Phân tích mô hình mạng Petri

6. Bố cục của luận án

2.2.4 Phân tích mô hình mạng Petri

Việc phân tích mô hình PN cho ta biết hành vi của hệ thống. Có các kỹ thuật phân tích cấu trúc và các kỹ thuật phân tích không gian trạng thái.

Các kỹ thuật phân tích cấu trúc gồm các phương pháp: ma trận liên thuộc, các T-invariant và các S-invariant.

Các kỹ thuật phân tích không gian trạng thái có phương pháp cây bao phủ (coverability tree) hay cây đạt được (reachability tree).

Phương pháp cây đạt được cho ta có được số lượng đánh dấu đạt được hoặc các đánh dấu phủ của chúng. Nó được áp dụng cho tất cả các lớp của mạng Petri, nhưng giới hạn cho các mạng Petri nhỏ vì sự phức tạp khi bùng nổ không gian trạng thái.

Phương pháp ma trận liên thuộc, T-invariant và S-invariant (hay các đẳng thức trạng thái) là những phương pháp phân tích mạnh nhưng trong nhiều trường hợp chúng chỉ có khả năng đối với các nhóm mạng Petri đặc biệt hoặc những trường hợp đặc biệt.

Dưới đây sẽ đề cập một số phương pháp phân tích được sử dụng chính trong luận án.

a) Cây đạt được

Cây đạt được có thể được sử dụng để giải quyết các bài toán tìm các đặc tính của mạng Petri là an toàn, hữu hạn, bảo toàn và phủ. Nhưng trong trường hợp chung không thể sử dụng cây đạt được để giải quyết bài toán tính đạt được và tính tích cực, cũng như để xác định chuỗi kích hoạt có thể có [76][94].

Mạng Petri được coi là an toàn nếu số thẻ trong từng vị trí không lớn hơn 1. Mạng Petri được coi là hữu hạn nếu số thẻ trong bất kỳ vị trí nào đều không lớn hơn một số n – nguyên. Cả hai đặc tính này có thể kiểm tra nhờ cây đạt được.

Mạng Petri được gọi là bảo toàn nếu với bất kỳ kích hoạt các chuyển tiếp nào tổng số thẻ (tổng trọng số) của nó không đổi. Tính bảo toàn của mạng Petri có thể được kiểm tra hiệu quả nhờ cây đạt được. Bởi vì cây đạt được có giới hạn, đối với từng đánh dấu có thể tính được tổng trọng số. Nếu tổng trọng số giống nhau đối với tất cả các đánh dấu thì mạng Petri là bảo toàn theo quan hệ với trọng số đã cho. Nếu các tổng trọng số khác nhau thì mạng Petri được gọi là không bảo toàn.

Đối với một đánh dấu M' cho trước, có thể đạt được đánh dấu tiếp theo

' " M

M  . Tính phủ của đánh dấu bất kỳ có thể được kiểm tra bằng cây phủ. Trước hết ta xác định đánh dấu ban đầu M của cây đạt được – là gốc của cây. Sau đó ta tìm kiếm một đỉnh bất kỳ x với đánh dấu M[x] thỏa mãn M[x]M'. Nếu thỏa

50

mãn, thì đánh dấuM[x] phủ đánh dấu M'. Ngược lại, nếu không thỏa mãn, thì đánh dấu M' không được phủ bởi bất kỳ đánh dấu đạt được nào.

b) Các Invariant

 T-invariant

T-invariant là một tập hợp của các chuyển tiếp mà sự kích hoạt của chúng một số lần đưa PN về đánh dấu ban đầu.

Cần chú ý rằng đẳng thức ATx M là điều cần cho cây đạt được. Trong khi

đó, T-invariant là một nghiệm nguyên x - vector khác 0 của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất: 0   M x AT

Nghĩa là M M0 ATxM0: các chuỗi kích hoạt các chuyển tiếp dẫn PN trở về đánh dấu ban đầu đánh dấu ban đầu M0.

Các nút tương ứng với các cửa vào của một T-invariant x được gọi là hỗ trợ của x, được viết là supp(x).

Một T-invariant x được gọi là tối thiểu nếu hỗ trợ của nó không chứa bất kỳ một invariant z nào khác.

Các T-invariant là những đặc tính đại số cơ bản của các PN và được sử dụng trong các trường hợp như kiểm tra tính tích cực, tính hữu hạn.

Một PN là hữu hạn và tích cực nếu nó được phủ bởi các T-invariant dương (mỗi chuyển tiếp có mặt trong một T-invariant).

Một T-invariant xác định một mạng con kết nối, gồm các hỗ trợ của nó, các vị trí trước và sau hỗ trợ và tất cả các cung giữa chúng.

 S-invariant

S-invariant (hay P-invariant) của PN là tập hợp các vị trí mà tổng số thẻ của chúng không thay đổi sau khi kích hoạt bất kỳ một chuyển tiếp nào. Như vậy S- invariant là một nghiệm y- một vector hàng khác 0 thỏa mãn đẳng thức:

0



Ay

Nghĩa là đối với một S-invariant y, bất kỳ đánh dấu Mi nào đạt được từ đánh dấu ban đầu M0 nhờ kích hoạt các chuyển tiếp, phải thỏa mãn đẳng thức:

0

yM

yMi  .

Tổng của các S-invariant cho ta một P-invariant.

Tương tư như T-invariant, các S-invariant là những đặc tính đại số cơ bản của các PN và được sử dụng trong các trường hợp như kiểm tra tính tích cực, tính hữu hạn.

Một PN là hữu hạn nếu nó được phủ bởi các P-invariant dương (mỗi vị trí có mặt trong một P-invariant).

51

Một S-invariant xác định một mạng con kết nối, gồm các hỗ trợ của nó, các chuyển tiếp trước và sau hỗ trợ và tất cả các cung giữa chúng.

c) Siphons và Traps

Ống thông (Siphon) và bẫy (trap) [94] là các đặc tính của mạng Petri được có các hiệu ứng trái ngược nhau đối với phân phối thẻ trong mạng Petri và chúng được đưa vào để phân tích các tính tích cực (liveness) và an toàn trong các mạng Petri. Tính tích cực là sự thể hiện cây đạt được không có các trạng thái khóa chết.

Một tập hợp con S không rỗng các vị trí trong một mạng Petri thông thường được gọi là ống thông (hay là khóa chết) nếu mỗi chuyển tiếp trong khi đang có một vị trí ra ở trong tập hợp, lại có một vị trí vào cũng ở trong tập hợp S, nghĩa là

 

S S . Trong đó, S biểu diễn chuyển tiếp vào trong tập hợp S và S biểu diễn vị trí ra của tập hợp S.

Một tập hợp con Q không rỗng các vị trí trong một mạng Petri thông thường được gọi là bẫy nếu mỗi chuyển tiếp trong khi đang có một vị trí vào trong tập hợp Q, lại có một vị trí ra cũng ở trong tập hợp Q, nghĩa là QQ.

Để cho mạng Petri có tính tích cực, điều kiện cần là từng ống thông có ở trong mạng Petri phải duy trì trạng thái có thẻ (marked). Ngược lại, nếu không có thẻ (ống thông rỗng) thì các chuyển tiếp có các vị trí vào rỗng sẽ không thể kích hoạt. Để từng ống thông có thể thì trong từng ống thông phải có bẫy.

Trong các công cụ mô phỏng mạng Petri các ống thông tối thiểu (minimal siphons) và bẫy tối thiểu (minimal traps) được xác định trong phân tích mạng Petri.