h¬ng sè τ tr¶n Ω, n¸u vîi méi τ > 0, x, y ∈ Ω v  λ ∈ [0, 1] thäa m¢n

g(λx + (1 − λ)y) ≤ λg(x) + (1 − λ)g(y) − τ

2λ(1 − λ)∥x − y∥

N¸u g l  h m lçi m¤nh th¼ suy ra g l  h m lçi.

V½ dö 1.3 H m g(x) = 2x2 trong khæng gian R l  h m lçi m¤nh vîi h¬ng sè l  4.

ành ngh¾a 1.5 [1] Cho f : Rn → (−∞, +∞) l  mët h m lçi v  x ∈ domf (tùc l  f(x) < +∞)) Mët ph¦n tû v ∈ Rn ÷ñc gåi l  mët d÷îi ¤o h m cõa h m f t¤i x n¸u

⟨v, x − x⟩ ≤ f (x) − f (x), ∀x ∈ Rn.

Hå t§t c£ c¡c d÷îi ¤o h m cõa h m f t¤i x ÷ñc gåi l  d÷îi vi ph¥n cõa f t¤i xv  k½ hi»u l  ∂f(x) H m f ÷ñc gåi l  kh£ d÷îi vi ph¥n t¤i x n¸u ∂f(x) ̸= ∅.

Sau ¥y l  ành ngh¾a v· h m nûa li¶n töc d÷îi, nûa li¶n töc tr¶n.

ành ngh¾a 1.6 [1, 2] Cho Ω l  tªp con lçi trong Rn, Ω ̸= ∅, mët h m f : Ω → R ÷ñc gåi l  nûa li¶n töc d÷îi t¤i iºm x ∈ Ω n¸u vîi méi ε > 0 tçn t¤i sè δ > 0 sao cho f(x) − ε ≤ f(x) vîi måi x ∈ Ω, ∥x − x∥ < δ H m f ÷ñc gåi l  nûa li¶n töc d÷îi tr¶n Ω n¸u f nûa li¶n töc d÷îi t¤i måi iºm x ∈ Ω H m f : Ω → R ÷ñc gåi l  nûa li¶n töc tr¶n t¤i iºm x ∈ Ω n¸u vîi méi ε > 0 tçn t¤i sè δ > 0 sao cho f(x) ≤ f(x) + ε vîi måi x ∈ Ω, ∥x − x∥ < δ H m f ÷ñc gåi l  nûa li¶n töc tr¶n tr¶n Ω n¸u f nûa li¶n töc tr¶n t¤i måi iºm x ∈ Ω.

H m f nûa li¶n töc tr¶n khi v  ch¿ khi −f nûa li¶n töc d÷îi H m f li¶n töc n¸u nâ vøa nûa li¶n töc d÷îi, vøa nûa li¶n töc tr¶n.

1.2 T½nh ìn i»u cõa song h m c¥n b¬ng

Cho song h m f : K × K → R ∪ {+∞} Song h m f thäa m¢n f(x, x) = 0 vîi måi x ∈ K gåi l  song h m c¥n b¬ng T½nh ìn i»u cõa song h m c¥n b¬ng ÷ñc cho bði ành ngh¾a sau.

ành ngh¾a 1.8 [2] Cho U v  V l  c¡c tªp lçi kh¡c réng trong khæng gian

vîi P, Q ÷ñc chån sao cho Q èi xùng, nûa x¡c ành d÷ìng v  Q − P l  nûa x¡c ành ¥m, q ∈ Rn Khi â, f l  song h m ìn i»u.

Thªt vªy, vîi méi u, v ∈ K, do Q − P l  nûa x¡c ành ¥m n¶n f (u, v) + f (v, u) = ⟨(Q − P )(v − u), v − u⟩ ≤ 0.

1.3 B i to¡n c¥n b¬ng v  c¡c b i to¡n li¶n quan

ành ngh¾a 1.9 [2] Cho K l  tªp con lçi âng kh¡c réng trong khæng gian Euclide n chi·u v  f : K × K → R ∪ {+∞} B i to¡n c¥n b¬ng ÷ñc ph¡t biºu nh÷ sau:

T¼m x∗ ∈ K sao cho f(x∗, y) ≥ 0, ∀y ∈ K (PEP)

Khi â, x∗ l  nghi»m cõa b i to¡n (DEP) n¸u v  ch¿ n¸u x∗ ∈ ∩x∈KLf(x) K½ hi»u K∗ v  Kd l¦n l÷ñt l  c¡c tªp nghi»m cõa b i to¡n (PEP) v  (DEP) Sü tçn t¤i nghi»m cõa hai b i to¡n n y ¢ ÷ñc nhi·u t¡c gi£ quan t¥m nghi¶n cùu V¼ Kd = ∩x∈KLf(x)n¶n tªp nghi»m Kd l  tªp lçi âng n¸u f(x, ) l  tªp lçi âng tr¶n K Trong tr÷íng hñp têng qu¡t, K∗ câ thº khæng lçi Tuy nhi¶n n¸u f lçi âng tr¶n K èi vîi bi¸n thù hai v  hemi-li¶n töc èi vîi bi¸n thù nh§t, th¼ K∗ l  tªp lçi v  Kd ⊆ K∗ Hìn núa, n¸u f gi£ ìn i»u tr¶n K, th¼ K∗ = Kd Trong ch÷ìng sau, ta gi£ sû Kd ̸= ∅.

B i to¡n c¥n b¬ng bao gçm nhi·u lîp b i to¡n quen thuëc nh÷ b i to¡n tèi ÷u, b i to¡n b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n, b i to¡n iºm b§t ëng, b i to¡n c¥n b¬ng Nash Sau ¥y l  mët sè b i to¡n li¶n quan ¸n b i to¡n c¥n b¬ng B i to¡n tèi ÷u

Cho g : K → R vîi K l  tªp con lçi âng trong khæng gian Rn B i to¡n tèi ÷u l  b i to¡n:

T¼m x∗ ∈ K sao cho g(x∗) ≤ g(y), ∀y ∈ K B¬ng c¡ch °t

f (x, y) = g(y) − g(x)

ta th§y b i to¡n tèi ÷u t÷ìng ÷ìng vîi b i to¡n c¥n b¬ng theo ngh¾a tªp nghi»m cõa hai b i to¡n tròng nhau.

B i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n

Cho K ⊆ Rn l  tªp con lçi âng v  ¡nh x¤ G : Rn → Rn, b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n câ d¤ng:

T¼m x∗ ∈ K sao cho ⟨G(x∗), y − x∗⟩ ≥ 0, ∀y ∈ K.

Khi â, theo [2] gi£i b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n t÷ìng ÷ìng vîi gi£i b i to¡n c¥n b¬ng vîi

f (x, y) = ⟨G(x), y − x⟩ B i to¡n iºm b§t ëng

Cho K ⊆ Rn l  tªp con lçi âng v  ¡nh x¤ G : K → K, b i to¡n t¼m iºm b§t

Ch֓ng 2

Thuªt to¡n ¤o h m t«ng c÷íng gi£i b i to¡n c¥n b¬ng

Trong ch÷ìng n y, chóng tæi tr¼nh b y thuªt to¡n ¤o h m t«ng c÷íng gi£i b i to¡n c¥n b¬ng Nëi dung ch½nh ÷ñc tham kh£o trong t i li»u [11].

2.1 Thuªt to¡n

X²t b i to¡n c¥n b¬ng

T¼m x∗ ∈ K sao cho f(x∗, y) ≥ 0, vîi måi y ∈ K,

trong â K l  tªp con lçi âng, kh¡c réng trong khæng gian Rn v  f : K ×K → R ∪ {+∞}.

X²t h m L : K × K → R l  mët song h m lçi kh£ vi, khæng ¥m tr¶n K theo bi¸n thù hai y (vîi méi x ∈ K cè ành) sao cho

i) L(x, x) = 0 vîi måi x ∈ K,

ii) ∇2L(x, x) = 0 vîi måi x ∈ K, trong â ∇2L(x, x) l  ¤o h m theo bi¸n thù hai cõa h m L(x, ) t¤i x Ch¯ng h¤n, mët v½ dö cõa h m L l  L(x, y) = 12∥y − x∥2.

B i to¡n c¥n b¬ng phö ÷ñc ành ngh¾a nh÷ sau:

T¼m x∗ ∈ K sao cho ρf(x∗, y) + L(x∗, y) ≥ 0, vîi måi y ∈ K (AuPEP) trong â ρ > 0 l  tham sè hi»u ch¿nh.

Bê · 2.1 [8] Cho f : K × K → R ∪ {+∞} l  mët song h m c¥n b¬ng Khi â, c¡c ph¡t biºu sau t÷ìng ÷ìng:

10

i) x∗ l  nghi»m cõa b i to¡n c¥n b¬ng (PEP); ii) x∗ l  nghi»m cõa b i to¡n

y∈Kf (x∗, y).

p döng Bê · 2.1 cho song h m c¥n b¬ng ρf + L ta câ x∗ l  cüc tiºu cõa b i to¡n tèi ÷u lçi

y∈K{ρf (x∗, y) + L(x∗, y)}.

Sü t÷ìng ÷ìng giúa b i to¡n c¥n b¬ng v  b i to¡n c¥n b¬ng phö ÷ñc cho bði bê · sau.

Bê · 2.2 [8] Cho f : K × K → R ∪ {+∞} l  mët song h m c¥n b¬ng,

Khi â x∗ ∈ K l  nghi»m cõa b i to¡n c¥n b¬ng (PEP) n¸u v  ch¿ n¸u x∗ l  nghi»m cõa b i to¡n c¥n b¬ng phö (AuPEP).

Trong thuªt to¡n sau, song h m phö ÷ñc cho bði câ nghi»m duy nh§t.

Tø Bê · 2.2, ta th§y cæng thùc d¤ng iºm b§t ëng cho b i to¡n c¥n b¬ng (PEP) gñi þ ph÷ìng ph¡p l°p º gi£i b i to¡n (PEP) ÷ñc cho bði xk+1 = s(xk) trong â s(xk) l  nghi»m duy nh§t cõa b i to¡n tèi ÷u lçi m¤nh (Cxk) Tuy nhi¶n, èi vîi b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n ìn i»u, l  mët tr÷íng hñp ri¶ng cõa b i to¡n c¥n b¬ng ìn i»u (PEP), d¢y l°p {xk} câ thº khæng hëi

tö N«m 1976, Korpelevich [6] l¦n ¦u ti¶n giîi thi»u thuªt to¡n ¤o h m t«ng c÷íng º t¼m iºm y¶n ngüa, sau â ÷ñc mð rëng cho b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n ìn i»u, xem [4] èi vîi b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n ìn trà cho bði

T¼m x∗ ∈ K sao cho ⟨F (x∗), x − x∗⟩ ≥ 0, vîi måi x ∈ K

thuªt to¡n ¤o h m t«ng c÷íng (cán gåi l  thuªt to¡n chi¸u hai l¦n) x¥y düng hai d¢y {xk} v  {uk} x¡c ành bði

uk := PK(xk − ρF (xk)) v  xk+1:= PK(xk − ρF (uk)), trong â ρ > 0 v  PK k½ hi»u ph²p chi¸u l¶n tªp K.

Ti¸p theo, chóng tæi tr¼nh b y thuªt to¡n ¤o h m t«ng c÷íng gi£i b i to¡n c¥n b¬ng Trong suèt luªn v«n, chóng tæi gi£ sû h m f(x., ) l  h m lçi, âng v  kh£ d÷îi vi ph¥n tr¶n K vîi méi x ∈ K D÷îi gi£ thi¸t n y, b i to¡n phö c¦n º gi£i trong thuªt to¡n d÷îi l  c¡c b i to¡n tèi ÷u lçi vîi h m möc ti¶u thu ÷ñc nghi»m tèi ÷u duy nh§t yk.

N¸u yk = xk, døng: xk l  nghi»m cõa b i to¡n (PEP) Ng÷ñc l¤i, ti¸p töc tîi

2.2 Sü hëi tö cõa thuªt to¡n

Bê · sau ch¿ ra r¬ng Thuªt to¡n 1 døng sau mët sè húu h¤n b÷îc l°p, khi â, chóng ta s³ t¼m ÷ñc nghi»m cõa b i to¡n (PEP).

Bê · 2.3 [11] N¸u thuªt to¡n døng t¤i mët iºm xk th¼ xk l  nghi»m cõa cõa b i to¡n (PEP).

Chùng minh N¸u yk = xk v  f(x, x) = 0 ta câ

ρf (xk, yk) + G(yk) − G(xk) − ⟨∇G(xk), yk− xk⟩ = 0.

V¼ yk = xk l  nghi»m cõa (2.2) n¶n

0 =ρf (xk, yk) + G(yk) − G(xk) − ⟨∇G(xk), yk − xk⟩ ≤ρf (xk, y) + G(y) − G(xk)−⟩∇G(xk), y − xk⟩, ∀y ∈ K.

Do â, theo Bê · 2.2, xk l  nghi»m cõa b i to¡n (PEP) ành lþ sau ¥y thi¸t lªp sü hëi tö cõa Thuªt to¡n 1 ành lþ 2.1 [11] Gi£ sû

i) G l  h m lçi m¤nh vîi h¬ng sè β > 0 v  kh£ vi li¶n töc tr¶n tªp mð Γ chùa K.

ii) Tçn t¤i hai h¬ng sè a1 > 0 v  a2 > 0 sao cho

f (x, y) + f (y, z) ≥ f (x, z) − a1∥y − x∥2− a2∥z − y∥2, ∀x, y, z ∈ K (2.4) trong â l(y) = G(x∗) − G(y) − ⟨∇G(y), x∗− y⟩ vîi méi y ∈ K.

b) Gi£ sû th¶m i·u ki»n f(x, ) l  h m nûa li¶n töc d÷îi tr¶n K, f(., y) l  h m nûa li¶n töc tr¶n tr¶n K, v  0 < ρ < min{(β/2a1), (β/2a2)}, th¼ d¢y {xk} bà ch°n v  méi iºm tö cõa d¢y {xk} l  nghi»m cõa b i to¡n (DEP).

Hìn núa, n¸u Kd = K∗ (trong tr÷íng hñp °c bi»t, n¸u f l  gi£ ìn i»u tr¶n K), th¼ d¢y {xk} hëi tö tîi nghi»m cõa b i to¡n (PEP).

Sû döng i·u ki»n c¦n v  õ cho b i to¡n tèi ÷u lçi, ta th§y xk+1 l  nghi»m cõa b i to¡n tèi ÷u lçi

y∈K{ρf (yk, y) + G(y) − G(xk) − ⟨∇G(xk), y − xk⟩}, khi v  ch¿ khi

0 ∈ ∂2{ρf (yk, xk+1) + G(xk+1) − G(xk) − ⟨∇G(xk), xk+1− xk⟩} + NK(xk+1),

ð â, NK(x) l  nân ph¡p tuy¸n ngo i cõa K t¤i x ∈ K.

V¼ f(yk, ) kh£ d÷îi vi ph¥n v  G l  h m lçi m¤nh, kh£ vi tr¶n K, n¶n theo ành lþ Moreau-Rockafellar, tçn t¤i w ∈ ∂2f (yk, xk+1) sao cho

M°t kh¡c, theo B÷îc 1, v¼ yk l  nghi»m cõa b i to¡n tèi ÷u lçi

− ρa1∥yk − xk∥2− ρa2∥xk+1− yk∥2 (2.11) V¼ G l  h m lçi m¤nh vîi h¬ng sè β > 0, vîi méi x, y, ta câ

Vªy d¢y {l(xk)k≥0}l  mët d¢y khæng gi£m V¼ nâ l  mët d¢y bà ch°n d÷îi bði 0, n¶n nâ hëi tö tîi l∗ Cho k → ∞, tø (2.14) suy ra

Do d¢y {l(xk)k≥0} hëi tö n¶n d¢y {xk}k≥0 bà ch°n, suy ra tçn t¤i ½t nh§t mët iºm tö Gi£ sû x ∈ K l  iºm tö v  d¢y con {xki}i≥0 thäa m¢n

tùc l  x l  nghi»m cõa b i to¡n (AuPEP) Theo Bê · 2.2, x l  nghi»m cõa b i to¡n (PEP).

Gi£ sû Kd = K∗ Ta s³ chùng minh to n bë d¢y {xk}k≥0 hëi tö tîi x Thªt

vªy, theo c¡ch °t l(xk) k¸t hñp vîi x∗ = x ∈ Kd, ta câ l(x) = 0 Do â, v¼ G l  h m lçi m¤nh n¶n ta nhªn ÷ñc

l(xk)−l(x) = G(x)−G(xk)−⟨∇G(xk), xk−x⟩ ≥ β

2∥xk−x∥2, ∀k ≥ 0 (2.16) M°t kh¡c, v¼ d¢y {l(xk)}k≥0 l  d¢y khæng gi£m v  l(xki) → l(x), n¶n ta câ l(xk) → l(x) khi k → ∞ Vªy, do (2.16), ta câ lim

k→∞xk = x ∈ K∗.

Thuªt to¡n 1 y¶u c¦u song h m f ph£i thäa m¢n i·u ki»n kiºu Lipschitz (2.4), ¥y l  i·u ki»n m  trong mët sè tr÷íng hñp ta khæng bi¸t h» sè l  bao nhi¶u º tr¡nh i·u ki»n n y, Thuªt to¡n 2 s³ sû döng k¾ thuªt t¼m ki¸m theo tia (linesearch) K¾ thuªt t¼m ki¸m theo tia ÷ñc sû döng trong c¡c b i to¡n tèi ÷u v  b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n.

ành ngh¾a 2.1 [11] Cho K l  mët tªp con âng, kh¡c réng trong Rn Mët ¡nh x¤ H : Rn → Rn ÷ñc gåi l 

i) ch§p nhªn ÷ñc èi vîi K n¸u

H(x) ∈ K, ∀x ∈ Rn, ii) tüa khæng gi¢n èi vîi K n¸u vîi méi x ∈ Rn,

N¸u PK l  ph²p chi¸u tr¶n K th¼ PK l  ¡nh x¤ tüa khæng gi¢n, ch§p nhªn ÷ñc K½ hi»u F(K) l  hå c¡c ¡nh x¤ tüa khæng gi¢n, ch§p nhªn ÷ñc èi vîi